опять ПИ

Сообщение №9894 от $TR@N!K 27 декабря 2003 г. 23:28
Тема: опять ПИ

Друзья нужна ваша помощь, подскажите где можно достать программу которую создали двое американских математиков Дэвид Бэйли и Ричард Крандалл, эта программа может вычислить любое число пи не зная предыдущего, в ней пи представляется в двоичной форме по три числа. Если не знаете где достать прогу то подскажите где можно подробно узнать каким образом они вели свои расчеты. Заранее спасибо :-)


Отклики на это сообщение:

> Друзья нужна ваша помощь, подскажите где можно достать программу которую создали двое американских математиков Дэвид Бэйли и Ричард Крандалл, эта программа может вычислить любое число пи не зная предыдущего, в ней пи представляется в двоичной форме по три числа. Если не знаете где достать прогу то подскажите где можно подробно узнать каким образом они вели свои расчеты. Заранее спасибо :-)

=============

From: Simon Plouffe
Newsgroups: sci.math
Subject: The 40 billion'th binary digit of Pi is 1
Date: 5 Oct 1995 23:20:57 GMT
Organization: CECM


THE TEN BILLIONTH HEXADECIMAL DIGIT of Pi is 9

By: Simon Plouffe, Peter Borwein and David Bailey.

The following is part of a paper titled "On The Rapid Computation of
Various Polylogarithmic Constants". The full text, as well as
Fortran code, is available in

http://www.cecm.sfu.ca/~pborwein/

as P123 under the link "Computing Pi and Related Matters".

ABSTRACT:

We give algorithms for the computation of the d-th digit of certain
transcendental numbers in various bases. These algorithms can be
easily implemented (multiple precision arithmetic is not needed),
require virtually no memory, and feature run times that scale nearly
linearly with the order of the digit desired. They make it feasible to
compute, for example, the billionth binary digit of log(2) or pi on a
modest work station in a few days run time.

Indeed we computed the 10 billionth hexadeximal digit of pi as well as
the billionth hexadecimal digits of pi^2, log(2) and log^2(2), the
billionth decimal digit of log (9/10) and the five billionth decimal
digit of log(1 - 10^{-96}).


These calculations rest on three observations. First, the d-th digit
of 1/n is "easy" to compute. Secondly, this scheme extends to
certain polylogarithm and arctangent series. Thirdly, very special
types of identities exist for certain numbers like pi, pi^2, log(2) and
log^2(2). These are essentially polylogarithmic ladders in an integer
base. A number of these identities that we derive in this work appear
to be new, for example the critical identity for the binary digits of
pi is:


infinity
-----
\ -n / 4 2 1 1 \
pi = ) 16 | ------- - ------- - ------- - ------- |
/ \ 8 n + 1 8 n + 4 8 n + 5 8 n + 6 /
-----
n = 0


########################################################################

Various strings of output are given below. The fourth entry, for
example, gives the 10^10-th through 10^10+13-th hexadecimal digits of
pi after the "decimal" point. Converting this to base two gives the
folowing string of binary "digits" of pi starting at the 40 billionth
place:

10010010000111000111001111000110100000111000111110110010...


CONSTANT: BASE: POSITION: DIGITS FROM POSITION:

pi 16 10^6 26C65E52CB4593
10^7 17AF5863EFED8D
10^8 ECB840E21926EC
10^9 85895585A0428B
10^10 921C73C6838FB2


log(2) 16 10^6 418489A9406EC9
10^7 815F479E2B9102
10^8 E648F40940E13E
10^9 B1EEF1252297EC


pi^2 16 10^6 685554E1228505
10^7 9862837AD8AABF
10^8 4861AAF8F861BE
10^9 437A2BA4A13591

log^2(2) 16 10^6 2EC7EDB82B2DF7
10^7 33374B47882B32
10^8 3F55150F1AB3DC
10^9 8BA7C885CEFCE8


log(9/10) 10 10^6 80174212190900
10^7 21093001236414
10^8 01309302330968
10^9 44066397959215


=============


/* This program employs the recently discovered digit extraction scheme
to produce hex digits of pi. This code is valid up to ic = 2^24 on
systems with IEEE arithmetic. */

/* David H. Bailey 960429 */

#include < stdio.h >
#include < math.h >

main()
{
double pid, s1, s2, s3, s4;
double series (int m, int n);
void ihex (double x, int m, char c[]);
int ic = 1000000;
#define NHX 16
char chx[NHX];

/* ic is the hex digit position -- output begins at position ic + 1. */

s1 = series (1, ic);
s2 = series (4, ic);
s3 = series (5, ic);
s4 = series (6, ic);
pid = 4. * s1 - 2. * s2 - s3 - s4;
pid = pid - (int) pid + 1.;
ihex (pid, NHX, chx);
printf ("Pi hex digit computation\n");
printf ("position = %i + 1\n %20.15f\n %12.12s\n", ic, pid, chx);
}

void ihex (double x, int nhx, char chx[])

/* This returns, in chx, the first nhx hex digits of the fraction of x.
*/

{
int i;
double y;
char hx[] = "0123456789ABCDEF";

y = fabs (x);

for (i = 0; i < nhx; i++){
y = 16. * (y - floor (y));
chx[i] = hx[(int) y];
}
}

double series (int m, int ic)

/* This routine evaluates the series sum_k 16^(ic-k)/(8*k+m)
using the modular exponentiation technique. */

{
int k;
double ak, eps, p, s, t;
double expm (double x, double y);
#define eps 1e-17

s = 0.;

/* Sum the series up to ic. */

for (k = 0; k < ic; k++){
ak = 8 * k + m;
p = ic - k;
t = expm (p, ak);
s = s + t / ak;
s = s - (int) s;
}

/* Compute a few terms where k >= ic. */

for (k = ic; k <= ic + 100; k++){
ak = 8 * k + m;
t = pow (16., (double) (ic - k)) / ak;
if (t < eps) break;
s = s + t;
s = s - (int) s;
}
return s;
}

double expm (double p, double ak)

/* expm = 16^p mod ak. This routine uses the left-to-right binary
exponentiation scheme. It is valid for ak <= 2^24. */

{
int i, j;
double p1, pt, r;
#define ntp 25
static double tp[ntp];
static int tp1 = 0;

/* If this is the first call to expm, fill the power of two table tp. */

if (tp1 == 0) {
tp1 = 1;
tp[0] = 1.;

for (i = 1; i < ntp; i++) tp[i] = 2. * tp[i-1];
}

if (ak == 1.) return 0.;

/* Find the greatest power of two less than or equal to p. */

for (i = 0; i < ntp; i++) if (tp[i] > p) break;

pt = tp[i-1];
p1 = p;
r = 1.;

/* Perform binary exponentiation algorithm modulo ak. */

for (j = 1; j <= i; j++){
if (p1 >= pt){
r = 16. * r;
r = r - (int) (r / ak) * ak;
p1 = p1 - pt;
}
pt = 0.5 * pt;
if (pt >= 1.){
r = r * r;
r = r - (int) (r / ak) * ak;
}
}

return r;
}


Спасибо за программу, но я в англистом не очень, и был бы очень благодарен если выложили текст с русскими пояснениями или сказали где он лежит.


> Спасибо за программу, но я в англистом не очень, и был бы очень благодарен если выложили текст с русскими пояснениями или сказали где он лежит.

На русском информации не знаю. Формула в предыдущем посте покоробилась, поэтому повторяю


infinity
-----
\ -n / 4 2 1 1 \
pi = ) 16 | ------- - ------- - ------- - ------- |
/ \ 8 n + 1 8 n + 4 8 n + 5 8 n + 6 /
-----
n = 0

Вот еще ссылка по теме: n'ый знак числа Pi


> Спасибо за программу, но я в англистом не очень, и был бы очень благодарен если выложили текст с русскими пояснениями или сказали где он лежит.

На русском есть неплохой ресурс:

ПИ-клуб


>>эта программа может вычислить любое число пи не зная предыдущего, в ней пи представляется в двоичной форме по три числа.

Это самообман и сплошной misunderstand!!!
Ты думаешь, есть такая функция GetPiNumber(n), подставил туда 1000000
и получил сразу миллионный знак? Фигня, даже если тебе не нужны
предыдущие знаки, то ты все равно должен вести рассчет С ТОЧНОСТЬЮ МИЛЛИОН ЗНАКОВ, чтобы получить миллионный.


> >>эта программа может вычислить любое число пи не зная предыдущего, в ней пи представляется в двоичной форме по три числа.

> Это самообман и сплошной misunderstand!!!
> Ты думаешь, есть такая функция GetPiNumber(n), подставил туда 1000000
> и получил сразу миллионный знак?

Если речь идет про шестнадцатиричные знаки (или более обще 2^k-ричные) - то да, можно.
Идея тут такая: Pi представляется как сумма дробей помноженных на 16^(-k). Каждая дробь в 16-ричной системе счисления представляется периодичной дробью и ее n-ный знак можно легко вычислить. Конечно, из-за сложения ~ n дробей нужно вычислять с некоторым запасом точности, но эта точность порядка log(n) знаков, а отнюдь не n знаков.

Грубо говоря, для вычисления 1024-го знака нужно для k-ой слагаемой дроби вычислить 10 знаков, начиная с (n-k)-го, и просуммировать все эти 10-тизначные числа. Старшая цифра и будет искомой.


Я ищу в Интернете знаки чисел пи да е. Ищу плохо...
Самое большее, что смог найти: миллион знаков пи.
http://arbuz.narod.ru/pi/approx.zip
Слыщал, что где-то лежит файл с 10 миллиардами знаков...
Буду рад, если поделитесь какой-нибудь ссылочкой!
:-) Ираклий
12 февраля 2004 г. 20:26:



Прога мне не понравилась. Во-первых, она имеет линейную сложность относительно номера знака, что уже есть отстой, во-вторых юзается некий eps, равный 10^-17, который непонятно как надо брать в зависимости от того какой знак я хочу узнать, при этом не ясно, хватит ли 80-ти бит FPU для вычисления 100'000'000'000 знака Пи, и, наконец в третьих, у меня не совпало со значениями слева от миллионного знака, которые выложены на сайте "клуба Пи". Если точно, то 999'990-999'999 не совпадают. Больше не проверял.


>>Каждая дробь в 16-ричной системе счисления представляется периодичной дробью и ее n-ный знак можно легко вычислить.

А чем хуже десятичная? Типа pi/4=atan(1/2)+atan(1/3);
atan=1-x^3/3+x^5/5... Все дроби периодические-рациональные.

Значит, по памяти log(n).
А по числу операций - n^1 ???
Это лучше, конечно, чем n^2, но все-равно очень много, для линейного закона уже 64-бит - это бесконечность


> >>Каждая дробь в 16-ричной системе счисления представляется периодичной дробью и ее n-ный знак можно легко вычислить.

> А чем хуже десятичная? Типа pi/4=atan(1/2)+atan(1/3);
> atan=1-x^3/3+x^5/5... Все дроби периодические-рациональные.

Здесь величина знаменателей складываемых дробей экспоненциальна по n. Грубо говоря, чтобы вычислить n-ю десятичную цифру по указанной формуле Вам придется, в частности, копаться в периоде дроби 1/(n*3^n).

Для 16-ричной формулы знаменатели складываемых дробей ограничены полиномом от n.

> Значит, по памяти log(n).
> А по числу операций - n^1 ???

Много больше.


Профессор Слюсарчук установил мировой рекорд по памяти
Такое ощущение, что он и не человек вовсе. То, что вытворяет этот тип, не вписывается ни в какие рамки. Львовский профессор Андрей Слюсарчук на днях побил два мировых достижения в номинациях “наибольшее количество цифр, которое способен запомнить человек” и “самое быстрое запоминание за кратчайший отрезок времени”! Сейчас он готов к новому мозговому штурму. “МК” устроил генеральную репетицию для 33-летнего гения.
— Готовы, Андрей Тихонович?
— Вполне. Можете прочитать мне любой текст, на ваше усмотрение. Для чистоты эксперимента читайте быстро, без остановок. Но разборчиво. А я потом все это воспроизведу до слова и скажу точно, сколько в отрывке было букв.
— Шутить изволите? Как же вы одновременно будете и запоминать, и считать?..
— Не переживайте, я и не такое могу.
Беру оказавшийся под рукой томик Шопенгауэра. Подыскиваю работу позаковыристей. “Метафизика половой любви”, думаю, вполне подойдет. Ну-с, профессор, держитесь.
Взяв двух-трехсекундную паузу, Андрей Тихонович выдает: “В тесте было 250 слов и 1203 буквы”. На этом профессор не останавливается, просит, чтобы я назвала конкретную букву, и он скажет, сколько раз она упоминалась в отрывке. Беру “ж”. И слышу точный ответ — 19. Затем Андрей Тихонович повторяет наизусть весь текст. Без единой ошибки. А потом еще читает его задом наперед. Вот и не верь в чудеса.
Свои возможности Слюсарчук стал демонстрировать в юности. Школу мальчик закончил экстерном, когда ему не было и 13.
— Меня с детства нравилось предугадывать поведение людей, — признается профессор. — И наблюдать за ними. В 15 лет я в совершенстве владел гипнозом. Проводил эксперименты на приятелях…
— В корыстных целях это использовали?
— Честно? Бывало... Иногда хулиганил. Брал купюру, шел в киоск и делал так, что мне сдачу давали, как будто с купюры большего достоинства. А еще я мог договориться с кем угодно и о чем угодно. Так что девушки меня любили. Но я быстро понял, что мне нужно нечто большее. Тогда и поступил во 2-й Московский мединститут на отделение нейрохирургии.
Столица по большому счету и воспитала гения. Здесь он прошел аспирантуру, написал кандидатскую, затем докторскую. В 32 стал профессором и доктором медицинских наук.
По специальности профессор — нейрохирург и каждый день в прямом смысле копается в человеческих мозгах. А когда делал свои первые операции, испытал настоящий восторг.
— Впечатление было такое, что я соприкасаюсь с самым сокровенным, — вспоминает Слюсарчук. — Но я и сейчас убежден, что мозг — величайшее творение природы. И считаю, что душа человека находится в нем, а не в сердце. Это не противоречит тому, что я пытаюсь доказать, — возможности наши неограниченны.
И ведь доказал.
Андрей публично продемонстрировал, что помнит миллион цифр после запятой числа “пи”. Это новый мировой рекорд. Предыдущее достижение 59-летнего японца Тиби Акири Харагучи, который запомнил 83 431 знак числа “пи”, Андрей превзошел почти в 100 раз! Рекорд поддался со второй попытки. Говорит, миллион цифр из книги на 250 страниц запоминал 6 дней.
Второй рекорд — Слюсарчук доказал, что быстрее всех в мире может запоминать цифры. За 2 минуты он фиксирует в голове 5100 знаков. Оба достижения занесены в Книгу рекордов Украины и уже заявлены для регистрации в Книге рекордов Гиннесса.
Все эти достижения профессору нужны лишь для одного — заинтересовать людей, пробудить в них желание развивать свою память. Слюсарчук даже разработал методику, которая позволяет научиться запоминать большие объемы информации.
— Это могут быть числа, тексты, фотографии, звуки. Процесс запоминания в нашем мозгу идет непрерывно. Задача в том, чтобы вытащить из глубин мозга тот участок памяти, который нужен. Когда мне нужно что-то вспомнить, я концентрируюсь определенным образом, закрываю глаза и вижу зрительные образы — страницы текста, ряд чисел, картинки. В свое время я ходил на показательные операции мэтров-нейрохирургов. И так запоминал каждое движение, что мог практически сразу воспроизвести их.
Новая задача для Слюсарчука — запомнить уже не один, а 5 миллионов цифр. Еще он планирует установить два очередных рекорда: быстрее компьютера решать математические задачи и запомнить любой текст, одновременно подсчитав количество букв в нем, в том числе отдельно гласных и согласных. Что ж, читателям “МК” Андрей это уже продемонстрировал.
"Московский Комсомолец" от 27.03.2006
Ева МЕРКАЧЕВА.


.Китайский аспирант вошел в Книгу рекордов Гиннесса — он по памяти назвал число “пи” с точностью до 67 890-го знака после запятой. Для этого 24-летнему Люй Чао потребовалось чуть более 24 часов. Аспирант начал учить число “пи” с 2004 года и тратил на это до 10 часов в день.
Число “пи” является иррациональным и бесконечным, в настоящее время с помощью суперкомпьютера его посчитали до 1 241 100 000-го знака.

«Московский Комсомолец» 11 декабря 2006


Бесконечность с точностью до триллионного знака

26 01 2003: Японцы установили новый мировой рекорд по вычислению значения числа "пи"

Великий и легендарный древнегреческий математик Пифагор называл эти числа математическими "зверями". Это иррациональные числа, то есть числа, которые не могут быть выражены через обыкновенную дробь.

Существует легенда, что один из учеников Пифагора Гиппас забавлялся с числом "корень квадратный из 2", пытаясь как раз найти ему эквивалент из простой дроби. И Гиппас внезапно понял, что такого эквивалента не существует. Пифагор же определял все происходящее с помощью рациональных чисел, открытие иррациональных чисел разрушало его учение о гармонии мира. Сейчас бы сказали - Пифагор потерял смысл существования. Поэтому, не сумев опровергнуть аргументацию Гиппаса с помощью математической логики, Пифагор приговорил Гиппаса к смерти через утопление.

Иррациональные числа обрели права гражданства в математике только после смерти Пифагора.

Самое замечательное иррациональное число, без сомнения, "пи". В школе его заменяют приближенным значением 3,14… "Пи" - это отношение длины окружности к ее диаметру. Число "пи" невозможно представить в виде обыкновенной десятичной дроби - дробь получается бесконечной, и в распределении цифр после запятой нет никакой закономерности. Однако вычисление значения "пи" со все большей и большей точностью превратилось для некоторых исследователей в настоящую болезнь - "пи"-манию, если угодно. Один из таких "пи"-фанатов - профессор Ясумасе Канада из Токийского университета.

Как сообщает агентство MIGnews.com, Канада и его команда установили новый мировой рекорд, вычислив значение "пи" с точностью более чем в триллион знаков после запятой! Интересно, что еще в 1996 году рекорд Канады составлял "всего" 6 миллиардов знаков десятичного разложения числа "пи". В 1999 г. - уже больше 200-миллиардного знака. И вот - триллион десятичных знаков!

Канада и его команда из Центра информационных технологий Токийского университета в течение 400 часов занимались вычислением значения "пи" на суперкомпьютере "Хитачи".

Однако, как отмечает английский физик Саймон Сингх, автор книги "Великая теорема Ферма", если Канада с коллегами "вознамерится продолжить свои вычисления до тех пор, пока их компьютеры не исчерпают всю энергию во Вселенной, то и тогда им не удастся найти точное значение числа "пи". Но это, собственно, не очень-то и нужно, ведь, например, для вычисления длины окружности Вселенной с точностью до радиуса атома водорода достаточно знание 39 знаков числа "пи"…

В общем, понять ужас Пифагора перед фактом обнаружения иррациональных чисел вполне возможно. Но Гиппаса все равно жалко - талантливый был парнишка.
«Независимая газета» 26 января 2003 Андрей Морозов


Про число ПИ
----------------------------------------
Число пи содержит всё-причем поровну?Прошу формулу
Сообщение №517 от Mikhail.Pasechnikov , 28 августа 2001 г. 22:21:

По следующей ссылке
http://www.nature.ru/db/msg.html?mid=1167821&s=120200000
находится статья
"Число пи содержит всё - причем поровну" 12.08.2001 8:42
Новая работа появилась благодаря удивительной формуле, открытой Бэйли с соавторами в 1996 > г. Эта формула позволяет вычислять любую цифру ,не зная предыдущих цифр! > > Десятичное разложение начинается со всем знакомых цифр 3.1415926535897929.... > Рассмотрим последовательность 0.314, 0.141, 0.415, 0.159, 0.926, 0.265, 0.653,0.535, 0.897, 0.929..., > полученную из последовательных троек цифр . Если эти числа хаотически(равновероятно) > заполняют интервал между нулем и единицей, то с помощью формулы 1996 г. можно строго > доказать, что нормально - это и есть мостик между теорией чисел и теорией беспорядка, > построенный Бэйли и Крандаллом (вместо десятичного, они пользовались двоичным > разложением ).
 


> "Число пи содержит всё - причем поровну" 12.08.2001 8:42
> Новая работа появилась благодаря удивительной формуле, открытой Бэйли с соавторами в 1996 > г. Эта формула позволяет вычислять любую цифру ,не зная предыдущих цифр!

И что, вычисления не усложняются с ростом номера цифры?

PS. Было бы интересно узнать у товарища ВАдима, чему равен диаметр Вселенной? =)


Большинство из нас будут удивлены, узнав, сколько людей интересуетется числом p. В школе на нелюбимой многими геометрии мы уяснили, что это отношение длины окружности к диаметру, что ж тут может быть интересного? Но познакомившись поближе с этим виртуальным героем, мы будем удивлены еще больше, ибо история человечества предстанет нам как череда усилий величайших умов по уточнению знаков числа p и поисков алгоритмов для этого процесса.

Подробности здесь: Пи-клуб,питомник пижонов, Компьютерра, 29.5.2003


Знатокам истории:
За 12 шагов на обыкновенном калькуляторе можно вычислить число "Пи" длинной в 10 десятичных знаков. Кто покажет сей алгоритм?


[Перенесено модератором из форума "Форум по математике"]

Сообщение №21108 от Fw: Лалетин 18 апреля 2007 г. 13:40
Тема: Пи еще не вычислино


Кому по силам, помогите доказать: что расчет числа пи методом удвоения сторон вписанного многоугольника после пятого от запятой знака постепенно прекращает приближение к длине окружности, и оставшаяся погрешность не может быть преодолена продолжением расчета по причине несоответствия темпов изменения количества сторон, и темпа уменьшения величины погрешности длины стороны, и дуги на ней. Значительно легче в это просто не поверить, но для тех, кому истина не просто дороже, а есть как жизнь и смысл жизни скажу, что сколь ни мала на сверх малых долях градуса погрешность, их количество будет составлять весьма приличную константу погрешности, приблизительно 48 миллионных. Задача трудна, но награда бесценна; истинное пи. В помощь даю формулу: пи = 1,8 + корень из 1,8. lall@bk.ru

Отклики на это сообщение:

>
> Кому по силам, помогите доказать: что расчет числа пи методом удвоения сторон вписанного многоугольника после пятого от запятой знака постепенно прекращает приближение к длине окружности, и оставшаяся погрешность не может быть преодолена продолжением расчета по причине несоответствия темпов изменения количества сторон, и темпа уменьшения величины погрешности длины стороны, и дуги на ней. Значительно легче в это просто не поверить, но для тех, кому истина не просто дороже, а есть как жизнь и смысл жизни скажу, что сколь ни мала на сверх малых долях градуса погрешность, их количество будет составлять весьма приличную константу погрешности, приблизительно 48 миллионных. Задача трудна, но награда бесценна; истинное пи. В помощь даю формулу: пи = 1,8 + корень из 1,8. lall@bk.ru

Если Вы заинтересованы разобраться в том вопросе, который ставите уже не первый раз (под разными Никами), то выпишите выражения хотя бы для первых трех-четырех (убывающих по величине)сторон вписанного равностороннего треугольника. Может быть, Вы делаете просто какую-то примитивную ошибку.

> В помощь даю формулу: пи = 1,8 + корень из 1,8

Что-то я не заметил, что 3.141640786... = 3.141592654...

>
> Кому по силам, помогите доказать: что расчет числа пи методом удвоения сторон вписанного многоугольника после пятого от запятой знака постепенно прекращает приближение к длине окружности, и оставшаяся погрешность не может быть преодолена продолжением расчета по причине несоответствия темпов изменения количества сторон, и темпа уменьшения величины погрешности длины стороны, и дуги на ней. Значительно легче в это просто не поверить, но для тех, кому истина не просто дороже, а есть как жизнь и смысл жизни скажу, что сколь ни мала на сверх малых долях градуса погрешность, их количество будет составлять весьма приличную константу погрешности, приблизительно 48 миллионных. Задача трудна, но награда бесценна; истинное пи. В помощь даю формулу: пи = 1,8 + корень из 1,8. lall@bk.ru

Вы делаете элементарную ошибку. Для вычисления π (и чего угодно) с высокой точностью нужно промежуточные вычисления брать с заведомо большей точностью. Вы же используете арифметику конечной длины, и в результате получаете ошибку в 4.8*10-5, то есть тысячекратно бОльшую древнего приближения Цзу Чун-чжи (V век н.э.) 355/113, дающего погрешность в 8.5*10-8.

> >
> > Кому по силам, помогите доказать: что расчет числа пи методом удвоения сторон вписанного многоугольника после пятого от запятой знака постепенно прекращает приближение к длине окружности, и оставшаяся погрешность не может быть преодолена продолжением расчета по причине несоответствия темпов изменения количества сторон, и темпа уменьшения величины погрешности длины стороны, и дуги на ней. Значительно легче в это просто не поверить, но для тех, кому истина не просто дороже, а есть как жизнь и смысл жизни скажу, что сколь ни мала на сверх малых долях градуса погрешность, их количество будет составлять весьма приличную константу погрешности, приблизительно 48 миллионных. Задача трудна, но награда бесценна; истинное пи. В помощь даю формулу: пи = 1,8 + корень из 1,8. lall@bk.ru

> Вы делаете элементарную ошибку. Для вычисления π (и чего угодно) с высокой точностью нужно промежуточные вычисления брать с заведомо большей точностью. Вы же используете арифметику конечной длины, и в результате получаете ошибку в 4.8*10-5, то есть тысячекратно бОльшую древнего приближения Цзу Чун-чжи (V век н.э.) 355/113, дающего погрешность в 8.5*10-8.


Ну хоть бы один из отвечающих понял бы суть вопроса. Начинают сходу учить меня тому, чему их научили, я же говорю о том, что людям еще неизвестно. Я утверждаю, что современный метод расчета пи не способен перешагнуть погрешность уже после пятого знака, и прошу того математика, который способен рассмотреть эту тему на запредельном пока еще для смертных уровне, найти доказательство тому, что мне удалось обнаружить. А обнаружил я, что пи = 1,8 + корень из 1,8 . или 3 (3 + корень из 5 ) деленное на 5 , или 1,2 золотого сечения + 1,2 + 1,2 . И много других формул имеет это невероятно гармоничное число. Радиан равен 150 квадратов золотого сечения. Задача квадратура круга становится решаемой. Деление окружности на 360 градусов перестает быть условным, появляется формула дающая из градусов длину дуги без применения пи. Формула объема шара обходится без пи : куб радиуса умноженный на (2,4 + корень из 3,2 ) = объему шара. И много еще того, чем и близко не обладает современное, недосчитанное пи.


> >
> > Кому по силам, помогите доказать: что расчет числа пи методом удвоения сторон вписанного многоугольника после пятого от запятой знака постепенно прекращает приближение к длине окружности, и оставшаяся погрешность не может быть преодолена продолжением расчета по причине несоответствия темпов изменения количества сторон, и темпа уменьшения величины погрешности длины стороны, и дуги на ней. Значительно легче в это просто не поверить, но для тех, кому истина не просто дороже, а есть как жизнь и смысл жизни скажу, что сколь ни мала на сверх малых долях градуса погрешность, их количество будет составлять весьма приличную константу погрешности, приблизительно 48 миллионных. Задача трудна, но награда бесценна; истинное пи. В помощь даю формулу: пи = 1,8 + корень из 1,8. lall@bk.ru

> Если Вы заинтересованы разобраться в том вопросе, который ставите уже не первый раз (под разными Никами), то выпишите выражения хотя бы для первых трех-четырех (убывающих по величине)сторон вписанного равностороннего треугольника. Может быть, Вы делаете просто какую-то примитивную ошибку.

Ну хоть бы один из отвечающих понял бы суть вопроса. Начинают сходу учить меня тому, чему их научили, я же говорю о том, что людям еще неизвестно. Я утверждаю, что современный метод расчета пи не способен перешагнуть погрешность уже после пятого знака, и прошу того математика, который способен рассмотреть эту тему на запредельном пока еще для смертных уровне, найти доказательство тому, что мне удалось обнаружить. А обнаружил я, что пи = 1,8 + корень из 1,8 . или 3 (3 + корень из 5 ) деленное на 5 , или 1,2 золотого сечения + 1,2 + 1,2 . И много других формул имеет это невероятно гармоничное число. Радиан равен 150 квадратов золотого сечения. Задача квадратура круга становится решаемой. Деление окружности на 360 градусов перестает быть условным, появляется формула дающая из градусов длину дуги без применения пи. Формула объема шара обходится без пи : куб радиуса умноженный на (2,4 + корень из 3,2 ) = объему шара. И много еще того, чем и близко не обладает современное, недосчитанное пи.

> > >
> > > Кому по силам, помогите доказать: что расчет числа пи методом удвоения сторон вписанного многоугольника после пятого от запятой знака постепенно прекращает приближение к длине окружности, и оставшаяся погрешность не может быть преодолена продолжением расчета по причине несоответствия темпов изменения количества сторон, и темпа уменьшения величины погрешности длины стороны, и дуги на ней. Значительно легче в это просто не поверить, но для тех, кому истина не просто дороже, а есть как жизнь и смысл жизни скажу, что сколь ни мала на сверх малых долях градуса погрешность, их количество будет составлять весьма приличную константу погрешности, приблизительно 48 миллионных. Задача трудна, но награда бесценна; истинное пи. В помощь даю формулу: пи = 1,8 + корень из 1,8. lall@bk.ru

> > Вы делаете элементарную ошибку. Для вычисления π (и чего угодно) с высокой точностью нужно промежуточные вычисления брать с заведомо большей точностью. Вы же используете арифметику конечной длины, и в результате получаете ошибку в 4.8*10-5, то есть тысячекратно бОльшую древнего приближения Цзу Чун-чжи (V век н.э.) 355/113, дающего погрешность в 8.5*10-8.

>
> Ну хоть бы один из отвечающих понял бы суть вопроса. Начинают сходу учить меня тому, чему их научили, я же говорю о том, что людям еще неизвестно. Я утверждаю, что современный метод расчета пи не способен перешагнуть погрешность уже после пятого знака, и прошу того математика, который способен рассмотреть эту тему на запредельном пока еще для смертных уровне, найти доказательство тому, что мне удалось обнаружить. А обнаружил я, что пи = 1,8 + корень из 1,8 . или 3 (3 + корень из 5 ) деленное на 5 , или 1,2 золотого сечения + 1,2 + 1,2 . И много других формул имеет это невероятно гармоничное число. Радиан равен 150 квадратов золотого сечения. Задача квадратура круга становится решаемой. Деление окружности на 360 градусов перестает быть условным, появляется формула дающая из градусов длину дуги без применения пи. Формула объема шара обходится без пи : куб радиуса умноженный на (2,4 + корень из 3,2 ) = объему шара. И много еще того, чем и близко не обладает современное, недосчитанное пи.


Учитесь. Или лечитесь. Что-то из этого Вам поможет.

> Ну хоть бы один из отвечающих понял бы суть вопроса. А обнаружил я, что пи = 1,8 + корень из 1,8 . И много еще того, чем и близко не обладает современное, недосчитанное пи.

Cуществует множество способов вычисления числа ПИ, от приблизительных до бесконечно точных:
1. Через физические формулы, в которых присутствует число ПИ.
2. Измерить длину окружности, длину диаметра, поделить первое на второе.
3. Многократным удвоением числа сторон многоугольника с теоремой Пифагора.
4. Вычисление угла 180 градусов в радианной мере через разложение функции арксинус в ряд Тейлора.
5. И т.д. ...............c любой заданной точностью, хоть в миллиард знаков.
Ну и последний способ - гадание а кофейной гуще.....
Хотел стереть и закрыть... Жалко - труд пропадет... Хоть и бесполезный...


[Перенесено модератором из форума "Форум по математике"]

Сообщение №21073 от Fw: lafaet 16 апреля 2007 г. 13:24
Тема: Помогите человечеству


Кому по силам, помогите доказать: что расчет числа пи методом удвоения сторон вписанного многоугольника после пятого от запятой знака постепенно прекращает приближение к длине окружности, и оставшаяся погрешность не может быть преодолена продолжением расчета по причине несоответствия темпов изменения количества сторон, и темпа уменьшения величины погрешности длины стороны, и дуги на ней. Значительно легче в это просто не поверить, но для тех, кому истина не просто дороже, а есть как жизнь и смысл жизни скажу, что сколь ни мала на сверх малых долях градуса погрешность, их количество будет составлять весьма приличную константу погрешности, приблизительно 48 миллионных. Задача трудна, но награда бесценна; истинное пи. В помощь даю формулу: пи = 1,8 + корень из 1,8. lall@bk.ru

Отклики на это сообщение:

>
> Кому по силам, помогите доказать: что расчет числа пи методом удвоения сторон вписанного многоугольника после пятого от запятой знака постепенно прекращает приближение к длине окружности, и оставшаяся погрешность не может быть преодолена продолжением расчета по причине несоответствия темпов изменения количества сторон, и темпа уменьшения величины погрешности длины стороны, и дуги на ней.

Хорошая проблема по теме «Математик и РС».
Всё зависит от алгоритма, который Вы используете.
Вы можете так его составить, что обнаружите, что последовательность приближенных длин стремится к нулю.

> >
> > Кому по силам, помогите доказать: что расчет числа пи методом удвоения сторон вписанного многоугольника после пятого от запятой знака постепенно прекращает приближение к длине окружности, и оставшаяся погрешность не может быть преодолена продолжением расчета по причине несоответствия темпов изменения количества сторон, и темпа уменьшения величины погрешности длины стороны, и дуги на ней.

> Хорошая проблема по теме «Математик и РС».
> Всё зависит от алгоритма, который Вы используете.
> Вы можете так его составить, что обнаружите, что последовательность приближенных длин стремится к нулю.

Возьмем n=100.
Pi= 2^n*(2-(2+(2+...+2^0,5)^0,5)^0,5 , то есть вычисляем корень из 2, прибавляем 2, вычисляем корень из суммы, опять прибавляем к полученному 2. И так проделаем 99 раз, затем от 2 вычитаем накопленный результат, вычисляем корень из разности, умножаем на 2 в степени 100.
Погрешность вычисления зависит от количества разрядов в калькуляторе. При использовании 10-ти разрядного больше 5 точных знаков не получим.

> > >
> > > Кому по силам, помогите доказать: что расчет числа пи методом удвоения сторон вписанного многоугольника после пятого от запятой знака постепенно прекращает приближение к длине окружности, и оставшаяся погрешность не может быть преодолена продолжением расчета по причине несоответствия темпов изменения количества сторон, и темпа уменьшения величины погрешности длины стороны, и дуги на ней.

> > Хорошая проблема по теме «Математик и РС».
> > Всё зависит от алгоритма, который Вы используете.
> > Вы можете так его составить, что обнаружите, что последовательность приближенных длин стремится к нулю.

> Возьмем n=100.
> Pi= 2^n*(2-(2+(2+...+2^0,5)^0,5)^0,5 ,


Pi= 2^n*(2-(2+(2+...+2^0,5)^0,5)^0,5

Не поняла Ваш алгоритм.
Я предполагала такой алгоритм.

(0) Имеем вписанный в окружность (радиуса единица, естественно) равносторонний шестиугольник.
Нулевое приближение длины окружности сумма шести единиц.

(1) Рассматриваем первое приближение. Преобразуем шестиугольник естественным образом в равносторонний двеннадцатиугольник. Получаем слагаемых больше, но каждое слагаемое меньше.

-------

(n) И т.д.

Если в Вашей вычислительной системе число разрядов конечно, то на каком -то шаге длина стороны обнулится. Вы будете складывать нулевые слагаемые…..


http://docs.google.com/Doc?id=dfhrxzng_18cwst6w


> http://docs.google.com/Doc?id=dfhrxzng_18cwst6w

Изложите не сумбурно, а по порядку. Исходные данные, вычисления, получаемые данные, выводы.
У Вас "Смешались в кучу кони, люди ...". :)



> > http://docs.google.com/Doc?id=dfhrxzng_18cwst6w

> Изложите не сумбурно, а по порядку. Исходные данные, вычисления, получаемые данные, выводы.
> У Вас "Смешались в кучу кони, люди ...". :)

Да чего излагать - у него там куча абсолютно точных значений π и все разные.
Все эти представления таковы, что из них следует, что π не является числом трансцендентным - оно алгебраическое, более того оно содержится в короткой цепочке радикальных расширений степени два - отсюда неудивительно, что и квадратура круга у него разрешима.
Ну по части формул для π могу предложить очень простую, хотя и не смею утверждать, что она абсолютно точная:
π = √2 + √3
Проверьте на калькуляторе :)


> http://docs.google.com/Doc?id=dfhrxzng_18cwst6w

Приведенное в сочинении "доказательство" состоит в том, что, если вычислить периметр некоего треугольника (с катетами 2 и 1), и умножить его на 6/10, то получим число, близкое к π. Никаких аргументов для обоснования того, что полученная величина, совпадающая с π до третьего знака, действительно имеет какое-то отношение к длине окружности или какой-то иной проблеме, связанной с числом π, автор не приводит.
Стиль мышления автора лучше всего характеризует цитата из него: "Не знаю есть ли такая теорема, но я ее пользую."


[Перенесено модератором из форума "Форум по математике"]

Сообщение №21684 от lafaet 27 июля 2007 г. 14:44
Тема: Математика круга

http://docs.google.com/Doc?id=dfhrxzng_18cwst6w

Отклики на это сообщение:

> http://docs.google.com/Doc?id=dfhrxzng_18cwst6w

Вас, Лалетин, заело, как испорченную пластинку?
Где доказательства математические Вашей писанины?
Опять в десятый раз засоряете форум повторяющейся не доказанной информацией.



> [Перенесено модератором из форума "Форум по математике"]

> Сообщение №21684 от lafaet 27 июля 2007 г. 14:44
> Тема: Математика круга

http://docs.google.com/Doc?id=dfhrxzng_18cwst6w
>

> Отклики на это сообщение:

> http://docs.google.com/Doc?id=dfhrxzng_18cwst6w

> Вас, Лалетин, заело, как испорченную пластинку?
> Где доказательства математические Вашей писанины?
> Опять в десятый раз засоряете форум повторяющейся не доказанной информацией.

У некоторых народов знак Пай, то же пи, носят на золотой цепочке у сердца потому что это божественный символ, божество. А Вы хотите что бы я Вам предоставил доказательства, что бы Вы их потрогали. / Род не верный ищет знамения, и знамение ему не дастся/ Высшее познание дается только на веру, так что молитесь, что бы не оскудела вера Ваша. С ув. Лалетин А.П.


> > Где доказательства математические Вашей писанины?
> > Опять в десятый раз засоряете форум повторяющейся не доказанной информацией.
> Вы хотите что бы я Вам предоставил доказательства, что бы Вы их потрогали. / Род не верный ищет знамения, и знамение ему не дастся/ Высшее познание дается только на веру, так что молитесь, что бы не оскудела вера Ваша. С ув. Лалетин А.П.

Я все удивлялся Вашей неадекватности.
Оказывается, удивляться больше нечему.

Вам на теологический форум. И не засоряйте более форумы точных наук.


[Перенесено модератором из форума "Форум по математике"]

Сообщение №25059 от persicum 08 июня 2008 г. 17:48
Тема: Цепные дроби. Игры с калькулятором

Как известно из популярной литературы, для чисел e и π существует много способов представления их в виде цепных дробей, из которых самые эстетические, видимо

e-2 = 1/(1+1/(2+2/(3+3/(4+4/(5+5/(....
π-3 = 1/(6+9/(6+25/(6+49/(6+81/(6+121/(....

Конечно, можно проверить истинность этих разложений, если начинать шагать откуда-нибудь из глубины,
и потом сравнить полученный результат с числами e и π.

Но гораздо интереснее получить элементы цепных дробей исходя из заданных наперед с некоторой точностью самих иррациональных чисел.

Для e-2 алгоритм следующий

шаг1 x:=e-2
шаг2 x:=(x-[x])/[x]
шаг3 x:=1/x
шаг4 goto шаг2

Выполняем эти шаги на калькуляторе и наслаждаемся рядом натуральных чисел 1,2,3,4,5...
который возникает как целая часть дробных чисел.

А вот как проделать тоже самое с π, это вопрос...

Отклики на это сообщение:

> шаг1 x:=e-2
> шаг2 x:=(x-[x])/[x]
> шаг3 x:=1/x
> шаг4 goto шаг2

правильнее так: =)))

шаг1 x:=e-2
шаг2 x:=1/x
шаг3 x:=(x-[x])/[x]
шаг4 goto шаг2

Ух ты, наконец я понял, как такой фокус проделать для pi .
А до сих пор я даже не был уверен, что такое возможно...


Поскольку задача обнаружения закономерностей в числе ПИ при разложении в цепную дробь на калькуляторе видимо имеет много решений, то заинтересованных лиц прошу не останавливаться и постить сюда свои варианты.

В тоже время, при разложении ПИ в каноническую "аликвотную" цепную дробь она подчиняется закону Чинчина, так что тут закономерностей быть не может.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100