Аппроксимация и интерполирование

Сообщение №7442 от - 11 апреля 2003 г. 12:01
Тема: Аппроксимация и интерполирование

!


Отклики на это сообщение:

Можно ли по 4 точкам на отрезке полупериода определить синусоидальную функцию? Период не известен. Цель - найти её максимум.



Можно ли точно заменить функцию y = sqrt(x) каким-нибудь сплайном
или полиномом для более быстрого вычисления? Нужно вычислить
длинну вектора, желательно не используя медленный sqrt().


> Можно ли точно заменить функцию y = sqrt(x) каким-нибудь сплайном
> или полиномом для более быстрого вычисления? Нужно вычислить
> длинну вектора, желательно не используя медленный sqrt().

Esli dlina vektora predpolagaet'sia byt' blizkoj k kakomu-to fiksirovannomu znacheniju to mozhno zatabulirovat' eti znachenija i razlagat' v riad Tejlora.

Tak zhe mozhno poluchit' priblizhe"nnoe znachenie kornia manipulirujua s dvoichnym predstavleniem chisla:

float my_sqrt(float f)
{
union{float f;unsigned int u;}x;
x.f=(float)f;
x.u=(0xbe700000-x.u)>>1;
float v2=f*0.5f;
float a=x.f*(1.5f-v2*x.f*x.f);
a=a*(1.5f-v2*a*a);
return f*a;
}


> Можно ли точно заменить функцию y = sqrt(x) каким-нибудь сплайном
> или полиномом для более быстрого вычисления? Нужно вычислить
> длинну вектора, желательно не используя медленный sqrt().

1.сплайн или полиномом -это не точная, а приблизительная замена.
2.sqrt(x)- это машинная операция в компьютере, которую инженеры и математики старались сделать максимально быстрой.
Никакая программа-функция не сможет работать быстрее.


Если интервал значений х не велик, то можно посчитать заранее табличку для всех возможных значений. А выборку из таблицы можно сделать очень быстрой.


Никто не встречался с алгоритмом интерполяции функции 2-х переменных методом конечных элементов (вроде так называется). Т.е. у меня есть набор точек (x,y) и значений функции в этих точках (точки разбросаны на плоскости случайно). Также уже произведена триангуляция этих точек (x,y). В каждом треугольнике этой триангуляции необходимо найти полином(в каждом треугольнике разный), такой чтобы выполнялись условия сшивания на границе с соседним треугольником.



> Никто не встречался с алгоритмом интерполяции функции 2-х переменных методом конечных элементов (вроде так называется). Т.е. у меня есть набор точек (x,y) и значений функции в этих точках (точки разбросаны на плоскости случайно). Также уже произведена триангуляция этих точек (x,y). В каждом треугольнике этой триангуляции необходимо найти полином(в каждом треугольнике разный), такой чтобы выполнялись условия сшивания на границе с соседним треугольником.

Кажется что то подобное когда-то решал, только не с произвольной триангуляцией, а квадратной. То есть каждый квадрат квадратной сетки разбит на два треугольника. Полином от Pn(x,y) составить по моему нельзя. Но зато можно составить гармоничекий полином. То есть вместо x^n*y^m берётся
exp(i*2pi*(x*n+y*m)), где x и y локальные координаты [0;1].


> Кажется что то подобное когда-то решал, только не с произвольной триангуляцией, а квадратной. То есть каждый квадрат квадратной сетки разбит на два треугольника. Полином от Pn(x,y) составить по моему нельзя. Но зато можно составить гармоничекий полином. То есть вместо x^n*y^m берётся
> exp(i*2pi*(x*n+y*m)), где x и y локальные координаты [0;1].

Несовсем понятно, почему нельзя с обычным полиномом. Если можно, то по подробнее про алгоритм который вы использовали, если есть ссылки на литературу то укажите их.


Столкнулся со следующей проблемой: есть график функции f(x) построенный в логарифмическом масштабе т.е. аргумент х меняется в очень широких пределах
пробовал интерполировать полиномом разнных степеней получается чушь. т.е в базовых точках значения соответствуют реальным в точках отличных от базовых несоответствуют. Может кто сталкивался с данной проблемой, может стоит попробовать интерполировать сплайнами. Может есть у кого ссылки на литературу


Народ, помогите плз решить пример, не успеваю - завтра сдавать:

x+y, y = z
Представить функцию f(x,y,z)= x+z+1, y не= z

в виде полинома Жегалкина...


Я бы попробовал полином от переменной ln(x)


Если это ещё актуально ...

Не совсем понимаю в чём проблема, но если говорить о методе конечных элементов (МКЭ) с симплексными треугольными элементами, то сшивка производится только по значению, а в качекстве полинома берётся линейная зависимоcnь
u(x,y)=a*c+b*y+c.
В каждом k-ом узле задаётся значение функции uk.
Соотвественно любому треугольнику соотвествует три вершины i,j,k. Для вычисления коэффициентов a,b,c, которые определяются для КАЖДОГО треугольника решается СЛАУ
ui=a*xi+b*yi+c
uj=a*xj+b*yj+c
uk=a*xk+b*yk+c
По крайней мере в МКЭ поступают так, если есть вопросы - разъясним !


С треугольниками все понятно, но мне необходима непрерывность производной, поэтому надо каждый треугольник аппроксимировать каким нибудь полиномом (наверное хватит 3 степени) и сшивать их на границе. В сшивании как раз и проблема: как находить коэффициенты для каждого треугольника?


> С треугольниками все понятно, но мне необходима непрерывность производной, поэтому надо каждый треугольник аппроксимировать каким нибудь полиномом (наверное хватит 3 степени) и сшивать их на границе. В сшивании как раз и проблема: как находить коэффициенты для каждого треугольника?

Небольшое уточнение: для какой задачи это требуется ? Для МКЭ, просто интерполяции... ? Может я более конкретно смогу посоветовать.
Если требуется непрерыность производной, то есть эрмитовая интерполяция, и используется треугольная сетка, то придётся задавать в узлах не только значения интерполируемой функции, но и производной ! Полином в этом случае строится аналогично случаю сшивки по значениям, только добовляются ещё три уравнения для сшивки по производной и повышается степень полинома. Другого пути здесь нет. Хотя есть вариант с использованием сплайнов, тогда производные функции не потребуются, но в этом случае придётся ограничиться прямоугольной сеткой.


Помогите, пожалуйста, разобраться с интерполяционными многочленами на конкретном, не совсем научном примере. Есть попытка прогнозирования событий - нахождения зависимостей между событиями, но непонятен алгоритм решения в примере, причём я почти ничего не помню о многочленах. Пример такой (с выдержкой из статьи):
-"Читателей, конечно, прежде всего интересует вопрос о том, как Сидик по некоторым отправным точкам определяет прошлое человека и делает прогноз на будущее. К сожалению, удовлетворительный ответ на него не может дать даже сам автор этих прогнозов, получивший приставку "Афган" за предсказание точной даты вывода последних советских войск из Афганистана.

И все же я попытаюсь приоткрыть завесу над таинствами этого феномена. Его собственный ответ примерно таков: каждое событие под Солнцем имеет строго определенную дату рождения. Зная по крайней мере три точки, связанные с этим событием, например, серию и номер паспорта, дату рождения и т.д., можно определить дату интересующего нас события.

Говоря языком математики, ответ Сидика можно растолковать следующим образом. По трем точкам, характеризующим предыдущие моменты развития события, строится кривая (интерполяционный многочлен), по характеру поведения которой определяются последующие моменты этого события, то есть предсказывается будущее.

Однако вся сложность этой упрощенной модели состоит в том, что нам неизвестны координаты указанных точек, ввиду отсутствия масштаба. Здесь на помощь приходит теория чисел, точнее свойство чисел отражать в себе гармонию упаковки событий или элементов материального мира. К примеру, равенства 100=102 012=001 121=112 112=121 144=122 212=441 169=132 312=961 121-100=021 121-001=120 144-121=023 441-121=320 169-144=025 961-441=520 023-021=002 320-120=200 025-023=002 520-320=200 002-002=000 200-200=000 не просто красиво смотрятся, ввиду их симметрии, но и отражают внутренние связи, гармонию отношений чисел, стоящих по разные стороны от оси симметрии.

Приведу раскладки Сидиком дат начала 1-й и 2-й мировых войн: 1914= 4 k=1 k3+ 9 k=6 k3+21+22+23=1914 1939= 4 k=1 k3+ 9 k=6 k3+31+32+33=1939 где 4 k=1 k3=13+23+33+43 9 k=6 k3=63+73+83+93.

Установив внутренние закономерности упаковки указанных чисел, возникает естественное желание узнать, когда нас ждут очередные беды, то есть начало 3-й мировой войны. Подставив очередное число 4 в правую часть разложения, имеем: 4 k=1 k3+ 9 k=6 k3+41+42+43=1984."
Хотелось бы понять принцип этого метода.
Буду очень благодарен Вам за помощь.



Аппроксимация опытных данных рациональными функциями
Есть экспериментальный график некоей величины. Он имеет треугольную форму: при значениях аргумента от Х1 до Х2 функция линейно растет (от нуля до Y1), затем при значения аргумента от Х2 до Х3 функция линейно убывает (от Y1 до нуля). Углы наклона прямых ессно разные.
Вопрос: может ли кто посоветовать набором из каких рациональных и легко интегрируемых функций можно аппроксимировать такой график? Только надо, чтобы ответ (итоговая функция) не зависел от значения аргумента - чтобы он был одинаков для любых Х от Х1 до Х3. Пусть даже получившийся график окажется и не строго треугольным.
12 марта 2004 г. 01:22:


можно задать любую конечнозвенную ломаную.

Модули интегрируются элементарно.


Мне нужно уйти от табличного задания функции (когда на различных интервалах работают разные формулы). Это связано с тем, что при интегрировании в произвольных пределах придется сначала вычислять куда попадут пределы интегрирования, а потом заниматься собственно интегрированием. Хотелось бы сделать все в одно действие.
Я пробовал комбинировать с арктангенсами или гиперболическими тангенсами, но тоже интегрировать очень муторно выходит.


Кто-нибудь сталкивался с реккурентными сплайнами или со сплайнами, которыми можно обрабатывать информацию в реальном времени? Нужны ссылки на литературу.


Здравствуйте, уважаемые математики!

Я сейчас делаю программу, и столкнулся с проблемой выбора вида аппроксимации некоторой функции. График функции представляет собой серию пиков (по форме примерно параболических) при различных неравноотстоящих значениях аргумента. В результате эксперимента получаются, конечно, только некоторые точки этой кривой. Какой вид приближения функции выбрать (мне просто нужно будет график её строить), и где об этом можно почитать (желательно, в инете)?


> Здравствуйте, уважаемые математики!

> Я сейчас делаю программу, и столкнулся с проблемой выбора вида аппроксимации некоторой функции. График функции представляет собой серию пиков (по форме примерно параболических) при различных неравноотстоящих значениях аргумента. В результате эксперимента получаются, конечно, только некоторые точки этой кривой. Какой вид приближения функции выбрать (мне просто нужно будет график её строить), и где об этом можно почитать (желательно, в инете)?

Конечно, мало понятно, что у Вас там за функции, но если пики похожи на параболу, то можно параболами и приближать(по трем точкам: основаниям и вершине пики, если я правильно понял форму графика; или по трем точкам эксперимента, для каждой пики).


Сплайн с натяжением (Splain with tension)
кто что знает?
статьи, формулы, ссылки: о-о-очень надо!
Помогите плиз.
15 мая 2004 г. 02:40:


Задача у меня состоит в следующем: определить, от каких параметров зависит погрешность интерполяции кубическим сплайном 2-х переменных на хаотических сетках и каким образом выражается эта зависимость. Очевидно, что не только расстоянием до ближайших точек, но и топологией распределения точек на плоскости. Пожплуйста, натолкните на мысль ;/
06 февраля 2005 г. 00:49:


Программное обеспечение и решения в области аппроксимации на сайте http://shigorinsv.narod.ru. До 100 (ста) значений переменных, до 10 (десяти) переменных функции, погрешность вычислений - 0%.


http://alglib.manual.ru/interpolation/
Интерполяция, аппроксимация и численное дифференцирование


http://truba.nnov.ru/interpolation/
Нижегородский Государственный Университет им. Н. И. Лобачевского, Механико-Математический факультет, кафедра Численного моделирования механико-математических процессов.

Теория интерполирования


> Программное обеспечение и решения в области аппроксимации на сайте http://shigorinsv.narod.ru. До 100 (ста) значений переменных, до 10 (десяти) переменных функции, погрешность вычислений - 0%.

погрешность вычислений чего?


двухмерная аппроксимация с пятью параметрами

Здравствуйте!

У меня такая проблемка возникла.
Есть массив экспериментальных данных |X|Y|Y|, необходимо произвести его аgпроксимацию функцией I=(k1/(X-x0)^2+(Y-y0)^2+z0^2)+k2 и найти x0,y0,z0,k1,k2. Точек очень много по X окло 600 и по Y около 600. Если не затруднит посоветуте как это лучше сделать. Прямой МНК S=Sum(Ii-(k1/(Xi-x0)^2+(Yi-y0)^2+z0^2)+) с численным решением системы уравнений по Ньютону выдал огромную ошибку. Может я что то упустил. Заранее спасибо.
24 июня 2005 г. 12:39:


Дорогой Сергей!

Чтобы аппроксимировать 600 пар точек без ошибки, нужно взять функцию 599 степени переменной. Если Вы взяли функцию при этом 2 степени, то ошибка будет очень велика!
Пришлите мне Ваши данные по адресу: shigorinsv@mail.ru и я попробую решить Вашу задачу.

С уважением, Сергей Шигорин.


> погрешность вычислений чего?
Погрешность при аппроксимации, т.е. абсолютная ошибка (разница найденного значения функции и исходного) и относительная.


Вот столкнулся с точно такой же задачей.
Есть функция, заданная набором точек произвольно разбросанных в 2D. Нужно провести интерполяцию данной функции, построив равномерную сетку.
Искал долго в просторах Интернета, но вот ничего конкретного найти не смог. Знаю, что с подобной задачей легко справляется Матлаб: функция griddata, которая работает в два этапа:
- проводит Делоне триангуляцию
- по данным триангуляцию проводит интерполяцию функции (линейную, «по ближайшему соседу» или кубическую), там это называется интерполяция на треугольнике.
Если с алгоритмом триангуляции все просто (он хорошо описан и есть даже реализации на C++), то вот найти хорошее описание алгоритма интерполяции по триангуляции (в крайнем случаи интерполяция на треугольнике) найти не могу.
Требования к интерполяции:
- отсутствие «эффекта террас»,
- отсутствие звона,
- гладкость интерполяции, т.е. непрерывность второй производной.
Т.е. хотелось бы, чтобы интерполяция проводилась кубическим сплайном.

Поиски в Интернете дали методичку К. Богачева кафедры выч. математики МГУ им. Ломоносова, где хорошо описана кубическая интерполяция по нерегулярной триангулярной сети, но она требует задания двух дополнительных точек на каждой стороне треугольника, но вот где их взять ? – еще одна доп. задачка.
Кроме того, удалось найти следующую фразу: «Для нерегулярной триангулярной сети может быть получена сглаженная поверхность с использованием двумерного полиномиального преобразования пятого порядка (вдоль осей Х и Y на
каждой треугольной грани поверхности)». Но о чем идет речь автор не уточнил, наверное, думая что всем и так все ясно. Да вот еще упоминалась некая «эрмитовая интерполяция».

Может кто поможет ламеру, дайте ссылку или растолкуйте алгоритм.


> Вот столкнулся с точно такой же задачей.
> Есть функция, заданная набором точек произвольно разбросанных в 2D. Нужно провести интерполяцию данной функции, построив равномерную сетку.
> Искал долго в просторах Интернета, но вот ничего конкретного найти не смог. Знаю, что с подобной задачей легко справляется Матлаб: функция griddata, которая работает в два этапа:
> - проводит Делоне триангуляцию
> - по данным триангуляцию проводит интерполяцию функции (линейную, «по ближайшему соседу» или кубическую), там это называется интерполяция на треугольнике.
> Если с алгоритмом триангуляции все просто (он хорошо описан и есть даже реализации на C++), то вот найти хорошее описание алгоритма интерполяции по триангуляции (в крайнем случаи интерполяция на треугольнике) найти не могу.
> Требования к интерполяции:
> - отсутствие «эффекта террас»,
> - отсутствие звона,
> - гладкость интерполяции, т.е. непрерывность второй производной.
> Т.е. хотелось бы, чтобы интерполяция проводилась кубическим сплайном.

> Поиски в Интернете дали методичку К. Богачева кафедры выч. математики МГУ им. Ломоносова, где хорошо описана кубическая интерполяция по нерегулярной триангулярной сети, но она требует задания двух дополнительных точек на каждой стороне треугольника, но вот где их взять ? – еще одна доп. задачка.
> Кроме того, удалось найти следующую фразу: «Для нерегулярной триангулярной сети может быть получена сглаженная поверхность с использованием двумерного полиномиального преобразования пятого порядка (вдоль осей Х и Y на
> каждой треугольной грани поверхности)». Но о чем идет речь автор не уточнил, наверное, думая что всем и так все ясно.

Если мне не изменяет память, то что-то похожее описано в книжке Г. Марчука "Методы вычислительной математики". Более точно сказать не могу, просто помню, что там упоминались некие полиномы именно 5-й степени.


> Если мне не изменяет память, то что-то похожее описано в книжке Г. Марчука "Методы вычислительной математики". Более точно сказать не могу, просто помню, что там упоминались некие полиномы именно 5-й степени.

Спасибо, поищу этот труд в инете.

А никто ничего не знает по поводу интерполяции Липшица ?
Вот здесь вот нашол такую (www.deakin.edu.au/~gleb/lip.html). Автор библиотеки (Глеб Беляков) пишет что он подходит может работать с любой размерностью, не только 2D или 3D. Кроме того обладает высокой скоростью, вродебы порядок вычислительной сложности O(log(k)), где k - кол-во точек наблюдения, при условии проведения препроцесинга над задаными точками. Да еще говорит точность у нее высокая, и что характерно, на краях (границах зоны наблюдения) тоже, чем не могут похвастатся теже полимиальные методы. Да еще и управлять скоростью роста апроксимационой функии можно (т.н. константа Липшица).

Кроме того почти по всему инету методы интерполяции за которые просят денюжку основаны на работах Роберта Ренка (www.netlib.org/toms/752, www.netlib.org/toms/772, www.netlib.org/toms/773, www.netlib.org/toms/661, www.netlib.org/toms/790). Это конечно круто взять шареварные источники на фортране (к сожалению все методы реализованые самим Ренком только на фортране 77) перевести их на С++ и драть за это таньгу, но это наверное вопрос этики :). Сами методы конечно интересны, но вот в фортране 77 я не шарю, может кто уже занимался этими алгоритмами или видел их перевод на С/С++ ? Особено инетерсует алгоритмы 790 и 752.


P.S.: Все ссылки приведены только с благой целью сделать их общедоступеными для широкого применения, никаких авторских прав я не думал нарушать (вроде бы разрешалось публиковать ссылки на методы с упоминанием имени автора и первоисточника, что я и сдела). Может кому-то они помогу, т.к. сам я искал подобные методы целую неделю.


>Знаю, что с подобной задачей легко справляется Матлаб: функция griddata, которая работает в два этапа:

ну раз справляется, зачем что-то писать? Бери математическую библиотеку матлаба и используй её в своих программах.


Как аппроксимировать гиперболической функцией опытных данных


«К обоснованию метода наименьших квадратов».
(Успехи математических наук, 1946, Вып. 1 (11). Т. 1. - С. 57-70.)

Если Андрей Николаевич Колмогоров
«один из лучших, если не лучший математик двадцатого века» -
в расцвете сил отвлекается от кибернетики на полуторавековой давности дитё Карла Фридриха Гаусса,-
то ...
«не ладно что-то в королевстве датском».

Далее – ... см.здесь.
04 мая 2006 г. 22:14:


Как разложить синус (косинус) по функциям Бесселя?
Спасибо, Гр.


> Как разложить синус (косинус) по функциям Бесселя?
> Спасибо, Гр.

Андре Анго
"МАТЕМАТИКА для электро- и радиоинженеров"
Москва, "Наука", 1965


Спасибо, конечно, но хотелось бы получить ответ без посещения библиотеки. У Вас есть эта книга? В смысле, Вы видели там ответ на мой вопрос?

> Андре Анго
> "МАТЕМАТИКА для электро- и радиоинженеров"
> Москва, "Наука", 1965


> Спасибо, конечно, но хотелось бы получить ответ без посещения библиотеки. У Вас есть эта книга? В смысле, Вы видели там ответ на мой вопрос?

А что вам нужно разложить конкретно? sin(cos(x))?


sin(x)
и
cos(x).
Говорят, что если для малых x допущение cos(x)~1, sin(x)~x не подходит (у меня потом из-за этого получается предел 0/0), то можно разложить их по функциям Бесселя (степенной ряд не очень хотелось бы). Но я никогда так не делал и не знаю соответствующих разложений.
Гр.

> > Спасибо, конечно, но хотелось бы получить ответ без посещения библиотеки. У Вас есть эта книга? В смысле, Вы видели там ответ на мой вопрос?

> А что вам нужно разложить конкретно? sin(cos(x))?


> sin(x)
> и
> cos(x).
> Говорят, что если для малых x допущение cos(x)~1, sin(x)~x не подходит (у меня потом из-за этого получается предел 0/0), то можно разложить их по функциям Бесселя (степенной ряд не очень хотелось бы). Но я никогда так не делал и не знаю соответствующих разложений.

cos(x)~ J0(x)- 2*J2(x)
sin(x)~ 2*J1(x)
Кажется так. Проверьте по точкам.


Спасибо, очень похоже на правду.
Гр.
> > sin(x)
> > и
> > cos(x).
> > Говорят, что если для малых x допущение cos(x)~1, sin(x)~x не подходит (у меня потом из-за этого получается предел 0/0), то можно разложить их по функциям Бесселя (степенной ряд не очень хотелось бы). Но я никогда так не делал и не знаю соответствующих разложений.

> cos(x)~ J0(x)- 2*J2(x)
> sin(x)~ 2*J1(x)
> Кажется так. Проверьте по точкам.


Подскажите где есть материал по интерполяционной формуле Ньютона для функции двух переменных. Можно название книги. А то инф-ы очень мало, нашёл пару страниц только в Демидович "Основы выч. мат.".
24 мая 2006 г. 21:52:


Здравствуйте у меня вопрос:
Кто - нибудь интерполировал функцию не в прямоугольнике а в треугольнике?
16 июня 2006 г. 13:40:


  • 19111: Метрическое приближение операторов прохожий 05 октября 07:53
    В ответ на №7442: Аппроксимация и интерполирование от - , 11 апреля 2003 г.:
  • Многие трудности построения приближенных моделей в значительной степени связаны с аналитическим видом приближенных зависимостей. Поэтому возникает задача поиска новых аналитических видов приближенных зависимостей. В работе рассматривались две конкретные задачи построения нового аналитического вида приближенных зависимостей: 1.интерполяционное приближение; 2.равномерное приближение.
    Введено понятие метрической производной и метрического интеграла и доказан ряд теорем об их свойствах. Построен конкретный аналитический вид зависимости – операторные метрические многочлены для равномерного приближения и интерполяционные метрические многочлены Ньютона и Лагранжа для интерполяционного приближения. Доказан ряд теорем о свойствах построенных метрических приближений. Доказаны теоремы о сходимости равномерного и интерполяционного метрических приближений для операторов целого типа, которые являются операторными аналогами функций целого типа. Проведены численные исследования метрических приближений и показана их высокая эффективность для построения приближенных зависимостей с большим число переменных. Численно открыт новый вид сходимости приближений - сходимость по числу переменных.
    Полная электронная версия статьи находится по адресу http://puticivil.narod.ru/pages/mpo_el.htm
    04 октября 2006 г. 09:38:


    > Доказаны теоремы о сходимости равномерного и интерполяционного метрических приближений для операторов целого типа, которые являются операторными аналогами функций целого типа. Проведены численные исследования метрических приближений и показана их высокая эффективность для построения приближенных зависимостей с большим число переменных. Численно открыт новый вид сходимости приближений - сходимость по числу переменных.

    Прежде знакомства со столь обширным трудом - есть длинный ряд фактических данных, подчиняющихся неизвестной математической зависимости. Какую пользу можно извлечь из Вашей разработки для определения вида этой зависимости.


    Здравствуйте!
    Данный подход к задачам приближения предназначен для построения приближенных зависимостей содержащих много переменных на относительно небольшом объеме исходных данных. Поэтому в нижеприводимых рассуждениях предполагается, что ваш «длинный ряд фактических данных» есть именно такая зависимость. Для зависимостей от одной переменной, например от времени, данный поход совпадает с методом приближения функции одного переменного.
    Предложенный метод может быть использован для решения следующих задач.
    1. «Кусочная» аппроксимация фактической зависимости.
    Данная задача возникает:
    а) при необходимости как можно более точного приближения исходной зависимости, особенно если эта зависимость достаточно сложная. Каждый из «кусков» аппроксимации в этом случае будет строиться на небольшом объеме данных. Данный метод позволяет строить именно такие зависимости – когда число данных небольшое, возможно даже меньше количества переменных зависимости. Количество исходных данных будет определять степень приближенной зависимости – метрического многочлена;
    б) при исследования изменения характера поведения этой зависимости. Построение одной зависимости для всего ряда данных имеет смысл, когда заранее известно, что характер зависимости для всех подмножеств исходных данных не изменяется. Если это заранее не известно или заранее известно, что характер зависимости изменялся, то целесообразно строить «кусочные» аппроксимации.
    2. Определения влияния количества и состава переменных на зависимую переменную.
    Для этого необходимо строить зависимости с разным количеством и составом переменных и оценивать получаемую погрешность приближения. Эта задача возникает в связи с необходимостью определения в реальных объектах наиболее «значимых» переменных.
    3. Более полное использование имеющейся информации.
    Использование в качестве модели большой системы метрических приближений позволяет использовать для построения модели всю ту имеющуюся в наличии статистическую информацию, которая обычно накапливается в различных организациях. Данный подход не требует определения каких-либо специальных величин.
    4. Уменьшение времени построения моделей больших систем.
    Использование метрических приближений для построения моделей больших систем радикально уменьшает количество вычислений и объем информации необходимых для построения модели. Так, для построения тестового метрического приближения степени 10 содержащего 4096 переменных потребовалось значения параметров в 12 точках и время построения 35 секунд на компьютере с процессором Pentium 2. При построении приближения в виде алгебраического многочлена степени 10 содержащего 4096 переменных только для однократного сложения коэффициентов алгебраического многочлена суперкомпьютер с суммарной производительностью 10**13 операций/секунду должен был бы работать не менее 10**8 лет.
    5. Построение «больших» моделей больших систем.
    Малое время построения и одинаковый аналитический вид отдельных уравнений системы позволяет автоматически строить большие модели больших систем, содержащие сотни и тысячи уравнений, каждое из которых может содержать сотни и тысячи переменных.


    5. Построение «больших» моделей больших систем.
    > Малое время построения и одинаковый аналитический вид отдельных уравнений системы позволяет автоматически строить большие модели больших систем, содержащие сотни и тысячи уравнений, каждое из которых может содержать сотни и тысячи переменных.

    Это мне подойдет. Реализованы алгоритмы в компьютерных программах?


    Есть тестирующие программы на MathCad. Подойдет?


    > Есть тестирующие программы на MathCad. Подойдет?

    Подойдет.


    Если речь идет о серии, т.е. периодическом сигнале, то приближать его надо рядом Фурье.
    Не могу сказать, что я специалист в этом, но точно гдето это слышал :))


    Обращаюсь к спецам в аппроксимации.
    Все говорят во всех книгах и учебниках, что метод наименьших квадратов позволяет несколько уменьшить погрешности исходных данных (сгладить и отфильтровать). Но как математически правильно расчитать на сколько уменьшилась погрешность и уменьшилась ли она - не могу найти. Подскажите пожалуйста, направление поисков.
    Заранее благодарен.



    > Все говорят во всех книгах и учебниках, что метод наименьших квадратов позволяет несколько уменьшить погрешности исходных данных.

    Исходные данные - это ДАННОЕ. И всё! Что-то можно говорить об оценке измеряемого параметра, но не о данных.



    > Исходные данные - это ДАННОЕ. И всё! Что-то можно говорить об оценке измеряемого параметра, но не о данных.

    Пардон. Что-то я не совсем понял :)
    Точнее - совсем не понял.


    Кое-что таки понял.
    Во-первых- Сновым годом:)
    Во-вторых - уточняю вопрос:

    Буквально в каждой книге по численным методам говорится следующее (цитата из Калиткин Н.Н. "Численные методы" стр. 51):
    ... Если y(xi) определены не точно, - например, из эксперимента, - то точное приравнивание не разумно. Поэтому нередко целесообразнее приближать функцию не по точкам, а в среднем, т.е. в норме Lp."

    Очевидно имеется ввиду, что использование аппроксимации вместо полиномиальной интерполяции усредняет исходные данные.
    Но можем ли мы говорить, что погрешность при этом уменьшается как дисперсия математического ожидания (корень из n раз)? Очевидно НЕТ.

    Вопрос в том - Как оценить степень этого усреднения математически строго?


    > Кое-что таки понял.
    > Во-первых- Сновым годом:)
    > Во-вторых - уточняю вопрос:

    > Буквально в каждой книге по численным методам говорится следующее (цитата из Калиткин Н.Н. "Численные методы" стр. 51):
    > ... Если y(xi) определены не точно, - например, из эксперимента, - то точное приравнивание не разумно. Поэтому нередко целесообразнее приближать функцию не по точкам, а в среднем, т.е. в норме Lp."

    > Очевидно имеется ввиду, что использование аппроксимации вместо полиномиальной интерполяции усредняет исходные данные.
    > Но можем ли мы говорить, что погрешность при этом уменьшается как дисперсия математического ожидания (корень из n раз)? Очевидно НЕТ.

    > Вопрос в том - Как оценить степень этого усреднения математически строго?


    Что такое степень усреднения?

    Кстати, здесь (на форуме) недавно, может быть, интуитивно похожее по теме, обсуждалось. Поиск вывел на сообщение 19437: Метод наименьших квадратов. от virgin


    > Кое-что таки понял.
    > Во-первых- Сновым годом:)
    > Во-вторых - уточняю вопрос:

    > Буквально в каждой книге по численным методам говорится следующее (цитата из Калиткин Н.Н. "Численные методы" стр. 51):
    > ... Если y(xi) определены не точно, - например, из эксперимента, - то точное приравнивание не разумно. Поэтому нередко целесообразнее приближать функцию не по точкам, а в среднем, т.е. в норме Lp."

    > Очевидно имеется ввиду, что использование аппроксимации вместо полиномиальной интерполяции усредняет исходные данные.
    > Но можем ли мы говорить, что погрешность при этом уменьшается как дисперсия математического ожидания (корень из n раз)? Очевидно НЕТ.

    > Вопрос в том - Как оценить степень этого усреднения математически строго?

    Вопрос в том - Как оценить степень этого усреднения математически строго?

    Вопрос по существу.
    Если Вы ещё на форуме полезно обсудить следующий абзац в книге Калиткин’а Н.Н.


    Так там же нет ответа на вопрос :(


    Интересуют программы, выбирающие вид аппроксимирующей функции, обеспечивающий наилучшее приближение по заложенному в программу критерию(ям) из множества заложенных в программу видов.
    Чем больше видов заложено в программе, тем интереснее ее испытать на экспериментальных данных.


    эксперементальные данные о значениях переменных х и у:
    xj 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3
    yj 3.9| 3.3| 2.6| 2.3| 1.9
    в результате их выравнивания получена функция у= х+3/х. Используя метод наименьших квадратом, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью у= ах+b (найти параметры а и b). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. сделать чертеж.
    И как можно это решить??? непонимаю! =(((


    А Вы бы всё-таки прочитали этот метод. Для начала возьмите всего три точки на плоскости, не лежащие на одной прямой, и проведите согласно этому методу прямую, наименее уклоняющуюся от этих трёх точек. Оценкой уклонения по этому методу является сумма квадратов уклонений в заданных точках - отсюда и название.
    Переходя к Вашей задаче, сравните эти оценки для функции х+3/х и той линейной, что у Вас получится.


    Я не математик, но с методом приходятся довольно часто сталкиваться - аддитивные расчеты термодинамических свойств веществ и прочее. Считаю в основном в Exel используя функцию регрессия. Очень часто случается, что в результате расчета одино или несколько значений переменных в матрице равно нулю.
    Имеется еще программа написанная умельшем из университета - там случается точно такое. Подскажите в чем дело ? И как избежать подобного ?


    Неужели никто не поможет. Я понимаю, что вопрос возможно очень простой или даже одиотский. Но проблема остается проблемой.


    Здравствуйте.

    Не подскажете, какие существуют более-менее простые методы повышения качества интерполяции функции отрезками параболы?

    Вопрос вот в чём. У нас есть значения достаточно гладкой функции в нескольких точках отрезка (пусть, расположенных на равных расстояниях), и больше мы ничего о функции не знаем (т.е. никаких производных и т.п.). Нужно с достаточно хорошим качеством восстановить значения функции на всём отрезке. Простейший способ - линейная интерполяция. Но в результате получается негладкая функция, а хотелось бы иметь что-то получше. Вроде бы более продвинутый способ - интерполяция параболами, гладко сшитыми в заданных нам точках.

    В чём проблема? См. на прилагаемый рисунок: там розовой кривой показан кусок функции exp(-x^2), а синей - результат её интерполяции параболами по нескольким точкам, точки пресечения - это как раз те точки, в которых значения функции нам были заданы. Проблема в том, что результат интерполяции имеет явно волнообразный характер. Это можно заметить и не зная исходной функции. Этот результат наводит на мысли, что качество такой интерполяции даже хуже, чем линейной. Как же избавиться от этой волны? Я имею в виду - универсальный способ, т.е. речь не идёт о том, чтобы "подобрать" условия на границах отрезка "на глазок".


    Подскажите, как можно интерпретировать такую ситуацию.
    Есть ряд экспериментальных зависимостей, апроксимация которых осуществляется по методу Левенберга-Марквардта. Точность определения параметров подгонки оценивается через диагональные элементы матрицы вариации-ковариации. Для всех экспериментальных кривых точность подгонки удовлетворительна. Точность определения параметров подгонки для некоторых из них вполне достаточна, для других же - ниже всякой критики. При этом не видно никакой прямой связи между точностью подгонки и точностью определения параметров.
    Неясно, почему такая проблема для некоторых экспериментальных кривых возникает, а для некоторых - нет. Остаётся также вопрос, насколько можно говорить о том, что используемая для апроксимации математическая модель хорошо описывает экспериментальные данные.


    > Задача у меня состоит в следующем: определить, от каких параметров зависит погрешность интерполяции кубическим сплайном 2-х переменных на хаотических сетках и каким образом выражается эта зависимость. Очевидно, что не только расстоянием до ближайших точек, но и топологией распределения точек на плоскости. Пожплуйста, натолкните на мысль ;/
    > 06 февраля 2005 г. 00:49:

    А почему кубический сплайн?

    Сплайн является линейным относительно данных методом интерполяции.
    А для линейных отностительно данных методов есть формула оценки
    дисперсии погрешности. Правда для этого необходимо знать
    ковариацию случайной функции, реализацией которой являются
    наблюдаемое явление, данные которого интерполируются.
    Результат идентичный сплайн интерполяции можно получить с помощью
    крайгинг интерполяции с линейным трендом относительно координат
    и вариограммой остатков пропорциональной R ln(R). При этом
    легко получается карта оценки стандартного отклонения погрешности
    интерполяции ( в точках данных 0). Можно было бы воспользоваться
    Surfer 7 или 8, но такой модели вариограммы там не предусмотрено,
    насколько я помню :-(


    Универсального подхода нет. Всё зависит от гипотез принимаемых относительно восстанавливаемой функции. Если делается интерполяция линейными сплайнами, то в точках данных рвётся первая производная, если квадратичными, то рвётся вторая производная, при исспользовании кубических сплайнов -- третья и т.д. Может быть поможет интерполяция с помощью полинома ∑i=1nai xi (i=1,...n) степени n равной количеству данных - 1. Коэффициенты ai этого полинома можно найти решив систему лин. уравнений:∑i=1nai xij=f(xj) (j=0,...n), где f(xj) -- значения данных в точках xj


    Вобщем может быть кто нибуть поможет в решении задачи интерполяции в линейном пространстве. И так приступим. Необходимо доказать:
    Фi(x,i)= {1,при i=j
    Фi(x,i)= {0,при i≠j

    Доказывается приблизительно так:

    Фi(x,i)=∑(Δki/Δ)*φk(x)=1/Δ∑Δkiφk(x)

    Дальше идёт матрица и я уже немогу сообразить.


    Помогите пожалуйста кто чем может!!!!!!!
    Такая задачка по численным.
    Таблица значений ln от 1000 до 10000. Какова наибольшая погрешность линейной интерполяции (по двум значениям), если шаг равен 1.
    Заранее огромное спасибо. Просто горю.


    [Перенесено модератором из форума "Форум по математике"]

    Сообщение №23919 от Volt 27 февраля 2008 г. 16:53
    Тема: как найти формулу прямой по эмпирическим данным

    Приветствую,

    простой вопрос, но давно все забыл. . .

    Подскажите, как найти формулу прямой по эмпирическим данным.
    Т.е. есть пять точек, предполагаем что можно аппроксимировать
    в прямую.

    Заранее признателен за ответы.

    ----------
    Regards,
    Volt

    Отклики на это сообщение:

    > Приветствую,

    > простой вопрос, но давно все забыл. . .

    > Подскажите, как найти формулу прямой по эмпирическим данным.
    > Т.е. есть пять точек, предполагаем что можно аппроксимировать
    > в прямую.

    Формула прямой (уравнение прямой) - У = а*х + с
    а = (y5-y1)/(x5-x1)- тангенс угла наклона прямой к оси х.
    c = y при х=0 - то есть точка на оси у, где её пересекает прямая.
    Апроксимация - это нужно провести прямую через 5 точек так, чтобы она проходила приблизительно на равных расстояниях от этих точек. Проще это сделать на графике. Линию провести интуитивно, так как произвол допустим. В первом приближении - просто провести прямую от точки1 до точки5.
    Если интересует теория, то сами знаете как поступить.

    > Приветствую,

    > простой вопрос, но давно все забыл. . .

    > Подскажите, как найти формулу прямой по эмпирическим данным.
    > Т.е. есть пять точек, предполагаем что можно аппроксимировать
    > в прямую.

    > Заранее признателен за ответы.

    > ----------
    > Regards,
    > Volt Прямая по точкам

    > Приветствую,

    > простой вопрос, но давно все забыл. . .

    > Подскажите, как найти формулу прямой по эмпирическим данным.
    > Т.е. есть пять точек, предполагаем что можно аппроксимировать
    > в прямую.

    > Заранее признателен за ответы.

    > ----------
    > Regards,
    > Volt Физико-математический пакет

    Есть ли пакет прикладных программ, который автоматически предлагает несколько лучших приближений к экспериментальным данным двух переменных (или больше переменных) из комбинаций (опять же, автоматически компилируемых) заложенного в программу множества алгебраических функций?

    Я не нашел в интернете такого к сожалению.

    > Есть ли пакет прикладных программ, который автоматически предлагает несколько лучших приближений к экспериментальным данным двух переменных (или больше переменных) из комбинаций (опять же, автоматически компилируемых) заложенного в программу множества алгебраических функций?

    Определите понятие "лучшее приближение к экспериментальным данным.

    > Есть ли пакет прикладных программ, который автоматически предлагает несколько лучших приближений к экспериментальным данным двух переменных (или больше переменных) из комбинаций (опять же, автоматически компилируемых) заложенного в программу множества алгебраических функций?

    > Я не нашел в интернете такого к сожалению.

    Любой нормальный математический пакет Маткад, Матлаб

    > > Есть ли пакет прикладных программ, который автоматически предлагает несколько лучших приближений к экспериментальным данным двух переменных (или больше переменных) из комбинаций (опять же, автоматически компилируемых) заложенного в программу множества алгебраических функций?

    > Определите понятие "лучшее приближение к экспериментальным данным.

    В смысле принятого критерия, например, как часто и удовлетворительно для меня, метода наименьших квадратов. Подойдут и другие критерии.
    Если такие программы есть, то они могут включать и несколько критериев. Выбор за оператором.
    Есть у меня набор данных, имеющих некую неизвестную зависимость между аргументом и результатом, который не удается пролонгировать в будущее, хотя связь детерминированная.
    Вот и возник вопрос.

    > Есть у меня набор данных, имеющих некую неизвестную зависимость между аргументом и результатом, который не удается пролонгировать в будущее, хотя связь детерминированная.

    Т.е. вы пытаетесь найти неизвестную связь методом наименьших квадратов

    > > Есть у меня набор данных, имеющих некую неизвестную зависимость между аргументом и результатом, который не удается пролонгировать в будущее, хотя связь детерминированная.

    > Т.е. вы пытаетесь найти неизвестную связь методом наименьших квадратов

    Да.

    Но с удавольствием применил бы и другой критерий, если он реализован в программе.

    Большое спасибо всем ответившим!

    ----------
    Regards,
    Volt


    [Перенесено модератором из форума "Форум по математике"]

    Сообщение №24398 от EvgenADM 15 апреля 2008 г. 10:23
    Тема: Аппроксимация функции

    Найти коэффициенты квадратичной аппроксимирующей функции y=F(x) для функции y=f(x):

    x : 1,2 2,3 3,8 4,3 5,4 6,3 7,5 8,1 9,6
    y : 10,22 10,88 13,82 17,08 22,55 30,3 47,55 59,11 83,99

    ____

    Отклики на это сообщение:

    http://physics.nad.ru/graph.html#Построение_прямой_y=a+bx_методом_наименьших_квадратов


    [Перенесено модератором из форума "Форум по математике"]

    Сообщение №25335 от Selsin 23 июля 2008 г. 16:12
    Тема: Как преобразовать табличную функцию в ряд Фурье ?

    Добрый день !
    Подскажите, пожалуйста, если, например, есть значения функции в нескольких точках
    (2,5), (3,4), (6,6)

    То как преобразовать это в ряд Фурье, с тремя гармониками ?

    Отклики на это сообщение:

    > Добрый день !
    > Подскажите, пожалуйста, если, например, есть значения функции в нескольких точках
    > (2,5), (3,4), (6,6)

    > То как преобразовать это в ряд Фурье, с тремя гармониками ?

    Или какой-нибуть другой ряд. Что проще. И по-понятней . Пожалуйста !


    Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

    Реклама:
    Rambler's Top100