Преломление света, принцип Ферма

Сообщение №555 от Докажи 17 июня 2004 г. 20:16
Тема: Преломление света, принцип Ферма

преломлении света на двух средах имеем задачку из занимательной физики Перельмана.

Кавалерист должен выбрать быстрейший(по времени) путь по лугу и песку.

Можно ли найти расстояние ЕМ (на рисунке 1 км) без подбора?
Sinβ = 2*Sin α Т.е. по песку кавалерист двигается в n=2 раза медленне чем по лугу.
Я брал производную от Y = 2*(4+X^2)^(1/2) + (9+(7-X)^2)^(1/2) и искал точку в которой эта функция достигала своего экстрема.
Y΄ = 2*(4+X^2)^(1/2)*(2*X*(1/2)/(4+X^2))+(9+(7-X)^2)^(1/2)
*((2*(7-X)^1*(-1))*(1/2)/(9+(7-X)^2))
Но расчёт пересечения этой производной с осью Y оказался более сложным чем я предполагал.
Обладаете кто либо более простым решением этой проблемы?
Как расчитать для независимых ширин луга, песчанной полосы, их длины, их отношения n точку в которой кавалерист должен пересечь луг и скакать по глубокому песку? Или по крайней мере найти угол альфа?
Д.


Отклики на это сообщение:

лучше считать производные по другому
пусть a, b - расстояния до прямой, с - расстояние вдоль прямой
u и v - скорости
а = 2, b = 3, c = 7, u = 1, v = 2

пусть x и y - тангенсы углов A и B

тогда мы имеем задачу a /(u*cosA)+ b /(v*cosB) -> min
при условии a*x+b*y=c
1 / cos = sqrt(tg^2+1)
тогда задача выглядит так
f1 = sqrt(x^2+1)*a/u + sqrt(y^2+1)*b/v -> min при условии
f2 = a*x+b*y = c
по сути надо найти точку в которой кривая, описываемая уравнением f1 = const
касается прямой, описываемой уравнением f2 = c

это значит что градиенты для обеих функций в этой точке параллельны
grad f1 = ( df1/dx ; df1/dy ) = ( a*x/(u*sqrt(x^2+1)); b*y/(v*sqrt(y^2+1)) ) =
= ( a*x*cosA/u ; b*y*cosB/v ) = поскольку x=tgA и y=tgB
= ( a*sinA/u ; b*sinB/v )

grad f2 = ( a ; b ) = некоторое число * grad f1 (условие параллельности)

отсюда sinA/u = sinB/v = это некоторое число
таким образом мы вывели соотношение для синусов углов

для x и y это соотношение будет выглядеть так

x/(u*sqrt(x^2+1)) = y/(v*sqrt(y^2+1))

возведем выражение в квадрат, перевернем дроби, домножим на (xy)^2

получим u^2*(1 + x^2)*y^2 = v^2*(1 + y^2)*x^2 при этом a*x+b*y = c
если мы выразим x через у получим уравнение четвертой степени от x


например у Перельмана
2x+3y=7
y^2+(xy)^2 = 4x^2 + 4(xy)^2

или 3(xy)^2 = (y - 2x) * (y + 2x)

3*y^2*(7-3y)^2 = 4*(4y-7)*(7-2y)

можно подобрать x = 1/2 y = 2


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100