Метод математической индукции

Сообщение №7753 от Фома 19 мая 2003 г. 17:03
Тема: Метод математической индукции

1) Правда ли, что метод мат. индукции не совсем корректен, т.е. существуют неверные утверждения, которые им можно доказать?

2) Существует ли математическое доказательство метода мат. индукции?


Отклики на это сообщение:

> 1) Правда ли, что метод мат. индукции не совсем корректен, т.е. существуют неверные утверждения, которые им можно доказать?

> 2) Существует ли математическое доказательство метода мат. индукции?

1)Аксиома индукции есть, как известно, одна из аксиом Пеано, а любая формальная система с аксиомами Пеано по теореме Геделя неполна. Так что тут действительно не все гладко.
2) Принцип мат. индукции аксиоматизируется, в частности, у того же Пеано.



> > 1) Правда ли, что метод мат. индукции не совсем корректен, т.е. существуют неверные утверждения, которые им можно доказать?

> > 2) Существует ли математическое доказательство метода мат. индукции?

> 1)Аксиома индукции есть, как известно, одна из аксиом Пеано, а любая формальная система с аксиомами Пеано по теореме Геделя неполна. Так что тут действительно не все гладко.

Гёделизацией метода математической индукций является теорема Гудштейна (Goodstein). То есть эту теорему нельзя В ПРИНЦИПЕ доказать методом математической индукции, и этот факт является следствием теорeмы Гёделя.



> 1) Правда ли, что метод мат. индукции не совсем корректен, т.е. существуют неверные утверждения, которые им можно доказать?

> 2) Существует ли математическое доказательство метода мат. индукции?

Вот аксиомы Пеано:
А. 1 - натуральное число.
Б. У любого натурального числа N существует ровно одно
последующее натуральное число N'.
В. Если N' = K', то N = K.
Г. N' не равен 1 ни для какого N.
Д. Если множество Т обладает следующими свойствами:
а) Т - подмножество N,
б) Т содержит 1,
в) если Т содержит N, то Т содержит N',
то Т = N.

Из последней аксиомы (называемой аксиомой индукции) немедленно следует
принцип математической индукции.


> 1) Правда ли, что метод мат. индукции не совсем корректен, т.е. существуют неверные утверждения, которые им можно доказать?

> 2) Существует ли математическое доказательство метода мат. индукции?

Интересный вопрос. Во всяком случае, если множество несчетно, то проблемы с применением правила будут :))

Но, думаю, метод стопроцентно верен.
Если же понимать не-математическую индукцию, то это уже философский вопрос.
Допустим. Идете вы по улице и встречаете гуся. Он белый. Идете дальше, еще белый гусь. Дальше... Встречаете 100000-го гуся, он тоже белый. Ничто не мешает вам встретить 10000001-го серого гуся, но здравый смысл и "рассуждения по индукции" вам скажут, что будущий 10000001-й гусь должен быть белым.
Иногда здравый смысл ошибается, то стоит ли в этом винить МАТЕМАТИЧЕСКУЮ индукцию?


> > 1) Правда ли, что метод мат. индукции не совсем корректен, т.е. существуют неверные утверждения, которые им можно доказать?

> > 2) Существует ли математическое доказательство метода мат. индукции?

> Интересный вопрос. Во всяком случае, если множество несчетно, то проблемы с применением правила будут :))

> Но, думаю, метод стопроцентно верен.
> Если же понимать не-математическую индукцию, то это уже философский вопрос.
> Допустим. Идете вы по улице и встречаете гуся. Он белый. Идете дальше, еще белый гусь. Дальше... Встречаете 100000-го гуся, он тоже белый. Ничто не мешает вам встретить 10000001-го серого гуся, но здравый смысл и "рассуждения по индукции" вам скажут, что будущий 10000001-й гусь должен быть белым.
> Иногда здравый смысл ошибается, то стоит ли в этом винить МАТЕМАТИЧЕСКУЮ индукцию?

Когда падает одно зерно шума нет. Пусть при падении n зерен шума нет.
Тогда при одновременном падении n зерен (от которых нет шума) и еще
одного зерна (от которого тоже нет шума) шума не будет.
По принципу мат. индукции падение любого количества зерен не
вызывает шума.


> 1) Правда ли, что метод мат. индукции не совсем корректен, т.е. существуют неверные утверждения, которые им можно доказать?

> 2) Существует ли математическое доказательство метода мат. индукции?

net eto aksioma


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100