Числовые ряды. Теория. Задачи. Решения.

Сообщение №7186 от - 06 марта 2003 г. 07:49
Тема: Числовые ряды. Теория. Задачи. Решения.

На форуме возникало множество вопросов – задач на суммирование числовых рядов.
Выделяется специальная тема по этим задачам.
Пожалуйста, посылайте сообщения в эту тему.


Отклики на это сообщение:

Сообщение от Елена , 05 марта 2003 г. 21:59:

Пожалуйста помогите найти сумму ряда.
Алгебраическая сумма n/2^n
при n стремящемся к бесконечности.Если возможно распешите по-подробнее.
Заранее благодарна

Женя


> Пожалуйста помогите найти сумму ряда.
> Алгебраическая сумма n/2^n
> при n стремящемся к бесконечности.Если возможно распешите по-подробнее.
> Заранее благодарна

Распишите в треугольник:
1/2+1/4+1/8+1/16+...
1/4+1/8+1/16+...
+1/8+1/16+...
+...

Возьмите ряд в каждой строчке, потом сложите по строкам.


Исходный ряд в точности равен ряду Тейлора для

f(x)=0.5/(1-x)^2 при x=0.5 следовательно сумма равна f(0.5)=2.


Метод сжатого ряда.
Бесконечный числовой ряд может быть двух типов: сходящийся и расходящийся.
Определить, к какому типу относится тот или иной ряд бывает очень трудно.
Предлагается способ определения типа ряда методом "сжатого ряда".
Суть заключается в следующем:
Пусть дан бесконечный ряд A
a0 + a1 + a2 + a3 + a4 ...
действительных неотрицательных чисел
a0, a1, a2, a3, a4, ...
Ряд A преобразуем в ряд B следующим образом:
b0 = a0,
b1 = a1 + a2,
b2 = a3 + a4 + a5 + a6,
...
Получаем новый ряд B 2-й степени сжатия
b0 + b1 + b2 + b3 + b4 + ...
Если ряд A преобразуем как
b0 = a0,
b1 = a1 + a2 + a3,
b2 = a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9,
...
тогда мы получим ряд B 3-й степени сжатия.
Таким образом можно получить дочерний ряд любой степени сжатия.
Ряд B отличается от материнского ряда A всем, кроме суммы членов.
Сумма членов ряда A равна сумме членов ряда B в любом случае.
Пусть ряд A 1 + 1 + 1 + ... . Его сумма равна бесконечности.
Сумма сжатого ряда 2-й степени 1 + 2 + 4 + 8 + ... будет также
равна бесконечности.
Если для расходящихся рядов суммы ряда A и B равны бесконечности,
то для сходящихся рядов эти суммы равны (A=B) некоторому конкретному
действительному числу. Это можно легко проверить, например, по ряду
факториала:
E = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ...
или факториала суммы (обозначаемого мною знаком #.)
3 = 1/1# + 1/2# + 1/3# + ...
Однако вернёмся к расходящимся рядам, а именно - к гармоническому ряду.
1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...
Его дочерний сжатый ряд 2-й степени
b1 + b2 + b3 + b4 + ... + bn + ...
Это монотонно убывающий ряд, но его n-й член (назовём его общим членом bn)
стремится не к нулю, как в сходящихся рядах, а к числу Ln(2).
Грубо, гармонический ряд можно было бы представить в виде
Ln(2) + Ln(2) + Ln(2) + ...
То же самое значение Ln(2) даёт сумма знакопеременного ряда Лейбница
1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...
Бесконечный ряд расходится, если общий член bn его сжатого ряда любой степени
стремится к отличному от нуля числу.
Бесконечный ряд сходится, если общий член bn его сжатого ряда любой степени
стремится к нулю, а повторное сжатие ряда
B = b0 + b1 + b2 + b3 + ... + bn + ...
дающего в результате ряд
C = c0 + c1 + c2 + ... + cn + ...
приводит к тому, что cn стремится к нулю и A = B = C.
Теперь рассмотрим ряд простых чисел.
Ну, разумеется, обратных значений простых чисел.
В дальнейшем, ряд простых чисел.
1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + ...
Леонард Эйлер доказал, что этот ряд расходится.
Вот ряд простых чисел 10-й степени сжатия:
G - значение члена гармонического ряда,
Prime - значение члена сжатого ряда простых чисел,
N - количество членов материнского ряда простых чисел,
Member - член сжатого ряда.
G Prime N Member
1 1,533438 (10) b1
1/2 0,572903 (100) b2
1/3 0,351069 (1000) b3
1/4 0,251846 (10000) b4
1/5 0,196887 (100000) b5
1/6 0,162073 (1000000) b6
...
Легко видеть, что значение члена bn сжатого ряда простых чисел
10-й степени стремится к значению соответствующего ему члена гармонического ряда.
Повторное сжатие ряда с большой степенью вероятности приведёт к тому,
что общий член bn будет стремиться к некоторому числу 0 < bn < Ln(2).
Как минимум, cn будет не равен нулю. Следовательно,
ряд простых чисел расходится.
Ранее я был убеждён в сходимости ряда простых чисел в силу того,
что в некоторых справочниках по математике в один голос
насаждалось мнение о том, что гармонический ряд n степени
1/2^n + 1/3^n + 1/4^n + ... + 1/m^n + ...
сходится при n > 1. Сие утверждение, ничем, на мой взгляд, кстати, не подтверждённое,
сбивало меня с толку. Чтобы не быть голословным приведу цитату из книги
"Дифференциальное и интегральное исчисление",
Я.С.Бугров С.М.Никольский,
Москва, "Наука", 1984. (стр. 369)
//// начало цитаты
Ряд 1 + 1/2^a + 1/3^a + ... сходится при a>1 и расходится при a<=1 потому,
что функция 1/(1+x)^a при a>0 непрерывна и монотонно убывает на [0, бесконечность],
а интеграл от dx/(1+x)^a меньше бесконечности при a>1 и равен бесконечности
при a<=1.
//// конец цитаты
Здесь следует оговориться, что речь идёт НЕ О СТЕПЕННОМ РЯДЕ.
Речь идёт только о ГАРМОНИЧЕСКОМ ряде, каждый член которого возведён
в определённую степень.
Не знаю, насколько цитируемое доказательство покажется убедительным.
Я могу представить в качестве доказательсва только результаты вычисления
ряда, полученные на компьютере. Одним из критериев может служить, например,
такое свойство действительных чисел как
1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 + 0.0001 + ... .
Ясно, что этот ряд сходится к 1.(1) .
Вгляните на последовательность сжатого гармонического ряда (степень сжатия = 2).
Нетрудно видеть, что общий член данного ряда хотя и убывает монотонно,
но совсем не стремится к нулю. Правда, нет и полной уверенности,
что ряд стремится к Ln(2). Это ещё предстоит доказать.
Дадим бесконечно малое приращение dx. Ряд будет выглядеть так:
1/2^(n+dx) + 1/3^(n+dx) + ... + 1/m^(n+dx) + ...
Тогда, по общепринятому положению ряд должен сходиться.
Но это предположение ложно, поскольку общий член сжатого ряда 2-й степени
будет мало чем отличаться от Ln(2), а значит, ряд расходится.
Для того, чтобы значение общего члена степенного ряда было 0 < bn < Ln(2),
dx не обязательно должен быть бесконечно малым.
Перед вами два бесконечных ряда.
Слева гармонический ряд (степень сжатия 2) без dx.
Справа гармонический ряд (степень сжатия 2), где dx = 0,00000001
Without dx With dx = 0,00000001
0,833333333333333 0,833333326205557
0,75952380952381 0,75952379707306
0,72537185037185 0,725371833114497
0,709016202207527 0,709016180258466
0,701020708269249 0,701020681626361
0,697068688883403 0,697068657518131
0,695104120228108 0,695104084112767
0,694124696732443 0,694124655846514
0,693635700228411 0,693635654558288
0,693391380789583 0,693391330326785
0,693269265773606 0,693269210513049
0,693208219441486 0,693208159380207
0,693177699069393 0,693177634205701
0,693162439581838 0,69316236991478
0,693154810012684 0,693154735541731
0,693150995271763 0,693150915996623
0,693149087912216 0,693149003832732
0,693148134235171 0,693148045351257
0,693147657397331 0,69314756370894
0,693147418978581 0,693147320485689
0,693147299769249 0,693147196471842
Как видите, оба ряда стремятся к вполне определённому неравному нулю числу.
Тех, кого не устраивает точность вычислений программы на Дельфи
(16 значащих цифр), могут проверить вычисления программой Mathematica 4.
Какие ещё нужны доказательства?
Итак, гармонический ряд расходится и при n > 1.
Но тогда возникает законный вопрос, а при какой же степени
гармонический ряд сходится? При какой степени n общий член
сжатого ряда будет стремиться к нулю?
Это вопрос к читателю. Мною и так уже наворочено гипотез
выше всякой меры.
Владимир Привалов. март 2003 г.
http://privaloff.narod.ru

-----------------------------------------------
Re: Метод сжатого ряда Roman1 22 марта 21:14
> Итак, гармонический ряд расходится и при n > 1.
> Но тогда возникает законный вопрос, а при какой же степени
> гармонический ряд сходится? При какой степени n общий член
> сжатого ряда будет стремиться к нулю?
> Это вопрос к читателю. Мною и так уже наворочено гипотез
> выше всякой меры.
> Владимир Привалов. март 2003 г.
> http://privaloff.narod.ru
smeshnoi bred:)
u menya est gipoteza, chto nado srochno 03 zvonit
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Re: Метод сжатого ряда pete koupriyanov 22 марта 21:54
> Итак, гармонический ряд расходится и при n > 1.
тоесть вы хотите сказать что zeta(a) при a>1 не определена? :)
вот так просто взять и отвергнуть открытия математиков прошлых веков, эйлера, римана :)
я не увидел внятного доказательства этого :) все очень длинно и неправильно :)
сестра таланта - краткость :)
----------------------------------------------------------------------------------------
Re: Метод сжатого ряда unabashed 23 марта 02:25
> > Итак, гармонический ряд расходится и при n > 1.
> тоесть вы хотите сказать что zeta(a) при a>1 не определена? :)
> вот так просто взять и отвергнуть открытия математиков прошлых веков, эйлера, римана :)
> я не увидел внятного доказательства этого :) все очень длинно и неправильно :)
> сестра таланта - краткость :)
А мне сообщение понравилось. Любопытно и понятно.
Вот только автор не знает что простые числа асимптотически рапределены по законы C*n*ln(n), где C=1.12... (Это на этом форуме кто-то “открыл").
Я например тоже навскидку не мог сказать сходиться ли интеграл от 1/x*ln(х).
--------------------------------------------------------------------------------


> Ранее я был убеждён в сходимости ряда простых чисел в силу того,
> что в некоторых справочниках по математике в один голос
> насаждалось мнение о том, что гармонический ряд n степени
> 1/2^n + 1/3^n + 1/4^n + ... + 1/m^n + ...
> сходится при n > 1. Сие утверждение, ничем, на мой взгляд, кстати,
> не подтверждённое, сбивало меня с толку.
Интегральный признак сходимости немедленно дает:

1/2^n + 1/3^n + ... <= \int_1^{\infty} 1/x^n dx

При n>1 интеграл в правой части неравенства равен 1/(n-1).
Таким образом, при n>1
1/2^n + 1/3^n + ... <= 1/(n-1).


Помогите, пожалуйста, разложить функцию lnx в степенной ряд.


> Помогите, пожалуйста, разложить функцию lnx в степенной ряд.
ln(x+1)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+...+(-1)^(n-1)*x^n/n+(-1)^n*x^(n+1)/(1+c*x)^(n+1),
0<=c<=1.



Народ!! Выручайте , по матану полная засада. Помогите решить следующее: Разложить в ряд Фурье f(x)=signx, найти область сходимости и исследовать на концах области сходимости. Спасибо огромное тому мозгу , который поможет.


Сходится ли ряд: f(n)= nan-1
если 0 < а < 1


--------------------------------------------------------------------------------
сумма
fizik
а сумма будет
1/(1-X)+X/((1-X)^2)
--------------------------------------------------------------------------------

7890: Re: сумма fizik 29 мая 16:23 нов
> а сумма будет
> 1/(1-X)+X/((1-X)^2)
где X=a :)


> Народ!! Выручайте , по матану полная засада. Помогите решить следующее: Разложить в ряд Фурье f(x)=signx, найти область сходимости и исследовать на концах области сходимости. Спасибо огромное тому мозгу , который поможет.
Вообще, действительно, какое-то совсем дикое западло, ведь sign не переодическая функция. Конечно можно разложить её на промежутке от -пи до +пи например.(обозначим интеграл для прстоты ф. intg(f(x)dx, a, b) f(x) от a до b).
Найдём коэф. Фурье:
a0 = 1/pi * intg(f(x)dx, -pi, pi) = 1/pi * (intg((-1)dx, -pi, 0) + intg(dx, 0, pi)) = 0
ak = 1/pi * (intg((-1)cos(kx)dx, -pi, 0) + intg(cos(kx)dx, 0, pi)) = 0
bk = 1/pi * (intg((-1)sin(kx)dx, -pi, 0) + intg(sin(kx)dx, 0, pi)) = 2/(pi*k) * (1 - cos(pi*k)) = {0 при k::2, 4/(pi*k) при k:/:2}
Итог:
sign(x) = 4/pi * (sin(x)/1 + sin(3x)/3 + sin(5x)/5 + ...) при (-pi, +pi) э x.
Сходится при этих же x, т.к. имеет конечную сумму.


Подскажите пожалуйста - как решить данную сумму для любых n, m ?
Я пробовал заменять 1+i на Х, но ничего не получилось...
^ - знак возведения в степепнь.
Извиняюсь заранее если вопрос глупый..

n m
Sum Sum (1+i)^j
i=1 j=1


> n m
> Sum Sum (1+i)^j
> i=1 j=1

Замкнутое выражение получить вряд ли удастся, но немного упростить можно. Например, свернув внутреннюю сумму по формуле геометрической прогрессии:

n
Sum ((1+i)^(m+1)-i-1)/i
i=1


> > n m
> > Sum Sum (1+i)^j
> > i=1 j=1

> Замкнутое выражение получить вряд ли удастся, но немного упростить можно. Например, свернув внутреннюю сумму по формуле геометрической прогрессии:

> n
> Sum ((1+i)^(m+1)-i-1)/i
> i=1

Еще вопрос -
такого вида сумма тоже никак не алгоритмизируется: ?

n
Sum i^2
i=1



> такого вида сумма тоже никак не алгоритмизируется: ?

> n
> Sum i^2
> i=1

Эта сумма рава n*(n+1)*(2*n+1)/6.


> > такого вида сумма тоже никак не алгоритмизируется: ?

> > n
> > Sum i^2
> > i=1

> Эта сумма рава n*(n+1)*(2*n+1)/6.

Чувствую себя полным идиотом... объясните пожалуйста как получилась
такая чудная формула... хотябы в 2 словах...
Как я понимаю - это ведь не арифм., и не геометр. прогрессия...


> > > такого вида сумма тоже никак не алгоритмизируется: ?

> > > n
> > > Sum i^2
> > > i=1

> > Эта сумма рава n*(n+1)*(2*n+1)/6.

> Чувствую себя полным идиотом... объясните пожалуйста как получилась
> такая чудная формула... хотябы в 2 словах...
> Как я понимаю - это ведь не арифм., и не геометр. прогрессия...

Арифметическую прогессию образуют РАЗНОСТИ соседних слагаемых (а ВТОРЫЕ разности, разности разностей - константа).
А третьи - нулевые. Этого вполне достаточно.
Есть общий метод решения таких конечноразностных уравнений.
См, нпр.
А.О.Гельфонд, Исчисление конечных разностей.
Холл, Комбинаторика и др.
Там излагается МЕТОД. А результат - формулы для суммы произвольных натуральных
степеней конечного отрезка натуральго ряда есть в приличных справочниках.
Успехов.


А вот такую фиговину можно упростить как-нить?

n m
Sum Sum (1/(k+j^2)
j=1 k=1


> А вот такую фиговину можно упростить как-нить?

> n m
> Sum Sum (1/(k+j^2)
> j=1 k=1

Извиняюсь, уточняю :

n m
Sum Sum (1/(k+j^2))
j=1 k=1


> > А вот такую фиговину можно упростить как-нить?

> > n m
> > Sum Sum (1/(k+j^2)
> > j=1 k=1

> Извиняюсь, уточняю :

> n m
> Sum Sum (1/(k+j^2))
> j=1 k=1

Ответьте хоть кто-нить.. Очень нужно.


Привет всем, кто что-то понимает в тета-функциях!

Есть такой двойной ряд. Sum (i=1...infinity, j=1...infinity) {x^(i*j)}, причем |x|<1. Знаю, что он сходится равномерно (доказательство почти очевидно). Имею большие надежды на то, что сумма выражается через тета-функции и их производные в нуле. Видел задачку в Ватсоне и Уиттекере (том 2, стр. 371, задача 13, если не ошибаюсь), но из результата, хоть он и похожий, пока не получается решение поставленной здесь задачи.

Буду рад, если кто-нибудь сможет подсказать, что делать, или даст сразу ответ с кратким обоснованием.

Спасибо заранее за отклики. Алексей.



Ряд расходится, между прочим. Или это неважно?


Пардон, не посмотрел верхне пределы. А так сразу пока не могу ничего посоветовать.


исследовать на сходимость последовательность - (cos(n))^n
и ряд на основе этой последовательности, понятно, что в случае расходимости посл-ти про сх-ть ряда говорить не стоит, номожно оценить его частичную сумму.
11 декабря 2003 г. 17:05:


> исследовать на сходимость последовательность - (cos(n))^n

Расходится. Из теории непрерывных дробей следует, что существует бесконечно много таких дробей p/q, что

|p/q - Pi| < 1/q^2
или
|p-q*pi| < 1/q
или
|p-q*pi| < c/p для некоторой константы c

Рассмотрим такое p.

Заметим, что
|cos(p)| = |cos(p-q*pi)| = cos(|p-q*pi|) >= 1-(c/p)^2/2 = 1-C/p^2,
где C=c^2/2 также константа.
Здесь мы воспользовались неравенством cos(x)>=1-x^2/2.

Итак,
|cos(p)|^p >= (1-C/p^2)^p -> 1

Таким образом существует подпоследовательность стремящаяся к 1 (по модулю). То, что существует подпоследовательность стремящаяся к 0 доказывается еще проще.

Поэтому последовательность (cos(n))^n не имеет предела.

Иллюстация:
вот несколько первых индексов подпоследовательности по модулю стремящейся к 1:
22, 333, 355, 103993, 104348, 208341, 312689, 833719, 1146408, 4272943
Так что
cos(22)^22 ~= 0.999138535
cos(333)^333 ~= 0.9871272
cos(355)^355 ~= -0.9999998387
и т.д.


Подскажите, пожалуйста, что делать с суммой вида:
S(n) = sum {k=1,...,n} n!/(k*(n-k)!)
Хотелось бы замкнутое выражение или асимптотические оценки при большом n...
Большое спасибо!
08 января 2004 г. 12:30:



> Подскажите, пожалуйста, что делать с суммой вида:
> S(n) = sum {k=1,...,n} n!/(k*(n-k)!)
> Хотелось бы замкнутое выражение или асимптотические оценки при большом n...
> Большое спасибо!
> 08 января 2004 г. 12:30:

Первый совет - загляните в "Конкретную математику" Кнута, Грэхема и Паташника. Второй - в "Асимптотику рядов" Федорюка.



Вы получите то, что называется "рядом Ламберта". Они упоминаются у Полиа и Сегё в "Задачах и примерах из анализа".

С другой стороны - рассмотрите ряд:
Sum (i=1...infinity, j=1...infinity) {x^(i*j)}/i*j, - он сворачивается в логарифм эйлерова произведения.


> А вот такую фиговину можно упростить как-нить?

> n m
> Sum Sum (1/(k+j^2)
> j=1 k=1

Поэтому упростить не представляется возможным...


Как оценить погрешность суммы знакочередующегося ряда с помощью теоремы Лейбница?
27 января 2004 г. 19:56

-------------------------------------------------------------------------------
это и есть теорема Лейбница
Хроноп
> Как оценить погрешность суммы знакочередующегося ряда с помощью теоремы Лейбница?
Её вторая часть. Погрешность (при условии монотонного убывания к нулю модуля общего члена) оценивается первым отброшенным слагаемым.
27 января 20:02


Как-то мне было интересно, как можно оценить скорость сходимости числового ряда. Я порылся в старой доброй математической энциклопедии и в математическом энциклопедическом словаре и нашел следующее:

Пусть существуют два сходящихся числовых ряда из {a_n} и {b_n}.
Если lim(n->+INF) (Ряд[i от n до +INF](a_i) / Ряд[j от n до +INF](b_j)) = 0,
то ряд из {a_n} сходится быстрее, чем ряд из {b_n}.

Выглядет красиво, но вот мне совершенно непонятно, как можно посчитать такой придел? Суммы от числа, стремящегося к INF до INF...

Если, например a_n и b_n интегрируемы на [0,+INF), то изменится ли величина придела, если ряды заменить на интегралы?

Ну и самое интересное... Формула, на сколько я понимаю не с потолка взялась, ее кто-то доказывал. Так вот что является критерием того, то ряд такой-то сходится быстрее, чем ряд такой-то? Хотелось бы взглянуть на вывод этого придела.
01 февраля 2004 г. 15:17:



Привет. возникла проблема. не знаю по теме ли, но все-таки.. Задача такая: получить все разложения f(z) в ряд Лорана по степеням z-z0. если z0 - особая точка, указать тип этой особой точки и найти res f(z).
теперь вопросы. 1. res нужно находить после каждого разложения? и как его находить? 2. как икогда указывать тип особой точки? Могу для примера дать два номера: 1. z0=(-2) f(z)=(z^2 -3z +5)/[(z+1)(z-2)^2]. 2. z0=2 f(z)=(z^2 -3z +5)/[(z+1)(z-2)^2].


> Привет. возникла проблема. не знаю по теме ли, но все-таки.. Задача такая: получить все разложения f(z) в ряд Лорана по степеням z-z0. если z0 - особая точка, указать тип этой особой точки и найти res f(z).
> теперь вопросы. 1. res нужно находить после каждого разложения? и как его находить? 2. как икогда указывать тип особой точки? Могу для примера дать два номера: 1. z0=(-2) f(z)=(z^2 -3z +5)/[(z+1)(z-2)^2]. 2. z0=2 f(z)=(z^2 -3z +5)/[(z+1)(z-2)^2].

1. Вычет функции (res) в особой точке - это интеграл по простому замкнутому контуру, "охватывающему" эту особую точку. Разложение в ряд Лорана -
\sum{n = -\infty,+\infty} C_n*(z-z_0)^n - строится в окрестности особой точки z_0, а коэффициент C_{-1} при 1/(z-z_0) оказывается равным вычету разлагаемой функции в точке z_0.

2. Классификация особых точек основана на количестве ненулевых слагаемых с отрицательным показателем степени у (z-z_0). Т.е. тип особой точки определяется немедленно после получения разложения функции в ее окрестности. Если в разложении нет отрицательный степеней (как в ряде Тейлора), то это "устранимая" особенность. Если их конечное число, скажем m, то это "полюс порядка m". А если их бесконечно много, то это "существенно особая точка".

В примере f(z) - правильная несократимая рациональная дробь, поэтому ее можно представить в виде суммы простейших дробей:
f(z) = 1/(z+1) + 1/(z-2)^2, (*)
псоле чего разложить первое слагаемое по степеням (z-2):
1/(z+1) = 1/3 * 1/( 1 + (z-2)/3 ) = 1/3*{ 1 - (z-2)/3 + ((z-2)/3)^2 -
((z-2)/3)^3 + ... }
- это ряд Тейлора, в нем есть только положительные степени (z-2), поэтому тип особой точки определяется только слагаемым в (*), т.е. z_0 = 2 это полюc второго порядка.

Как говорил Ленин: "Учится, учится и учиться, потому что это лучше чем работать, работать и работать..."


> 1. Вычет функции (res) в особой точке - это интеграл по простому замкнутому контуру, "охватывающему" эту особую точку. Разложение в ряд Лорана -
> \sum{n = -\infty,+\infty} C_n*(z-z_0)^n - строится в окрестности особой точки z_0, а коэффициент C_{-1} при 1/(z-z_0) оказывается равным вычету разлагаемой функции в точке z_0.

> 2. Классификация особых точек основана на количестве ненулевых слагаемых с отрицательным показателем степени у (z-z_0). Т.е. тип особой точки определяется немедленно после получения разложения функции в ее окрестности. Если в разложении нет отрицательный степеней (как в ряде Тейлора), то это "устранимая" особенность. Если их конечное число, скажем m, то это "полюс порядка m". А если их бесконечно много, то это "существенно особая точка".

> В примере f(z) - правильная несократимая рациональная дробь, поэтому ее можно представить в виде суммы простейших дробей:
> f(z) = 1/(z+1) + 1/(z-2)^2, (*)
> псоле чего разложить первое слагаемое по степеням (z-2):
> 1/(z+1) = 1/3 * 1/( 1 + (z-2)/3 ) = 1/3*{ 1 - (z-2)/3 + ((z-2)/3)^2 -
> ((z-2)/3)^3 + ... }
> - это ряд Тейлора, в нем есть только положительные степени (z-2), поэтому тип особой точки определяется только слагаемым в (*), т.е. z_0 = 2 это полюc второго порядка.

А куда мы дели разложения в области?? т.е. должно быть две области, если я не ошибаюсь 0<|z-2|<3 и |z-2|>3 . И уже в них мы должны, вроде как, делать разложение. И, допостим, если мне нужен С_{-1}, то он будет равен (по вашему решению) -1/3 или -1 или 0 ???


> А куда мы дели разложения в области?? т.е. должно быть две области, если я не ошибаюсь 0<|z-2|<3 и |z-2|>3 . И уже в них мы должны, вроде как, делать разложение.

Во-первых, рассуждения насчет полюса 2-го порядка относилось к примеру №2.
Далее, в каком смысле "куда дели?" - ничего никуда не девали. Просто чтобы определить тип особой точки нам нужно разложение именно в окрестности этой точки и все. Насчет вычета - он определяется для функции в ее особой точке, причем не "вообще", а в какой-то вполне определенной точке (z_0). Поэтому любое другое разложение по степеням (z-z_1), z_1 != z_0, ничего не говорит о величине вычета в точке z_0.
> И, допостим, если мне нужен С_{-1}, то он будет равен (по вашему решению) -1/3 или -1 или 0 ???
- вычет равен C_{-1} = 0.
В примере №1 точка z_0 = 2 не является особой.


> > Подскажите, пожалуйста, что делать с суммой вида:
> > S(n) = sum {k=1,...,n} n!/(k*(n-k)!)
> > Хотелось бы замкнутое выражение или асимптотические оценки при большом n...
> > Большое спасибо!
> > 08 января 2004 г. 12:30:

> Первый совет - загляните в "Конкретную математику" Кнута, Грэхема и Паташника. Второй - в "Асимптотику рядов" Федорюка.
Кстати, маткад её вполне считает, выдает
n!/(n-1)!*hypergeom((1,1,1,-n),(2),-1)
Ну а уж если маткад считает, то после "Конкретной математики" и Вы должны её посчитать. За сок и я бы скорее всего Вам её посчитал.


Можно так рассудить.
Есть ряд an и его сумма a и частичные суммы aN.
Каково должно быть минимтаьное N, чтобы aN-a<ипсилон?
Вот вам и про сходимость.

Или, я думаю, эквивалентное, каково n, чтобы an<ипсилон


Hello ALL !

Помогите найти алгоритм или уравнение вычисления _позиции_ числа
в Циклическом ряду, который задан уравнением:

C = A * P % N, где

C - член ряда
A - начальный член ряда
В - последний, = N-A
P - номер позиции
N - длинна ряда
( % - операция "остаток от деления", кто не в курсе)
09 марта 2004 г. 16:35:
Например C = 3 * P % 8 получаем ряд
3 6 1 4 7 2 5 0 ...

Нужно решение приведённой формулы относительно "P",
есс-но без применения перебора.

Удачи !


> Можно так рассудить.
> Есть ряд an и его сумма a и частичные суммы aN.
> Каково должно быть минимтаьное N, чтобы aN-a<ипсилон?
> Вот вам и про сходимость.

> Или, я думаю, эквивалентное, каково n, чтобы an<ипсилон

Не катит. Последовательность an может быть не монотонна, далее, до некоторого ni она может убывать "очень быстро", а потом "очень медленно". Не все так просто.


> Помогите найти алгоритм или уравнение вычисления _позиции_ числа
> в Циклическом ряду, который задан уравнением:

> C = A * P % N, где

> Нужно решение приведённой формулы относительно "P",
> есс-но без применения перебора.

P = C * A^(-1) mod N,
где A^(-1) mod N вычисляется с помощью расширенного алгоритма Евклида.

Почитайте эти
Лекции по Теории Чисел и особенно параграф 4.


Привет, уважаемые математики!
Столкнулся с проблемой, решить которую не хватает сообразительности.
Есть последовательность чисел, которая определяется следующей закономерностью:

i= 0: Y(i) = 0
i= 1: Y(i) = Y(i-1) + s

i= 2: Y(i) = Y(i-2) + s
i= 3: Y(i) = Y(i-2) + s

i= 4: Y(i) = Y(i-4) + s
i= 5: Y(i) = Y(i-4) + s
i= 6: Y(i) = Y(i-4) + s
i= 7: Y(i) = Y(i-4) + s

i= 8: Y(i) = Y(i-8) + s
i= 9: Y(i) = Y(i-8) + s
i=10: Y(i) = Y(i-8) + s
i=11: Y(i) = Y(i-8) + s
i=12: Y(i) = Y(i-8) + s
i=13: Y(i) = Y(i-8) + s
i=14: Y(i) = Y(i-8) + s
i=15: Y(i) = Y(i-8) + s
...
Следующие 16 элементов будут иметь вид:
Y(i) = Y(i-16) + s
И так далее.
s - некоторое постоянное число.

У меня такой вопрос. Можно ли найти формулу или алгоритм, вычисляющие значение Y(i) по заданному i, при этом не вычисляя значений Y, проходя цепочку до Y(0)? Число i достаточно большое и вычисления происходят в цикле, поэтому на перебор значений Y по цепочке уходит слишком много времени.

С уважением, Lake.


> У меня такой вопрос. Можно ли найти формулу или алгоритм, вычисляющие значение Y(i) по заданному i, при этом не вычисляя значений Y, проходя цепочку до Y(0)?

Y(i) = s*(число единиц в двоичной записи числа i)


> Y(i) = s*(число единиц в двоичной записи числа i)

ХитрО! Пока не знаю почему, но это действительно, работает. Спасибо, RElf! :)


> > Y(i) = s*(число единиц в двоичной записи числа i)

> ХитрО! Пока не знаю почему, но это действительно, работает. Спасибо, RElf! :)

Формула легко доказывается индукцией по i.


Есть ряд:

oo
--
> ((n+1)^4 * x^2n)/(2n+1) ;[-1/2, 1/2]
--
n=0

Необходимо для данного ряда построить мажорирующий ряд и доказать равномерную сходимость на указанном отрезке.

Следуя своим соображениям, на данном отрезке мажорирующим будет ряд (n+1)^4 / (2n+1)
Но это не так, т.к. ряд (n+1)^4 / (2n+1) расходится, что противоречит определению мажорируемого ряда.
Подскажить, какой всё же ряд будет мажорируемым, из каких соображений так получается?
Заранее огромное спасибо!
27 июля 2004 г. 14:05:


x^{2n} <= 1/4^n для x \in [-1/2, 1/2], поэтому
(n+1)^4 x^{2n}/(2n+1) <= (n+1)^4/(4^n(2n+1)) < (n+1)^3/4^n, а этот сходится.
27 июля 2004 г. 17:36:



ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ ЗАДАЧУ:
S = 1/3 + 2/(3^2) + 3/(3^3) + 4/(3^4) + ... + n/(3^n)
ЗАРАНЕЕ БЛАГОДАРЕН!!!
16 декабря 2004 г. 19:59:


> ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ ЗАДАЧУ:
> S = 1/3 + 2/(3^2) + 3/(3^3) + 4/(3^4) + ... + n/(3^n)
> ЗАРАНЕЕ БЛАГОДАРЕН!!!
> 16 декабря 2004 г. 19:59:
Davaite rassomtrim posledovatelnost
S_n(x) = 1/(x^2) + 2/(x^3) + 3/(x^4) + ... + (n-1)/(x^n)
posle integrirovanij po x poluchaem progressij,potom smelo ot
'horoshego viragenij' nahodil proizvodnuj po x,
podstavljem x=3 i skladivaem s drugoi geometrichseko progresiei
1/3 + 1/(3^2) + 1/(3^3) + 1/(3^4) + ... + 1/(3^n).
Alexei



Помогите найти предел ряда
1+а^1+a^2/2+a^3/3.....
30 апреля 2005 г. 17:52

--------------------------------------------------------------------------------
Re: Ряд
aborigen
30 апреля 19:25
В ответ на №14993: Ряд от Кошмар , 30 апреля 2005 г.:
> Помогите найти предел ряда
> 1+а^1+a^2/2+a^3/3.....
Если f(t) = 1/(1-t) = 1 + t + t^2 + t^3 + ..., -1 1 + \int_0^a f(t)dt = 1 - log(1-a). Это верно, естественно, при |a|<1, в остальных случаях ряд расходится, например, потому что член ряда не стремится к нулю.


> > Помогите найти предел ряда
> > 1+а^1+a^2/2+a^3/3.....

> Если f(t) = 1/(1-t) = 1 + t + t^2 + t^3 + ..., -1
> 1 + \int_0^a f(t)dt = 1 - log(1-a). Это верно, естественно, при |a|<1, в остальных случаях ряд расходится, например, потому что член ряда не стремится к нулю.

Точности ради, надо признать, что при |a|=1, задача требует дополнительного исследования. При a=1, ряд расходится, при a=-1, ряд будет сходится, по одному из признаков Абеля или Дирихле (точно не помню), и это в свою очередь, дает что сумма при a=-1 совпадает с (1 - log 2).
30 апреля 2005 г. 19:56:


Сам уже разобрался, а применить не получилось. :(
Всё равно: от души...


Подскажите кто знает:
1)сходится ли ряд:
сумма по n от 1 до + бесконечности
9*x^(2*n)*sin(x+pi*n)

2)сходится ли ряд:
сумма по n от 1 до + бесконечности
((-1)^n)/((x+n)^(-1/5))
Определить область сходимости.
форум по математике
23 мая 2005 г. 19:21

--------------------------------------------------------------------------------
Re: сходится ли ряд leh 23 мая 21:35
В ответ на: сходится ли ряд от leh , 23 мая 2005 г.:
Ответьте, пожалуйста, очень срочно нужно


оо (бесконечность)
E = n!*x^n
n=1
24 мая 2005 г. 14:27:


Если известны выражения для суммы натуральных чисел от 1 до N для для степеней 1,2,3 .. 2k. То сумма i**(2k+1), i=1,...,N элементарно находится из выражения
сумма i**(2k+1)= N**(2k+1)+сумма (N-i)*(2k+1)

Существует ли такой же простой метод для четных степеней ?
01 апреля 2006 г. 15:46

--------------------------------------------------------------------------------
: Re: Суммы степеней натуральных чисел Ираклий 01 апреля 20:02 нов
В ответ на: Суммы степеней натуральных чисел от scientes , 01 апреля 2006 г.:
> Если известны выражения для суммы натуральных чисел от 1 до N для для степеней 1,2,3 .. 2k. То сумма i**(2k+1), i=1,...,N элементарно находится из выражения
> сумма i**(2k+1)= N**(2k+1)+сумма (N-i)*(2k+1)
> Существует ли такой же простой метод для четных степеней ?

Вашего метода я не понял, но есть способ получить формулу для
S(n,k)=1^n +...+k^n
если уже известны формулы для меньших значений степени. Вот он.
Рассмотрим верное равенство (в котором используется бином Ньютона):
(сумма по i от 1 до k)(1+i)^(n+1)=k+(сумма по i от 1 до k)i^(n+1)+(сумма по i от 1 до k)(сумма по j от 1 до n)C(n+1,j)*i^j
//Здесь С - биномиальные коэффициенты
Все слагаемые (кроме последнего) из левой части равенства сокращаются со всеми слагаемыми (кроме первого) из выделенной суммы в правой части равенства. После сокращения и изменения порядка суммирования в последней двойной сумме получаем:

(1+k)^(n+1)=k+1+(сумма по j от 1 до n)C(n+1,j)*S(j,k)

Из этого равенства уже можно выразить S(n,k) через S(j,k) со значениями j, меньшими


> Существует ли такой же простой метод для четных степеней ?

Их можно выразить в явном виде через числа Бернулли. См. формулу (13) и рядом в http://mathworld.wolfram.com/PowerSum.html


Помогите найти сумму ряда Σn2an-1, 0 < a < 1
11 апреля 2006 г. 15:42:


> Помогите найти сумму ряда Σn2an-1, 0 < a < 1
> 11 апреля 2006 г. 15:42:
подсказка.
sum(a^(n-1),n=1..+inf)=1/(1-a)
если этот ряд продифференцировать по a...


> > Помогите найти сумму ряда Σn2an-1, 0 < a < 1
> > 11 апреля 2006 г. 15:42:
> подсказка.
> sum(a^(n-1),n=1..+inf)=1/(1-a)
> если этот ряд продифференцировать по a...


  • 18748: Помогите с формулой для простой суммы Mike3d 07 августа 10:49
    В ответ на №7186: Числовые ряды. Теория. Задачи. Решения. от - , 06 марта 2003 г.:
  • Тема: Помогите с формулой для простой суммы Есть сумма: SUM(от v=1 до n) 1/(v+1), чему она равна? Что-то арифметической прогрессией не получается...


    > Есть сумма: SUM(от v=1 до n) 1/(v+1), чему она равна? Что-то арифметической прогрессией не получается...

    Если Ваше выражение означает сумму дробей S(n)=1/2+1/3+1/4+...+1/n, то с помощью компьютера можно вычислить эту сумму для больших чисел n.
    Для очень больших чисел n это будет интеграл: S(n)=Integral(dv/v)=ln(n).
    Или я не понял вопрос?
     


    Да, совершенно верно - необходимо посчитать сумму дробей (фактически это египетские дроби), но в том-то и дело, что кроме компьютерной реализации нужна математическая модель...
    Если вдаваться в задачу подробнее, то вот мат. модель для вот такой вещи построить удалось (X задан, p в итоге надо найти):
    X = sum(от n=1 до V) sum(от v до n) p
    т.к. p не зависит от переменных в сумме, оно выносится и остаётся посчитать суммы как арифметические прогрессии X = p * sum(от n=1 до V) sum(от v до n) 1
    А вот в выше означенной проблеме 1 заменяется на 1/(v+1), и сумму из прогрессии применить уже не получается...


    Интеграл от n=1 до N n*log(n) - чему равен?
    (фактически это сумма от 1 до N была, но суммой какой-нибудь прогрессии посчитать не получится, видимо)


    > Интеграл от n=1 до N n*log(n) - чему равен?

    N2*log(N)/2 - N2/4 + 1/4

    если log(n) обозначает натуральный логарифм от n (в русскоязычных математических текстах, вообще-то, для натурального логарифма принято обозначение ln).
     


    > > Интеграл от n=1 до N n*log(n) - чему равен?

    > N2*log(N)/2 - N2/4 + 1/4

    > если log(n) обозначает натуральный логарифм от n (в русскоязычных >математических текстах, вообще-то, для натурального логарифма принято >обозначение ln).

    Да, речь о натуральном логарифме, прошу прощения, что не уточнил.
    А немогли бы вы привести вывод? Я вот сделал такую замену, а дальше остановился...:

    t=ln(n), n=e^ln(n)=e^t, dn=te^(t-1)dt пришёл к виду int t^2 * e^(2t-1) dt


    > А немогли бы вы привести вывод? Я вот сделал такую замену, а дальше остановился...:

    > t=ln(n), n=e^ln(n)=e^t, dn=te^(t-1)dt пришёл к виду int t^2 * e^(2t-1) dt

    Этот интеграл берется интегрированием по частям:

    n*ln(n)dn=ln(n)d(n2/2)

    Дальше - сами.


    > > А немогли бы вы привести вывод? Я вот сделал такую замену, а дальше остановился...:

    > > t=ln(n), n=e^ln(n)=e^t, dn=te^(t-1)dt пришёл к виду int t^2 * e^(2t-1) dt

    > Этот интеграл берется интегрированием по частям:

    > n*ln(n)dn=ln(n)d(n2/2)

    > Дальше - сами.

    А для варианта n*ln(n+1) вместо n*ln(n) интеграл тоже реально взять, или тут дело обстоит сложнее?


    > А для варианта n*ln(n+1) вместо n*ln(n) интеграл тоже реально взять, или тут дело обстоит сложнее?

    Реально:

    n*ln(n+1)=(n+1)*ln(n+1)-ln(n+1)

    затем оба интеграла беруться по частям (причем про первый мы уже все обсудили).


    > Есть сумма: SUM(от v=1 до n) 1/(v+1), чему она равна? Что-то арифметической прогрессией не получается...

    Эта сумма равна H(n+1)-1, где H - гармоническое число.
    См. подробности по ссылке:


    Harmonic Number


    Есть последовательность 1*1, 2*2, 3*3, 4*4, 5*5, ..., n*n На геометрическую прогрессию это не смахивает. Возможно ли вывести формулу для нахождения суммы этой последовательности?
    1*1+2*2+3*3+4*4+5*5+...+n*n=???
    --------------------------------------------------------------------------------

    Re: Есть ли у этого выражения универсальная формула? Арх
    В ответ на: Есть ли у этого выражения универсальная формула? от N1K
    > Есть последовательность 1*1, 2*2, 3*3, 4*4, 5*5, ..., n*n На геометрическую прогрессию это не смахивает. Возможно ли вывести формулу для нахождения суммы этой последовательности?
    > 1*1+2*2+3*3+4*4+5*5+...+n*n=???
    Есть. Сумма квадратов чисел натурального ряда равна S(n-1)=n^3/3-n^2/2+n/6.
    Пример: S(7)=8^3/3-8^2/2+8/6=140.
    Проверяем: 1+4+9+16+25+36+49=140.
    Для суммы кубов тоже есть: s(n-1)=n^4/4-n^3/2+n^2/4.


    Спасибо огромное, даже не думал, что есть такие формулы.


    дано последавательност а(н) а(1)=1 и а(н)=(4н-2)/н*а(н-1)
    докажите что все члены последавательности натуральные


    Как бы мне найти сумму ∑1ooan/(n*n!) ?


    > Как бы мне найти сумму ∑1ooan/(n*n!) ?
    Обозначим эту сумму S(a), продифференцируем её и умножим на a:
    aS'(a)=∑1ooan/n! = e^a - 1
    Но, однако, получается в итоге это приводит к неберущемуся в классе элементарных функций интегралу.



    > > Как бы мне найти сумму ∑1ooan/(n*n!) ?
    > Обозначим эту сумму S(a), продифференцируем её и умножим на a:
    > aS'(a)=∑1ooan/n! = e^a - 1
    > Но, однако, получается в итоге это приводит к неберущемуся в классе элементарных функций интегралу.



    > Как бы мне найти сумму ∑1ooan/(n*n!) ?

    Для a > 0 эта сумма равна (см. Справочник по специальным функциям (ред. М.Абрамовиц, И.Стиган) формула 5.1.10)
    Ei(a) - γ - ln(a)
    где γ=0,577... - постоянная Эйлера, Ei - интегральная показательная функция.


    используя разложение функции y=(1+x)^m в биноминаальный ряд, вычислить ³√320 с точностьью до 0,001


    > используя разложение функции y=(1+x)^m в биноминаальный ряд, вычислить ³√320 с точностьью до 0,001
    Берём ближайший к 320 куб: 7^3=343.
    320=343(1-(23/343))=7^3*(1-(23/343)).
    Берите в биноме m=1/3, x=-23/343 и вперёд.
    Учитывая множитель 7, вычислять придётся с точностью до 0,0001.


    Здравствуйте,

    может немного коряво спрашиваю, но как определить что последовательность возрастает?
    Например, 10, 15, 16, 12, 14, 20, 21, 18, 25, 17, 20, 30, 32 и т.д.

    Т.е. неровно, непостоянно, но числа становятся всё больше.

    Нужен какой-то способ, применимый к произвольной последовательности, который скажет возрастает последовательность (или уменьшается)

    Спасибо


    Поделить следующее на предыдущее an+1/an и сравнить отношение с единицей. Если все отношения не меньше единицы, то последовательнось не убывает. Если все больше единицы, то возрастает.


    Можно и просто сравнить тогда, зачем делить?
    Но это годится только для монотонных последовательностей (я правильно их назвал?) А у меня ситуация, когда она прыгает туда-сюда, но в целом растёт


    > Можно и просто сравнить тогда, зачем делить?
    > Но это годится только для монотонных последовательностей (я правильно их назвал?) А у меня ситуация, когда она прыгает туда-сюда, но в целом растёт

    Ну если только "в целом растёт", можно по n членам выборочную ковариацию между номером i и значением i-го члена последовательности искать: если положительна, то последовательность "в целом растёт":

    (1/n) * i=1...n i * ai - (n+1)/2 * (1/n)* i=1...n ai


    помогите решить. n=1


    Помогите решить(надо очень срочно)
    Исследовать ряд на сходимость:
    1. n=1 до ∞ ∑(1/n + 1/(n+1))*x^n
    2. n=0 до ∞ (cosπn)/(n+1)*3^n
    Надеюсь на вашу помощь.


    помогите, плиз
    ряд 1+1+1-1-1-1+...


    > помогите, плиз
    > ряд 1+1+1-1-1-1+...


    Найти формулу n-ого члена ряда с использованием только элементарных операций и функций.



    > Найти формулу n-ого члена ряда с использованием только элементарных операций и функций.

    Ну, это-то понятно))) А вот как именно?)))


    sxoditsa absoljutno ili net???


    ∑(cosn*cos(1/n)) / 4√n
    n=1



    > > помогите, плиз
    > > ряд 1+1+1-1-1-1+...

    >
    > Найти формулу n-ого члена ряда с использованием только элементарных операций и функций.

    Может рассматривать член ряда как (1+1+1-1-1-1)?


    Ответы очень простые:

    1. ∑(1/n + 1/(n+1))*x^n
    Этот ряд эквивалентен ряду ∑(x^n)/n - сходится при -1 < x < 1,
    иначе расходится

    2. ∑((cosπn)/(n+1))*3^n - это знакочередующийся расходящийся ряд,
    эквивалентен ряду: ∑(3^2n)/n
    Надо просто видеть cosПn = 1 при четных n, иначе = -1
    Ну и затем простое попарное сложение соседних членов ряда

    Удачи!


    Был вопрос: сходится ли ряд с членом (n!*x^n) ?

    Ответ: расходится при любом x<>0, потому что n! - это на бесконечности с несущественным коэффициентом примерно (n/e)^n. Поэтому член ряда будет примерно такой (n*x/e)^n, а это по модулю растет неограниченно на бесконечности при любом x <> 0. Общий член ряда не стремится к 0 на бесконечности - поэтому ряд расходится.
    Кода!


    > дано последавательност а(н) а(1)=1 и а(н)=(4н-2)/н*а(н-1)
    > докажите что все члены последавательности натуральные

    Да ну? a(2)=(4*2-2)/(2*1)=3, a(3)=(4*3-2)/(3*3)=10/9 - не натуральное число. Или я условие не так понял?


    Пусть у нас есть ортонормированный базис в комплексном n-мерном пространстве, обозначим его {e_i}, i от 0 до n-1. Через w_m обозначим exp(2*pi*i/m), здесь i - мнимая единица. Чему равна сумма
    \sum_{i=0}^{n-1} w_m^{ki} e_i(l)\overline{e_i(j)} ?
    Здесь k от 0 до m-1, l и j от 0 до n-1. Индексы k, l и j считаем фиксированными. [\overline - комплексное сопряжение.]



    > Пусть у нас есть ортонормированный базис в комплексном n-мерном пространстве, обозначим его {e_i}, i от 0 до n-1. Через w_m обозначим exp(2*pi*i/m), здесь i - мнимая единица. Чему равна сумма
    > \sum_{i=0}^{n-1} w_m^{ki} e_i(l)\overline{e_i(j)} ?
    > Здесь k от 0 до m-1, l и j от 0 до n-1. Индексы k, l и j считаем фиксированными. [\overline - комплексное сопряжение.]

    Что в выражении e_i(l) подразумевается под l?

    Если e_i(l) - это e_l и, соответсвенно, e_i(j) - это e_j, а под умножением векторов подразумевается скалярное умножение, то эта сумма равна при k=0
    n \delta_{ij},
    и в остальных случаях
    \frac{w_m^{kn}-1}{w_m^k-1} \delta_{ij},
    где \delta_{ij} - дельта-символ Кронекера.


    Помогите,пожалуйста,исследовать сходимость числового ряда:
    ∑ от n=1 до бесконечности 1/lnlnn
    Перепробовала все способы(


    > Помогите,пожалуйста,исследовать сходимость числового ряда:
    > ∑ от n=1 до бесконечности 1/lnlnn
    > Перепробовала все способы(

    1. 1/lnlnn положительный (при n>e)
    2. 1/lnlnn > 1/n т.к. n > lnlnn
    3. 1/n расходится (по критерию Коши)
    ε = 1/2 ∑ от n=k+1 до 2k 1/n = 1/(k+1) + ... + 1/(2k) > k*(1/2k)
    = 1/2
    => по признаку сравнения 1/lnlnn расходится


    Помогите найти сумму ряда от 1 до беск 1/(n^2+1)! через ряды фурье


    Применяя различные методы ,разложить функцию f(x) в тепенной ряд с центром в точке x0 .Указать радиус сходимости полученного ряда .
    f(x)=1/4(ex+e-x+2cosx),x0=0


    ∑((-2)^n/2^(n+1)) n изменяется от 1 до бесконечности
    ∑ (2^n/2^(n+1))n изменяется от 1 до бесконечности
    Исследовать на сходимость


    > ∑((-2)^n/2^(n+1)) n изменяется от 1 до бесконечности
    > ∑ (2^n/2^(n+1))n изменяется от 1 до бесконечности
    > Исследовать на сходимость

    Общий член ряда не стремится к нулю. Ряды расходятся.


    1. Опредерить сходимость/расходимость ряда:
    ∑ (arctg^n (1/n)) n от 1 до бесконечности
    2. Определить область сходимости/расходимости ряда:
    ∑ (3^n/n) * tg^2n(x)
    3. Найти сумму ряда
    ∑ (n+4) * x^3n
    4. Разложить функцию в ряд Тейлора.
    y=(x-1) * sin (3x/2)
    5. Вычислить с точностью до 0,002:
    ∫ sin(30x^2)dx интерграл от 0 до 0,2


    Всё в принципе просто, но что-то мне мешает понять. Ряд такой:
    4 12 32 80 ... ?
    Собственно, какая здесь применима формула? Какое число следующее?


    > Всё в принципе просто, но что-то мне мешает понять. Ряд такой:
    > 4 12 32 80 ... ?
    > Собственно, какая здесь применима формула? Какое число следующее?

    Выбирайте...


    Помогите плз решить пару задач.
    1. Три числа, записанные по убыванию, образовывают геометрическую прогрессию. Если вместо меньшего числа записать число, =-24, то эти числа будут образовывать аричметическую прогрессию. Найдите большее из этих чисел, если меньшее из них =1.

    2. Задумано целое положительное число. К его записи приписали справа цифру 6 и из полученного числа вычли квадрат задуманного. Разность уменьшили на 80% и ещ вычли задуманное число. В окончательном результате получилось 0. Какое число задумано?.


    > Помогите плз решить пару задач.
    > 1. Три числа, записанные по убыванию, образовывают геометрическую прогрессию. Если вместо меньшего числа записать число, =-24, то эти числа будут образовывать аричметическую прогрессию. Найдите большее из этих чисел, если меньшее из них =1.

    а*а_а_1 - геом. пр-сия с множтителем а.
    а*а_а_-24 - арифм. пр-сия с одинаковой разностью между членами
    a*a-а=а+24 - квадратное уравнение.

    > 2. Задумано целое положительное число. К его записи приписали справа цифру 6 и из полученного числа вычли квадрат задуманного. Разность уменьшили на 80% и ещ вычли задуманное число. В окончательном результате получилось 0. Какое число задумано?.

    выражение, составленное под диктовку:
    ((10а + 6)- а*а)*0,2 - а = 0 - квадратное уравнение.


    Ребята. Я бился, бился, но так и не добился исследования на сходимость этих рядов. Помогите пожалуйста кто может. Заранее спасибо)


    Исследовать на сходимость

    Буду очень признательна за помощь...


    1) Сравните исходный ряд с рядом, у которого общий член 1/n 2. Новый ряд сходится по интегральному признаку. Поэтому по теореме сравнения сходится и исходный ряд.
    2) Сравните исходный ряд с рядом, у которого общий член (2/3)n. Далее как в первой задаче. Иначе:используйте признак Даламбера. (ряд сходится)
    3) Используйте признак Даламбера.(ряд сходится)
    4) Ряд сходится по признаку Лейбница.


    Огромное спасибо. Вы развеяли все сомнения по поводу решения данных задач Все-таки ряды - это не мое...


    &infin &sum 1/(2n+1)*2n-1
    n=1


    > &infin &sum 1/(2n+1)*2n-1
    > n=1


    > > &infin &sum 1/(2n+1)*2n-1
    > > n=1

    Ряд сходится. Используйте признак сходимости Даламбера.


    Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

    Реклама:
    Rambler's Top100