Особенность уравнения Гельмгольца для вихря

Сообщение №28606 от rot v 13 июля 2004 г. 13:52
Тема: Особенность уравнения Гельмгольца для вихря

Уравнение Гельмгольца.. уравнение эволюции свободного вихря в упругой среде:
dw/dt=w·Сv

w=rotv (-:

оно читается как изменение завихренности в произвольном подвижном объеме изменяется только под действием локального градиента скоростей, то есть поле завихренности всюду вморожено в поле скорости, то бишь вихрь всегда состоит из одних и тех же элементов

это уравнение полезно сравнить с уравнением эволюции произвольного бесконечномалого подвижного отрезка dr (по сути уравнение изменения деформации)

d(dr)/dt=dv=dr·Сv, то есть уравнения имеют одну форму

так вот преобразуем правую часть, используя представление Сv=1/2(Сv+СvT)+1/2(Сv-СvT):

w·Сv=1/2w·(Сv+СvT)+1/2w·(Сv-СvT)=1/2w·(Сv+СvT)+1/2w*w=1/2w·(Сv+СvT), так как векторное произведение вектора на самого себя равно 0

известно, что w является собственным вектором Сv+СvT, поэтому результат умножения завихренности на градиент скорости равно простому умножению завихренности на число
w·Сv=lw

поэтому уравнение свободного вихря
dw/dt=lw

то есть вектор завихренности свободно движущегося вихря только растягивается со временем в зависимости от локального своего значения, не меняя направления (-:

при этом конечно же завихренность, изменясь со временем, изменяет и ИНДУЦИРОВАННОЕ её поле скорости.. а вихрь всегда движется со скоростью, которую сам индуцирует (это самое главное!!!).. вихрь изменяет свою скорость как целого, ведь выше было отмечено, что вихрь всегда состоит из одних и тех же частиц..

ps.. поэтому для Евгения Шрама: свободное падение тел на Землю связано только с ростом длины вектора завихренности, то есть с ростом только его квадрата, а квадрат завихренности, как опять же известно, отвечает плотности массы вещества в данном бесконечно малом подвижном объеме (-: вектор завихренности имеет размерность частоты, поэтому при приближении к тяготеющим телам (макровихрям) некая интегральная частота вихря увеличивается.. поэтому и время в СО, связанной с этим вихрем, соответственно замедляется по сравнению с таким же вихрем, находящимся раньше по времени на своей мировой линии (-:


Отклики на это сообщение:

> известно, что w является собственным вектором Сv+СvT, поэтому результат умножения завихренности на градиент скорости равно простому умножению завихренности на число
> w·Сv=lw

> поэтому уравнение свободного вихря
> dw/dt=lw

Можно разобрать этот момент поподробней?



> > известно, что w является собственным вектором Сv+СvT, поэтому результат умножения завихренности на градиент скорости равно простому умножению завихренности на число
> > w·Сv=lw

> > поэтому уравнение свободного вихря
> > dw/dt=lw

> Можно разобрать этот момент поподробней?

Валерий.. тут такая тема.. выражение
w·(Сv+СvT)*w=0

то есть w является собственным вектором Сv+СvT

и это выражение верно только, если С·v=0


Пошу прощения, но что такое l?
Если постоянный скаляр, то как это у Вас квадратичная функция скорости
превратилась в линейную? Вы пробовали подставлять в формулу какой-либо
конкретный случай?


> Пошу прощения, но что такое l?
> Если постоянный скаляр, то как это у Вас квадратичная функция скорости
> превратилась в линейную? Вы пробовали подставлять в формулу какой-либо
> конкретный случай?

нет.. это не постоянный скаляр.. l собственное число тензора скоростей деформации, соотвествующее собственному вектору - вектору завихренности w (-:

а собственные векторы тензора - это те векторы, которые тензор только растягивает, то есть результат умножения вектора на тензор коллинеарен собственному вектору (-:

то есть поле завихренности w (=м/поле и вещество) в поле тензора скоростей деформации (=гравитационное поле) эволюционирует, не изменяя своего напрявления, а только величину.. то есть по сути масса тела (квадрат завихренности) при движении в сторону тяготеющего тела увеличивается, ведь масса растёт со скоростью (-: ведь чем больше скорость, тем больше источник скорости - завихренность..


> а собственные векторы тензора - это те векторы, которые тензор только растягивает, то есть результат умножения вектора на тензор коллинеарен собственному вектору (-:

> то есть поле завихренности w (=м/поле и вещество) в поле тензора скоростей деформации (=гравитационное поле) эволюционирует, не изменяя своего напрявления, а только величину.. то есть по сути масса тела (квадрат завихренности) при движении в сторону тяготеющего тела увеличивается, ведь масса растёт со скоростью (-: ведь чем больше скорость, тем больше источник скорости - завихренность..


А чем, на ваш взгляд, "поле тензора скоростей деформации" отличается от деформации скорости тензорного поля?

Или, иными словами, чем, на ваш взгляд, "источник скорости - завихренность" может влиять на скорость источника завихренности?

В рамках эволюции растягиваемого вектором тензора, в поле которого завихренность меняет только величину, по сути, массы тела...


> А чем, на ваш взгляд, "поле тензора скоростей деформации" отличается от деформации скорости тензорного поля?

ну тензорные поля ведь разные бывают, например, поле тензора деформации или поле тензора напряжений.. тензор скоростей деформации означает скорость, с которой меняется деформация.. то есть производная тензора деформации по времени (-: внутри тела вихря сила со стороны поля скорости деформации уравновешивается силой со стороны поля упругой деформации самого вихря (-: собственно вихрем можно назвать подвижный объем, находящийся в вихревом движении (а значит состоящий из одних и тех же элементов эфира) и ограниченный поверхностью, на которой эти силы уравновешены..

> Или, иными словами, чем, на ваш взгляд, "источник скорости - завихренность" может влиять на скорость источника завихренности?

источник скорости (завихренность) всегда движется всегда со скоростью, которую сам и индуцирует (по закону био-савара) (-: а точнее говоря поле скорости, которую он индуцирует на своей поверхности.. если завихренность не меняется, то не меняется и индуцируемое ею поле скорости (-:

> В рамках эволюции растягиваемого вектором тензора, в поле которого завихренность меняет только величину, по сути, массы тела...

то бишь сила, которая действует на вихрь, всегда связана с изменением завихренности (закон э/м индукции = второй закон Ньютона).. а изменение завихренности возможно (в силу уравнения эволюции) двумя путями: либо внешним полем тензора скоростей деформации (масса-заряд свободно падает в гравитационном-электростатическом поле), либо полем упругой деформации (ЭДС, действующая на заряд, или ускоренное движение массы) (-:


> закон э/м индукции = второй закон Ньютона

а точнее говоря ротор (rot) от второго закона Ньютона (уравнения Эйлера-Ламе) (-:


Вектор a - это направленный отрезок, который представляется в каком-либо базисе ei (i=1..3) тремя компонентами-числами ai

a=eiai=eiДai

компоненты ai зависят от того, в каком базисе они взяты, но тем не менее для вектора существует инвариант, представляемый через его компоненты, который не зависит от базиса, этот инвариант - длина вектора, то есть его квадрат

|a|2=aiai

Тензор второго ранга T - это уже объект, который "сложно" увидеть непосредственно, но тем не менее который представляется в произвольном базисе тремя компонентами-векторами Ti, то есть "геометрический" образ (совокупность компонент) тензора второго ранга представляет из себя прямоугольный параллелепипед (-:

a=eiДTi=eiДejTij, где Tij всем известные компоненты тензора в матричном представлении (-:

компоненты Ti тоже зависят от того, в каком базисе они взяты, но тем не менее для тензора второго ранга тоже существуют инварианты, составленные из его компонент в произвольном базисе, например, детерминант detT тензора, который представляет из себя не что иное, как смешанное произведение векторов-компонент тензора (-:

detT=T1·(T2*T3)

иначе говоря это объем нашего параллелепипеда, построенного на векторах-компонентах (-:


> Тензор второго ранга T - это уже объект, который "сложно" увидеть непосредственно, но тем не менее который представляется в произвольном базисе тремя компонентами-векторами Ti, то есть "геометрический" образ (совокупность компонент) тензора второго ранга представляет из себя прямоугольный параллелепипед (-:

не прямоугольный конечно, а произвольного вида параллелепипед (-:

T=eiДTi=eiДejTij


> > Тензор второго ранга T - это уже объект, который "сложно" увидеть непосредственно, но тем не менее который представляется в произвольном базисе тремя компонентами-векторами Ti, то есть "геометрический" образ (совокупность компонент) тензора второго ранга представляет из себя прямоугольный параллелепипед (-:

> не прямоугольный конечно, а произвольного вида параллелепипед (-:

> T=eiДTi=eiДejTij
Лохотрон
Клещ



Прошу прощения, ничего не понял :-(. У Вас собственное число зависит от масштаба
измерения скорости? Попробуем по-другому.
Если вы утверждаете, что (rot vС>v параллельно v,
то это не так. Еще раз спрошу, пробовали ли Вы подставить в формулы конкретный
пример? Естественно, речь идет о неврожденной ситуации (оператор не равен 0).


Спасибо за критику (-:

Конечно омега не всегда является собственным вектором тензора скорости деформации, она является собственным вектором в случае, если след тензора равен нулю (-: то есть в несжимаемой среде.. то бишь тензор определяется всего лишь своим вторым (девиаторным) инвариантом.. в случае несжимаемости второй инвариант равен следу от квадрата тензора..



> а собственные векторы тензора - это те векторы, которые тензор только растягивает, то есть результат умножения вектора на тензор коллинеарен собственному вектору (-:

> то есть поле завихренности w (=м/поле и вещество) в поле тензора скоростей деформации (=гравитационное поле) эволюционирует, не изменяя своего напрявления, а только величину.. то есть по сути масса тела (квадрат завихренности) при движении в сторону тяготеющего тела увеличивается, ведь масса растёт со скоростью (-: ведь чем больше скорость, тем больше источник скорости - завихренность..


Ну ясно. На ваш взгляд, "поле тензора скоростей деформации" ничем не отличается от деформации скорости тензорного поля, или, иными словами, на ваш взгляд, "источник скорости - завихренность" никак не может влиять на скорость источника завихренности.

В рамках эволюции растягиваемого вектором тензора, в поле которого завихренность меняет только величину, по сути, массы тела, и, учитывая, что "масса растёт со скоростью (-: ведь чем больше скорость, тем больше источник скорости - завихренность" что вы можете в данном контексте рассказать нам про рост качественной, аналитической, производной характеристики реального материального тела - ПЛОТНОСТИ, растущей согласно МАТЕМАТИЧЕСКОМУ ЗАКОНУ с ростом массы (количественной характеристики величины реального материального тела), ведь источник завихренности - скорость, и завихренность источника - скорость.

Про скорость скорости что вы нам сможете поведать? С формулами, если не затруднит. ;)


> ведь источник завихренности - скорость, и завихренность источника - скорость.

всё наоборот.. источник поля скорости v - завихренность w=rotv.. вообще источниками векторного поля являются его дивергенция div и ротор rot (-: в случае несжимаемой среды divv=0..

а завихренность завихренности J=rotw=rotrotv называется плотностью тока (-:


Опять не понял. Вы утверждаете, что для коллинеарности достаточно, чтобы
поле v было бездивергентным? Это снова неверно.
Вы можете явно сформулировать условия, которые по-Вашему следует наложить на
v, чтобы (rotvС)v был параллелен rotv?


> > ведь источник завихренности - скорость, и завихренность источника - скорость.

Неужели вы тот, кому удается-таки быть одновременно и пьяным водителем за рулем и гаишником на дороге, его штрафующим?

То, что у вас с завидным постоянством определения противоречат их МАТЕМАТИЧЕСКОМУ выражению, как в

> всё наоборот.. источник поля скорости v - завихренность w=rotv.. вообще источниками векторного поля являются его дивергенция div и ротор rot (-: в случае несжимаемой среды divv=0..

так как, по-вашему, запись

w=rotv..

означает буквально, что ротор следствия (по-вашему, ведь "источник скорости v - завихренность", или иными словами - "завихренность - причина, скорость - следствие") есть причина этого же следствия (скорости).

Данное выражение означает, на мой взгляд, как раз совсем иное, а именно: завихренность - следствие, а скорость причина, так как, производя математическую операцию над причиной (v) только и можно получить следствие (w).

Хотя, кто там вас, неформалов, разберет... Наверное, вы, среди избранных, можете быть одновременно и пьяным водителем и пьяным штрафующим его гаишником? Круто, если так...

> а завихренность завихренности J=rotw=rotrotv называется плотностью тока (-:

Следствие следствия есть плотность причины... Знакомая партия.

А ну-ка, коли вы такой оригинал, быстрее, не торопясь, расскажите, ОТКУДА В РАЗНЫХ СЛУЧАЯХ МАССА ЗНАЕТ, ДО КАКИХ ЗНАЧЕНИЙ ПЛОТНОСТИ ЕЙ РАСТИ ИЛИ ПАДАТЬ? Ведь "масса растёт со скоростью (-: ведь чем больше скорость, тем больше источник скорости - завихренность..". Применительно к окружающей нас материальной действительности с содержащимися в ней РЕАЛЬНЫМИ ТЕЛАМИ (твердая и жидкая вода, например). Пускай даже ротор следствия (скорости) есть его же причина (завихренность), как у вас.

Это даже не вдаваясь в подробности о том, что МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБОСНОВАНИЯ ПРАВОМЕРНОСТИ ЗАПИСИ rotv в классической механике ВООБЩЕ НЕ СУЩЕСТВУЕТ.

;)


> Опять не понял. Вы утверждаете, что для коллинеарности достаточно, чтобы
> поле v было бездивергентным? Это снова неверно.
> Вы можете явно сформулировать условия, которые по-Вашему следует наложить на
> v, чтобы (rotvС)v был параллелен rotv?

Сергей, извините, что ввожу вас в заблуждение (-:

Логика немного изменилась.. в несжимаемой среде с компактным распределением завихренности (каковой можно приближенно считать эфир) тензор скорости деформации имеет всего одну независимую компоненту.. остальные две компоненты "отожрал" тензор вращения 1/2rotv*I..

не стоит забывать, что в теле вихря тензор скорости деформации равен нулю.. поэтому результат умножения завихренности на градиент скорости можно заменить простым умножением на число (-:



> Сергей, извините, что ввожу вас в заблуждение (-:

> Логика немного изменилась.. в несжимаемой среде с компактным распределением завихренности (каковой можно приближенно считать эфир) тензор скорости деформации имеет всего одну независимую компоненту.. остальные две компоненты "отожрал" тензор вращения 1/2rotv*I..

> не стоит забывать, что в теле вихря тензор скорости деформации равен нулю.. поэтому результат умножения завихренности на градиент скорости можно заменить простым умножением на число (-:

Прошу прощения, но у меня основная проблема в том, что Вы говорите на каком-то своем языке и я не понимаю
содержания утверждений. По-видимому, обсуждение пора прекратить. Начнем с того, что я
ни в коей мере не Сергей, а тот эфир, посредством которого мне в детстве ставили банки отнюдь
не является несжимаемой средой с компактным распределением завихренности... :-((((


>
> > Сергей, извините, что ввожу вас в заблуждение (-:

> > Логика немного изменилась.. в несжимаемой среде с компактным распределением завихренности (каковой можно приближенно считать эфир) тензор скорости деформации имеет всего одну независимую компоненту.. остальные две компоненты "отожрал" тензор вращения 1/2rotv*I..

> > не стоит забывать, что в теле вихря тензор скорости деформации равен нулю.. поэтому результат умножения завихренности на градиент скорости можно заменить простым умножением на число (-:

> Прошу прощения, но у меня основная проблема в том, что Вы говорите на каком-то своем языке и я не понимаю
> содержания утверждений. По-видимому, обсуждение пора прекратить. Начнем с того, что я
> ни в коей мере не Сергей, а тот эфир, посредством которого мне в детстве ставили банки отнюдь
> не является несжимаемой средой с компактным распределением завихренности... :-((((

Спасибо вам за ваши полезные комментарии (-:
ps.. эфир конечно тот, который светоносный (-:


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100