Построения с помощью циркуля и линейки. Задачи

Сообщение №7027 от - 18 февраля 2003 г. 17:01
Тема: Построения с помощью циркуля и линейки. Задачи

На форум постоянно поступают задачки любителей построений
с помощью циркуля и линейки.
Вероятно, было бы целесообразно собрать их в одном месте.
В одной теме.


Отклики на это сообщение:

Я не знаю,как решить следующую задачу(боюсь,и вы хреен её решите):
Дана окружность и 2 точки А и В внутри неё.С помощью циркуля и линейки построить точку С на окружности,для которой величина АС+ВС будет минимальной.
Легко видеть,что это условие эквивалентно нахождению точки С,для которой угол
АСО равен углу ВСО, О- центр данной окружности.
Скорее всего с помощью циркуля и линейки это сделать impossible,но как это доказать?Помогите, пожалуйста!


> Я не знаю,как решить следующую задачу(боюсь,и вы хреен её решите):
> Дана окружность и 2 точки А и В внутри неё.С помощью циркуля и линейки построить точку С на окружности,для которой величина АС+ВС будет минимальной.
> Легко видеть,что это условие эквивалентно нахождению точки С,для которой угол
> АСО равен углу ВСО, О- центр данной окружности.
> Скорее всего с помощью циркуля и линейки это сделать impossible,но как это доказать?Помогите, пожалуйста!

Давненько на эту тему не заглядывал - но есть Энуиклопедия элементарной математики - 5 томов там должны быть все материалы, которые могут помочь (или не помочь) врешении этой задачки
А вобще-то идея примерно такая
окружность (при) соответствующем преобразовании можно уподобить прямой линии
и вот если вместо окружности рассматривать прямую, то задача проведения
луча зеркально отраженного от этой прямой решается перемещением одной из точек в зазеркалье а потом все делается с помощью линейки
Здесь же аналогом зазеркальной точки есть точка удовлетворяющаяя условию
r_A*r_A*=R^2
где A - это Ваша точка
A* - ей сопряженная относительно окружности радиуса R
Насколько я помню, такую точку можно с помощью циркуля построить
А вот что будет аналогом отрезка [B,A*] - наверное скорее всего кусок окружности
уже подзабыл. Хотя все наверное можно сделать таким приемом
сначала выполнить преобразование (конформное ?) где окружность перейдет в прямую точки А,В перейдут в какие-то образы. Там с помощью приема отражения
найти образ искомой точки С. А потом вернуться в свой мир, чтобы определить
точку С.
Не знаю может я и ошибаюсь. Потому что из моих рассуждений вроде следует что
кривая [B,A*] вроде припреобразованиях должна оставаться отрезком прямой


> Дана окружность и 2 точки А и В внутри неё. Построить точку С на окружности, для которой величина АС+ВС будет минимальной.
> Легко видеть, что это условие эквивалентно нахождению точки С, для которой угол АСО равен углу ВСО, О- центр данной окружности.

Легко видеть также, что точка С принадлежит одновременно заданной окружности и эллипсу с минимальной полуосью, и для которого А и В являются фокусами. Может быть таких точек две? Как вы считаете?


> > Дана окружность и 2 точки А и В внутри неё. Построить точку С на окружности, для которой величина АС+ВС будет минимальной.
> > Легко видеть, что это условие эквивалентно нахождению точки С, для которой угол АСО равен углу ВСО, О- центр данной окружности.

> Легко видеть также, что точка С принадлежит одновременно заданной окружности и эллипсу с минимальной полуосью, и для которого А и В являются фокусами. Может быть таких точек две? Как вы считаете?

Наверно в общем случае точек должно быть 4.
Не особо раздумывая мне кажется что надо решать уравнение 4-я степени.


Конечно, таких точек может быть и две, но это, в нек. смысле, вырожденные случаи. Если расстояния от окружности до точек А и В равны, то минимальный эллипс на этих фокусах будет иметь две точки касания с окружностью. Именно касания.


По-моему достаточно построить инверсию А* точки А.
Потом представить себе, что окружность зеркальная, и прицелиться лучом света из точки Б в А*.
Отраженный луч попадет в А и углы будут равны.
Построить инверсию очень просто:
Проводим радиус ОА, строим перпендикуляр к ОА в точке А.
Он пересечет окружность в точке К. Проводим через К касателную.
Она пересечет ОА в точке А*.

По-моему, точка пересечения БА* с окружностью и будет искомой точкой.

Случаи, когда А или Б совпадают с О - тривиальны.

> > Я не знаю,как решить следующую задачу(боюсь,и вы хреен её решите):
> > Дана окружность и 2 точки А и В внутри неё.С помощью циркуля и линейки построить точку С на окружности,для которой величина АС+ВС будет минимальной.
> > Легко видеть,что это условие эквивалентно нахождению точки С,для которой угол
> > АСО равен углу ВСО, О- центр данной окружности.
> > Скорее всего с помощью циркуля и линейки это сделать impossible,но как это доказать?Помогите, пожалуйста!

> Давненько на эту тему не заглядывал - но есть Энуиклопедия элементарной математики - 5 томов там должны быть все материалы, которые могут помочь (или не помочь) врешении этой задачки
> А вобще-то идея примерно такая
> окружность (при) соответствующем преобразовании можно уподобить прямой линии
> и вот если вместо окружности рассматривать прямую, то задача проведения
> луча зеркально отраженного от этой прямой решается перемещением одной из точек в зазеркалье а потом все делается с помощью линейки
> Здесь же аналогом зазеркальной точки есть точка удовлетворяющаяя условию
> r_A*r_A*=R^2
> где A - это Ваша точка
> A* - ей сопряженная относительно окружности радиуса R
> Насколько я помню, такую точку можно с помощью циркуля построить
> А вот что будет аналогом отрезка [B,A*] - наверное скорее всего кусок окружности
> уже подзабыл. Хотя все наверное можно сделать таким приемом
> сначала выполнить преобразование (конформное ?) где окружность перейдет в прямую точки А,В перейдут в какие-то образы. Там с помощью приема отражения
> найти образ искомой точки С. А потом вернуться в свой мир, чтобы определить
> точку С.
> Не знаю может я и ошибаюсь. Потому что из моих рассуждений вроде следует что
> кривая [B,A*] вроде припреобразованиях должна оставаться отрезком прямой


> Построить инверсию очень просто:
> Проводим радиус ОА, строим перпендикуляр к ОА в точке А.
> Он пересечет окружность в точке К. Проводим через К касателную.
> Она пересечет ОА в точке А*.

> По-моему, точка пересечения БА* с окружностью и будет искомой точкой.

> Случаи, когда А или Б совпадают с О - тривиальны.

Это неправильный ответ.
Пусть r-радиус окружности, |ОА|=a. Тогда |OA*|=r*r/a.
Пусть [BA*] пересекает окружность в точке М.
Если точка А* построена правильно, то углы Чтобы найти эти углы можно например проверить скалярные произведения векторов
(ОМ,АМ) и (ОМ,МА*).
Заметим что |MA*|=(r/a)*|AM|.
Пусть угол Тогда
cos(cos(Явное несовпадение.


> Построить инверсию очень просто:
> Проводим радиус ОА, строим перпендикуляр к ОА в точке А.
> Он пересечет окружность в точке К. Проводим через К касателную.
> Она пересечет ОА в точке А*.

> По-моему, точка пересечения БА* с окружностью и будет искомой точкой.

> Случаи, когда А или Б совпадают с О - тривиальны.

Это неправильный ответ.
Пусть r-радиус окружности, |ОА|=a. Тогда |OA*|=r*r/a.
Пусть [BA*] пересекает окружность в точке М.
Если точка А* построена правильно, то углы OMB и OMA равны.
Чтобы найти эти углы можно например проверить скалярные произведения векторов
(ОМ,АМ) и (ОМ,МА*).
Заметим что |MA*|=(r/a)*|AM|.
Пусть угол MOA=t.
Тогда
cos(OMA)=(OM,AM)/|OM|*|AM|=(r-a*cos(t))/|AM|
cos(OMB)=(OM,MA*)/|OM|*|MA*|=(r*cos(t)-a)/|AM|
Явное несовпадение.


> > Построить инверсию очень просто:
> > Проводим радиус ОА, строим перпендикуляр к ОА в точке А.
> > Он пересечет окружность в точке К. Проводим через К касателную.
> > Она пересечет ОА в точке А*.

> > По-моему, точка пересечения БА* с окружностью и будет искомой точкой.

> > Случаи, когда А или Б совпадают с О - тривиальны.

> Это неправильный ответ.
> Пусть r-радиус окружности, |ОА|=a. Тогда |OA*|=r*r/a.
> Пусть [BA*] пересекает окружность в точке М.
> Если точка А* построена правильно, то углы OMB и OMA равны.
> Чтобы найти эти углы можно например проверить скалярные произведения векторов
> (ОМ,АМ) и (ОМ,МА*).
> Заметим что |MA*|=(r/a)*|AM|.
> Пусть угол MOA=t.
> Тогда
> cos(OMA)=(OM,AM)/|OM|*|AM|=(r-a*cos(t))/|AM|
> cos(OMB)=(OM,MA*)/|OM|*|MA*|=(r*cos(t)-a)/|AM|
> Явное несовпадение.


Извините,но Вы сами пытались сделать то, что советуете?!
Попробуйте, я пробовал, но видимо плохо:ничего не получается.
Как,всё-таки,это сделать?


Мне попалась интересная задача,и я предлагаю вам тоже над ней подумать.
Вот условие:Даны координатные оси Ox и Oy,а также дан график функции y=1/8x.
Требуется построить точку (1,1) с помощью циркуля и линейки.


Отклики на это сообщение (покзывать только заголовки - добавить ответ):

--------------------------------------------------------------------------------

Re: Построение точки циркулем и линейкой Roman 20 марта 20:31
> Мне попалась интересная задача,и я предлагаю вам тоже над ней подумать.
> Вот условие:Даны координатные оси Ox и Oy,а также дан график функции y=1/8x.
> Требуется построить точку (1,1) с помощью циркуля и линейки.
stroish bissektrisu pervogo kvadranta. ona peresekaet grafik v tochke s abscisoi x0=1/2koren iz 2. Stroish ravnobedrennyi pryamougolnyi treugolnik s katetami x0. Ego gipotenuza ravna 1/2. Udvaivaesh ee. poluchaesh otrezok dlinnoi 1...


--------------------------------------------------------------------------------


Вношу некоторые исправления:масштаб не дан.Построить только циркулем.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100