Пространства. Метрические.Линейные. Нормированные. Топологич

Сообщение №9329 от 25 ноября 2003 г. 09:50
Тема: Пространства. Метрические.Линейные. Нормированные. Топологич


Отклики на это сообщение:

Господа!
Дайте не слишком заумные ответы на следующие вопросы о свойствах многомерных пространств:
1. Кратчайшее расстояние между двумя точками в 4-х мерном пространстве есть прямая линия строго определенной длины или таких линий может быть много, причем длина у них одинаковая или разная?
Тоже самое для 5- и 6-ти мерных пространств.
2. Существует ли математический аппарат, позволяющий, если можно так выразиться, делать проекции предмета (фигуры) из 5-ти мерного пространства в четырехмерное и обратно?
3. Существует ли в многомерных пространствах такое понятие как коэффициент корреляции или что-то похожее по назначению, позволяющее оценить степень соответствия полученной фигуры некоему идеалу?

Заранее благодарен за ответ.
25 ноября 2003 г. 03:03

--------------------------------------------------------------------------------
Re: Расскажите о многомерных пространствах
Кофейник
> 1. Кратчайшее расстояние между двумя точками в 4-х мерном пространстве есть прямая линия строго определенной длины или таких линий может быть много, причем длина у них одинаковая или разная?
> Тоже самое для 5- и 6-ти мерных пространств.
Если под четырехмерным пространством вы понимаете обобщение обычного трехмерного пространства (было три координаты, добавили четвертую ось, перпендикулярную первым трем), бесконечного во все стороны; расстояние определено обычным образом (корень квадратный из суммы квадратов разностей соответствующих координат), тогда - да: любые две точки соединяются единственным кратчайшим отрезком. Тоже самое и для пяти- и шестимерного пространства будет справедливо.

> 2. Существует ли математический аппарат, позволяющий, если можно так выразиться, делать проекции предмета (фигуры) из 5-ти мерного пространства в четырехмерное и обратно?

Да, из пятимерного в четырехмерное можно делать проекции, там нужно решать системы линейных уравнений. Вот только "обратно", т.е.из четырехмерного в пятимерное, не получится.

> 3. Существует ли в многомерных пространствах такое понятие как коэффициент корреляции или что-то похожее по назначению, позволяющее оценить степень соответствия полученной фигуры некоему идеалу?

3. Вопрос непонятен.
25 ноября 06:29



> 1. Кратчайшее расстояние между двумя точками в 4-х мерном пространстве есть прямая линия строго определенной длины или таких линий может быть много, причем длина у них одинаковая или разная?

Насколько я знаю, в математике определяются различные типы пространств. Есть такие, в которых понятие расстояния вообще не определено. Те, в которых определено, называются метрическими. Расстояния (т.е. локальная метрика пространства) могут определяться тоже разными способами. Есть класс пространств, в которых метрика определяется с соблюдением правила треугольника: для любого треугольника длина любой стороны не может быть больше суммы длин двух остальных сторон. Четырехмерный пространственно-временной континуум Минковского к этому случаю не относится. Если метрика задается квадратичной формой (что не обязательно), то правило треугольника соответствует требованию положительной определенности этой квадратичной формы.
Понятие прямой линии может быть определено даже в неметрических пространствах (если я ошибаюсь, пусть специалисты меня поправят). Насколько я знаю, в дифференциальной геометрии оно всегда соответствует понятию геодезической линии. Пространство, в котором определено понятие геодезических линий, называется аффинно-связным. Если пространство метрическое, то оно всегда является аффинно-связным. Если в этом пространстве выполняется правило треугольника, то линия кратчайшего расстояния между точками всегда существует и является геодезической. Геодезических линий, соединяющих две точки, может быть несколько. Они могут иметь и одинаковые, и разные длины. Естественно, если они имеют разные длины, то не все они являются "линиями кратчайшего расстояния".

> Тоже самое для 5- и 6-ти мерных пространств.

Да.

> 2. Существует ли математический аппарат, позволяющий, если можно так выразиться, делать проекции предмета (фигуры) из 5-ти мерного пространства в четырехмерное и обратно?

А в чем проблема? Любая система координат, заданная в пространстве, является готовым инструментом для проектирования: достаточно отбросить "лишние" координаты точек. Если у Вас есть специфические требования к проекции, то их можно сформулировать в форме требований к построению этой системы координат. Но можно и по-другому подойти: Выбрать пространство, в котором строится проекция, а затем определить отображение точек исходного пространства в пространство проекции. Второй способ - самый общий.

> 3. Существует ли в многомерных пространствах такое понятие как коэффициент корреляции или что-то похожее по назначению, позволяющее оценить степень соответствия полученной фигуры некоему идеалу?

Это непонятно. Корреляции - это из области теории вероятностей. Но если Вам такое понятие действительно зачем-то нужно, можно попробовать его определить. Например, в метрических пространствах определены расстояния между точками - можно ими воспользоваться.


Центральные множества в векторном пространстве - может кто подскажет, что это за звери такие. Как я полагаю, все это связано с топологией на векторных пространствах. И еще, если M - центральное множество, то для него есть какая-то величин Pм. Что это за величина?
28 июля 2004 г. 12:19:



Сообщение №18896 от drevnij 08 сентября 2006 г. 11:48
Тема: Пространства с кручением

Есть ли наглядный образ пространства с кручением?


> Есть ли наглядный образ пространства с кручением?

Перенос вектора "туда", а потом "обратно" по той же линии не является тождественной операцией. Почему? Потому что в процессе переноса вектор "поворачивается" вокруг линии переноса (например - по правилу правого винта). При обратном переносе он, соответственно, тоже поворачивается по правилу правого винта.


> > Есть ли наглядный образ пространства с кручением?

> Перенос вектора "туда", а потом "обратно" по той же линии не является тождественной операцией. Почему? Потому что в процессе переноса вектор "поворачивается" вокруг линии переноса (например - по правилу правого винта). При обратном переносе он, соответственно, тоже поворачивается по правилу правого винта.
Действительно, вполне наглядно. Спасибо.


> > > Есть ли наглядный образ пространства с кручением?

> > Перенос вектора "туда", а потом "обратно" по той же линии не является тождественной операцией. Почему? Потому что в процессе переноса вектор "поворачивается" вокруг линии переноса (например - по правилу правого винта). При обратном переносе он, соответственно, тоже поворачивается по правилу правого винта. > Действительно, вполне наглядно. Спасибо.

Зато неправильно, сорри. Обратно будет крутиться уже по правилу левого винта. Сначала хотел написать про часовые стрелки, а потом переключился на винты - оттого и упустил, что правый винт и с обратной стороны выглядит правым..


Поскольку написанное мной выше является, вообще-то, некорректным, я решил более развёрнуто осветить вопрос в месте, где, как мне показалось, можно писать более навороченные формулы. Если не облом будет читать достаточно пространное изложение с некоторым количеством формул, то можно посмотреть здесь.


Приведите примеры аффинного пространства!


Знатоки топологии, помогите: всегда ли тихоновское произведение счетного числа метризуемых пространств метризуемо? И в тех случаях, когда оно метризуемо, есть какая-нибудь каноническая известная метрика, порождающая топологию произведения?


> Знатоки топологии, помогите: всегда ли тихоновское произведение счетного числа метризуемых пространств метризуемо? И в тех случаях, когда оно метризуемо, есть какая-нибудь каноническая известная метрика, порождающая топологию произведения?

Тихоновское произведение счетного числа компактных метризуемых пространств X&sub j; метризуемо, например, метрикой ∑&sub j;α&sub j;ρ&sub j;(x&sub j;,y&sub j;), где коэффициенты α&sub j; достаточно быстро убывают (например, если радиус каждого из X&sub j; не превосходит единицы, то можно взять α&sub j;=1/2&suз j;).


> > Знатоки топологии, помогите: всегда ли тихоновское произведение счетного числа метризуемых пространств метризуемо? И в тех случаях, когда оно метризуемо, есть какая-нибудь каноническая известная метрика, порождающая топологию произведения?

> Тихоновское произведение счетного числа компактных метризуемых пространств Xj метризуемо, например, метрикой ∑jαjρj(xj,yj), где коэффициенты αj достаточно быстро убывают (например, если радиус каждого из Xj не превосходит единицы, то можно взять αj=1/2j).


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама: Диваны на http://divan-tut.ru.
Rambler's Top100