Функциональный анализ

Сообщение №9486 от 04 декабря 2003 г. 11:36
Тема: Функциональный анализ


Отклики на это сообщение:

Дан оператор
A:С[0;1] -> C[0;1]
Ax(t)=x(0)+tx(1)
Найти сопряженный с А оператор, т.е. A* .

Т.е g(Ax)=(A*g)x
x(0) и x(1) представляем через меру Дирака(или дельта функцию).
Далее по теореме Рисса
g(Ax)=интеграл{ x(0)+tx(1) }dp , где dp некоторя мера индуцированная g.

Далее не могу привести к виду (A*g)x.

Заранее спасибо.
03 декабря 2003 г. 20:06:


> Т.е g(Ax)=(A*g)x
> x(0) и x(1) представляем через меру Дирака(или дельта функцию).
> Далее по теореме Рисса
> g(Ax)=интеграл{ x(0)+tx(1) }dp , где dp некоторя мера индуцированная g.

> Далее не могу привести к виду (A*g)x.

(A*g)x= x(0)g(f_1)+x(1)g(f_2), где функция f_1 - константа, равная 1: f_1=1 и
функция f_t определена как f_2(t)=t. Следует из
(g(Ax))(t)=g(x(0))(t)+g(tx(1))(t)=x(0) g(f_1)+x(1)g(f_2) (просто по линейности g). Мера, ассоциированная с g, неважна.


Функциональный анализ
Здравствуйте! Очень нужен учебник Колмогорова и др. Введение в функциональный анализ... В электронном виде, хотя бы первые главы (до теоремы Хана-Баннаха). У кого есть, пришлите, plz!!! donsergio@avtoritet.ru
09 января 2004 г. 11:07:



Верно ли, что любая функция от нескольких аргументов, определённая на конечном множестве, представима в виде суперпозиции конечного числа двухместных функций?
31 июля 2004 г. 23:43:



В спектральной теории лин. операторов (конечном. случай) наткнулся на сравнительно общую теорему, которая никак не укладывается в голове. Потому решил обратиться за помощью к учасникам этого форума =))
1.Прелюдия
Пусть {Pk(x)},0Ясно, что Ker Q(A) = Ker P1(A)+...+Ker Pm(A)
2.Теорема
Если аннулирующий полином P(x) оператора А каким-нибудь образом разложен на множители:
P(x)=П Pk(x),k=1,...,m то имеет место разложение пространства
E=Ker P1(A)+...+ Ker Pm(A)

Для попарно взаимно простых полиномов справедливость теоремы очевидна. Но общий случай у меня вызывает подозрение следующего характера. Именно, рассмотрим линейный оператор В такой, что
B^n=0 (иначе говоря В - нильпотентный оператор степени n). Минимальный полином М(х;B) оператора В имеет вид М(x;B)=x^n. Представим его в виде произведения:
M(x;B)=Q(x)*R(x), где Q(x)=x^(n-k),R(x)=x^k, 0Тогда по теореме Е=Ker Q(B)+Ker R(B)= Ker Q(B),(єто видно и непосредственно) поскольку Q(x) - наименьшее общее кратное для полиномов Q(x) и R(x).
Следовательно Q(B)=0 причем deg Q(x)Возможно я ошибаюсь?
PS заранее благодарен за помощь
02 августа 2004 г. 21:29:


> Верно ли, что любая функция от нескольких аргументов, определённая на конечном множестве, представима в виде суперпозиции конечного числа двухместных функций?

Верно.

Без потери общности можно считать, что область определения это { (x_1,...,xn) }, где все xi целые, 0 <= xi < M.
Можно инъективно отобразить всю область определения на прямую. А именно рассмотрим двуместные функции f_i(x,y) = M^i * x + y. Тогда инъективное отображение можно задать суперпозицией:
f_{n-1}(xn,f_{n-2}(...,f_1(x2,x1))...)
Ну а дальше точки прямой можно отобразить куда требуется одноместной функцией (или вырожденной по одному аргументу двуместной).


Помогите решить задачку.
Пусть X - нормированное пространство.
Доказать,что если X*(сопряженное ему) является сепарабельным, то само X - тоже сепарабельно. Если в таком виде трудно - можно немного упростить, дополнительно предположив, что X - банахово
03 апреля 2005 г. 14:19:


> Уважаемые дамы и господа!
Вот есть у нас последовательность a_n, и в гильбертовом пространстве l_2 всех суммируемых в квадрате последовательностей рассматриваются параллелепипед и эллипсоид {x: |x_i| <= a_i} и {|x_1/a_1|^2 + |x_2/a_2|^2 + ... <= 1}.
При каком условии на a_n они будут компактными множествами?
Заранее огромное спасибо.


> > Уважаемые дамы и господа!
> Вот есть у нас последовательность a_n, и в гильбертовом пространстве l_2 всех суммируемых в квадрате последовательностей рассматриваются параллелепипед и эллипсоид {x: |x_i| <= a_i} и {|x_1/a_1|^2 + |x_2/a_2|^2 + ... <= 1}.
> При каком условии на a_n они будут компактными множествами?
> Заранее огромное спасибо.

первое множество не компакт в l_2 в случае когда последовательность a не тривиальна, т.е. сожержит бесконечное кол-во ненулевых элементов:

Возьмем конечный параллелепипед {x: |x_i| \le a_i, 1\le i\le n} при достаточно большом n. Существуют две точки X, Y в нем, растояние между которыми больше, скажем, c_0 = 1/2\|a\|_2 и более того --- с разделенными носителями. Теперь точки вида

X_k = (X, 0, ..., a_k, ...) для четных k\ge n+1
X_k = (0, Y, ..., a_k, ...) для не четных k\ge n+1

дают пример последовательности, любая подпоследовательность которой не сходится в l_2, потому что между четными и не четными растояние как минимум c_0 > 0.

Со вторым множеством, я думаю, сам догадаешься. Счастливо.


> Со вторым множеством, я думаю, сам догадаешься. Счастливо.

А это я поторопился...


> > > Уважаемые дамы и господа!
> > Вот есть у нас последовательность a_n, и в гильбертовом пространстве l_2 всех суммируемых в квадрате последовательностей рассматриваются параллелепипед и эллипсоид {x: |x_i| <= a_i} и {|x_1/a_1|^2 + |x_2/a_2|^2 + ... <= 1}.
> > При каком условии на a_n они будут компактными множествами?
> > Заранее огромное спасибо.

> первое множество не компакт в l_2 в случае когда последовательность a не тривиальна, т.е. сожержит бесконечное кол-во ненулевых элементов:

> Возьмем конечный параллелепипед {x: |x_i| \le a_i, 1\le i\le n} при достаточно большом n. Существуют две точки X, Y в нем, растояние между которыми больше, скажем, c_0 = 1/2\|a\|_2 и более того --- с разделенными носителями. Теперь точки вида

> X_k = (X, 0, ..., a_k, ...) для четных k\ge n+1
> X_k = (0, Y, ..., a_k, ...) для не четных k\ge n+1

> дают пример последовательности, любая подпоследовательность которой не сходится в l_2, потому что между четными и не четными растояние как минимум c_0 > 0.

Прошу прощения, это, конечно, не пример.


> Помогите решить задачку.
> Пусть X - нормированное пространство.
> Доказать,что если X*(сопряженное ему) является сепарабельным, то само X - тоже сепарабельно. Если в таком виде трудно - можно немного упростить, дополнительно предположив, что X - банахово
> 03 апреля 2005 г. 14:19:

Пусть K будет единичный шар в X^*, тогда, согласно теореме Банаха-Алаоглу это будет компакт в *-слабой топологии, более того, согласно гипотезе, это будет сепарабельный компакт. Теперь пространство X можно рассмотреть как подпространство в C(K) (=пространство непрерывных функций на компакте). Несомненно, C(K) сепарабельно, т.к. K таковое, и следовательно X тоже сепарабельно, как подпространство. Вроде вот так должно работать.


Да догадался уже, про всё догадался.))
но всё равно - спасибо!!))


Пусть Х - некоторое банахово, то есть полное, нинейное нормированное пространство, причём сопряжённое к нему пространство Х*, то есть пространство всех линейных ограниченных функционалов на Х, сепарабельно. Как доказать, что и само пространство Х сепарабельно?
Заранее спасибо.


> Пусть Х - некоторое банахово, то есть полное, нинейное нормированное пространство, причём сопряжённое к нему пространство Х*, то есть пространство всех линейных ограниченных функционалов на Х, сепарабельно. Как доказать, что и само пространство Х сепарабельно?
> Заранее спасибо.

Пусть K будет единичный шар в X^*, тогда, согласно теореме Банаха-Алаоглу это будет компакт в *-слабой топологии, более того, согласно гипотезе, это будет сепарабельный компакт. Теперь пространство X можно рассмотреть как подпространство в C(K) (=пространство непрерывных функций на компакте). Несомненно, C(K) сепарабельно, т.к. K таковое, и следовательно X тоже сепарабельно, как подпространство. Вроде вот так должно работать.


Ага. Нетривиально!
Спасибо огромное!))


А как показать, что пространство, сопряжённое к сепарабельному нормированному пространству, слабо сепарабельно, то есть обладает таким счётным подмножеством, что каждая точка сопряжённого пространства есть слабый предел последовательности элементов этого подмножества?
Заранее спасибо.


ПОМОГИТЕ ПЛИЗ!!!
надо привести пример ИНЮКТИВНОЙ функции. Облазил нет - нигде такого не нашол.
Уже даже не знаю что делать :(
если кто знает, что енто такое, хоть киньте ссылку мне на мыло, где про такое можна почитать.

ЗАРАНЕЕ БЛАГОДАРЕН
11 мая 2005 г. 15:54

--------------------------------------------------------------------------------
Re: Инюктивная функция по дискретной математике
catus marinus
11 мая 17:59
В ответ на №15064: Инюктивная функция по дискретной математике от NeoFlash , 11 мая 2005 г.:
> ПОМОГИТЕ ПЛИЗ!!!
> надо привести пример ИНЮКТИВНОЙ функции. Облазил нет - нигде такого не нашол.
> Уже даже не знаю что делать :(
> если кто знает, что енто такое, хоть киньте ссылку мне на мыло, где про такое можна почитать.
Почитать можна, тока нада пральна нописать название=)
Инъективная функция (отображение и т.п.) или инъекция - то, которое различным аргументам ставит в соответствие различные значения. Напр. sqr: x -> x^2 инъективно на отрезке [0, 1], но не является таким на [-1, 1], т.к. sqr(-1) = sqr(1). Еще пример: перестановки первых n натуральных чисел {1, 2, ..., n} - можно рассматривать как (инъективные) отображения мн-ва {1, 2, ..., n} в себя.



Легко видеть, что если А - самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве над полем комплексных чисел, то, каким бы ни был ветор х, число (Ах, х) вещественно. А как показать обратное?
Заранее спасибо.


> Легко видеть, что если А - самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве над полем комплексных чисел, то, каким бы ни был ветор х, число (Ах, х) вещественно. А как показать обратное?
> Заранее спасибо.

А разве обратное справедливо?


Говорят, да. Хотя я буду рад и контрпримеру!!!!


> Говорят, да. Хотя я буду рад и контрпримеру!!!!

В формулировке задачи для шибко грамотных (типа меня :)) надо было явно написать, что оператор определен на всем гильбертовом пространстве. Я неаккуратно додумал формулировку "каким бы ни был вектор х из области определения А". Когда область определения не совпадает со всем пространством, то по-видимому пример можно придумать

Если же совпадает... Сопряженный существует с той же областью определения, остаточного спектра нет, весь спектр на действительной оси. А и А* различаются на антисамосопряженный (?), у которого единственное собственное значение нулевое. Наверное, какими-то хитроватыми манипуляциями с векторами, на которые эта разность действует, можно показать, что это, в действительности, нулевой оператор.


а есть ли аналоги дифференциальных k-форм в функциональном анализе? спасибо


> а есть ли аналоги дифференциальных k-форм в функциональном анализе? спасибо

В каком смысле аналоги? Дифференциальные формы они были, есть и будут есть=)


Здравствуйте, уважаемые дамы и господа!
Есть такое задание: "Доказать, что в пространстве R(X,r),где r-метрика, существует замкнутое ограниченное множество, не являющееся компактом.
И ещё вопрос - является ли интервал замкнутым множеством?

Заранее большое спасибо!
29 мая 2005 г. 22:32:



Мои идеи по решению данной задачи - показать пример, например Гильбертово пространство L2, которое является ограниченным, но не вполне ограниченным - этого достаточно для доказательства.
Но у меня есть некоторые проблемы с теорией - для доказательства нужно показать, что существования не вполне ограниченных, но ограниченных множеств (или пространств, не суть) достаточно для решения! Но это предположение опирается на теорему - "Метрическое пространство является компактным тогда и только тогда, когда оно замкнутое и вполне ограниченное". Это по Зоричу, но там такая теорема не доказана. У меня есть другая - "Метрическое пространство является компактным тогда и только тогда, когда оно полное и вполне ограниченное". Она доказана в учебнике Яковлева "Функциональный анализ". Так вот, как перейти через эту теорему к Зоричевской? И вообще, может кто-нибудь выложит текст или даст ссылку, где этот вопрос рассмотрен подробнее?


> Мои идеи по решению данной задачи - показать пример, например Гильбертово пространство L2, которое является ограниченным, но не вполне ограниченным - этого достаточно для доказательства.
> Но у меня есть некоторые проблемы с теорией - для доказательства нужно показать, что существования не вполне ограниченных, но ограниченных множеств (или пространств, не суть) достаточно для решения! Но это предположение опирается на теорему - "Метрическое пространство является компактным тогда и только тогда, когда оно замкнутое и вполне ограниченное". Это по Зоричу, но там такая теорема не доказана. У меня есть другая - "Метрическое пространство является компактным тогда и только тогда, когда оно полное и вполне ограниченное". Она доказана в учебнике Яковлева "Функциональный анализ". Так вот, как перейти через эту теорему к Зоричевской? И вообще, может кто-нибудь выложит текст или даст ссылку, где этот вопрос рассмотрен подробнее?

Нужно искать что-то типа "критерии компактности". Этих критериев много, некоторые из них относится к частным случаям, напр., компактности в C(X): лемма Арцела-Асколи.
Если же нужно просто привести пример ограниченного, но не вполне ограниченного множества в метрическом пространстве (МП), то достаточно взять шар в любом(!) бесконечномерном нормированном (следовательно, и метрическом) пространстве - он как раз и не будет вполне ограниченным. Простой пример - множество функций в C[0, 1], не превосходящих по норме 1 (||x||_C = max{|x(t)| : 0 <= t <= 1}):
http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/book.16.pdf.zip - стр. 14, Вполне ограниченные множества в МП.


Уважаемые дамы и господа!
Помогите, пожалуйста.
Пусть оператор A действует
а) из C(R) в C(R);
б) из C[0,+ \infty) в C[0,+ \infty)

по правилу Ax(t) = x(t + h), где h - фиксированное положительное вещественное число.
При этом под C(R) понимается пространство всех непрерывных ограниченныз функций с нормой, равной супремуму значений на числовой прямой (аналогичный смысл вкладывается и в C[0,+ \infty)), причём сами функции могут быть и комплекснозначными.
Каковы собственные векторы и собственные значения оператора А?
Заранее спасибо.


> Уважаемые дамы и господа!
> Помогите, пожалуйста.
> Пусть оператор A действует
> а) из C(R) в C(R);
> б) из C[0,+ \infty) в C[0,+ \infty)

> по правилу Ax(t) = x(t + h), где h - фиксированное положительное вещественное число.
> При этом под C(R) понимается пространство всех непрерывных ограниченныз функций с нормой, равной супремуму значений на числовой прямой (аналогичный смысл вкладывается и в C[0,+ \infty)), причём сами функции могут быть и комплекснозначными.
> Каковы собственные векторы и собственные значения оператора А?
> Заранее спасибо.

Насколько я понимаю, А - это оператор трансляции. Подобные операторы возникают в теории движения электрона в периодическом поле решетки. Собственные векторы - блоховские волновые функции.


В обоих случаях собственными функциями будут все функции вида:
exp(a*t) (1)
с собственными значениями exp(a*h). Где a - любое комплексное число.

В дальнейшем не уверен до конца.
Мне кажется, что этим исчерпываются все собственные функции оператора, так как система функций (1) полна (в этом не уверен) в заданных пространствах.


> В обоих случаях собственными функциями будут все функции вида:
> exp(a*t) (1)
> с собственными значениями exp(a*h). Где a - любое комплексное число.

> В дальнейшем не уверен до конца.
> Мне кажется, что этим исчерпываются все собственные функции оператора, так как система функций (1) полна (в этом не уверен) в заданных пространствах.
Вы не правы. Я сам решил.
В первом случае собственными значениями будут числа exp{i*s}, где s - вещественное число, а собственными функциями - функции вида
x(t) = y(t)*exp{i*s*t/h}, где y(t) - любая h-периодическая функция.
Во втором случае собственными значениями будут числа p*exp{i*s}, где s, p - вещественные числа, 0 <= p <= 1, а собственными функциями - функции вида
x(t) = y(t)*p^{t/h}*exp{i*s*t/h}, где y(t) - любая h-периодическая функция.


Давайте проверим
x(t)=exp{a*t};
Ax(t)=exp{a*(t+h)}=exp{a*h}exp{a*t}=lamda*x(t); lamda=exp{a*h}.
Вроде правильно? Или я где-то наврал?
Если наврал, скажите где. Истина дороже.)))


Так нет, я просто говорю, что класс собственных функций шире, чем Вы утверждаете.


На самом деле я думаю что у нас ответы одинаковые.
То есть нужно привести всё к одинаковому виду.
Просто нужно вашу y(t) разложить в ряд Фурье и воспользоваться тем,
что exp{2*pi*k*i}=1, k - целое. Во втором случае p^t=exp{ln(p)*t}.
А почему стоит ограничение на p: 00, понятно.

Интересно, как выглядит ваше решение. Я свои СФ просто угадал.)))


> > а есть ли аналоги дифференциальных k-форм в функциональном анализе? спасибо

> В каком смысле аналоги? Дифференциальные формы они были, есть и будут есть=)

окей, значит функциональная k-форма - это k-линейный антисимметричный функционал на k-функциях?


Уважаемые добрые люди!
Подскажите, пожалуйста, как доказывается лемма о почти перпендикуляре!
Суть её в следующем. Пускай Y - произвольное замкнутое подпространство линейного нормированного пространства Х, не совпадающее с ним самим. Тогда для каждого t > 0 найдётся такой единичный вектор х из Х, что для всех у из Y
||y - x|| >= 1 - t.
Заранее спасибо.


Господа!
А вот такой ещё вопрос.
Вот пусть А, В - произвольные (не обязательно ограниченные) линейные операторы из Н в Н, где Н - (полное) гильбертово пространство, причём
(Ах, у) = (х, Ву)
для любых векторов х и у из Н;
другими словами, будь А ограниченным, так В сразу же был бы его сопряжённым
Как показать, что А - И ВПРЯМЬ ограниченный?!!!
Или, быть может, это и не так вовсе?
Заранее спасибо.


> Господа!
> А вот такой ещё вопрос.
> Вот пусть А, В - произвольные (не обязательно ограниченные) линейные операторы из Н в Н, где Н - (полное) гильбертово пространство, причём
> (Ах, у) = (х, Ву)
> для любых векторов х и у из Н;
> другими словами, будь А ограниченным, так В сразу же был бы его сопряжённым
> Как показать, что А - И ВПРЯМЬ ограниченный?!!!
> Или, быть может, это и не так вовсе?
> Заранее спасибо.

Если не ошибаюсь, неограниченный оператор не может быть всюду на H определен. Значит A ограничен.


> > Господа!
> > А вот такой ещё вопрос.
> > Вот пусть А, В - произвольные (не обязательно ограниченные) линейные операторы из Н в Н, где Н - (полное) гильбертово пространство, причём
> > (Ах, у) = (х, Ву)
> > для любых векторов х и у из Н;
> > другими словами, будь А ограниченным, так В сразу же был бы его сопряжённым
> > Как показать, что А - И ВПРЯМЬ ограниченный?!!!
> > Или, быть может, это и не так вовсе?
> > Заранее спасибо.

> Если не ошибаюсь, неограниченный оператор не может быть всюду на H определен. Значит A ограничен.


Очень интересное последнее утверждение. Пожалуйста, подробнее. Возможно, поможет теорема Хеллингера-Тёплица.


> Уважаемые добрые люди!
> Подскажите, пожалуйста, как доказывается лемма о почти перпендикуляре!
> Суть её в следующем. Пускай Y - произвольное замкнутое подпространство линейного нормированного пространства Х, не совпадающее с ним самим. Тогда для каждого t > 0 найдётся такой единичный вектор х из Х, что для всех у из Y
> ||y - x|| >= 1 - t.
> Заранее спасибо.

Если еще актуально=) Subj также известен как "лемма Рисса о макушке". Для доказательства можно применить следствие из теоремы Хана-Банаха, которое утверждает, что для любого x, не принадлежащего замыканию Y, найдется непрерывный линейный функционал f:X->R со свойствами: f(Y)={0}, ||f||=1/||x||, f(x)=1.
Рассмотрим |f(x)-f(y)|/||x- y||, где y из Y, ||x||=1, x из X\Y.
f(y)=0 => |f(x)-f(y)|/||x-y|| = 1/||x-y|| =< 1, т.к. ||f|| = sup{|f(x)-f(y)|/||x-y|| : x!=y} = 1. Следовательно, 1/inf{||x-y|| : ||x||=1, x из X\Y, y из Y} =< 1, т.е.
inf{||x-y|| : ||x||=1, x из X\Y, y из Y} >= 1. Теперь от противного: пусть существует t > 0, такое что для любого x (||x||=1, x из X\Y) найдется y_t из Y, что ||x-y_t|| < 1-t. Если в последнем неравенстве перейти к inf по x, получим противоречие:
1 =< inf{||x-y|| : ||x||=1, x из X\Y, y из Y} =< inf{||x-y_t|| : ||x||=1, x из X\Y} < 1-t.


> > > Господа!
> > > А вот такой ещё вопрос.
> > > Вот пусть А, В - произвольные (не обязательно ограниченные) линейные операторы из Н в Н, где Н - (полное) гильбертово пространство, причём
> > > (Ах, у) = (х, Ву)
> > > для любых векторов х и у из Н;
> > > другими словами, будь А ограниченным, так В сразу же был бы его сопряжённым
> > > Как показать, что А - И ВПРЯМЬ ограниченный?!!!
> > > Или, быть может, это и не так вовсе?
> > > Заранее спасибо.

> > Если не ошибаюсь, неограниченный оператор не может быть всюду на H определен. Значит A ограничен.

>
> Очень интересное последнее утверждение. Пожалуйста, подробнее. Возможно, поможет теорема Хеллингера-Тёплица.

Попытался разобраться в вопросе, но к однозначному выводу не пришел. Были использованы следующие источники информации:

1. Фрагменты конспекта лекций по функциональному анализу =)
По иронии судьбы, именно лекция посвященная (не)ограниченности операторов, в частности теореме Хеллингера-Тёплица, была законспектирована не с начала, а прямо с утверждения: "Если оператор A всюду определен и неограничен, то A^* не плотно задан". Это, равно как и самая формулировка теоремы Хеллингера-Тёплица, наводит на мысль, что такие патологические операторы все же существуют. Тем не менее, учитывая, что сопряженный оператор (B) в рассматриваемом случае определен везде (т.е. задан "более чем плотно"=), заключаем, что A ограничен.

2. А вот что говорит буржуйская математическая энциклопедия. Первое предложение утверждает буквально следующее:
"If a linear operator is defined on all of a Hilbert space then it is necessarily bounded".
Что в переводе на русский означает:
"Если линейный оператор определен на всем гильбертовом пространстве, то он с необходимостью ограничен".

Как же обстоит дело в действительности? - Просветите пожалуйста, не дайте помереть дураком.


> > > а есть ли аналоги дифференциальных k-форм в функциональном анализе? спасибо

> > В каком смысле аналоги? Дифференциальные формы они были, есть и будут есть=)

> окей, значит функциональная k-форма - это k-линейный антисимметричный функционал на k-функциях?

Видимо, да. В самой алгебраической конструкции нет разницы из какого именно линейного пространства берутся векторы. И еще, дифференциальные формы - это не просто произвольные антисимметричные полилинейные отображения, а специальным образом сооруженные из производных. Хорошая книга в тему: А. Картан, Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы.


> Видимо, да. В самой алгебраической конструкции нет разницы из какого именно линейного пространства берутся векторы. И еще, дифференциальные формы - это не просто произвольные антисимметричные полилинейные отображения, а специальным образом сооруженные из производных. Хорошая книга в тему: А. Картан, Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы.

да точно, форма должна быть инвариантом при замене функционального базиса аналога замены координат в обычной топологии. так?


> да точно, форма должна быть инвариантом при замене функционального базиса аналога замены координат в обычной топологии. так?

"Не асилил"=) Форма-то она вроде как определяется без привязки к координатам (и в этом смысле, инвариантно), но я не понимаю, что значит "функциональный базис аналог замены координат в обычной топологии", это про карты и многообразия что-ли "или где"? =)


Спасибо огромное, но уже, увы, неактуально!))))
я экзамен на пятёрку сдал!)))))))))))))))))))))))))))


> > Уважаемые добрые люди!
> > Подскажите, пожалуйста, как доказывается лемма о почти перпендикуляре!
> > Суть её в следующем. Пускай Y - произвольное замкнутое подпространство линейного нормированного пространства Х, не совпадающее с ним самим. Тогда для каждого t > 0 найдётся такой единичный вектор х из Х, что для всех у из Y
> > ||y - x|| >= 1 - t.
> > Заранее спасибо.

> Для доказательства можно применить следствие из теоремы Хана-Банаха, которое утверждает, что для любого x, не принадлежащего замыканию Y, найдется непрерывный линейный функционал f:X->R со свойствами: f(Y)={0}, ||f||=1/||x||, f(x)=1.
> ... Если в последнем неравенстве перейти к inf по x, получим противоречие:
> 1 =< inf{||x-y|| : ||x||=1, x из X\Y, y из Y} =< inf{||x-y_t|| : ||x||=1, x из X\Y} < 1-t.

Это конечно хорошо, но неправильно в выделенной части - похоже так противоречие не получается. Надо исправить.


> Спасибо огромное, но уже, увы, неактуально!))))
> я экзамен на пятёрку сдал!)))))))))))))))))))))))))))

Молодца, congratulations! =) Тогда (пока ты все не забыл=) помоги пожалста прояснить ситуацию с неограниченным оператором, в соседнем посте, а то у меня выходной можно сказать пропал: бессонница, отказ от еды, горячий сухой нос и т.п.=)


По-моему, это назвается лемма Рисса.

Пусть есть замкнутое подпросранство L в банаховом пространстве (B,|.|).
Возмём произвольный лемент x in B\L.
Не изменяя общности, будем считать |x|=1;
d0:=d(x,L)=inf{|x-u|: u in L}.
Верно неравенство 0 < d0 <= 1.
Так как L замкнуто, то найдётся элемент v (вообще говоря, не единственный),
на котором достигается инфинум.
Рассмотрим элемент y=(x-v)/|x-v|. Очевидно, |y|=1.
d(y,L)=inf{|y-u|:u in L}=inf{|x-v-u*d0|:u in L}/d0=d0/d0=1>1-t, t>0.
Чтобы получить менее строгое неравенство, нужно "испортить" элемент y
возмём элемент z=s*x+(1-s)*y. Подберём нужное значение параметра s: s<0.5.
d(z,L)=inf{|z-u|}>=inf{|(1-s)*|y-u|-s*|x-u||}=1-s-s*d0;
|z|=|s*x/|x|+(1-s)*y|<=1(Использваны нер-ва треугольника: прямое и обратное).
получим d(z/|z|,L)>=(1-s(1+d0))=1-t, t=s*(1+d0)

Примерно так.
Восстанавливал по памяти, так что не обессудьте.


Ну вот, ради чего старался?((((((


> > да точно, форма должна быть инвариантом при замене функционального базиса аналога замены координат в обычной топологии. так?

> "Не асилил"=) Форма-то она вроде как определяется без привязки к координатам (и в этом смысле, инвариантно), но я не понимаю, что значит "функциональный базис аналог замены координат в обычной топологии", это про карты и многообразия что-ли "или где"? =)

я понял, и вы действительно правы, что в любом случае совершенно не важно на каком модуле над кольцом задана полинейная форма


Ага)))))))))))
Ну, как решается-то задачка я выяснил.
Она это делает следующим образом.
Предположим А неограниченным, тогда существует такая последовательность x_n единичных векторов, для которых ||Ax_n|| > n.
Рассмотрим последовательность линейных функционалов на Н вида
f_n(y) = (Ax_n, y).
Поскольку |f_n(y)| = |(Ax_n, y)| <= ||Ax_n||*||y||,
то это ограниченные функционалы, то есть f_n лежат в Н* для любого n.
Кроме того,
|f_n(y)| = |(x_n, By)| <= ||By||,
то есть эта последовательность функционалов поточечно ограничена, а пространство Н полно, поэтому, в силу принципа равномерной ограниченности Банаха-Штейнгауза, она будет и равномерно ограничена, то есть
sup ||f_n|| = ||Ax_n|| < \infty,
что глупо.
Это спасёт Вас от гибели?))


> Ага)))))))))))
> Ну, как решается-то задачка я выяснил.
> ...
> Это спасёт Вас от гибели?))
Да стало получше=) Но я спрашивал не об этой задаче (с ней вроде, так или иначе, все ясно), а об этой двусмысленности с неограниченными операторами.


Господа!

Подскажите, пожалуйста, каков спектр (остаточный/непрерывный)
оператора предбразования Лапласа (в пр-ве "хороших" функций)

L: f(t) -> g(p),

g(p) = \int_0^{\infty} f(t) exp{-p t} dt,

а также как строго доказывается интуитивно ощущаемый факт
отсутствия точечного спектра (собственных значений)?
Т.е. просто почему нет функции, переводимой L в себя?

Спасибо.


известно, что дифференциал объема пространства целой размерности равен произведению базисных 1-форм, например, ω=dx¹/\dx²/\dx³ (3-форма);

а как выглядит k-форма, если k - дробное? и есть ли такое представление вообще?
чую, что связано это с функаном напрямую, например, с операторами дробной производной
подскажите, спасибо


См. Богачёв. Теория меры.
1. Пусть в пространстве R^n дана мера m(.).
2. Мера продолжена по Лебегу. обозначим продолжение также через m(.).
3. Введем в рассмотрение семейство мер Хаусдорфа (по памяти)
(1) v_h(A)=inf{sum([m(C_k)]^(h/n))|A is part of union(C_k,k=1..n)}
4. Далее можно показать, что есть число h_0 со свойством
v_h(A)=0 , h>h_0
v_h(A)=+inf , h_0>h
Это число называется размерностью Хаусдорфа для множества A.
(Насколько я помню и понимаю v_h_0(A) не обязана быть конечной)
5. Касаемо вашего вопроса, как можно говорить о дифференциале на негладком множестве? Если вас интересует плотность меры (1) относительно меры Лебега, то это нечто похожее на дельта функцию. Насколько я понимаю весь аппарат внешних форм применяется только для гладких (как правило, бесконечногладких) многообразий.

Хотя быть может такое и имеется в наличии.
Если кто знает, пишите!


Теорема 2 (Кантор, 1873). Множество Q рациональных чисел счетно.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим сначала множество Q+ всех положительных рациональных
чисел: Q+={x Q| x > 0}. Каждое такое число можно представить в виде несократимой
дроби m/n, где m и n - натуральные числа. Выпишем сначала все дроби с суммой
числителя и знаменателя m+n, равной 2 (меньше не может быть), затем все, у
которых m+n=3, далее такие, где m+n=4 и т.д. Получаем:

1/1;1/2;2/1;1/3;3/1;1/4;2/3;3/2;4/1; и т.д.

Понятно, что рано или поздно мы доберемся до любого положительного рационального
числа.
Итак, множество Q+ представлено в виде бесконечной последовательности по типу
натурального ряда, и значит, является счетным. Действуя теперь, как при
перечислении целых чисел: Z={0, 1, -1, 2, -2, ... }, перенумеруем все
рациональные числа:


Этим завершается доказательство.
-----------------------------------------
Ага.. Угу..

Теорема 2прим (Шелковенко, 2005 ;-( ). Множество Q рациональных чисел несчетно.
Рассмотрим числовой ряд

1/1; 1/2; 1/3; 1/4; 1/5; 1/6; 1/7; 1/8 и теде.

Если приглядеться к знаменателю, то можно увидеть, что это ряд натуральных чисел.
Следовательно каждому члену ряда поставлено в соответствие натуральное число и наоборот.
Таким образом рациональному числу 2/7 например уже невозможно поставить в соответствие никакое натуральное число.
Таким образом множество рациональных чисел несчетно, чтд.
------------------------------------------

Честно говоря я ни черта не понял.. ;(((
Где засада-то?

WBR, Andrew
24 августа 2005 г. 20:32

--------------------------------------------------------------------------------
Re: Множество Q рациональных чисел несчетно.
diakin
24 августа 22:44
В ответ на №15868: Множество Q рациональных чисел несчетно. от diakin , 24 августа 2005 г.:
Ну, в общем, то что у меня - это не доказательство.. Не знаю как у Кантора ;-\
Получается ерунда.
Возьмем
1-1
2-12
3-123
4-1234
...
Все номера 1,2,3,4,5... и т.д. заняты числами и на число 21 свободного номера нет.
Следовательно множество натуральных чисел - несчетно.
Ага..
WBR, Andrew


Неверно. Вспомните определение равномощности: два множества равномощны, если СУЩЕСТВУЕТ взаимно-однозначное отображение между ними. То, что рассмотренная нумерация рациональных чисел (т.е. отображение множества натуральных чисел N во множество Q рациональных чисел) не охватила всех рац. чисел означает лишь, что ЭТО отображение не является взаимно-однозначны. Можно построить другие отображения данных множеств, которые будут взаимно-однозначными. Пример такого отображения был приведен вами в начале поста. Для равномощности этого достаточно.
25 августа 09:37


Вот задачи, которые нам задали решить, но как решить не сказали и бросили на произвол судьбы. В книгах в библиотеках вообще ничего найти нельзя. Не могли бы вы помочь хотя бы какую то часть решить. Буду вам очень благодарна. Только пожалуйста, умоляю обьясняйте чуть чуть понятнее, потому что я в этом вообще ничго не смыслю. Спасибо огромное!!!
Вот задачи:
1.Какова мощность множества всех корней уравнения x5-2x3+x=0.
2.Доказать, что множество всех счетных последовательностей натуральных чисел имеет мощность континуума.
3.Доказать, что если отношения R1 и R2 рефлексивны, то рефлексивны и отношения R1R2, R1R2, R1-1, R1R2.
4.Найти порядок перестановки
(1 2 3 4 5 6 7 8 9)
(3 5 7 9 6 8 1 2 4).
5.Найти смежные классы аддитивной группы целых чисел по подгруппе чисел, кратных данному натуральному числу n ( Z + / nZ ).
6.Построить группу симметрий куба. Каков наивысший порядок циклических подгрупп, содержащихся в ней?
7.Найти натуральное число, меньшее 1000, имеющее наибольшее количество делителей.
8. Пусть p-простое число, p>3. Доказать, что если сравнение
x2 + x + 1 = 0 (mod p)
разрешимо, то p имеет вид 6n +1. Вывести отсюда, что множество
простых чисел вида 6n +1 бесконечно.
10. Будет ли множество Z целых чисел подгруппой аддитивной группы,
a + bi с целыми a и b ?
подкольцом или идеалом в кольце А целых гауссовых чисел, т.е. чисел вида
03 октября 11:16


Никто не подскажет, как записать в виде интеграла Стилтьеса и вычислить с помощью теоремы Рисса для пространства С[0,1] норму функционала
= интеграл от 0 до 1/2(x(t)dt) - интеграл от 1/2 до 1(x(t)dt)


А зачем Вам интеграл Стилтьеса?
А норма считается так. Если я правильно понял, то функционал A переводит функцию x(t) в константу, норма которой в С равна, конечно, самой этой константе. Поскольку
||Ax(t)|| <= ||x(t)||
(очевидно, простое неравенство треугольника, а потом мажорируем интеграл),
то ||A|| <= 1.
В то жек время, при x(t) = 1 - t имеем
||x|| = 1 и ||Ax(t)|| = 1,
так что, окончательно, ||A|| = 1.
Верно?


Вроде, элементарно, а доказать не получается..(

Пусть функция f выпукла на промежутке I (подмножество множества действительных чисел). Показать:
1) что если f не равна постоянной, то она не может достигать своей верхней грани во внутренних точках промежутка I.
2) что если множество I относительно компактно, то f ограничена снизу на I.
3) что если I = R и если f не равна постоянной, то f не ограничена на I.

Заранее спасибо!
01 апреля 2006 г. 20:58


доказать, что любая наперед заданная конечная последовательность из чисел (от 0 до 9) содержится в десятичном представлении любого иррационального числа
11 июля 2006 г. 19:19:



> доказать, что любая наперед заданная конечная последовательность из чисел (от 0 до 9) содержится в десятичном представлении любого иррационального числа
> 11 июля 2006 г. 19:19:


Очевидно, неверна!


> > доказать, что любая наперед заданная конечная последовательность из чисел (от 0 до 9) содержится в десятичном представлении любого иррационального числа
> > 11 июля 2006 г. 19:19:

>
> Очевидно, неверна!

а как, доказать, что, например, в √2 не найдется последовательность из 1234567890?


> > > доказать, что любая наперед заданная конечная последовательность из чисел (от 0 до 9) содержится в десятичном представлении любого иррационального числа
> > > 11 июля 2006 г. 19:19:

> >
> > Очевидно, неверна!

> а как, доказать, что, например, в √2 не найдется последовательность из 1234567890?

А при чем здесь именно корень из 2? Классический пример:
0,101001000100001.... число заведомо иррациональное, но Вашей последовательности не содержит.


> > > доказать, что любая наперед заданная конечная последовательность из чисел (от 0 до 9) содержится в десятичном представлении любого иррационального числа
> > > 11 июля 2006 г. 19:19:

Уберите из вашей постановки задачи слова

«…..содержится в десятичном представлении любого иррационального числа»

и вам сразу легче станет жить.



> > > > доказать, что любая наперед заданная конечная последовательность из чисел (от 0 до 9) содержится в десятичном представлении любого иррационального числа
> > > > 11 июля 2006 г. 19:19:

> > >
> > > Очевидно, неверна!

> > а как, доказать, что, например, в √2 не найдется последовательность из 1234567890?

> А при чем здесь именно корень из 2? Классический пример:
> 0,101001000100001.... число заведомо иррациональное, но Вашей последовательности не содержит.

ну вот и всё
спасибо )))


При обратном преобразовании Лапласа получаем дельта функцию Дирака.
Подскажите. Каков в этом физический смысл. Как корректно ее вычислить.
12 сентября 2006 г. 10:26:


Имеется пространство X, в котором задана функция 2-х аргуметров d:XxX -> R_{+},
являющаяся непрерывной (но не монотонно) и конечной, т.е. d<+infinity.
База определена аналогично метрической как система шаров B(x,epsilon), epsilon>0.
Подразумевая компактность показано, что такое пространство метрикаметризуемо и
новая метрика может быть определена как p=sum_{i}1/2^n*(f(x_i)-f(x_}), где f - функция Урысона. Интересует практическая сторона вопроса.
Может кто-нибудь знает как определить практически зависимость между функциями p и d?
Спасибо
12 сентября 2006 г. 19:51:



Вот выдали задания на контрольную. Вопрос №3 - "Докажите счётность множества всех слов в конечном алфавите и всех конечных подмножеств счётного множества". Насколько я знаю в определении счётного множества чётко написано, что оно должно быть БЕСконечным. В вопросах опечатка или я чего то не понимаю?
16 ноября 2006 г. 02:55:



> Вот выдали задания на контрольную. Вопрос №3 - "Докажите счётность множества всех слов в конечном алфавите и всех конечных подмножеств счётного множества". Насколько я знаю в определении счётного множества чётко написано, что оно должно быть БЕСконечным. В вопросах опечатка или я чего то не понимаю?
> 16 ноября 2006 г. 02:55:

А сколько. по-Вашему, можно составить "слов", пользуясь лишь 2 буквами?



Допустим, дан самый произвольный класс (система подмножеств) какого-то множества.
Дан конечный набор теоретикомножественных операций (включая и "несчётные").
Как доказать, что ВСЕГДА СУЩЕСТВУЕТ класс, содержащий в себе заданный (т.е. "надкласс"), который будет замкнут относительно всего набора операций?
(Я думаю, что существует, потому что: берём класс из условия, применяем ВСЕ операции из набора, к получившемуся классу - опять, и т.д. И за счётное число таких шагов построим требуемый класс. А может, оно всегда конечное? И может, доказать это можно более просто?)
Заранее благодарю за ответ.


Помогите найти доказательства, ПЛЗ!
Приветствую.
Вот что-то не могу никак найти доказательства (ну и тем более сам доказать) двух таких теорем:

1. Функция с ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИЕЙ на отрезке, может обладать не более чем СЧЁТНЫМ множеством тожек разрыва (очевидно 1-го рода).
2. Если производная функции ОГРАНИЧЕНА на отрезке, то её вариация - тоже конечное число...

(Вот если б во 2 шла речь о монотонной, тогда б я сам, а так - ?...).
Лазил по Сети, везде - только ФОРМУЛИРОВКИ... А где скачать д-ва? (Или в какой книге, доступой через Сеть, оно есть? Даже в Колмогоров-Фомин - и то нет.)
Заранее благодарю.
18 декабря 2006 г. 00:24:

-----------------------------------------------------------------------
Сообщение от DimaT
> Кстати, и ещё из той же оперы (последнее).
Если ф-я с ограниченной вариацией на отрезке, то - измерима по Лебегу.
(Ну это я пытался по критерию, но опять, даже для непрерывной, всё сводится к необходимости доказывать счётность множества промежутков монотонности...)
Если не лень, кто знает - хоть просто объясните идею и ход этих доказательств, плз...
18 декабря 2006 г. 01:31:


Дано, что интеграл (Р-С) функции f по ф-и a - существует. Ф-я a - ограниченной вариации, но НЕ ОБЯЗАТЕЛЬНО НЕПРЕРЫВНА. Тогда, следует ли считать, что f обязана быть кусочно непрерывна (все точки разрыва - изолированные, 1 рода), а иначе интеграл может не существует... или нет?


[Перенесено модератором из форума "Форум по математике"]

Сообщение №20490 от Новый 11 февраля 2007 г. 22:14
Тема: Операторы дифференцирования

Уважаемые господа! Не откажите в помощи начинающему.
Начав изучать теорию автоматического управления по учебнику И.В.Мирошника, столкнулся с необходимостью углубления представлений в ряде областей высшей математики. В частности, речь идет об операторах дифференцирования: общем их понятии и способах преобразования дифференциальных уравнений в операторную форму.
В качестве примера приведу сведения, толкования которых вызвали у меня наибольшие затруднения:
«Линейная модель вход выход может быть представлена обыкновенным дифференциальным уравнением:
a0yn + a1 y(n-1) + ….+ a(n-1)y + any = b0um + b1 u(m-1) + ….+ b(m-1)u + bmu;
…. для перевода данной модели в операторную форму введем оператор дифференцирования:
p = d/dt и положим, что pi = d/diti;
С учетом введенных обозначений уравнение легко преобразуется к операторной форме
a(p)y(t) = b(p)u(t),
где используются дифференциальные операторы:
a(p) = a0pn + a1pn-1 + … + an-1p + an,
b(p) = b0pn + b1pn-1 + … + bn-1p + bn.
Оператор a(p) называется характеристическим полиномом дифференциального уравнения…. а дифференциальный оператор b(p) – характеристический полином правой части.».

В списке литературы есть такие источники, как «Математические основы теории систем», «Очерки по математической теории систем». Может быть, там что-то есть. Но все-таки не хотелось бы ловить «котов в мешках».
В учебниках Пискунова и Шипачева нашел только рассмотрение дифференциальных уравнений. Поиск в Интернете также ничего не дал.
Подскажите, пожалуйста, какие источники литературы необходимо использовать, чтобы можно было разобраться в подобных вещах основательно. Может быть, есть ссылки?
Заранее благодарен.

Отклики на это сообщение:

> Уважаемые господа! Не откажите в помощи начинающему.
> Начав изучать теорию автоматического управления по учебнику И.В.Мирошника, столкнулся с необходимостью углубления представлений в ряде областей высшей математики. В частности, речь идет об операторах дифференцирования: общем их понятии и способах преобразования дифференциальных уравнений в операторную форму.
> В качестве примера приведу сведения, толкования которых вызвали у меня наибольшие затруднения:
> «Линейная модель вход выход может быть представлена обыкновенным дифференциальным уравнением:
> a0yn + a1 y(n-1) + ….+ a(n-1)y + any = b0um + b1 u(m-1) + ….+ b(m-1)u + bmu;
> …. для перевода данной модели в операторную форму введем оператор дифференцирования:
> p = d/dt и положим, что pi = d/diti;
> С учетом введенных обозначений уравнение легко преобразуется к операторной форме
> a(p)y(t) = b(p)u(t),
> где используются дифференциальные операторы:
> a(p) = a0pn + a1pn-1 + … + an-1p + an,
> b(p) = b0pn + b1pn-1 + … + bn-1p + bn.
> Оператор a(p) называется характеристическим полиномом дифференциального уравнения…. а дифференциальный оператор b(p) – характеристический полином правой части.».

> В списке литературы есть такие источники, как «Математические основы теории систем», «Очерки по математической теории систем». Может быть, там что-то есть. Но все-таки не хотелось бы ловить «котов в мешках».
> В учебниках Пискунова и Шипачева нашел только рассмотрение дифференциальных уравнений. Поиск в Интернете также ничего не дал.
> Подскажите, пожалуйста, какие источники литературы необходимо использовать, чтобы можно было разобраться в подобных вещах основательно. Может быть, есть ссылки?
> Заранее благодарен.

Ищите на тему "преобразование Лапласа".


[Перенесено модератором из форума "Форум по математике"]

Сообщение №20703 от Fw: vlad7777 07 марта 2007 г. 14:35
Тема: Помогите доказать ортонормированность системы векторов.

Здравствуйте. Помогите разобраться. Как можно доказать ортонормированность системы векторов.

где Δω=2π/N, N - размерность вектора, иными словами
рассматривается дискретный случай системы ортонормированных функций

доказательство ортонормированности функций на отрезке 2π, рассматриваемых как бесконечномерный вектор понятно, нужно теперь перейти к дискретному случаю и доказать ортонормированность системы векторов

Рассматривая скалярное произведение, показать что

для m=n равенство скалярного произведения 1 понятно, как показать для дискретного случая что при m≠n скалярное произведение будет 0?

Отклики на это сообщение:

Кажется теорема не верна :-/
Рассмотрим следующие соотношения из теории чисел

Пологая здесь m= N и a=(k-m) и домножая на 1/N получаем вашу теорему, которая выполняется только когда (k-m) взаимнопросто с N
И кстати, мне всегда казалось, что скалярное произведение это обычная сумма произведений координат векторов, а у вас нормировка и -j почему-то... > И кстати, мне всегда казалось, что скалярное произведение это обычная сумма произведений координат векторов, а у вас нормировка и -j почему-то...

Тут рассматривается вектор из комплексных чисел. При определении скалярного произведения векторов состоящих из комплексных чисел, вторую координату второго вектора нужно брать комплексно-сопряженной (отсюда -j). Это делается дабы не потерять связь между нормой вектора и скалярным произведением - квадрат нормы равен скалярному произведению вектора самого на себя. Потом в принципе, если переходить от N мерного вектора к многомерному, устремим N к ∞ и рассмотрим уже бесконечномерный вектор, вырожденный в функцию и взять интеграл на интервале 2π любой из функций при m≠n ... реально получается 0, при любых m и n при условии m≠n, вот.. а при дискретном ... не знаю, можно ли...показать это или может достаточно доказать что это верно для бесконечномерного вектора и этого хватит, считая N мерный вектор частным случаем бескнечномерного. Хотел написать интеграл произведения ... функций.

Потом в принципе, если переходить от N мерного вектора к многомерному, устремим N к ∞ и рассмотрим уже бесконечномерный вектор, вырожденный в функцию и взять интеграл на интервале 2π любой из функций при m≠n ... реально получается 0, при любых m и n при условии m≠n,

Ну исходя из моего предыдущего поста вроде не должно получатся 0 при N бесконечно большом, но кратном (m-n). Тогда будет как раз 1, а не 0

Кстати у вас там i*j, а не просто i, это что еще такое гиперчисла что-ли? Вроде бы разницы ни какой при подсчете скалярного произведения.

Вообще можно нарисовать круг и в нем корни из единицы n-ой степени. Суммировать и посмотреть что будет при N кратном m-n...

Да еще хотел добавить интеграл произведения функций деленный на интервал интегрирования ... вот. Это соответствует скалярному произведению бесконечномерного вектора (функции в нашем случае)
Да и еще одно когда мы переходим от бесконечного вектора к функции, там получается переход от счетного множества к несчетному, поэтому интеграл на несчетном множестве может равняться нулю, хотя скалярное произведение векторов из бесконечной, но счетной системы может быть и не определенным (взависимости от кратности бесконечного N и (k-n)).
PS Возможно я написал какую-то чушь, особо не думал над этим.

> Кстати у вас там i*j, а не просто i, это что еще такое гиперчисла что-ли? Вроде бы разницы ни какой при подсчете скалярного произведения.

> Вообще можно нарисовать круг и в нем корни из единицы n-ой степени. Суммировать и посмотреть что будет при N кратном m-n...

i - целые числа 0,1,2...N-1 ... j - мнимая единица.
Рисовал круг, на пальцах все сходится... вектора складываются получается ноль. При чем получается так что все сводится к суммированию компл.сопряженных чисел, сумма которых дает числа действительные и чисел симметричных относительно мнимой оси, сумма которых чисто мнимые числа. Общая сумма по действительной и мнимой состовляющей нулевая. Правда я 2 случая рассматривал.

> i - целые числа 0,1,2...N-1 ... j - мнимая единица.

:)) Да это я и подразумевал в рассчетах. Просто уже забыл об этом когда задавал вопрос.


...Хм надо и мне проверить сумму в круге...может где-то ошибка...

Кстати к теореме 1 что у вас выше. Там еще нужно учесть условие что a не превосходит m. Например в случае a=2 и m=6 (кратны). Будет ноль в сумме, если просуммировать по i начиная с 0 и до N-1, имеем три числа 1 + e 2pi/3+e4pi/3= 0 P.S. Пропустил мнимые единицы в показателе экспоненты... > Кстати к теореме 1 что у вас выше. Там еще нужно учесть условие что a не превосходит m. Например в случае a=2 и m=6 (кратны). Будет ноль в сумме, если просуммировать по i начиная с 0 и до N-1, имеем три числа 1 + e 2pi/3+e4pi/3= 0

Брр .. действительно а кратно m только когда a>=m, что в нашей теореме невозможно, поэтому вопрос можно считать закрытым, а теорему 1 доказательством главной теоремы

> Брр .. действительно а кратно m только когда a>=m, что в нашей теореме невозможно, поэтому вопрос можно считать закрытым, а теорему 1 доказательством главной теоремы

Все хорошо. Мне бы теперь доказательство теоремы 1 посмотреть, в таком случае. Я просто не совсем математик, мне это не очевидно. Чтобы литературу не копать. Если есть возможность.

> Все хорошо. Мне бы теперь доказательство теоремы 1 посмотреть, в таком случае. Я просто не совсем математик, мне это не очевидно. Чтобы литературу не копать. Если есть возможность.


http://virlib.eunnet.net/books/numbers/

16-ая лекция

то есть 17-ая

Ок. Спасибо большое. То что нужно.


Подскажите, пожалуйста, где можно найти доказательство (раскрытие) свойств преобразований Лапласа, особенно интересуют следующие:
1. изображением для производной f (n)(x) является функция pnF(p) - pn-1f (0) - pn-2f '(0) -...- pf (n-2)(0) - f (n-1)(0) - изображение производных
2. если F (p) изображения для f (x), то для любого a>0 изображением для f (x-a) является - теорема запаздывания.


Эти задачи куда сложнее чем у меня, НАРОД КТО МОЖЕТ ПОМОЧЬ С ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКОЙ, В ДОЛГУ НЕ ОСТАНУСЬ


>
Помогите,пожалуйста,решить задачу (буду рада любому совету):

1)Доказать, что сепарабельно банахово пространство (X, || ||) рефлексивно тогда и только тогда, когда единичный шар {x принадлежит X | ||x|| <=1 } компактен в слабой топологии.

2)Доказать,что замкнутое подпространство рефлексивного сепарабельного пространста рефлексивно.

Заранее огромное спасибо.


> >
> Помогите,пожалуйста,решить задачу (буду рада любому совету):

> 1)Доказать, что сепарабельно банахово пространство (X, || ||) рефлексивно тогда и только тогда, когда единичный шар {x принадлежит X | ||x|| <=1 } компактен в слабой топологии.

> 2)Доказать,что замкнутое подпространство рефлексивного сепарабельного пространста рефлексивно.

> Заранее огромное спасибо.

интересные задачки. дома погляжу...


[Перенесено модератором из форума "Форум по математике"]

Сообщение №23090 от drevnij 24 декабря 2007 г. 12:35
Тема: Построение сопряженного пространства

Дано линейное пространство V многочленов степени не выше n над R. Можно ли построить сопряженное ему пространство V'?

Отклики на это сообщение:

> Дано линейное пространство V многочленов степени не выше n над R. Можно ли построить сопряженное ему пространство V'?

А не может ли линейное пространство сопряженным самому себе?

> > Дано линейное пространство V многочленов степени не выше n над R. Можно ли построить сопряженное ему пространство V'?

> А не может ли линейное пространство сопряженным самому себе?

Если его базис ортонормирован, вроде бы.


> > > Дано линейное пространство V многочленов степени не выше n над R. Можно ли построить сопряженное ему пространство V'?
> > А не может ли линейное пространство сопряженным самому себе?

> Если его базис ортонормирован, вроде бы.

Как я поняла из исходного сообщения
"Дано линейное пространство V многочленов степени не выше n над R."
ни о какой номированности этого пространства не шло речи.


> > > > Дано линейное пространство V многочленов степени не выше n над R. Можно ли построить сопряженное ему пространство V'?
> > > А не может ли линейное пространство сопряженным самому себе?
> > Если его базис ортонормирован, вроде бы.

> Как я поняла из исходного сообщения
> "Дано линейное пространство V многочленов степени не выше n над R."
> ни о какой номированности этого пространства не шло речи.

Почитал немного статьи по такой "алгебре многомерных пространств". Логика построения достаточно проста. Может быть потому, что уже приходилось программировать с использованием индексированных массивов. Но множество специальных терминов просто убивает. "Ортонормированный базис" - прямоугольная таблица?


Пространство многочленов степени не выше n изоморфно пространству R^{n+1}, по числу коэффициентов данного многочлена. Сопряженное пространство это пространство линейных функций на R^{n+1}. Оно изоморфно (хотя и не канонически) самому R^{n+1}.

Если x=(x_1,...x_m)\in R^m то элемент сопряженного пространства имеет вид
f=(f_1...,f_m) и действует так: f(x)=f_1x_1+...+f_nx_n.


> Пространство многочленов степени не выше n изоморфно пространству R^{n+1}, по числу коэффициентов данного многочлена. Сопряженное пространство это пространство линейных функций на R^{n+1}. Оно изоморфно (хотя и не канонически) самому R^{n+1}.

> Если x=(x_1,...x_m)\in R^m то элемент сопряженного пространства имеет вид
> f=(f_1...,f_m) и действует так: f(x)=f_1x_1+...+f_nx_n.

Спасибо. Я надеялся на какие-нибудь функции от x^n, ну да ладно.


> > > > Дано линейное пространство V многочленов степени не выше n над R. Можно ли построить сопряженное ему пространство V'?
> > > А не может ли линейное пространство сопряженным самому себе?

> > Если его базис ортонормирован, вроде бы.

> Как я поняла из исходного сообщения
> "Дано линейное пространство V многочленов степени не выше n над R."
> ни о какой номированности этого пространства не шло речи.

Правильно. Поэтому говорить о самосопряженности V нельзя, насколько я понимаю.


> > Пространство многочленов степени не выше n изоморфно пространству R^{n+1}, по числу коэффициентов данного многочлена. Сопряженное пространство это пространство линейных функций на R^{n+1}. Оно изоморфно (хотя и не канонически) самому R^{n+1}.

> > Если x=(x_1,...x_m)\in R^m то элемент сопряженного пространства имеет вид
> > f=(f_1...,f_m) и действует так: f(x)=f_1x_1+...+f_nx_n.

> Спасибо. Я надеялся на какие-нибудь функции от x^n, ну да ладно.
Ну не знаю, что конкретно нужно, ну например, в пространстве сопряженном к пространству многочленов степени n можно назначить базис e_0,...e_{n}, который определяется следующим образом:
e_i(P)=\frac{d^iP}{dx^i}(0), где P(x) -- многочлен степени n


> > > Пространство многочленов степени не выше n изоморфно пространству R^{n+1}, по числу коэффициентов данного многочлена. Сопряженное пространство это пространство линейных функций на R^{n+1}. Оно изоморфно (хотя и не канонически) самому R^{n+1}.

> > > Если x=(x_1,...x_m)\in R^m то элемент сопряженного пространства имеет вид
> > > f=(f_1...,f_m) и действует так: f(x)=f_1x_1+...+f_nx_n.

> > Спасибо. Я надеялся на какие-нибудь функции от x^n, ну да ладно.
> Ну не знаю, что конкретно нужно, ну например, в пространстве сопряженном к пространству многочленов степени n можно назначить базис e_0,...e_{n}, который определяется следующим образом:
> e_i(P)=\frac{d^iP}{dx^i}(0), где P(x) -- многочлен степени n
если в качестве e_i взять
e_i(P)=1/(n!)\frac{d^iP}{dx^i}(0) то такой базис окажется сопряженным с
базисом 1,x,...x^n в пространстве многочленов степени n


> > > > Пространство многочленов степени не выше n изоморфно пространству R^{n+1}, по числу коэффициентов данного многочлена. Сопряженное пространство это пространство линейных функций на R^{n+1}. Оно изоморфно (хотя и не канонически) самому R^{n+1}.

> > > > Если то элемент сопряженного пространства имеет вид
> > > > f=(f_1...,f_m) и действует так: f(x)=f_1x_1+...+f_nx_n.

> > > Спасибо. Я надеялся на какие-нибудь функции от x^n, ну да ладно.
> > Ну не знаю, что конкретно нужно, ну например, в пространстве сопряженном к пространству многочленов степени n можно назначить базис e_0,...e_{n}, который определяется следующим образом:
> > , где P(x) -- многочлен степени n
> если в качестве e_i взять
> то такой базис окажется сопряженным с
> базисом 1,x,...x^n в пространстве многочленов степени n

А почему Вы не используете клавишу Math? Ведь на форуме появилась новая возможность записывать и просматривать формулы. Я немного "подправил" Ваши фомулы клавишей Math.


Не понимаю, почему размерность симплектического пространства обязательно четная? Разве нельзя задать кососимметричное скалярное умножение для нечетномерного пространства?


> Не понимаю, почему размерность симплектического пространства обязательно четная? Разве нельзя задать кососимметричное скалярное умножение для нечетномерного пространства?

Кажется просек. У кососимметрической матрицы nxn ранг всегда < n для нечетных n.


Методом последовательных приближений решить интегральное уравнение:
x(t)=1+интеграл от 0 до t от функции (t-s)x(s)ds, где Xo(t)=1


посмотри здесь
" функциональный анализ "
http://depositfiles.com/files/3858298

Хорошо и кратко написано!!!


Здравствуйте. Скоро экзамен, а я не успел сделать контрольную по математике. В связи с этим решил обратиться с просьбой о помощи в решении нескольких задач.
1. Доказать две теоремы:
а) Объединение нескольких множеств, имеющих мощность континуума, имеет ту же мощность (указание: воспользоваться эквивалентностью множеств точек любых двух отрезков или любых двух интервалов, см. следствие теоремы Кантор-Бронштейна).
б) Объединение счетной совокупности множеств, имеющих мощность континуума, имеет туже мощность (указание: бесконечную прямую можно представить как объединение счетного множества сегментов (полуинтервалов) вида: [а; b) или (c; d]; взаимно однозначное соответсвие между точками всей бесконечной прямой и точками интервала конечной длины устанавливается при помощи функции тангенса (вспомните как ведёт себя график функции тангенса)).

2. Установите взаимно однозначное соответсвие между точками единичного куба и точками единичного отрезка.

3. Установите взаимно одназначное соответсвие между всеми прямыми на плоскости и всеми точками на оси ОХ координатной прямой (указание: точка на координатной прямой однозначно задается одним и действительным числом - её координатой, а прямая на координатной плоскости однозначно задаётся двумя числами: координатой её пересечения с осью ОХ и её наклоном (тангенсом угла наклона)).

4. Установите взаимно однозначное соответствие между всеми точками плоскости и меду всеми квадратами на жтой плоскости (указание: любой квадрат на плоскости однозначно задаётся четырьмя числами: координатами его центра (два числа), длиной стороны и углом поворота).


Здравствуйте,

Помогите, пожалуйста, прояснить следующий вопрос:

-Почему любое множество точек линии на плоскости нигде не плотно? Ведь определение нигде не плотного множества гласит, что множество нигде не плотно, если его замыкание пусто. Но ведь если я возьму отрезок на плоскости, то его замыкание и будет, как раз, этот самый отрезок, а он не пуст.

Заранее благодарен.

С уважением,
Леонид.


> Здравствуйте,

> Помогите, пожалуйста, прояснить следующий вопрос:

> -Почему любое множество точек линии на плоскости нигде не плотно? Ведь определение нигде не плотного множества гласит, что множество нигде не плотно, если его замыкание пусто. Но ведь если я возьму отрезок на плоскости, то его замыкание и будет, как раз, этот самый отрезок, а он не пуст.

> Заранее благодарен.

> С уважением,
> Леонид.

Множество M нигде не плотно, если его внутренность пуста,
то есть дополнение от замыкания дополнения к нему пусто.
int(M) = X\ clos(X\M)
где X - пространство, в котором находится M.


Daniel, большое спасибо за ответ. Видимо, я элементарно не понимаю сути. Мне никак не удаётся уяснить, почему, внутренность отрезка на плоскости пуста? Допустим, я беру интервал. Его замыканием будет добавление концов, т.е. получается отрезок. Внутренность – сам интервал. Значит, внутренность замыкания – не пуста. Где я промахиваюсь в своих рассуждениях?

Заранее благодарен,
Леонид.


> Daniel, большое спасибо за ответ. Видимо, я элементарно не понимаю сути. Мне никак не удаётся уяснить, почему, внутренность отрезка на плоскости пуста? Допустим, я беру интервал. Его замыканием будет добавление концов, т.е. получается отрезок. Внутренность – сам интервал.

Это неверно. Вы похоже перепутали топологию прямой с топологией плоскости. Внутренность отрезка пуста, так как на отрезке нет ни одной точки такой, чтобы некоторый круг с центром в этой точке целиком входил в отрезок.


> Множество M нигде не плотно, если его внутренность пуста.

Если мне не изменяет моя старческая память, то Q всюду плотно в R. По семантике номенклатуры, видимо, неверно, что Q нигде не плотно в R. Но при этом внутренность Q пуста, это факт. Т.е. Ваше определение неверно.

Правильное определение такое: множество нигде не плотно, если внутренность его замыкания пуста.


> Это неверно. Вы похоже перепутали топологию прямой с топологией плоскости. Внутренность отрезка пуста, так как на отрезке нет ни одной точки такой, чтобы некоторый круг с центром в этой точке целиком входил в отрезок.


Большое спасибо, Ираклий. Кажется начинаю понемногу понимать. Ещё раз, спасибо за обстоятельный ответ.


> Теорема 2 (Кантор, 1873). Множество Q рациональных чисел счетно.

> ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим сначала множество Q+ всех положительных рациональных
> чисел: Q+={x Q| x > 0}. Каждое такое число можно представить в виде несократимой
> дроби m/n, где m и n - натуральные числа. Выпишем сначала все дроби с суммой
> числителя и знаменателя m+n, равной 2 (меньше не может быть), затем все, у
> которых m+n=3, далее такие, где m+n=4 и т.д. Получаем:

> 1/1;1/2;2/1;1/3;3/1;1/4;2/3;3/2;4/1; и т.д.

> Понятно, что рано или поздно мы доберемся до любого положительного рационального
> числа.
> Итак, множество Q+ представлено в виде бесконечной последовательности по типу
> натурального ряда, и значит, является счетным. Действуя теперь, как при
> перечислении целых чисел: Z={0, 1, -1, 2, -2, ... }, перенумеруем все
> рациональные числа:

>
> Этим завершается доказательство.
> -----------------------------------------
> Ага.. Угу..

> Теорема 2прим (Шелковенко, 2005 ;-( ). Множество Q рациональных чисел несчетно.
> Рассмотрим числовой ряд

> 1/1; 1/2; 1/3; 1/4; 1/5; 1/6; 1/7; 1/8 и теде.

> Если приглядеться к знаменателю, то можно увидеть, что это ряд натуральных чисел.
> Следовательно каждому члену ряда поставлено в соответствие натуральное число и наоборот.
> Таким образом рациональному числу 2/7 например уже невозможно поставить в соответствие никакое натуральное число.
> Таким образом множество рациональных чисел несчетно, чтд.
> ------------------------------------------

> Честно говоря я ни черта не понял.. ;(((
> Где засада-то?

> WBR, Andrew
> 24 августа 2005 г. 20:32

> --------------------------------------------------------------------------------
> Re: Множество Q рациональных чисел несчетно.
> diakin
> 24 августа 22:44
> В ответ на №15868: Множество Q рациональных чисел несчетно. от diakin , 24 августа 2005 г.:
> Ну, в общем, то что у меня - это не доказательство.. Не знаю как у Кантора ;-\
> Получается ерунда.
> Возьмем
> 1-1
> 2-12
> 3-123
> 4-1234
> ...
> Все номера 1,2,3,4,5... и т.д. заняты числами и на число 21 свободного номера нет.
> Следовательно множество натуральных чисел - несчетно.
> Ага..
> WBR, Andrew

чё такое я ничего не понял!!!


[Перенесено модератором из форума "Форум по математике"]

Сообщение №24470 от Константин Давидюк 28 апреля 2008 г. 12:48
Тема: Счетность множества действительных чисел

Метрическая схема доказательства счетности действительных чисел.

Регистрационный номер: №243 В-2008 от 25.03.2008г.

Введение.

В данной работе приводится метрическая схема доказательства счетности действительных чисел (N↔R).. Поскольку каждому действительному числу от 0 до 1 соответствует точка отрезка [0, 1], мы будем называть точки отрезка числами.

Обозначения:

↔ эквивалентно (равномощно)
→ знак соответствует
N множество натуральных чисел
R множество действительных чисел
[0, 1] отрезок от 0 до 1
+ операция объединения

Разбиение отрезка.

Возьмем любое натуральное число n большее 0 и 1. Пусть это будет число 2. Схема подходит для любого натурального числа: достаточно вместо числа 2 подставить любое другое натуральное число большее 0 и 1. Далее разобьем отрезок на две части (необязательно равные). Для наглядности будем в дальнейшем разбивать на равные части. Каждый из получившихся отрезков снова разобьем на 2 части и т.д. В результате получим следующую последовательность систем отрезков:

А1= ([0, 1/2]; [1/2, 1]) – 1-ый этап,
А2 = ([0, 1/4]; [1/4, 2/4]; [2/4, 3/4]; [3/4, 1]) – 2-ой этап,
:
Аn= ([0, 1 / 2^n]; … [2^n – 1 / 2^n, 1]) – n-ый этап
и т.д.

При неограниченном увеличении n обозначим через Ар результат предельного перехода (n →∞).

Рассмотрим отрезок [m / 2^n; m +1 / 2^n] где 0 ≤ m ≤ 2^n - 1. Этот отрезок удовлетворяет следующим условиям:

1. При стремлении n к бесконечности концы отрезка имеют пределом одно и то же действительное число x (отрезок стягивается в точку).
2. Длина этого отрезка стремится к 0, при стремлении n к бесконечности.

Счетность множества действительных чисел.

Если мы устремим n к бесконечности, то отрезок [m / 2^n, m+1 / 2^n] будет иметь своим пределом отрезок типа [x, x], где число x лежит между 0 и 1 (0≤ x ≤1) по построению. С другой стороны, для любого x (0≤ x ≤1) каждый отрезок типа [x, x] будет результатом стягивания концов одного из отрезков в построении, так как на каждом этапе n система отрезков An полностью покрывает отрезок [0, 1]:

[0, 1 / 2^n]+ …+ [2^n -1 / 2^n, 1] = [0, 1].

Итак, результат предельного перехода - система Ар отрезков типа [x, x] длины 0, для любого x (0≤ x ≤1). На каждом этапе n система Аn имеет 2^n элементов (система конечна), значит, система Ар, как результат последовательности конечных систем,- не более чем счетна (счетна). Далее, отрезку [x, x] можно поставить в соответствие число x, для этого надо взять функцию F: [x, x] → x. Функция F устанавливает взаимнооднозначное соответствие между счетной системой Ар и действительными числами отрезка [0, 1]. А это, в свою очередь, означает счетность множества действительных чисел. Если в рассмотрении использовать функцию G: [х, х] → х, где х – точка, то получаем доказательство счетности точек отрезка.
В доказательстве мы опирались на понятие длины отрезка (метрическое понятие). Поэтому построение носит название метрической схемы.

О ложности метода Кантора.

Рассмотрим указанную выше схему для n = 10 (разбиение кратное 10), где х принадлежит отрезку [0, 1]. Любой отрезок [х, х], можно представить как предел вложенных отрезков (см. построение); число x - как предел последовательности левых концов этих отрезков (можно рассматривать правые концы). Обозначим через А систему всех таких последовательностей. Таким образом, любое число х можно представить как предел последовательности, которая является элементом системы А:

0, а1; 0, а1,а2; 0, а1,а2,а3…→ х *

В доказательстве о несчетности Кантор отождествляет последовательность и ее предел, записывая это так: 0, а1, а2, а3, … (!)

Метод Кантора, примененный к системе А, дает последовательность, которая будет последовательностью выше указанного типа (*). Ее пределом будет некоторое число х отрезка [0, 1]. Но для этого числа х уже есть сходящаяся к нему последовательность (по разбиению). Таким образом, чтобы доказать свое предположение о несчетности действительных чисел, Кантор допускает две ошибки:

1. Отождествляет два различных понятия (последовательности и ее предела), забывая о том, что для одного и того же действительного числа х существует большое количество последовательностей, сходящихся к этому числу.

2. Построенная методом Кантора последовательность дублирует одну из исходных т.е. принадлежит А (см. построение А).

Исходя из сказанного, метод Кантора дает последовательность (ее предел - х), которой нет в списке (ряду последовательностей) только в том случае, когда список составлен специальным образом. При этом в списке все равно будет такая последовательность, которая имеет своим пределом число х. Это заблуждение Кантора рассмотрено также на теоритико-множественном уровне в работе «Отсутствие мощности континуума и счетность множества действительных чисел».

Выводы.

1. Доказана счетность множества действительных чисел метрическим способом (способ разбиения отрезка на части).
2. Указано на ошибки в доказательстве Кантора о несчетности с метрической точки зрения.

Отклики на это сообщение:

Бред полный. Надеюсь, это шутка. Если же это все всерьез, то могу ээээ... "по-критиковать".


Множество Q рациональных чисел несчетно.
ГНУСНАЯ ЛОЖЬ! +)

По определению :
---< Большая Советская Энциклопедия >---
Мощность множества
в математике, обобщение на произвольные множества понятия "число элементов". М. м. определяется методом абстракции как то общее, что есть у всех множеств, эквивалентных (количественно) данному; при этом два множества называемых эквивалентными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.
---< БСЭ >---

И если вы найдёте _хотябы одну_(!!!) такую конструкцию, по средствам которой свяжете множества таким образом, что тыкнув пальцем в любой элемент из одного вы сможете (по этому конструктивному правилу) найти соответствующий и единственный элемент другого, то эти множества будут одной мощности (будь то счётная мощность, континуум (множ. действительных чисел) мощность, или мощность множества функций).


Модеры зверствуют! Ладно, перейду сразу к конструктивной критике сего опуса (занятие не вполне бесполезное, ибо мне не спиться и руки занять чем-то надо).

1) В пункте "Разбиение отрезка" Вы рассматриваете последовательность
Аn = ([0, 1 / 2^n]; … [2^n – 1 / 2^n, 1])
и обозначаете ее "предел" за Ар. Но члены этой последовательности принадлежат разным пространствам (n-й член принадлежит (2^R)^(2^n) ) и о пределе такой последовательности говорить бессмысленно. Впрочем, Вы можете попытаться определить, что следует называть пределом такой последовательности картежей.

2) Так же у Вас имеется явно ложное утверждение. Вы рассматриваете отрезок
[m / 2^n; (m +1) / 2^n] (надеюсь, я правильно поставил опушенные Вами скобки)
Далее Вы говорите, что при стремлении n к бесконечности концы стремятся к одному числу x. Причем в дальнейшем Вы считаете, что x может быть любым числом из отрезка. Но это, очевидно, не так: при фиксированном m (так как про m ничего не сказано, то ничего не остается, как предположить, что оно фиксировано) оба конца стремятся к нулю и не к чему больше.

(Если же все-таки m не фиксировано, то необходимо было оговорить, как m зависет от n. Ибо возможна такая зависимость, что предела вообще нет.)


Вам следует почитать Математический анализ, где число определяется как предел последовательности.
Ваш первый пункт - глупость: Речь не идет о пространствах - речь идет о множестве.
Ваш второй пункт - ваша неграмотность: любое число отрезка от 0 до 1 можно приблизить вложенными отрезками длины которых стремятся к 0, так чтобы оно было пределом последовательности их левых концов.

П.С. Читайте внимательнее построение и Анализ - все станет понятно.
Спасибо модераторам.


> Вам следует почитать Математический анализ, где число определяется как предел последовательности.
> Ваш первый пункт - глупость: Речь не идет о пространствах - речь идет о множестве.
> Ваш второй пункт - ваша неграмотность: любое число отрезка от 0 до 1 можно приблизить вложенными отрезками длины которых стремятся к 0, так чтобы оно было пределом последовательности их левых концов.

Я математик по образованию и Ваши оскорбления не по адресу. "Ругательства - это доводы тех, кто неправ", сказал один умный человек. Хотя я подозреваю, что математической дискуссии не получится, пустая перебранка же меня не интересует, все же я попытаюсь более детально сформуллировать свой первый пункт.

В математике есть 1 (одно!) понятие предела последовательности: это предел последовательности, состоящей из элементов некоторого фиксированного топологического пространства. (Впрочем, я не исключаю возможности рассмотрения в каких-то разделах математики более экзотического понятия предела, не сводящегося к топологии.) Так вот, Ваша последовательность кортежей An (я надеюсь, Вы понимаете слово "кортеж" и согласны, что An - это кортеж из 2^n объектов) не лежит ни в каком знакомом мне топологическом пространстве. У Вас есть шанс убедить меня в моей неграмотности, описав то топологическое пространство, в котором лежат все An.



Запомните одно правило, по которому отличаюит профи от фразера:
Проффисионал всегда выражает свои мысли на простом языке, прибегая к сложной терминологии только в случае необходимости.
Если вы обратили внимание, то у меня нет картежей (вы уже осознали глупость сказанного )
Топология здесь вообще не причем: мы рассматриваем последовательность множеств.

Если хотите покривляться, господин "математик", то идите работать в академию. Там таких специалистов очень любят и уважают.


> Если хотите покривляться, господин "математик", то идите работать в академию. Там таких специалистов очень любят и уважают.

Что ж, весьма конструктивный ответ на мою критику.

Вообще-то, если бы кому-нибудь удалось найти ошибку в рассуждениях великого математика, которая более века оставалась незамеченной, это было бы выдающимся достижением. Так что если Вы всерьез верите в то, что написали, но отправьте это в какой-нибудь ведущий математический журнал (для этого, правда, статью надо написать по-английски). Или же просто отнесите ее в РАН. Но, судя по Вашей последней фразе, Вы уже имеет негативный опыт общения с этой организацией. Дело в том, что там не очень любят фермистов и изобретателей вечных двигателей.

Заметьте, я не пытаюсь Вас оскорбить. "Полный бред" относилось к тексту, но не к Вам. Хотя мне не составило бы труда написать что-нибудь изящное типа того, что дилетанты отличаются от шарлатанов тем, что знакомы хотя бы с основными понятиями предмета, о котором говорят.


http://maiforum.ru/showthread.php?p=82861#post82861


Не может такого быти... Действительные числа - это множество всех подмножеств от ∞ , т.е 2.

Что-то я с трудом просекаю ваш алгоритм, а нельзя ли, например, указать конкретные порядковые номера иррациональностей √2 , е, π и метод получения этих трех действительных чисел из их порядковых номеров? Как известно, для любого рационального числа это возможно, рациональные числа исчисляемы.


Нужно исследовать на равномерную сходимость на множестве Е интеграл I(a);используя эйлеровы интегралы,вычислить интеграл;найти преобразование Фурье функции f(x);представить функцию f(x) интегралом Фурье.Кто заинтересовался,напишите на почту,все задание отправлю вам по мылу!!!


Вот такую задачку решить не могу, очевидную...
Континуальное тихоновское произведение дискретных двоеточий сепарабельно ли?

Это пространство можно представлять себе как множество функций из R в {0,1}. Базис топологии таков: фиксируем конечное число точек из R и значеня в них (нули или единицы). Все функции, принимающие в этих точках эти значения, образуют один элемент базиса.


Советую обратить внимание на эту статью всем интересующимся опровержением приведенного Кантором доказательства «несчетности множества всех точек отрезка».

http://www.maiforum.ru/showthread.php?p=86689#post86689


[Перенесено модератором из форума "Форум по математике"]

Сообщение №25491 от Janine 09 сентября 2008 г. 22:16
Тема: Теорема Брауэра о неподвижной точке

Здравствуйте! Помогите пожалуйста с решением задач по теореме Брауэра.

Формулировка: Любое непрерывное отображение замкнутого шара в себя в конечномерном евклидовом пространстве имеет неподвижную точку.

Нужно доказать эту теорему для одномерного случая в разных вариантах:

Задача 1. Пусть отрезок [-1,1] перешел в себя. Существует ли в этом случае неподвижная точка?
Задача 2. Пусть отрезок [-1,1] также отобразился в себя, но не весь целиком (т.е. какие-то точки "вылезли" за концы), но точно известно, что точки -1 и 1 попали внутрь (не "вылезли" наружу). Существует ли здесь неподвижная точка?
Задача 3. Условие задачи 2, но -1 и 1 "вылезли" : новая точка -1 оказалась слева от старой точки -1, а новая точка 1 оказалась справа от старой точки 1. Вопрос тот же - существует ли неподвижная точка?

Решение первой задачи.
Пусть f - непрерывная функция, . Тогда .
Очевидно, и .
Рассмотрим функцию , .
Она удовлетворяет условиям: , таким образом, по теореме о среднем, существует точка , такая, что , то есть .


Вроде бы решение верное... Есть ли какие-то недочеты в решении первой задачи? И как можно решить вторую и третью задачи? Можно ли просто растяжением и сжатием свести их к первой или нет?

Заранее спасибо.

Отклики на это сообщение:

Нарисуйте графики y=f(x) и y=x. Вас интересует их точка пересечения. Рассматривая условия задач, Вы легко получите ответы на ваши вопросы. То есть рассмотреть произвольную функцию f(x)? Почему произвольную функцию f(x)? Именно ту, о которой говорится в той или иной задаче.


Помогите, пожалуйста, решить такие две задачи.
1) Доказать, что на пересечении Q с отрезком [0, 1] нельзя задать такую метрику, чтобы она была эквивалентна обычному расстоянию и полученное пространство было полным.
2) Доказать, что если A - открытое множество из полного метрического пространства (X, d), то существует метрика r, эквивалентная метрике d на A, такая, что пространство (A, r) - полное.
Две метрики эквивалентны, если последовательности, сходящиеся в первой метрике, являются сходящимися и во второй и сходятся к тем же пределам, и наоборот.
Мне главное узнать саму идею решения, дальше я сам.
Спасибо.


Всем привет!
Помогите со следующей проблемой.
Есть следующий объект: ,
где
, -это счетно-аддитивная, положительная мера, например
гауссова мера на Подскажите, может кто-то видел применение этих объектов. Может быть в теоретической или квантовой физике. Если Вы знакомы с тем, где используются эти объекты, то напишите область, статью или книгу, где они встречаются. Буду очень благодарен, нужно позарез.


[Перенесено модератором из форума "Форум по математике"]

Сообщение №26799 от Juligl 23 ноября 2008 г. 17:54
Тема: Топологические пространства

Компактно ли пространство R стрелка или нет. Не могу разобраться

Что из себя представляет естественная топология и компактна она или нет

Отклики на это сообщение:

> Компактно ли пространство R стрелка или нет. Не могу разобраться

> Что из себя представляет естественная топология и компактна она или нет

Что такое пространство R стрелка? Возможно это множество вещественных чисел, рассматриваемое как векторное пространство? Тогда естественная топология порождается обычным расстоянием между точками.


Всем привет! Кто-нибудь може мне помочь? Доказать, что, если функция f: [0, 1]->R имеющая конечные пределы во всех точках [0, 1], то она не может быть разрывной на несчетном подмножестве[0, 1]...


[Перенесено модератором из форума "Форум по математике"]

Сообщение №27733 от Игорь88 20 декабря 2008 г. 09:35
Тема: Re: теоретическая задачка

> Всем привет! Кто-нибудь може мне помочь? Доказать, что, если функция f: [0, 1]->R имеющая конечные пределы во всех точках [0, 1], то она не может быть разрывной на несчетном подмножестве[0, 1]...

Можно ли утверждать что, функция f: [0, 1]->R, имеющая конечные пределы во всех точках [0, 1], является непрерывной

Отклики на это сообщение:

> > Всем привет! Кто-нибудь може мне помочь? Доказать, что, если функция f: [0, 1]->R имеющая конечные пределы во всех точках [0, 1], то она не может быть разрывной на несчетном подмножестве[0, 1]...

> Можно ли утверждать что, функция f: [0, 1]->R, имеющая конечные пределы во всех точках [0, 1], является непрерывной

Речь идёт о точках, в которых предел не совпадает со значением. Таких точек может быть не более чем счётное множество, т.к. можно сопоставить такому разрыву рациональное число, лежащее в этом разрыве. Ответ на второй вопрос: нельзя утверждать что, функция f: [0, 1]->R, имеющая конечные пределы во всех точках [0, 1], является непрерывной. В качестве примера рассмотрите функцию равную нулю везде за исключением в точке 0, где она равна 2008.

> Ответ на второй вопрос: нельзя утверждать что, функция f: [0, 1]->R, имеющая конечные пределы во всех точках [0, 1], является непрерывной. В качестве примера рассмотрите функцию равную нулю везде за исключением в точке 0, где она равна 2008.

Понял. Спасибо.

> Речь идёт о точках, в которых предел не совпадает со значением. Таких точек может быть не более чем счётное множество, т.к. можно сопоставить такому разрыву рациональное число, лежащее в этом разрыве.

Что означает, что "можно сопоставить такому разрыву рациональное число, лежащее в этом разрыве."
Как можно сопоставить?

> > Ответ на второй вопрос: нельзя утверждать что, функция f: [0, 1]->R, имеющая конечные пределы во всех точках [0, 1], является непрерывной. В качестве примера рассмотрите функцию равную нулю везде за исключением в точке 0, где она равна 2008.

> Понял. Спасибо.

> > Речь идёт о точках, в которых предел не совпадает со значением. Таких точек может быть не более чем счётное множество, т.к. можно сопоставить такому разрыву рациональное число, лежащее в этом разрыве.

> Что означает, что "можно сопоставить такому разрыву рациональное число, лежащее в этом разрыве."
> Как можно сопоставить?
Пусть предел в "плохой" точке равен А, а значение функции равно В. Тогда между А и В есть рациональные числа. Возьмём любое и сопоставим.

> > > Ответ на второй вопрос: нельзя утверждать что, функция f: [0, 1]->R, имеющая конечные пределы во всех точках [0, 1], является непрерывной. В качестве примера рассмотрите функцию равную нулю везде за исключением в точке 0, где она равна 2008.

> > Понял. Спасибо.

> > > Речь идёт о точках, в которых предел не совпадает со значением. Таких точек может быть не более чем счётное множество, т.к. можно сопоставить такому разрыву рациональное число, лежащее в этом разрыве.

> > Что означает, что "можно сопоставить такому разрыву рациональное число, лежащее в этом разрыве."
> > Как можно сопоставить?
> Пусть предел в "плохой" точке равен А, а значение функции равно В. Тогда между А и В есть рациональные числа. Возьмём любое и сопоставим.

Ивините. Я слишком лихо написал. Моё рассуждение не верно. Верного пока не знаю.

> > > > Ответ на второй вопрос: нельзя утверждать что, функция f: [0, 1]->R, имеющая конечные пределы во всех точках [0, 1], является непрерывной. В качестве примера рассмотрите функцию равную нулю везде за исключением в точке 0, где она равна 2008.

> > > Понял. Спасибо.

> > > > Речь идёт о точках, в которых предел не совпадает со значением. Таких точек может быть не более чем счётное множество, т.к. можно сопоставить такому разрыву рациональное число, лежащее в этом разрыве.

> > > Что означает, что "можно сопоставить такому разрыву рациональное число, лежащее в этом разрыве."
> > > Как можно сопоставить?
> > Пусть предел в "плохой" точке равен А, а значение функции равно В. Тогда между А и В есть рациональные числа. Возьмём любое и сопоставим.

> Ивините. Я слишком лихо написал. Моё рассуждение не верно. Верного пока не знаю


Введём функцию равную в каждой точке пределу исходной функции. Это будет непрерывная функция. Вычтем её из исходной. Тогда Ваша задача сведётся к следующей. Сколько может быть разрывов у функции, у которой предел в каждой точке равен нулю. Ответ - не более чем счётно. Действительно, рассмотрим для каждого n множество значений функции, которые по модулю больше 1/n. Таких значений конечное чисдо (в противном случае была бы точка, в которой предел не равен 0). Эти значения занумеруем. Потом будем увеличивать n и продолжать нумеровать.

> Введём функцию равную в каждой точке пределу исходной функции. Это будет непрерывная функция. Вычтем её из исходной. Тогда Ваша задача сведётся к следующей. Сколько может быть разрывов у функции, у которой предел в каждой точке равен нулю. Ответ - не более чем счётно. Действительно, рассмотрим для каждого n множество значений функции, которые по модулю больше 1/n. Таких значений конечное чисдо (в противном случае была бы точка, в которой предел не равен 0). Эти значения занумеруем. Потом будем увеличивать n и продолжать нумеровать.

Вероятно центром нашего обсуждения является идея, что объединение счетное множество точек из [0,1] является множеством все равно опять счетным. Вопрос (как мне кажется) сводится к тому, что можно ли непрерывную функцию (на этом множестве) так "изуродовать" на несчетном множестве, что все равно она будет в каждой точке иметь конечный предел. Так?

> > Введём функцию равную в каждой точке пределу исходной функции. Это будет непрерывная функция. Вычтем её из исходной. Тогда Ваша задача сведётся к следующей. Сколько может быть разрывов у функции, у которой предел в каждой точке равен нулю. Ответ - не более чем счётно. Действительно, рассмотрим для каждого n множество значений функции, которые по модулю больше 1/n. Таких значений конечное чисдо (в противном случае была бы точка, в которой предел не равен 0). Эти значения занумеруем. Потом будем увеличивать n и продолжать нумеровать.

> Вероятно центром нашего обсуждения является идея, что объединение счетное множество точек из [0,1] является множеством все равно опять счетным. Вопрос (как мне кажется) сводится к тому, что можно ли непрерывную функцию (на этом множестве) так "изуродовать" на несчетном множестве, что все равно она будет в каждой точке иметь конечный предел. Так?

Да, можно. Рассмотрим функцию, равную 0 за исключением точек 1/n, в которых она равна 1/n. В нуле ноль.

> > Вероятно центром нашего обсуждения является идея, что объединение счетное множество точек из [0,1] является множеством все равно опять счетным. Вопрос (как мне кажется) сводится к тому, что можно ли непрерывную функцию (на этом множестве) так "изуродовать" на несчетном множестве, что все равно она будет в каждой точке иметь конечный предел. Так?

> Да, можно. Рассмотрим функцию, равную 0 за исключением точек 1/n, в которых она равна 1/n. В нуле ноль. Цель, а можно ли придумать несчетного подмножества, на которых "изуродовать" непрерывную функцию.

Я не понял, вы привели пример просто счетного подмножество точек. А я говорил о счетном объединении счетных множеств. Цель, можно ли придумать несчетное подмножества, на котором изменить непрерывную функцию, как то не нарушив сходимости к некоторому пределу.

> > > Вероятно центром нашего обсуждения является идея, что объединение счетное множество точек из [0,1] является множеством все равно опять счетным. Вопрос (как мне кажется) сводится к тому, что можно ли непрерывную функцию (на этом множестве) так "изуродовать" на несчетном множестве, что все равно она будет в каждой точке иметь конечный предел. Так?

> > Да, можно. Рассмотрим функцию, равную 0 за исключением точек 1/n, в которых она равна 1/n. В нуле ноль. Цель, а можно ли придумать несчетного подмножества, на которых "изуродовать" непрерывную функцию.

> Я не понял, вы привели пример просто счетного подмножество точек. А я говорил о счетном объединении счетных множеств. Цель, можно ли придумать несчетное подмножества, на котором изменить непрерывную функцию, как то не нарушив сходимости к некоторому пределу.

Подождите. Мне казалось, что удалось доказать счетность множества точек, где есть разрыв.

> > > > Вероятно центром нашего обсуждения является идея, что объединение счетное множество точек из [0,1] является множеством все равно опять счетным. Вопрос (как мне кажется) сводится к тому, что можно ли непрерывную функцию (на этом множестве) так "изуродовать" на несчетном множестве, что все равно она будет в каждой точке иметь конечный предел. Так?

> > > Да, можно. Рассмотрим функцию, равную 0 за исключением точек 1/n, в которых она равна 1/n. В нуле ноль. Цель, а можно ли придумать несчетного подмножества, на которых "изуродовать" непрерывную функцию.

> > Я не понял, вы привели пример просто счетного подмножество точек. А я говорил о счетном объединении счетных множеств. Цель, можно ли придумать несчетное подмножества, на котором изменить непрерывную функцию, как то не нарушив сходимости к некоторому пределу.

> Подождите. Мне казалось, что удалось доказать счетность множества точек, где есть разрыв.

Вы написали:
Рассмотрим функцию, равную 0 за исключением точек 1/n, в которых она равна 1/n. В нуле ноль.
Уточните, что за функция у вас получилась.

> > > > > Вероятно центром нашего обсуждения является идея, что объединение счетное множество точек из [0,1] является множеством все равно опять счетным. Вопрос (как мне кажется) сводится к тому, что можно ли непрерывную функцию (на этом множестве) так "изуродовать" на несчетном множестве, что все равно она будет в каждой точке иметь конечный предел. Так?

> > > > Да, можно. Рассмотрим функцию, равную 0 за исключением точек 1/n, в которых она равна 1/n. В нуле ноль. Цель, а можно ли придумать несчетного подмножества, на которых "изуродовать" непрерывную функцию.

> > > Я не понял, вы привели пример просто счетного подмножество точек. А я говорил о счетном объединении счетных множеств. Цель, можно ли придумать несчетное подмножества, на котором изменить непрерывную функцию, как то не нарушив сходимости к некоторому пределу.

> > Подождите. Мне казалось, что удалось доказать счетность множества точек, где есть разрыв.

> Вы написали:
> Рассмотрим функцию, равную 0 за исключением точек 1/n, в которых она равна 1/n. В нуле ноль.
> Уточните, что за функция у вас получилась.

Точнее некуда.
Ваш вопрос: Можно ли непрерывную функцию так "изуродовать" на несчетном множестве, что все равно она будет в каждой точке иметь конечный предел.
Ответ: нет.

> > > > > > Вероятно центром нашего обсуждения является идея, что объединение счетное множество точек из [0,1] является множеством все равно опять счетным. Вопрос (как мне кажется) сводится к тому, что можно ли непрерывную функцию (на этом множестве) так "изуродовать" на несчетном множестве, что все равно она будет в каждой точке иметь конечный предел. Так?

> > > > > Да, можно. Рассмотрим функцию, равную 0 за исключением точек 1/n, в которых она равна 1/n. В нуле ноль. Цель, а можно ли придумать несчетного подмножества, на которых "изуродовать" непрерывную функцию.

> > > > Я не понял, вы привели пример просто счетного подмножество точек. А я говорил о счетном объединении счетных множеств. Цель, можно ли придумать несчетное подмножества, на котором изменить непрерывную функцию, как то не нарушив сходимости к некоторому пределу.

> > > Подождите. Мне казалось, что удалось доказать счетность множества точек, где есть разрыв.

> > Вы написали:
> > Рассмотрим функцию, равную 0 за исключением точек 1/n, в которых она равна 1/n. В нуле ноль.
> > Уточните, что за функция у вас получилась.

> Точнее некуда.
> Ваш вопрос: Можно ли непрерывную функцию так "изуродовать" на несчетном множестве, что все равно она будет в каждой точке иметь конечный предел.
> Ответ: нет.

Но вы ж "изуродовали" на счетном множестве, в точках {1/n}

> > > Уточните, что за функция у вас получилась.

> > Точнее некуда.
> > Ваш вопрос: Можно ли непрерывную функцию так "изуродовать" на несчетном множестве, что все равно она будет в каждой точке иметь конечный предел.
> > Ответ: нет.

Но вы ж "изуродовали" на счетном множестве, в точках {1/n}

> > > > Уточните, что за функция у вас получилась.

> > > Точнее некуда.
> > > Ваш вопрос: Можно ли непрерывную функцию так "изуродовать" на несчетном множестве, что все равно она будет в каждой точке иметь конечный предел.
> > > Ответ: нет.

> Но вы ж "изуродовали" на счетном множестве, в точках {1/n}

Видимо, я не понимаю. Поэтому, сейчас я сформулирую, что понял. Если Вам не трудно, то укажите, что не так. Считаю установленными следующие факты.
1) Функция, определённая на [0,1] и имеющая во всех точках предел, моет иметь разрывы в не более чем счётном множестве точек.
Доказательство. Введём функцию равную в каждой точке пределу исходной функции. Это будет непрерывная функция. Вычтем её из исходной. Тогда Ваша задача сведётся к следующей. Сколько может быть разрывов у функции, у которой предел в каждой точке равен нулю. Ответ - не более чем счётно. Действительно, рассмотрим для каждого n множество значений функции, которые по модулю больше 1/n. Таких значений конечное чисдо (в противном случае была бы точка, в которой предел не равен 0). Эти значения занумеруем. Потом будем увеличивать n и продолжать нумеровать.
2) Приведён пример функции, у которой счётное множество разрывов.


Исходная постановка задачи звучит так:

... "Если функция f: [0, 1]->R имеет конечные пределы во всех точках [0, 1], то она не может быть разрывной на несчетном подмножестве[0, 1]"...

И теперь сформулировано утвеждение.

Функция, определённая на [0,1] и имеющая во всех точках предел, можт иметь разрывы в не более чем счётном множестве точек.

Вопрос
Эквивалентн ли эти утверждения?


> Исходная постановка задачи звучит так:

> ... "Если функция f: [0, 1]->R имеет конечные пределы во всех точках [0, 1], то она не может быть разрывной на несчетном подмножестве[0, 1]"...

> И теперь сформулировано утвеждение.

> Функция, определённая на [0,1] и имеющая во всех точках предел, можт иметь разрывы в не более чем счётном множестве точек.

> Вопрос
> Эквивалентн ли эти утверждения?

Не только сформулировано утверждение но и доказано. Ответ очевиден.


> > Исходная постановка задачи звучит так:

> > ... "Если функция f: [0, 1]->R имеет конечные пределы во всех точках [0, 1], то она не может быть разрывной на несчетном подмножестве[0, 1]"...

> > И теперь сформулировано утвеждение.

> > Функция, определённая на [0,1] и имеющая во всех точках предел, можт иметь разрывы в не более чем счётном множестве точек.

> > Вопрос
> > Эквивалентн ли эти утверждения?

> Не только сформулировано утверждение но и доказано. Ответ очевиден.

Я задавал вопрос не о том, сформулировано ли, а эквивалентны ли приведенные выше дв утверждения.
Я понял, что вы согласны - эквивалентны.
Теперь о доказательстве.
Ваше доказательство таково:

"Введём функцию, равную в каждой точке пределу исходной функции. Это будет непрерывная функция. Вычтем её из исходной. Тогда задача сведётся к следующей. Сколько может быть разрывов у функции, у которой предел в каждой точке равен нулю. Ответ - не более чем счётно. Действительно, рассмотрим для каждого n множество значений функции, которые по модулю больше 1/n. Таких значений конечное чисдо (в противном случае была бы точка, в которой предел не равен 0). Эти значения занумеруем. Потом будем увеличивать n и продолжать нумеровать."

Пожалуйста, поподробнее по поводу вашей посылке:
...рассмотрим для каждого n множество значений функции, которые по модулю больше 1/n. Таких значений конечное число (в противном случае была бы точка, в которой предел не равен 0).


> > > Исходная постановка задачи звучит так:

> > > ... "Если функция f: [0, 1]->R имеет конечные пределы во всех точках [0, 1], то она не может быть разрывной на несчетном подмножестве[0, 1]"...

> > > И теперь сформулировано утвеждение.

> > > Функция, определённая на [0,1] и имеющая во всех точках предел, можт иметь разрывы в не более чем счётном множестве точек.

> > > Вопрос
> > > Эквивалентн ли эти утверждения?

> > Не только сформулировано утверждение но и доказано. Ответ очевиден.

> Я задавал вопрос не о том, сформулировано ли, а эквивалентны ли приведенные выше дв утверждения.
> Я понял, что вы согласны - эквивалентны.
> Теперь о доказательстве.
> Ваше доказательство таково:

> "Введём функцию, равную в каждой точке пределу исходной функции. Это будет непрерывная функция. Вычтем её из исходной. Тогда задача сведётся к следующей. Сколько может быть разрывов у функции, у которой предел в каждой точке равен нулю. Ответ - не более чем счётно. Действительно, рассмотрим для каждого n множество значений функции, которые по модулю больше 1/n. Таких значений конечное чисдо (в противном случае была бы точка, в которой предел не равен 0). Эти значения занумеруем. Потом будем увеличивать n и продолжать нумеровать."
>
> Пожалуйста, поподробнее по поводу вашей посылке:
> ...рассмотрим для каждого n множество значений функции, которые по модулю больше 1/n. Таких значений конечное число (в противном случае была бы точка, в которой предел не равен 0).

Если есть множество точек на отрезке [0,1], в которых значение функции больше 1/n, бесконечно, то по лемме Больцано-Вейерштрасса из этого множества можно выбрать сходящуюся подпоследовательность точек. Рассмотрим значения функции на этой сходящейся подпоследовательности. Эти значения по условию должны иметь предел, но он больше 1/2. Получили противоречие, что доказывает конечность множества точек, в которых значение функции больше 1/n.


> > > > Исходная постановка задачи звучит так:

> > > > ... "Если функция f: [0, 1]->R имеет конечные пределы во всех точках [0, 1], то она не может быть разрывной на несчетном подмножестве[0, 1]"...

> > > > И теперь сформулировано утвеждение.

> > > > Функция, определённая на [0,1] и имеющая во всех точках предел, можт иметь разрывы в не более чем счётном множестве точек.

> > > > Вопрос
> > > > Эквивалентн ли эти утверждения?

> > > Не только сформулировано утверждение но и доказано. Ответ очевиден.

> > Я задавал вопрос не о том, сформулировано ли, а эквивалентны ли приведенные выше дв утверждения.
> > Я понял, что вы согласны - эквивалентны.
> > Теперь о доказательстве.
> > Ваше доказательство таково:

> > "Введём функцию, равную в каждой точке пределу исходной функции. Это будет непрерывная функция. Вычтем её из исходной. Тогда задача сведётся к следующей. Сколько может быть разрывов у функции, у которой предел в каждой точке равен нулю. Ответ - не более чем счётно. Действительно, рассмотрим для каждого n множество значений функции, которые по модулю больше 1/n. Таких значений конечное чисдо (в противном случае была бы точка, в которой предел не равен 0). Эти значения занумеруем. Потом будем увеличивать n и продолжать нумеровать."
> >
> > Пожалуйста, поподробнее по поводу вашей посылке:
> > ...рассмотрим для каждого n множество значений функции, которые по модулю больше 1/n. Таких значений конечное число (в противном случае была бы точка, в которой предел не равен 0).

> Если есть множество точек на отрезке [0,1], в которых значение функции больше 1/n, бесконечно, то по лемме Больцано-Вейерштрасса из этого множества можно выбрать сходящуюся подпоследовательность точек. Рассмотрим значения функции на этой сходящейся подпоследовательности. Эти значения по условию должны иметь предел, но он больше 1/2. Получили противоречие, что доказывает конечность множества точек, в которых значение функции больше 1/n.

Если есть множество точек на отрезке [0,1], в которых значение функции больше 1/n, бесконечно, то по лемме Больцано-Вейерштрасса из этого множества можно выбрать сходящуюся подпоследовательность точек.

Лемма Больцано-Вейерштрасса - для для ограниченной последовательности. Как с этим, я не понял.


> > > > > Исходная постановка задачи звучит так:

> > > > > ... "Если функция f: [0, 1]->R имеет конечные пределы во всех точках [0, 1], то она не может быть разрывной на несчетном подмножестве[0, 1]"...

> > > > > И теперь сформулировано утвеждение.

> > > > > Функция, определённая на [0,1] и имеющая во всех точках предел, можт иметь разрывы в не более чем счётном множестве точек.

> > > > > Вопрос
> > > > > Эквивалентн ли эти утверждения?

> > > > Не только сформулировано утверждение но и доказано. Ответ очевиден.

> > > Я задавал вопрос не о том, сформулировано ли, а эквивалентны ли приведенные выше дв утверждения.
> > > Я понял, что вы согласны - эквивалентны.
> > > Теперь о доказательстве.
> > > Ваше доказательство таково:

> > > "Введём функцию, равную в каждой точке пределу исходной функции. Это будет непрерывная функция. Вычтем её из исходной. Тогда задача сведётся к следующей. Сколько может быть разрывов у функции, у которой предел в каждой точке равен нулю. Ответ - не более чем счётно. Действительно, рассмотрим для каждого n множество значений функции, которые по модулю больше 1/n. Таких значений конечное чисдо (в противном случае была бы точка, в которой предел не равен 0). Эти значения занумеруем. Потом будем увеличивать n и продолжать нумеровать."
> > >
> > > Пожалуйста, поподробнее по поводу вашей посылке:
> > > ...рассмотрим для каждого n множество значений функции, которые по модулю больше 1/n. Таких значений конечное число (в противном случае была бы точка, в которой предел не равен 0).

> > Если есть множество точек на отрезке [0,1], в которых значение функции больше 1/n, бесконечно, то по лемме Больцано-Вейерштрасса из этого множества можно выбрать сходящуюся подпоследовательность точек. Рассмотрим значения функции на этой сходящейся подпоследовательности. Эти значения по условию должны иметь предел, но он больше 1/2. Получили противоречие, что доказывает конечность множества точек, в которых значение функции больше 1/n.

> Если есть множество точек на отрезке [0,1], в которых значение функции больше 1/n, бесконечно, то по лемме Больцано-Вейерштрасса из этого множества можно выбрать сходящуюся подпоследовательность точек.

> Лемма Больцано-Вейерштрасса - для для ограниченной последовательности. Как с этим, я не понял.

Множество точек на отрезке [0,1]


> Всем привет! Кто-нибудь може мне помочь? Доказать, что, если функция f: [0, 1]->R имеющая конечные пределы во всех точках [0, 1], то она не может быть разрывной на несчетном подмножестве[0, 1]...

Вот скопировал исходное сообщение Нукки
Сообщение №27693 от Fw: Hukku , 19 декабря 2008 г. 18:31:
Всем привет! Кто-нибудь може мне помочь? Доказать, что, если функция f: [0, 1]->R имеющая конечные пределы во всех точках [0, 1], то она не может быть разрывной на несчетном подмножестве[0, 1]...

Написано
функция f: [0, 1]->R
Т.е. исходная функция отображает [0, 1]->R, а не в [0, 1].
Как я понимаю R - это всё множество вещественных чисел. Прямая -∞,+∞


> > > > Ваше доказательство таково:

> > > > "Введём функцию, равную в каждой точке пределу исходной функции. Это будет непрерывная функция. Вычтем её из исходной. Тогда задача сведётся к следующей. Сколько может быть разрывов у функции, у которой предел в каждой точке равен нулю. Ответ - не более чем счётно. Действительно, рассмотрим для каждого n множество значений функции, которые по модулю больше 1/n. Таких значений конечное чисдо (в противном случае была бы точка, в которой предел не равен 0). Эти значения занумеруем. Потом будем увеличивать n и продолжать нумеровать."
> > > >
> > > > Пожалуйста, поподробнее по поводу вашей посылке:
> > > > ...рассмотрим для каждого n множество значений функции, которые по модулю больше 1/n. Таких значений конечное число (в противном случае была бы точка, в которой предел не равен 0).

> > > Если есть множество точек на отрезке [0,1], в которых значение функции больше 1/n, бесконечно, то по лемме Больцано-Вейерштрасса из этого множества можно выбрать сходящуюся подпоследовательность точек. Рассмотрим значения функции на этой сходящейся подпоследовательности. Эти значения по условию должны иметь предел, но он больше 1/2. Получили противоречие, что доказывает конечность множества точек, в которых значение функции больше 1/n.

> > Если есть множество точек на отрезке [0,1], в которых значение функции больше 1/n, бесконечно, то по лемме Больцано-Вейерштрасса из этого множества можно выбрать сходящуюся подпоследовательность точек.

> > Лемма Больцано-Вейерштрасса - для для ограниченной последовательности. Как с этим, я не понял.


> Множество точек на отрезке [0,1]

Вот скопировал исходное сообщение Нукки
Сообщение №27693 от Fw: Hukku , 19 декабря 2008 г. 18:31:
Всем привет! Кто-нибудь може мне помочь? Доказать, что, если функция f: [0, 1]->R имеющая конечные пределы во всех точках [0, 1], то она не может быть разрывной на несчетном подмножестве[0, 1]...

Написано
функция f: [0, 1]->R
Т.е. исходная функция отображает [0, 1]->R, а не в [0, 1].
Как я понимаю R - это всё множество вещественных чисел. Прямая -∞,+∞


> > Всем привет! Кто-нибудь може мне помочь? Доказать, что, если функция f: [0, 1]->R имеющая конечные пределы во всех точках [0, 1], то она не может быть разрывной на несчетном подмножестве[0, 1]...

> Вот скопировал исходное сообщение Нукки
> Сообщение №27693 от Fw: Hukku , 19 декабря 2008 г. 18:31:
> Всем привет! Кто-нибудь може мне помочь? Доказать, что, если функция f: [0, 1]->R имеющая конечные пределы во всех точках [0, 1], то она не может быть разрывной на несчетном подмножестве[0, 1]...

> Написано
> функция f: [0, 1]->R
> Т.е. исходная функция отображает [0, 1]->R, а не в [0, 1].
> Как я понимаю R - это всё множество вещественных чисел. Прямая -∞,+∞

Читайте внимательнее. Обсуждение Вашей темы я закончил.


> > > > > Ваше доказательство таково:

> > > > > "Введём функцию, равную в каждой точке пределу исходной функции. Это будет непрерывная функция. Вычтем её из исходной. Тогда задача сведётся к следующей. Сколько может быть разрывов у функции, у которой предел в каждой точке равен нулю. Ответ - не более чем счётно. Действительно, рассмотрим для каждого n множество значений функции, которые по модулю больше 1/n. Таких значений конечное чисдо (в противном случае была бы точка, в которой предел не равен 0). Эти значения занумеруем. Потом будем увеличивать n и продолжать нумеровать."
> > > > >
> > > > > Пожалуйста, поподробнее по поводу вашей посылке:
> > > > > ...рассмотрим для каждого n множество значений функции, которые по модулю больше 1/n. Таких значений конечное число (в противном случае была бы точка, в которой предел не равен 0).

> > > > Если есть множество точек на отрезке [0,1], в которых значение функции больше 1/n, бесконечно, то по лемме Больцано-Вейерштрасса из этого множества можно выбрать сходящуюся подпоследовательность точек. Рассмотрим значения функции на этой сходящейся подпоследовательности. Эти значения по условию должны иметь предел, но он больше 1/2. Получили противоречие, что доказывает конечность множества точек, в которых значение функции больше 1/n.

> > > Если есть множество точек на отрезке [0,1], в которых значение функции больше 1/n, бесконечно, то по лемме Больцано-Вейерштрасса из этого множества можно выбрать сходящуюся подпоследовательность точек.

> > > Лемма Больцано-Вейерштрасса - для для ограниченной последовательности. Как с этим, я не понял.

>
> > Множество точек на отрезке [0,1]

> Вот скопировал исходное сообщение Нукки
> Сообщение №27693 от Fw: Hukku , 19 декабря 2008 г. 18:31:
> Всем привет! Кто-нибудь може мне помочь? Доказать, что, если функция f: [0, 1]->R имеющая конечные пределы во всех точках [0, 1], то она не может быть разрывной на несчетном подмножестве[0, 1]...

> Написано
> функция f: [0, 1]->R
> Т.е. исходная функция отображает [0, 1]->R, а не в [0, 1].
> Как я понимаю R - это всё множество вещественных чисел. Прямая -∞,+∞

Читаем внимательно!
функция f: [0, 1]->R имеющая конечные пределы во всех точках [0, 1], то она не может быть разрывной на несчетном подмножестве[0, 1]...

"имеющая конечные пределы во всех точках [0, 1]",
Означает, что функция задана в [0, 1]
Но не сказано, что она отображает НА [0, 1]


> > > > > > Ваше доказательство таково:

> > > > > > "Введём функцию, равную в каждой точке пределу исходной функции. Это будет непрерывная функция. Вычтем её из исходной. Тогда задача сведётся к следующей. Сколько может быть разрывов у функции, у которой предел в каждой точке равен нулю. Ответ - не более чем счётно. Действительно, рассмотрим для каждого n множество значений функции, которые по модулю больше 1/n. Таких значений конечное чисдо (в противном случае была бы точка, в которой предел не равен 0). Эти значения занумеруем. Потом будем увеличивать n и продолжать нумеровать."
> > > > > >
> > > > > > Пожалуйста, поподробнее по поводу вашей посылке:
> > > > > > ...рассмотрим для каждого n множество значений функции, которые по модулю больше 1/n. Таких значений конечное число (в противном случае была бы точка, в которой предел не равен 0).

> > > > > Если есть множество точек на отрезке [0,1], в которых значение функции больше 1/n, бесконечно, то по лемме Больцано-Вейерштрасса из этого множества можно выбрать сходящуюся подпоследовательность точек. Рассмотрим значения функции на этой сходящейся подпоследовательности. Эти значения по условию должны иметь предел, но он больше 1/2. Получили противоречие, что доказывает конечность множества точек, в которых значение функции больше 1/n.

> > > > Если есть множество точек на отрезке [0,1], в которых значение функции больше 1/n, бесконечно, то по лемме Больцано-Вейерштрасса из этого множества можно выбрать сходящуюся подпоследовательность точек.

> > > > Лемма Больцано-Вейерштрасса - для для ограниченной последовательности. Как с этим, я не понял.

> >
> > > Множество точек на отрезке [0,1]

> > Вот скопировал исходное сообщение Нукки
> > Сообщение №27693 от Fw: Hukku , 19 декабря 2008 г. 18:31:
> > Всем привет! Кто-нибудь може мне помочь? Доказать, что, если функция f: [0, 1]->R имеющая конечные пределы во всех точках [0, 1], то она не может быть разрывной на несчетном подмножестве[0, 1]...

> > Написано
> > функция f: [0, 1]->R
> > Т.е. исходная функция отображает [0, 1]->R, а не в [0, 1].
> > Как я понимаю R - это всё множество вещественных чисел. Прямая -∞,+∞

> Читаем внимательно!
> функция f: [0, 1]->R имеющая конечные пределы во всех точках [0, 1], то она не может быть разрывной на несчетном подмножестве[0, 1]...

> "имеющая конечные пределы во всех точках [0, 1]",
> Означает, что функция задана в [0, 1]
> Но не сказано, что она отображает НА [0, 1]

Как Вы понимаете эту фразу?
Если есть множество точек на отрезке [0,1], в которых значение функции больше 1/n, бесконечно, то по лемме Больцано-Вейерштрасса из этого множества можно выбрать сходящуюся подпоследовательность точек.
Про какое множество идёт речь? Про точки из области определения или по значения функции?


> > > > > > > Ваше доказательство таково:

> > > > > > > "Введём функцию, равную в каждой точке пределу исходной функции. Это будет непрерывная функция. Вычтем её из исходной. Тогда задача сведётся к следующей. Сколько может быть разрывов у функции, у которой предел в каждой точке равен нулю. Ответ - не более чем счётно. Действительно, рассмотрим для каждого n множество значений функции, которые по модулю больше 1/n. Таких значений конечное чисдо (в противном случае была бы точка, в которой предел не равен 0). Эти значения занумеруем. Потом будем увеличивать n и продолжать нумеровать."
> > > > > > >
> > > > > > > Пожалуйста, поподробнее по поводу вашей посылке:
> > > > > > > ...рассмотрим для каждого n множество значений функции, которые по модулю больше 1/n. Таких значений конечное число (в противном случае была бы точка, в которой предел не равен 0).

> > > > > > Если есть множество точек на отрезке [0,1], в которых значение функции больше 1/n, бесконечно, то по лемме Больцано-Вейерштрасса из этого множества можно выбрать сходящуюся подпоследовательность точек. Рассмотрим значения функции на этой сходящейся подпоследовательности. Эти значения по условию должны иметь предел, но он больше 1/2. Получили противоречие, что доказывает конечность множества точек, в которых значение функции больше 1/n.

> > > > > Если есть множество точек на отрезке [0,1], в которых значение функции больше 1/n, бесконечно, то по лемме Больцано-Вейерштрасса из этого множества можно выбрать сходящуюся подпоследовательность точек.

> > > > > Лемма Больцано-Вейерштрасса - для для ограниченной последовательности. Как с этим, я не понял.

> > >
> > > > Множество точек на отрезке [0,1]

> > > Вот скопировал исходное сообщение Нукки
> > > Сообщение №27693 от Fw: Hukku , 19 декабря 2008 г. 18:31:
> > > Всем привет! Кто-нибудь може мне помочь? Доказать, что, если функция f: [0, 1]->R имеющая конечные пределы во всех точках [0, 1], то она не может быть разрывной на несчетном подмножестве[0, 1]...

> > > Написано
> > > функция f: [0, 1]->R
> > > Т.е. исходная функция отображает [0, 1]->R, а не в [0, 1].
> > > Как я понимаю R - это всё множество вещественных чисел. Прямая -∞,+∞

> > Читаем внимательно!
> > функция f: [0, 1]->R имеющая конечные пределы во всех точках [0, 1], то она не может быть разрывной на несчетном подмножестве[0, 1]...

> > "имеющая конечные пределы во всех точках [0, 1]",
> > Означает, что функция задана в [0, 1]
> > Но не сказано, что она отображает НА [0, 1]

> Как Вы понимаете эту фразу?
> Если есть множество точек на отрезке [0,1], в которых значение функции больше 1/n, бесконечно, то по лемме Больцано-Вейерштрасса из этого множества можно выбрать сходящуюся подпоследовательность точек.
> Про какое множество идёт речь? Про точки из области определения или по значения функции?

Так написано ж "в которых значение функции"


> > > > > > > > Ваше доказательство таково:

> > > > > > > > "Введём функцию, равную в каждой точке пределу исходной функции. Это будет непрерывная функция. Вычтем её из исходной. Тогда задача сведётся к следующей. Сколько может быть разрывов у функции, у которой предел в каждой точке равен нулю. Ответ - не более чем счётно. Действительно, рассмотрим для каждого n множество значений функции, которые по модулю больше 1/n. Таких значений конечное чисдо (в противном случае была бы точка, в которой предел не равен 0). Эти значения занумеруем. Потом будем увеличивать n и продолжать нумеровать."
> > > > > > > >
> > > > > > > > Пожалуйста, поподробнее по поводу вашей посылке:
> > > > > > > > ...рассмотрим для каждого n множество значений функции, которые по модулю больше 1/n. Таких значений конечное число (в противном случае была бы точка, в которой предел не равен 0).

> > > > > > > Если есть множество точек на отрезке [0,1], в которых значение функции больше 1/n, бесконечно, то по лемме Больцано-Вейерштрасса из этого множества можно выбрать сходящуюся подпоследовательность точек. Рассмотрим значения функции на этой сходящейся подпоследовательности. Эти значения по условию должны иметь предел, но он больше 1/2. Получили противоречие, что доказывает конечность множества точек, в которых значение функции больше 1/n.

> > > > > > Если есть множество точек на отрезке [0,1], в которых значение функции больше 1/n, бесконечно, то по лемме Больцано-Вейерштрасса из этого множества можно выбрать сходящуюся подпоследовательность точек.

> > > > > > Лемма Больцано-Вейерштрасса - для для ограниченной последовательности. Как с этим, я не понял.

> > > >
> > > > > Множество точек на отрезке [0,1]

> > > > Вот скопировал исходное сообщение Нукки
> > > > Сообщение №27693 от Fw: Hukku , 19 декабря 2008 г. 18:31:
> > > > Всем привет! Кто-нибудь може мне помочь? Доказать, что, если функция f: [0, 1]->R имеющая конечные пределы во всех точках [0, 1], то она не может быть разрывной на несчетном подмножестве[0, 1]...

> > > > Написано
> > > > функция f: [0, 1]->R
> > > > Т.е. исходная функция отображает [0, 1]->R, а не в [0, 1].
> > > > Как я понимаю R - это всё множество вещественных чисел. Прямая -∞,+∞

> > > Читаем внимательно!
> > > функция f: [0, 1]->R имеющая конечные пределы во всех точках [0, 1], то она не может быть разрывной на несчетном подмножестве[0, 1]...

> > > "имеющая конечные пределы во всех точках [0, 1]",
> > > Означает, что функция задана в [0, 1]
> > > Но не сказано, что она отображает НА [0, 1]

> > Как Вы понимаете эту фразу?
> > Если есть множество точек на отрезке [0,1], в которых значение функции больше 1/n, бесконечно, то по лемме Больцано-Вейерштрасса из этого множества можно выбрать сходящуюся подпоследовательность точек.
> > Про какое множество идёт речь? Про точки из области определения или по значения функции?

> Так написано ж "в которых значение функции"

Так эти "которые" где лежат?
Ответ: на отрезке [0,1].
Отрезок [0,1] - ограниченное множество?
Ответ: да.
Можно ли из бесконечного ограниченного множества вещественных чисел выбрать сходящуюся последовательность?
Ответ: да.
В условии задачи сказано что в любой точке отрезка [0,1] у функции есть предел?
Ответ: да.
Следует ли отсюда, что функция имеет предел в той самой точке, к которой сходится выбранная выше последовательность точек из промежутка [0,1]?
Ответ? да.
Этот предел функции больше 1/n, если все значения функции были больше 1/n?
Ответ: да.


> > > > > > > > > Ваше доказательство таково:

> > > > > > > > > "Введём функцию, равную в каждой точке пределу исходной функции. Это будет непрерывная функция. Вычтем её из исходной. Тогда задача сведётся к следующей. Сколько может быть разрывов у функции, у которой предел в каждой точке равен нулю. Ответ - не более чем счётно. Действительно, рассмотрим для каждого n множество значений функции, которые по модулю больше 1/n. Таких значений конечное чисдо (в противном случае была бы точка, в которой предел не равен 0). Эти значения занумеруем. Потом будем увеличивать n и продолжать нумеровать."
> > > > > > > > >
> > > > > > > > > Пожалуйста, поподробнее по поводу вашей посылке:
> > > > > > > > > ...рассмотрим для каждого n множество значений функции, которые по модулю больше 1/n. Таких значений конечное число (в противном случае была бы точка, в которой предел не равен 0).

> > > > > > > > Если есть множество точек на отрезке [0,1], в которых значение функции больше 1/n, бесконечно, то по лемме Больцано-Вейерштрасса из этого множества можно выбрать сходящуюся подпоследовательность точек. Рассмотрим значения функции на этой сходящейся подпоследовательности. Эти значения по условию должны иметь предел, но он больше 1/2. Получили противоречие, что доказывает конечность множества точек, в которых значение функции больше 1/n.

> > > > > > > Если есть множество точек на отрезке [0,1], в которых значение функции больше 1/n, бесконечно, то по лемме Больцано-Вейерштрасса из этого множества можно выбрать сходящуюся подпоследовательность точек.

> > > > > > > Лемма Больцано-Вейерштрасса - для для ограниченной последовательности. Как с этим, я не понял.

> > > > >
> > > > > > Множество точек на отрезке [0,1]

> > > > > Вот скопировал исходное сообщение Нукки
> > > > > Сообщение №27693 от Fw: Hukku , 19 декабря 2008 г. 18:31:
> > > > > Всем привет! Кто-нибудь може мне помочь? Доказать, что, если функция f: [0, 1]->R имеющая конечные пределы во всех точках [0, 1], то она не может быть разрывной на несчетном подмножестве[0, 1]...

> > > > > Написано
> > > > > функция f: [0, 1]->R
> > > > > Т.е. исходная функция отображает [0, 1]->R, а не в [0, 1].
> > > > > Как я понимаю R - это всё множество вещественных чисел. Прямая -∞,+∞

> > > > Читаем внимательно!
> > > > функция f: [0, 1]->R имеющая конечные пределы во всех точках [0, 1], то она не может быть разрывной на несчетном подмножестве[0, 1]...

> > > > "имеющая конечные пределы во всех точках [0, 1]",
> > > > Означает, что функция задана в [0, 1]
> > > > Но не сказано, что она отображает НА [0, 1]

> > > Как Вы понимаете эту фразу?
> > > Если есть множество точек на отрезке [0,1], в которых значение функции больше 1/n, бесконечно, то по лемме Больцано-Вейерштрасса из этого множества можно выбрать сходящуюся подпоследовательность точек.
> > > Про какое множество идёт речь? Про точки из области определения или по значения функции?

> > Так написано ж "в которых значение функции"

> Так эти "которые" где лежат?
Написано не "которые", а "в которых функция"

> Отрезок [0,1] - ограниченное множество?
Волга впадает в Каспийское море

> Можно ли из бесконечного ограниченного множества вещественных чисел выбрать сходящуюся последовательность?
И даже несколько, сходящихся к разным пределам


Видимо, я не понимаю. Поэтому, сейчас я сформулирую, что понял. Если Вам не трудно, то укажите, что не так. Считаю установленными следующие факты.
1) Функция, определённая на [0,1] и имеющая во всех точках предел, моет иметь разрывы в не более чем счётном множестве точек.
Доказательство. Введём функцию равную в каждой точке пределу исходной функции. Это будет непрерывная функция. Вычтем её из исходной. Тогда Ваша задача сведётся к следующей. Сколько может быть разрывов у функции, у которой предел в каждой точке равен нулю. Ответ - не более чем счётно. Действительно, рассмотрим для каждого n множество значений функции, которые по модулю больше 1/n. Таких значений конечное чисдо (в противном случае была бы точка, в которой предел не равен 0). Эти значения занумеруем. Потом будем увеличивать n и продолжать нумеровать.
2) Приведён пример функции, у которой счётное множество разрывов.


Сорри, что так долго не было и простите меня глупую, но почему это верно:Введём функцию равную в каждой точке пределу исходной функции. Это будет непрерывная функция


> Видимо, я не понимаю. Поэтому, сейчас я сформулирую, что понял. Если Вам не трудно, то укажите, что не так. Считаю установленными следующие факты.
> 1) Функция, определённая на [0,1] и имеющая во всех точках предел, моет иметь разрывы в не более чем счётном множестве точек.
> Доказательство. Введём функцию равную в каждой точке пределу исходной функции. Это будет непрерывная функция. Вычтем её из исходной. Тогда Ваша задача сведётся к следующей. Сколько может быть разрывов у функции, у которой предел в каждой точке равен нулю. Ответ - не более чем счётно. Действительно, рассмотрим для каждого n множество значений функции, которые по модулю больше 1/n. Таких значений конечное чисдо (в противном случае была бы точка, в которой предел не равен 0). Эти значения занумеруем. Потом будем увеличивать n и продолжать нумеровать.
> 2) Приведён пример функции, у которой счётное множество разрывов.
>

>
> Сорри, что так долго не было и простите меня глупую, но почему это верно:Введём функцию равную в каждой точке пределу исходной функции. Это будет непрерывная функция

Leon свободный человек. Это означает, что он может делать всё, что не запрещено законом и, в частности, пользоваться понятием непрерывной функции в точке.
По определению:
Функция называется непрерывной функцией в точке x= x0, если в этой точке выполняется условие

для любой последовательности точек, сходящейся к x0.

По условию вашей задачи в любой точке x0 интервала [0,1] существует lim f(x), но (по условию же) не сказано, что lim f(x)= f(x0).
Он вводит в рассмотрение новую функцию. Он доопределяет заданную функцию во всех точках (пока их может быть и несчетное множество) теми значениями, к которым стремятся lim f(x).

Вообще говоря, получается неоднозначная функция, но можно отбросить те значения функции, которые не
соответствуют условию


Вот тогда и получается новая, но уже непрерывная функция.


> Всем привет! Кто-нибудь може мне помочь? Доказать, что, если функция f: [0, 1]->R имеющая конечные пределы во всех точках [0, 1], то она не может быть разрывной на несчетном подмножестве[0, 1]...

Доказать, что, если функция f: [0, 1]->R имеющая конечные пределы во всех точках [0, 1], то она не может быть разрывной на несчетном подмножестве[0, 1]...

Условие задачи может быть распространено на множество всех вещественных чисел. Счетное множество счетных множест - счетное множество.


[Перенесено модератором из форума "Форум по математике"]

Сообщение №28598 от Маркос 27 января 2009 г. 23:21
Тема: задача по функциональному анализу

Здравствуйте! на завтра надо решить задачц по функциональному анализу....
я 0 вообще. завтра уже отчисление. буду очень признателен!
вот ссылка на задание!
http://s52.radikal.ru/i138/0901/e3/e0af09416345.jpg

Отклики на это сообщение:

> Здравствуйте! на завтра надо решить задачц по функциональному анализу....
> я 0 вообще. завтра уже отчисление. буду очень признателен!
> вот ссылка на задание!
> http://s52.radikal.ru/i138/0901/e3/e0af09416345.jpg

Нормы элементов x и y в пространстве равны 1, т.к. .
Что такое p(x,y)?


[Перенесено модератором из форума "Форум по математике"]

Сообщение №28622 от Астерикс 29 января 2009 г. 22:26
Тема: Мощности множеств

Док-ть несчётность полуотрезка..

Отклики на это сообщение:

> Док-ть несчётность полуотрезка..

Число точек на полуотрезке равно числу точек на отрезке.

> > Док-ть несчётность полуотрезка..

> Число точек на полуотрезке равно числу точек на отрезке.

Мощности множества точек на отрезке и на полуотрезке одинаковые.
Числа точек на полуотрезке нет.


У меня большого опыта в функциональном анализе нет, возник такой глупый вопрос: почему отрезок [0;1] нельзя посчитать наутральными числами например синусом: 0.5 + 0.5*sin(N)?


> У меня большого опыта в функциональном анализе нет, возник такой глупый вопрос: почему отрезок [0;1] нельзя посчитать наутральными числами например синусом: 0.5 + 0.5*sin(N)?

Если вы каждому числу из отрезка [0,1] поставили в соответствие число из натурального ряда, то. вероятнее всего, вы все числа (из отрезка [0,1]) можете упорядочить по возрастанию. Так?


> > У меня большого опыта в функциональном анализе нет, возник такой глупый вопрос: почему отрезок [0;1] нельзя посчитать наутральными числами например синусом: 0.5 + 0.5*sin(N)?

> Если вы каждому числу из отрезка [0,1] поставили в соответствие число из натурального ряда, то. вероятнее всего, вы все числа (из отрезка [0,1]) можете упорядочить по возрастанию. Так?

Да, могу упорядочить таким образом.


Вопрос закрыт. Чтобы получить, например 0, надо будет взять очень большое число(или pi - рациональное)


> > > У меня большого опыта в функциональном анализе нет, возник такой глупый вопрос: почему отрезок [0;1] нельзя посчитать наутральными числами например синусом: 0.5 + 0.5*sin(N)?

> > Если вы каждому числу из отрезка [0,1] поставили в соответствие число из натурального ряда, то. вероятнее всего, вы все числа (из отрезка [0,1]) можете упорядочить по возрастанию. Так?

> Да, могу упорядочить таким образом.

Почему Вы думаете, что с помощью Вашей фрмулы получите все вещественные числа из промежутка [0;1]?


> > > У меня большого опыта в функциональном анализе нет, возник такой глупый вопрос: почему отрезок [0;1] нельзя посчитать наутральными числами например синусом: 0.5 + 0.5*sin(N)?

> > Если вы каждому числу из отрезка [0,1] поставили в соответствие число из натурального ряда, то. вероятнее всего, вы все числа (из отрезка [0,1]) можете упорядочить по возрастанию. Так?

> Да, могу упорядочить таким образом.

Тогда между любыми числами, имеющими номера N и N+1, вы обнаружите бесконечное множество еще не пронумерованных вещественных чисел.


Помогите пожалуйста понять, почему в пространстве с непрерывной мерой всегда существует последовательность функций сходящейся к функции x(t) по мере m, но не сходящейся к x(t) почти всюду. Никак не могу понять этого. Ведь если последовательность функций сходиться к x(t) только на мере нуль, то как тогда она может сходиться по мере?

Заранее очень благодарен за разъяснения...
Спасибо,
Леонид.


> Помогите пожалуйста понять, почему в пространстве с непрерывной мерой всегда существует последовательность функций сходящейся к функции x(t) по мере m, но не сходящейся к x(t) почти всюду. Никак не могу понять этого. Ведь если последовательность функций сходиться к x(t) только на мере нуль, то как тогда она может сходиться по мере?

> Заранее очень благодарен за разъяснения...
> Спасибо,
> Леонид.

Не очень понятен вопрос. Пусть мера конечна. Тогда из сходимости почти всюду всюду вытекает сходимость по мере.


> > Помогите пожалуйста понять, почему в пространстве с непрерывной мерой всегда существует последовательность функций сходящейся к функции x(t) по мере m, но не сходящейся к x(t) почти всюду. Никак не могу понять этого. Ведь если последовательность функций сходиться к x(t) только на мере нуль, то как тогда она может сходиться по мере?

> > Заранее очень благодарен за разъяснения...
> > Спасибо,
> > Леонид.

> Не очень понятен вопрос. Пусть мера конечна. Тогда из сходимости почти всюду всюду вытекает сходимость по мере.


Да, из сходимости почти всюду вытекает сходимость по мере. Только вот мне совсем не понятно как может быть такое, что существует такая последовательность функций, которая сходится по мере, но не сходится почти всюду. Что-то я тут не улавливаю.

Мера конеча и непрерывна.

Спасибо,
Леонид.


Рассмотрим стандартный пример такой последовательности. Все функции последовательности определены на промежутке [0,1]. Они принимают только два значения 0 и 1, точнее, они являются характеристическими функциями промежутков. Именно, у первой функции носитель - весь промежуток [0,1]. Поделим [0,1] на два. Получим два промежутка [0,1/2] и [1/2,0] - носители следующих двух характеристических функций. Далее, поделим оба новых промежутка пополам. Получим ещё 4 носителя и т.д, не забывая последовательно нумеровать. Представьте себе графики этих функций. Я представляю их себе как "бегущую" ступеньку высоты 1 с уменьшающимися в два раза носителями на каждом этапе.
Таким образом, на каждой точкой х промежутка эта ступенька будет пролетать бесконечное число раз, т.е. значения в точке х нули и единицы, причём 1 будет встречаться бесконечное число раз. Следовательно, в каждой точке х нет предела. Нет сходимости везде.
Сходимость по мере к нулю есть. Действительно, мера где функции последовательности отличаются от нуля, стремится к нулю (носители характеристических функций уменьшаются).


> Рассмотрим стандартный пример такой последовательности. Все функции последовательности определены на промежутке [0,1]. Они принимают только два значения 0 и 1, точнее, они являются характеристическими функциями промежутков. Именно, у первой функции носитель - весь промежуток [0,1]. Поделим [0,1] на два. Получим два промежутка [0,1/2] и [1/2,0] - носители следующих двух характеристических функций. Далее, поделим оба новых промежутка пополам. Получим ещё 4 носителя и т.д, не забывая последовательно нумеровать. Представьте себе графики этих функций. Я представляю их себе как "бегущую" ступеньку высоты 1 с уменьшающимися в два раза носителями на каждом этапе.
> Таким образом, на каждой точкой х промежутка эта ступенька будет пролетать бесконечное число раз, т.е. значения в точке х нули и единицы, причём 1 будет встречаться бесконечное число раз. Следовательно, в каждой точке х нет предела. Нет сходимости везде.
> Сходимость по мере к нулю есть. Действительно, мера где функции последовательности отличаются от нуля, стремится к нулю (носители характеристических функций уменьшаются).

Громадное спасибо! Очень доходчиво. Кажется начинаю понимать...
Леонид.


Проясните пожалуйста, если М – это точная верхняя грань множества, то:

-- может М не принадлежать самому множеству?
-- может ли быть несколько точных верхних граней множества?

Спасибо,
Леонид.


> Проясните пожалуйста, если М – это точная верхняя грань множества, то:

> -- может М не принадлежать самому множеству?
> -- может ли быть несколько точных верхних граней множества?

> Спасибо,
> Леонид.

1) Может М не принадлежать самому множеству. Пример: X = [0,1). Тогда M = supX = 1.
2) Супремум единственен.
Справедлива следующая полезная теорема.
Теорема. М - супремум множества Х тогда и только тогда, когда для любого ε>0 существует элемент х из множества Х такой, что M - ε< x ≤M


> 1) Может М не принадлежать самому множеству. Пример: X = [0,1). Тогда M = supX = 1.
> 2) Супремум единственен.
> Справедлива следующая полезная теорема.
> Теорема. М - супремум множества Х тогда и только тогда, когда для любого ε>0 существует элемент х из множества Х такой, что M - ε< x ≤M

Большое спасибо Леон.


Пожалуйста, помогите понять.

Имеется следующее определение. Пространство компактно тогда и только тогда, когда каждая центрированная система замкнутых множеств имеет непустое пересечение.

Совершенно не понятно:

1. А возможно ли вообще, чтобы центрированная система замкнутых множеств имела пустое пересечение? Ведь само определение центрированной системы множеств утверждает, что система центрирована, если пересечение любого количества множеств из неё – непусто.

2. Почему, вообще, пространство компактно, если замкнутые множества имеют непустое пересечение?

Заранее благодарен,
Леонид.


> Пожалуйста, помогите понять.

> Имеется следующее определение. Пространство компактно тогда и только тогда, когда каждая центрированная система замкнутых множеств имеет непустое пересечение.

> Совершенно не понятно:

> 1. А возможно ли вообще, чтобы центрированная система замкнутых множеств имела пустое пересечение? Ведь само определение центрированной системы множеств утверждает, что система центрирована, если пересечение любого количества множеств из неё – непусто.

Да,возможно. Например, прямая линия покрытая сдвигами на единицу интервала [0,2] (сдвигаете всё время на единицу влево и вправо). В определении сказано, что пересечение любого конечного количества множеств из неё – не пусто.

> 2. Почему, вообще, пространство компактно, если замкнутые множества имеют непустое пересечение?

Потому, что дополнения открыты, и из любого открытого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие.


> > Пожалуйста, помогите понять.

> > Имеется следующее определение. Пространство компактно тогда и только тогда, когда каждая центрированная система замкнутых множеств имеет непустое пересечение.

> > Совершенно не понятно:

> > 1. А возможно ли вообще, чтобы центрированная система замкнутых множеств имела пустое пересечение? Ведь само определение центрированной системы множеств утверждает, что система центрирована, если пересечение любого количества множеств из неё – непусто.

> Да,возможно. Например, прямая линия покрытая сдвигами на единицу интервала [0,2] (сдвигаете всё время на единицу влево и вправо). В определении сказано, что пересечение любого конечного количества множеств из неё – не пусто.
>
> > 2. Почему, вообще, пространство компактно, если замкнутые множества имеют непустое пересечение?

> Потому, что дополнения открыты, и из любого открытого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие.

Большое спасибо за объяснения, но, видимо - я туг... Мне не понятно:

1. Почему Вы формируете покрытия сдвигами отрезка, а не просто выкладываниями их плотно друг к другу? Ведь после сдвигов, всё равно это не центрированная система, как мне кажется.

2. Этот пункт также остался для меня не досягаем. Ведь множество компактно, если оно покрывается конечной системой открытых множеств, а пересечение их дополнений пусто. Поэтому, можно и так сказать, что множество компактно, когда оно покрывается системой закрытых множеств, пересечение которых даёт пустое множество. Разве не так?

Леонид.


> > > Пожалуйста, помогите понять.

> > > Имеется следующее определение. Пространство компактно тогда и только тогда, когда каждая центрированная система замкнутых множеств имеет непустое пересечение.

> > > Совершенно не понятно:

> > > 1. А возможно ли вообще, чтобы центрированная система замкнутых множеств имела пустое пересечение? Ведь само определение центрированной системы множеств утверждает, что система центрирована, если пересечение любого количества множеств из неё – непусто.

> > Да,возможно. Например, прямая линия покрытая сдвигами на единицу интервала [0,2] (сдвигаете всё время на единицу влево и вправо). В определении сказано, что пересечение любого конечного количества множеств из неё – не пусто.
> >
> > > 2. Почему, вообще, пространство компактно, если замкнутые множества имеют непустое пересечение?

> > Потому, что дополнения открыты, и из любого открытого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие.

> Большое спасибо за объяснения, но, видимо - я туг... Мне не понятно:

> 1. Почему Вы формируете покрытия сдвигами отрезка, а не просто выкладываниями их плотно друг к другу? Ведь после сдвигов, всё равно это не центрированная система, как мне кажется.

> 2. Этот пункт также остался для меня не досягаем. Ведь множество компактно, если оно покрывается конечной системой открытых множеств, а пересечение их дополнений пусто. Поэтому, можно и так сказать, что множество компактно, когда оно покрывается системой закрытых множеств, пересечение которых даёт пустое множество. Разве не так?

> Леонид.
Извините, я ошибся (поспешил - людей насмешил). Я перепишу ответы.
1) Да,возможно. Например, прямая линия покрытая сдвигами на единицу интервала (0,2) (сдвигаете всё время на единицу влево и вправо). В качестве центрированной системы возьмём дополнения этих открытых множеств. В определении сказано, что пересечение любого конечного количества множеств из неё – не пусто. Поэтому это семейство центрировано, но пересечение всех множеств этого семейства пусто.
2)Суть компактности множества не в том, что покрывается конечным числом множеств того или иного вида, а в том, что из любого открытого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие.


> 1) Да,возможно. Например, прямая линия покрытая сдвигами на единицу интервала (0,2) (сдвигаете всё время на единицу влево и вправо). В качестве центрированной системы возьмём дополнения этих открытых множеств. В определении сказано, что пересечение любого конечного количества множеств из неё – не пусто. Поэтому это семейство центрировано, но пересечение всех множеств этого семейства пусто.
> 2)Суть компактности множества не в том, что покрывается конечным числом множеств того или иного вида, а в том, что из любого открытого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие.

1) Если я правильно понял, пересечение любого числа дополнений дает множество тех самых дополнений к накладкам соседних интервалов, т.е. система центрирована. Правильно? А пересечение всех дополнений - пусто, т.к. открытые интервалы покрывают прямую полностью.

Быть может это и не по теме, но в чём основа формирования покрытия сдвигами интервала? Почему бы просто не сказать, что покрытие формируется интервалами (0,2) с накладками длинною в единицу? Сдвиги имеют какой-то специальный смысл?

2) Я, получается, совсем не улавливаю. Давайте возьмём простой пример - трёхмерное пространство. Какое конечное покрытие можно выделить из бесконечного покрытия открытыми шарами?

Спасибо,
Леонид.


> > 1) Да,возможно. Например, прямая линия покрытая сдвигами на единицу интервала (0,2) (сдвигаете всё время на единицу влево и вправо). В качестве центрированной системы возьмём дополнения этих открытых множеств. В определении сказано, что пересечение любого конечного количества множеств из неё – не пусто. Поэтому это семейство центрировано, но пересечение всех множеств этого семейства пусто.
> > 2)Суть компактности множества не в том, что покрывается конечным числом множеств того или иного вида, а в том, что из любого открытого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие.

> 1) Если я правильно понял, пересечение любого числа дополнений дает множество тех самых дополнений к накладкам соседних интервалов, т.е. система центрирована. Правильно? А пересечение всех дополнений - пусто, т.к. открытые интервалы покрывают прямую полностью.

> Быть может это и не по теме, но в чём основа формирования покрытия сдвигами интервала? Почему бы просто не сказать, что покрытие формируется интервалами (0,2) с накладками длинною в единицу? Сдвиги имеют какой-то специальный смысл?

> 2) Я, получается, совсем не улавливаю. Давайте возьмём простой пример - трёхмерное пространство. Какое конечное покрытие можно выделить из бесконечного покрытия открытыми шарами?

> Спасибо,
> Леонид.

1) Конечно сдвиги не имеют никакого специального смысла. Так, под руку подвернулись. Можно было взять любое покрытие открытыми ограниченными множествами. В качестве центрированного семейства взять их дополнения. Ограниченность открытых множеств нужна для того, чтобы любое пересечение конечного числа дополнений имело бы не пустое пересечение.
2) То-то и оно, что из Вашего покрытия нельзя выделить конечного покрытия. Трёхмерное пространство не является компактным множеством в стандартной топологии.


Большое спасибо Леон, вроде бы начинает проясняться. Если Вас не затруднит, не могли бы Вы привести пример компактного множества и его покрытия с конечным подпокрытием.

Заранее благодарен,
Леонид.


> Большое спасибо Леон, вроде бы начинает проясняться. Если Вас не затруднит, не могли бы Вы привести пример компактного множества и его покрытия с конечным подпокрытием.

> Заранее благодарен,
> Леонид.

В пространстве R^n множество компактно тогда и только тогда, когда оно ограничено и замкнуто.


> > Большое спасибо Леон, вроде бы начинает проясняться. Если Вас не затруднит, не могли бы Вы привести пример компактного множества и его покрытия с конечным подпокрытием.

> > Заранее благодарен,
> > Леонид.

> В пространстве R^n множество компактно тогда и только тогда, когда оно ограничено и замкнуто.

Спасибо за ответ Леон. Кстати, а почему открытый шар в пространстве Rn не компактен? Почему только замкнутые ограниченные множества компактны?


> > > Большое спасибо Леон, вроде бы начинает проясняться. Если Вас не затруднит, не могли бы Вы привести пример компактного множества и его покрытия с конечным подпокрытием.

> > > Заранее благодарен,
> > > Леонид.

> > В пространстве R^n множество компактно тогда и только тогда, когда оно ограничено и замкнуто.

> Спасибо за ответ Леон. Кстати, а почему открытый шар в пространстве Rn не компактен? Почему только замкнутые ограниченные множества компактны?

Открытый шар не компактен потому, что его можно покрыть открытыми шарами с уменьшающимися радиусами при приближении к границе. Из такого покрытия нельзя будет выбрать конечное подпокрытие.


> > Спасибо за ответ Леон. Кстати, а почему открытый шар в пространстве Rn не компактен? Почему только замкнутые ограниченные множества компактны?

> Открытый шар не компактен потому, что его можно покрыть открытыми шарами с уменьшающимися радиусами при приближении к границе. Из такого покрытия нельзя будет выбрать конечное подпокрытие.

Но ведь определение говорит, что если можно найти конечное количество открытых множеств, покрывающих данное множество, то последнее – компактно. Для открытого шара я могу найти это конечное количество множеств. Например, я могу покрыть открытый шар другим отрытым шаром большего радиуса, т.е. я имею одно множество, которое покрывает данное...


> > > Спасибо за ответ Леон. Кстати, а почему открытый шар в пространстве Rn не компактен? Почему только замкнутые ограниченные множества компактны?

> > Открытый шар не компактен потому, что его можно покрыть открытыми шарами с уменьшающимися радиусами при приближении к границе. Из такого покрытия нельзя будет выбрать конечное подпокрытие.

> Но ведь определение говорит, что если можно найти конечное количество открытых множеств, покрывающих данное множество, то последнее – компактно. Для открытого шара я могу найти это конечное количество множеств. Например, я могу покрыть открытый шар другим отрытым шаром большего радиуса, т.е. я имею одно множество, которое покрывает данное...

Нет. В определении говорится о том, что из любого открытого покрытия можно выбрать конечное открытое подпокрытие.
Рассмотрите покрытие открытого шара открытыми шарами с радиусами равными половине расстояния центров этих шаров до границы исходного шара.


> > > > Спасибо за ответ Леон. Кстати, а почему открытый шар в пространстве Rn не компактен? Почему только замкнутые ограниченные множества компактны?

> > > Открытый шар не компактен потому, что его можно покрыть открытыми шарами с уменьшающимися радиусами при приближении к границе. Из такого покрытия нельзя будет выбрать конечное подпокрытие.

> > Но ведь определение говорит, что если можно найти конечное количество открытых множеств, покрывающих данное множество, то последнее – компактно. Для открытого шара я могу найти это конечное количество множеств. Например, я могу покрыть открытый шар другим отрытым шаром большего радиуса, т.е. я имею одно множество, которое покрывает данное...

> Нет. В определении говорится о том, что из любого открытого покрытия можно выбрать конечное открытое подпокрытие.
> Рассмотрите покрытие открытого шара открытыми шарами с радиусами равными половине расстояния центров этих шаров до границы исходного шара.

Большое спасибо за ответ.


множество сходящихся последовательностьй.P(x;y)=sup|x(-катое)- y(-катое)|.
надо доказать неравенство треугольника.(В колмагорове написано это очевидно)


> множество сходящихся последовательностьй.P(x;y)=sup|x(-катое)- y(-катое)|.
> надо доказать неравенство треугольника.(В колмагорове написано это очевидн
подскажите идею


> > множество сходящихся последовательностьй.P(x;y)=sup|x(-катое)- y(-катое)|.
> > надо доказать неравенство треугольника.(В колмагорове написано это очевидн
> подскажите идею

Это вытекает из элементарного неравенства
|a - b| = |(a - c) + (c - b)|=< |a - c| + |c - b|


lim (x-катое) =a. lim (y-катое)=b. k стремится к бесконечности .Свойство непрерывности метрики: lim р(x-катое,y-катое)=р(a,b) ,доказывается с помощью неравенства четырехугольника: модуль(р(x-катое,y-катое)-p(a,b))<= p(x-катое,a)+p(y-катое,b). А как получить (доказать) неравенство четырехугольника?


> lim (x-катое) =a. lim (y-катое)=b. k стремится к бесконечности .Свойство непрерывности метрики: lim р(x-катое,y-катое)=р(a,b) ,доказывается с помощью неравенства четырехугольника: модуль(р(x-катое,y-катое)-p(a,b))<= p(x-катое,a)+p(y-катое,b). А как получить (доказать) неравенство четырехугольника?

Надо применить два раза неравенство треугольника
р(x-катое,y-катое)<= р(x-катое,a)+р(a,y-катое) <= р(x-катое,a)+р(a,b)+р(b,y-катое)
Отсюда
р(x-катое,y-катое)- р(a,b) <= р(x-катое,a)+р(b,y-катое)
Аналогично, стартуя с р(a,b) получим
р(a,b)-р(x-катое,y-катое) <= р(x-катое,a)+р(b,y-катое)
Из этих двух неравенств следует неравенство четырехугольника.


Приветствую всех!

Объясните пожалуйста, что такое группа порядка pn?

Заранее благодарен,
Леонид.


Ax = (x3-2*x4, 0, x2+x3-2*x2, x5, x6,...)
Найти: Ker A, im A, A*, R(λ), σ(A)


> Ax = (x3-2*x4, 0, x2+x3-2*x2, x5, x6,...)
> Найти: Ker A, im A, A*, R(λ), σ(A)

В каких пространствах действует оператор?


Помогите пожалуйста!!
Построить на плоскости последовательность связных подмножества Tn, Tn+1 содержится (включено) в Tn, для всех n принадлежащих N и такую, что


> Помогите пожалуйста!!
> Построить на плоскости последовательность связных подмножества Tn, Tn+1 содержится (включено) в Tn, для всех n принадлежащих N и такую, что

Не понятно в чём состоит задача. Возьмите последовательность концентрических кругов, вложенных друг в друга.


Конечно же!!!!я не написала последнее слово, а вторичное сообщение видимо было удалено модераторами...
Имеется в виду что это пересечение- несвязно!!!


Доказать, что связное метрическое пространство имеет мощность >= мощности континуума


Помогите пожалуйста решить такую задачу..
На плоскости построена некоторое множество попарно непересекающихся цифр 8. Может ли это множество быть не счетным?

или такую..
Доказать, что объединение двух нигде не плотных множеств нигде не плотно. Что можно сказать о пересечении двух нигде не плотных множеств?


> Помогите пожалуйста решить такую задачу..
> На плоскости построена некоторое множество попарно непересекающихся цифр 8. Может ли это множество быть не счетным?

> или такую..
> Доказать, что объединение двух нигде не плотных множеств нигде не плотно. Что можно сказать о пересечении двух нигде не плотных множеств?

1. Не может. Свяжем с каждой восьмёркой четырёхугольник с рациональными вершинами следующим образом. Точка, где соединяются кружки восьмёрки, лежит внутри этого четырёхугольника. От этой точки отходят четыре дуги, которые где-то потом замыкаются, образуя восьмёрку. Каждая сторона четырёх угольника пересекается только с одной такой дужкой. Таких четырёх угольников не более чем счётное число. Если четырёхугольники для двух восьмёрок совпадают, то эти восьмёрки пересекаются. Таким образом построено взаимно однозначное соответствие между восьмёрками и четырёхугольниками.
Вместо четырёхугольников можно было ввести какие-нибудь другие геометрические объекты. Лишь бы получить взаимную однозначность.
2. Одно из эквивалентных определений нигде не плотного множества состоит в том, что любое открытое множество содержит открытое множество не содержащее точек этого множества. Отсюда следует, что объединение двух нигде не плотных множеств нигде не плотно.
Второе утверждение очевидно.


[Перенесено модератором из форума "Форум по математике"]

Сообщение №30786 от Сергей.К. 29 мая 2009 г. 09:28
Тема: Топология

Помогите пожалуйста!

Отклики на это сообщение:

> Помогите пожалуйста!
>

1. Утверждение следует из определения, суть которого состоит в том что взаимно-однозначное отображение разные точки отображает в разные точки.
2. Множество замкнуто. Изолированные точки есть, например, 2. Производное множество - множество предельных точек представляет собой множество точек вида 1/n, n =1,2,3,..., и точка {0}.
3. Из неравенства
ρ(x,z)≤ρ(x,y) + ρ(y,z), z из А.
Отсюда, сначала минимизируя правую часть, а потом минимизируя левую часть, получим
ρ(x,А) ≤ρ(x,y) + ρ(y,A)
Аналогично
ρ(y,А) ≤ρ(x,y) + ρ(x,A)
Из этих неравенств выводим
|ρ(x,А) - ρ(y,А)|≤ρ(x,y)
Отсюда следует непрерывность расстояния до множества.
4. Следует из определения изоморфизма.


[Перенесено модератором из форума "Форум по математике"]

Сообщение №30951 от Ogara 09 июня 2009 г. 20:27
Тема: Линейный функционал, область определения?

Здравствуйте. Преподователь задал следующий вопрос. Что является областью определения функционала? И без ответа на него не хочет ставить зачет, помогите пожалуйста.

Мы проходили линейные гладкие функционалы, его определение звучало так. Линейным функционалом в гильбертовом пространстве называется линейный оператор который обращает это гильбертово пространство во множество чисел: действительных либо комплексных .

Отклики на это сообщение:

> Здравствуйте. Преподователь задал следующий вопрос. Что является областью определения функционала? И без ответа на него не хочет ставить зачет, помогите пожалуйста.

> Мы проходили линейные гладкие функционалы, его определение звучало так. Линейным функционалом в гильбертовом пространстве называется линейный оператор который обращает это гильбертово пространство во множество чисел: действительных либо комплексных .

Неужели преподаватель так и говорил: '...обращает это гильбертово пространство во множество чисел...'?
Обычно говорят:"...отображает гильбертово пространство в множество чисел..."

Из Вашего определения следует, что функционал определён на всём гильбертовом пространстве.
Обычно в определении говорят о задании на линейном многообразии или подпространстве.


"отрезку [x, x] можно поставить в соответствие число x"
Можно но таких отрезков нет в Ap. В этом ошибка.
Покажите как задать соответствие числу [0,1] - отрезку из Ap.


> > Проясните пожалуйста, если М – это точная верхняя грань множества, то:

> > -- может М не принадлежать самому множеству?
> > -- может ли быть несколько точных верхних граней множества?

> > Спасибо,
> > Леонид.

> 1) Может М не принадлежать самому множеству. Пример: X = [0,1). Тогда M = supX = 1.
> 2) Супремум единственен.
> Справедлива следующая полезная теорема.
> Теорема. М - супремум множества Х тогда и только тогда, когда для любого ε>0 существует элемент х из множества Х такой, что M - ε< x ≤M


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100