Задача. Вероятно по теории чисел.

Сообщение №826 от Satyr 26 сентября 2001 г. 17:54
Тема: Задача. Вероятно по теории чисел.

В ходе решения контрогльной по ТФКП возник следующий ворос:
Существуют ли точки z(мно-во интересных мне точек описано ниже) , такие, что F(x)=[sin(2*Pi*z/3)]*[exp(tg(Pi*z))] имеет в этих точках предел(=беск.)(т.е правые и левые пределы равны, если я все правильно понимаю).Меня интересуют точки - пересечения множеств z=k+1/2 (бесконечность для экспоненты) и z=3*k/2 (нули для синуса).
Очень было бы кстати написать z(k) - общую ф-лу для членов,содержащихся в обоих множествах, но как это сделать , я не догадался.


Отклики на это сообщение:

> В ходе решения контрогльной по ТФКП возник следующий ворос:
> Существуют ли точки z(мно-во интересных мне точек описано ниже) , такие, что F(x)=[sin(2*Pi*z/3)]*[exp(tg(Pi*z))] имеет в этих точках предел(=беск.)(т.е правые и левые пределы равны, если я все правильно понимаю).Меня интересуют точки - пересечения множеств z=k+1/2 (бесконечность для экспоненты) и z=3*k/2 (нули для синуса).
> Очень было бы кстати написать z(k) - общую ф-лу для членов,содержащихся в обоих множествах, но как это сделать , я не догадался.

Имхо, те точки где tg(Pi*z) обращается в бесконечность являются существенно особыми для F(z).


> > В ходе решения контрогльной по ТФКП возник следующий ворос:
> > Существуют ли точки z(мно-во интересных мне точек описано ниже) , такие, что F(x)=[sin(2*Pi*z/3)]*[exp(tg(Pi*z))] имеет в этих точках предел(=беск.)(т.е правые и левые пределы равны, если я все правильно понимаю).Меня интересуют точки - пересечения множеств z=k+1/2 (бесконечность для экспоненты) и z=3*k/2 (нули для синуса).
> > Очень было бы кстати написать z(k) - общую ф-лу для членов,содержащихся в обоих множествах, но как это сделать , я не догадался.

Кроме того, очевидно точка пересечения множеств только одна
k=1 ( собственно это точка пересечения двух прямых :) )

> Имхо, те точки где tg(Pi*z) обращается в бесконечность являются существенно особыми для F(z).


Какие проблемы?


т.е такие, что 3*k mod 2 =1, k in Z\0?
До этого я додумался.А как формулу то записать от к?
ну типа z(k)=a*k+b.


> Имхо, те точки где tg(Pi*z) обращается в бесконечность являются существенно особыми для F(z).

Авторы контрольной тоже так считили.Но в СОТ не существует предела ф-ции(вроде как тангенс с одной стотроны к +беск. а с другой к минус беск.), а тут может быть так , что + беск*(+0) - с одной стороны и -беск.*(-0) с другой - тогда предел есть, и равен +беск.А это уже полюсы.


Я некорректно написал
z1=3k/2 z2=m+1/2. Пресечение может быть при m!=(не равном)k


> т.е такие, что 3*k mod 2 =1, k in Z\0?
> До этого я додумался.А как формулу то записать от к?
> ну типа z(k)=a*k+b.


Как такие формулы получать?



> Как такие формулы получать?
k=3u+1
m=2u+1

z=3u+3/2
приравниваешь k+1/2=3/2m
и из условия того что k и m целые находишь что
m нечетное



Имеем
2*z=0 (mod 3), 2*z=1 (mod 2) <=> 2*z=3*n, n=1 (mod 2) <=> 2*z=3*(2*k+1), k from Z.


> > Как такие формулы получать?
> k=3u+1
> m=2u+1

> z=3u+3/2
> приравниваешь k+1/2=3/2m
> и из условия того что k и m целые находишь что
> m нечетное



> > Имхо, те точки где tg(Pi*z) обращается в бесконечность являются существенно особыми для F(z).

> Авторы контрольной тоже так считили.Но в СОТ не существует предела ф-ции(вроде как тангенс с одной стотроны к +беск. а с другой к минус беск.), а тут может быть так , что + беск*(+0) - с одной стороны и -беск.*(-0) с другой - тогда предел есть, и равен +беск.А это уже полюсы.

$$ Имхо, справедливо следующее утверждение: Пусть есть F(z) = f(z) g(z), причем f(z) не есть тождественный 0. Если точка z=z0 есть регулярная точка функции f(z) и существенно-особая точка функции g(z), то z0 - существенно-особая точка функции F(z).


> Я некорректно написал
> z1=3k/2 z2=m+1/2. Пресечение может быть при m!=(не равном)k

$$ Очевидно, k = 2n+1, m = 3n+1, n -целое


> Как такие формулы получать?

В общем случае - китайская теорема об остатках
(общий вид решения системы сравнений по попарно взаимно простым модулям):

x = a[1] (mod m[1])
......................
x = a[k] (mod m[k])
----------------
x = ??? (mod M)

где

M = m[1]*...*m[k]

См., напр.,:
Блейхут Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов, М.Мир.1987
Нуссбаумер Г. Быстрое преобразование Фурье и алгоритмы вычисления сверток, М. Радио и связь, 1985
а также
любой хороший университетский учебник по алгебре


> > Авторы контрольной тоже так считили.Но в СОТ не существует предела ф-ции(вроде как тангенс с одной стотроны к +беск. а с другой к минус беск.), а тут может быть так , что + беск*(+0) - с одной стороны и -беск.*(-0) с другой - тогда предел есть, и равен +беск.А это уже полюсы.

> $$ Имхо, справедливо следующее утверждение: Пусть есть F(z) = f(z) g(z), причем f(z) не есть тождественный 0. Если точка z=z0 есть регулярная точка функции f(z) и существенно-особая точка функции g(z), то z0 - существенно-особая точка функции F(z).

Имхо, такое утверждение может выполняться, а может не выполняться.Ибо приведенный пример не удовлетворяет определению СОТ: пределы справа и слева равны +беск., в самой точке ф-ция не определена - это не определение Сот, это определение полюса.

полный вид примера:
f(z)=[G(z)*L(z)]/[D(z)*M(z)]
where
G(z)=exp(tg(Pi*z))
L(z)=sin(2*Pi*z/3)
D(z)=2*z+1
M(z)=exp(z)-1
найти и исследовать особые точки(так вроде)

Я ,кстати, считаю , что Ваше утверждение не верно.


> > > Авторы контрольной тоже так считили.Но в СОТ не существует предела ф-ции(вроде как тангенс с одной стотроны к +беск. а с другой к минус беск.), а тут может быть так , что + беск*(+0) - с одной стороны и -беск.*(-0) с другой - тогда предел есть, и равен +беск.А это уже полюсы.

> > $$ Имхо, справедливо следующее утверждение: Пусть есть F(z) = f(z) g(z), причем f(z) не есть тождественный 0. Если точка z=z0 есть регулярная точка функции f(z) и существенно-особая точка функции g(z), то z0 - существенно-особая точка функции F(z).

> Имхо, такое утверждение может выполняться, а может не выполняться.Ибо приведенный пример не удовлетворяет определению СОТ: пределы справа и слева равны +беск., в самой точке ф-ция не определена - это не определение Сот, это определение полюса.

$$ Блин, мужик, ты по какому учебнику ТФКП ботаешь? (И ботаешь ли вообще?) Ты хоть знаешь определение существенно-особой точки. Какие, нафиг, пределы слева и справа? На комплексной плоскости вообще нет права и лева. Точка называется существенно особой если функция аналитична в некоторой окрестности этой точки и эта точка не является регулярной точкой или полюсом n-го порядка.

> полный вид примера:
> f(z)=[G(z)*L(z)]/[D(z)*M(z)]
> where
> G(z)=exp(tg(Pi*z))
> L(z)=sin(2*Pi*z/3)
> D(z)=2*z+1
> M(z)=exp(z)-1
> найти и исследовать особые точки(так вроде)

> Я ,кстати, считаю , что Ваше утверждение не верно.

$$ Доказательство: Поделим обе части равенства F(z) = f(z)g(z) на регулярную функцию f(z). Если точка z0 не является существенно-особой точкой функции F(z), то она также не является существенно-особой точкой F(z)/f(z). (Аналитичность очевидна, главный член ряда Лована легко написать.) Конец доказательства.


Точка z=0 по-твоему будет регулярной точкой функции f(z)= zz* ?


> > > > Авторы контрольной тоже так считили.Но в СОТ не существует предела ф-ции(вроде как тангенс с одной стотроны к +беск. а с другой к минус беск.), а тут может быть так , что + беск*(+0) - с одной стороны и -беск.*(-0) с другой - тогда предел есть, и равен +беск.А это уже полюсы.

> > > $$ Имхо, справедливо следующее утверждение: Пусть есть F(z) = f(z) g(z), причем f(z) не есть тождественный 0. Если точка z=z0 есть регулярная точка функции f(z) и существенно-особая точка функции g(z), то z0 - существенно-особая точка функции F(z).

> > Имхо, такое утверждение может выполняться, а может не выполняться.Ибо приведенный пример не удовлетворяет определению СОТ: пределы справа и слева равны +беск., в самой точке ф-ция не определена - это не определение Сот, это определение полюса.

> $$ Блин, мужик, ты по какому учебнику ТФКП ботаешь? (И ботаешь ли вообще?) Ты хоть знаешь определение существенно-особой точки. Какие, нафиг, пределы слева и справа? На комплексной плоскости вообще нет права и лева. Точка называется существенно особой если функция аналитична в некоторой окрестности этой точки и эта точка не является регулярной точкой или полюсом n-го порядка.

Чё за наезд то?Я ТФКП три дня назад начал ботать.
Вот что написано в моих лекциях:
Изолированная особая точка ф-ции наз-ся
1. устранимой точкой, если существует конечный предел
2.полюсом, если существует предел=беск.
3. Сот, если не существует предела - конечного или бесконечного.
про пределы: у нас ведь действительные точки, вот я и решил, что можно вернуться к понятиям, верным для действительного переменного.
А что значит "существует предел" для аналитической ф-ции?

> > полный вид примера:
> > f(z)=[G(z)*L(z)]/[D(z)*M(z)]
> > where
> > G(z)=exp(tg(Pi*z))
> > L(z)=sin(2*Pi*z/3)
> > D(z)=2*z+1
> > M(z)=exp(z)-1
> > найти и исследовать особые точки(так вроде)

> > Я ,кстати, считаю , что Ваше утверждение не верно.

> $$ Доказательство: Поделим обе части равенства F(z) = f(z)g(z) на регулярную функцию f(z). Если точка z0 не является существенно-особой точкой функции F(z), то она также не является существенно-особой точкой F(z)/f(z). (Аналитичность очевидна, главный член ряда Лована легко написать.) Конец доказательства.

Док-во вроде верное, но тогда найдите, где я ошибся пожалуйста.
Спасибо за эту теорему.


> Точка z=0 по-твоему будет регулярной точкой функции f(z)= zz* ?

Да. А почему нет?И какого вида особой точкой она будут?


> > $$ Блин, мужик, ты по какому учебнику ТФКП ботаешь? (И ботаешь ли вообще?) Ты хоть знаешь определение существенно-особой точки. Какие, нафиг, пределы слева и справа? На комплексной плоскости вообще нет права и лева. Точка называется существенно особой если функция аналитична в некоторой окрестности этой точки и эта точка не является регулярной точкой или полюсом n-го порядка.

> Чё за наезд то?Я ТФКП три дня назад начал ботать.
> Вот что написано в моих лекциях:
> Изолированная особая точка ф-ции наз-ся
> 1. устранимой точкой, если существует конечный предел
> 2.полюсом, если существует предел=беск.
> 3. Сот, если не существует предела - конечного или бесконечного.
> про пределы: у нас ведь действительные точки, вот я и решил, что можно вернуться к понятиям, верным для действительного переменного.
> А что значит "существует предел" для аналитической ф-ции?

$$ А кто читает лекции-то?

> > > полный вид примера:
> > > f(z)=[G(z)*L(z)]/[D(z)*M(z)]
> > > where
> > > G(z)=exp(tg(Pi*z))
> > > L(z)=sin(2*Pi*z/3)
> > > D(z)=2*z+1
> > > M(z)=exp(z)-1
> > > найти и исследовать особые точки(так вроде)

> > > Я ,кстати, считаю , что Ваше утверждение не верно.

> > $$ Доказательство: Поделим обе части равенства F(z) = f(z)g(z) на регулярную функцию f(z). Если точка z0 не является существенно-особой точкой функции F(z), то она также не является существенно-особой точкой F(z)/f(z). (Аналитичность очевидна, главный член ряда Лорана легко написать.) Конец доказательства.

> Док-во вроде верное, но тогда найдите, где я ошибся пожалуйста.

$$ Если тебе хочется поприкалываться со своим неправильным решением, возьми пределы вдоль линии z = 1/2 + i y. Готов спорить что перделы не совпадут.


> > Точка z=0 по-твоему будет регулярной точкой функции f(z)= zz* ?

> Да. А почему нет?И какого вида особой точкой она будут?

$$ Ma vaffanculo ragazzo! Растет новое поколение физиков :))) Ты хоть понимаешь что говорить об особых точках можно если только функция аналитическая. Возьми f(z) и проверь для нее условия Коши-Римана.


> > > Точка z=0 по-твоему будет регулярной точкой функции f(
> $$ Ma vaffanculo ragazzo! Растет новое поколение физиков :))) Ты хоть понимаешь что говорить об особых точках можно если только функция аналитическая. Возьми f(z) и проверь для нее условия Коши-Римана.

Да нее, ты не расстраивайся про новое поколение физиков - я просто только начал ТФКП изучать.Вот помучаюсь с полгодика, там разберусь.А вообще я математику люблю, просто семинарист по ТФКП не очень шарящий попался.
А лекции читает Власов.Тоже, помойму не очень шарит мужик.Лекции черезвычайно не строгие.

Свою ошибку я понял.Спасибо.


> > > > Точка z=0 по-твоему будет регулярной точкой функции f(
> > $$ Ma vaffanculo ragazzo! Растет новое поколение физиков :))) Ты хоть понимаешь что говорить об особых точках можно если только функция аналитическая. Возьми f(z) и проверь для нее условия Коши-Римана.

> Да нее, ты не расстраивайся про новое поколение физиков - я просто только начал ТФКП изучать.Вот помучаюсь с полгодика, там разберусь.А вообще я математику люблю, просто семинарист по ТФКП не очень шарящий попался.
> А лекции читает Власов.Тоже, помойму не очень шарит мужик.Лекции черезвычайно не строгие.

$$ A Yu. V. Sidorov uzhe ne chitaet?


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100