Продольная и поперечная волны в упругой среде

Сообщение №40100 от Механист 27 сентября 2005 г. 15:10
Тема: Продольная и поперечная волны в упругой среде

Продольная и поперечная волны в упругой среде

Линейно-упругая однородная изотропная среда подчиняется уравнению Ламе [1]
(1)           ς∂t2s=(λ+2μ)graddivs–μrotrots
где ς – плотность, λ и μ – упругие константы среды. В общем случае по теореме Гельмгольца разложим смещение s на потенциальную sg и соленоидальную sr составляющие:
(2)           s=sg+sr
где
(3)           rotsg=0
(4)           divsr=0
Подставим (2) в уравнение (1). С учетом (3) и (4) получим
(5)           ς∂t2sg+ς∂t2sr=(λ+2μ)graddivsg–μrotrotsr
Возьмем div от (5). С учетом (4) имеем
(6)           div[ς∂t2sg–(λ+2μ)graddivsg]=0
С другой стороны вихрь стоящего в скобках (6) выражения в силу (3) также равен нулю:
(7)           rot[ς∂t2sg–(λ+2μ)graddivsg]=0
Согласно теореме векторного анализа, если дивергенция и ротор поля всюду равны нулю, то следовательно и само поле нулевое. Из (6) и (7) имеем
(8)           ς∂t2sg–(λ+2μ)graddivsg=0
Используя в (8) общее соотношение
(9)           graddiv=С2+rotrot
с учетом (3) получим уравнение Даламбера
(10)           ς∂t2sg–(λ+2μ)С2sg=0
Уравнение (10) описывает потенциальную волну, распространяющуюся со скоростью
(11)           cg=[(λ+2μ)/ς]1/2
Подставляя (11) в (10) запишем канонический вид уравнения волны для потенциальной составляющей смещения
(12)           ∂t2sgcg2С2sg=0
Вычитая (8) из уравнения (5) и выполняя преобразование (9), получим уравнение волны для соленоидальной составляющей смещения
(13)           ∂t2srcr2С2sr=0
где
(14)           cr=(μ/ς)1/2

Потенциальную волну ещё называют продольной, а соленоидальную поперечной. Покажем с чем связано такое наименование. Для удобства применим (9) в (1):
(15)           ς∂t2s=(λ+μ)graddivsС2s
Рассмотрим уравнение Ламе (15) в одном измерении x. В этом случае исчезают все производные по y и z:
(16)           graddivs=∂x2sx
(17)           С2s=∂x2s
Подставляя (16) и (17) в уравнение (15) и разделяя координатные компоненты, получим с учетом (11) и (14)
(18)           ∂t2sxcg2С2sx=0
и
(19)           ∂t2sycr2С2sy=0
(20)           ∂t2szcr2С2sz=0
Уравнение (18), описывающее продольную одномерную волну, соответствует общему уравнению (12) потенциальной волны. Уравнения (19) и (20), описывающие поперечные одномерные волны, соответствуют общему уравнению (13) соленоидальной волны. Отсюда идет указанная терминология.

Классическая электродинамика представляет собой специальный случай теории упругости [2]. Поэтому в ней имеет место аналогичная ситуация. В случае электродинамики имеем [3] для лоренцевой калибровки
(20)           с=cr=cg
для кулоновской калибровки
(21)           с=cr,     cg→∞
Но это уже тема для отдельного сообщения.

Литература
[1] Л.Д.Ландау и Е.М.Лифшиц, Теория упругости, Москва, Наука, 1987.

[2] V. P. Dmitriyev, Elasticity and electromagnetism, Meccanica 39 No 6: 511–520, 2004.
[3] V. P. Dmitriyev, Electrodynamics and elasticity, Am.J. Phys., 2003, Volume 71, Issue 9, pp. 952-953.


Отклики на это сообщение:

Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100