Кватернионный базис

Сообщение №52629 от Fw: ancoravita 24 марта 2008 г. 17:53
Тема: Кватернионный базис

Продолжение публикации книги доктора физико-математических наук, профессора, первого проректора Российского университета доужбы народов, зав. кафедрой физики РУДН, директора Института гравитации и космологии РУДН Ефремова А.П. "Кватернионные пространства, системы отсчета и поля".
ГЛАВА 2. КВАТЕРНИОННЫЙ БАЗИС
Раздел 2.1.Преобразование кватернионных единиц.
Предлагается компактная «тензорная» запись правила умножения кватернионных (Q-) единиц, и демонстрируется, что это правило не изменяет своей формы (остается форм-инвариантным) относительно двух групп преобразований «мнимых» единиц – спинорной группы SL(2C) и группы специальной ортогональной вращений с комплексными параметрами SO(3,C). Приведены примеры простейших представлений Q-единиц и их преобразований, установлена связь между матрицами спинорной и векторной групп. Показано также, что 3х3-матрица общего вида из группы SO(3,C) представима как произведение трех матриц «простых вращений».
Раздел 2.2. Кватернионный базис и его действительные вращения.
Кватернионным базисом называется триада мнимых Q-единиц, матричные элементы (функции) которых зависят только от вещественных параметров. Геометрическим представлением Q-базиса являются три ортонормированных вектора – подвижный (вращающийся) репер. Если параметрами матриц простых вращений являются вещественные тригонометрические функции, то каждая из таких матриц описывает обычный поворот вокруг одной из векторных Q-единиц на фиксированный угол.
В простейшем представлении векторов Q-базиса 2х2-матрицами решены уравнения на собственные функции (СФ) этих матриц (как операторов) и их собственные значения. Показано, что для всех матриц собственным значением является скалярная мнимая единица (со знаком плюс или минус), при этом сами СФ имеют спинорную структуру. Одно из важнейших наблюдений состоит в том, что СФ являются наиболее фундаментальными объектами кватернионной алгебры, поскольку каждая из Q-единиц строится из своих СФ. При этом, если три Q-единицы связаны между собой нелинейным соотношением (умножением), то соответствующие им СФ связаны линейной комбинацией. Приведены конкретные примеры СФ для простейших представлений Q-единиц. Далее отмечены важные следствия развитой математической теории: показано, что любой вектор-кватернион (в Q-базисе) является форм-инвариантом действительных поворотов, а действие СФ исходного репера на Q-векторы произвольно повернутого репера определяет проекцию этого вектора на направления исходного репера. Эти математические свойства и соотношения СФ во многом сходны с формализмом операторов и определением измеряемых величин в квантовой механике.
Полный текст здесь http://www.cosmology.su/news_r.php?id=25

http://www.cosmology.su


Отклики на это сообщение:

> Продолжение публикации книги доктора физико-математических наук, профессора, первого проректора Российского университета доужбы народов, зав. кафедрой физики РУДН, директора Института гравитации и космологии РУДН Ефремова А.П. "Кватернионные пространства, системы отсчета и поля".
> ГЛАВА 2. КВАТЕРНИОННЫЙ БАЗИС
> Раздел 2.1.Преобразование кватернионных единиц.
> Предлагается компактная «тензорная» запись правила умножения кватернионных (Q-) единиц, и демонстрируется, что это правило не изменяет своей формы (остается форм-инвариантным) относительно двух групп преобразований «мнимых» единиц – спинорной группы SL(2C) и группы специальной ортогональной вращений с комплексными параметрами SO(3,C). Приведены примеры простейших представлений Q-единиц и их преобразований, установлена связь между матрицами спинорной и векторной групп. Показано также, что 3х3-матрица общего вида из группы SO(3,C) представима как произведение трех матриц «простых вращений».
> Раздел 2.2. Кватернионный базис и его действительные вращения.
> Кватернионным базисом называется триада мнимых Q-единиц, матричные элементы (функции) которых зависят только от вещественных параметров. Геометрическим представлением Q-базиса являются три ортонормированных вектора – подвижный (вращающийся) репер. Если параметрами матриц простых вращений являются вещественные тригонометрические функции, то каждая из таких матриц описывает обычный поворот вокруг одной из векторных Q-единиц на фиксированный угол.
> В простейшем представлении векторов Q-базиса 2х2-матрицами решены уравнения на собственные функции (СФ) этих матриц (как операторов) и их собственные значения. Показано, что для всех матриц собственным значением является скалярная мнимая единица (со знаком плюс или минус), при этом сами СФ имеют спинорную структуру. Одно из важнейших наблюдений состоит в том, что СФ являются наиболее фундаментальными объектами кватернионной алгебры, поскольку каждая из Q-единиц строится из своих СФ. При этом, если три Q-единицы связаны между собой нелинейным соотношением (умножением), то соответствующие им СФ связаны линейной комбинацией. Приведены конкретные примеры СФ для простейших представлений Q-единиц. Далее отмечены важные следствия развитой математической теории: показано, что любой вектор-кватернион (в Q-базисе) является форм-инвариантом действительных поворотов, а действие СФ исходного репера на Q-векторы произвольно повернутого репера определяет проекцию этого вектора на направления исходного репера. Эти математические свойства и соотношения СФ во многом сходны с формализмом операторов и определением измеряемых величин в квантовой механике.
> Полный текст здесь http://www.cosmology.su/news_r.php?id=25


Ответ на Ваше сообщение в "Форум новых теорий"
От "ozes"

Уважаемая госпожа ancoravita!
Позвольте Вам и уважаемому профес..сору Ефремову задать один простой вопрос.
Как всем известно, слово "кварта" в латинской терминологии, обозначает число "четыре".
Отсюда и название - КВАТЕРНИОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.
Соответственно, "комплексные числа" являются "биполярными", "дуальными", или просто "секундными" или "двойными" пространствами.
Из латинской терминологии следуют названия музыкальных интервалов:
- прима
- секунда
- терция
- кварта
- квина
- октава.
Вопрос у меня простой.
Куда пропали терционные пространства??????????????????
Объясняю популярно:
"Секунде" - отвечают комплексные числа.
"Кварте" - отвечают кватернионы.
Куда делись "терционы"?????????????????????

Ответ от автора монографии, проф Ефремова А.П.
"В европейской музыке приняты стандартные тоники и интервалы, которые названы латинскими натуральными числами: прима, секунда, терция, кварта, квинта... Известно, что при их определении существенную роль сыграла математика, достаточно вспомнить, что есть способ построения звукоряда, который называется "пифагорейский строй". Стоит заметить, что эти музыкальные стандарты математически не случайны, хотя базируются и на иных критериях, например, слуховом восприятии.
Что же касается алгебр, то тут не только нет никаких случайностей, но и антропогенности: оказывается - и это "закон природы", - что произвольно построить такую алгебру, какую хочется, никак нельзя. К началу 20 века стало известно, что "хороших" алгебр (они называются исключительными) всего четыре. Их размерность (число единиц) определяется уже не натуральными (как в гамме - прима, секунда...), а целыми числами, включая ноль: 0, 1, 2, 3. Но эти натуральные числа оказываются не обычными коэффициентами, а показателями степени (для основания два). Так, два в нулевой степени есть единица (размерность алгебры действительных чисел), два в первой = два (комплексные числа), два во второй = четыре (кватернионы) и два в третьей = восемь (октавы). Все! Только в этих четырех алгебрах можно построить сложение (вычитание) и умножение (деление), и то для октав с оговорками. Больше "хороших" алгебр в природе нет: именно это в конце 19 века доказали в знаменитой теореме немецкие математики Фердинанд Фробениус и Адольф Гурвиц.
Понятно, что два в целой степени не может дать три (терцию), и хорошей алгебры такой размерности нет."

http://www.cosmology.su


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100