Дифференциальное уравнение Искарпа

Сообщение №7024 от Simplex 18 февраля 2003 г. 14:43
Тема: Дифференциальное уравнение Искарпа

Еще древнегреческий ученый Искарп пытался решить следующее дифференциальное уравнение. К сожалению, дифференциальное исчисление к тому времени еще не создали. Но тем не менее дело Великого ученого Искарпа не было забыто и продолжает волновать умы математиков всего мира!При любых x и h имеет место быть:
f(x+h)-f(x)=h*f'(x+h/2)
,где f' -производная функции f, если вы понимаете, о чём я.
P.S. ТОлько пожалуйста,НЕ пишите мне что f(x)=a*x*x+b*x+c - это решение.Я ЭТО ЗНАЮ!!!!!!Мне нужно решение.


Отклики на это сообщение:

> При любых x и h имеет место быть:
> f(x+h)-f(x)=h*f'(x+h/2)
> ,где f' -производная функции f, если вы понимаете, о чём я.
> P.S. ТОлько пожалуйста,НЕ пишите мне что f(x)=a*x*x+b*x+c - это решение. Я ЭТО ЗНАЮ!!!!!!Мне нужно решение.

Если произвести замену x:=x+h/2, g(x)=f'(x), то при фиксированном h получим частный случай т.н. функционально-интегрального уравнения типа Шоке-Дени
int {(-h/2)^(h/2)} g(x+t)/h*dt = g(x) (*)
(см., например, [1, стр. 320-321; 2, глава VIII; 3, главы II-III).
Любое положительное решение этого уравнения представимо в виде линейной комбинации
С1(x)*exp(a1*x)+С2(x)*exp(a2*x)+...,
где С1(x), C2(x),... - произвольные положительные периодические функции с периодом кратным h (поскольку h - любое, то все C - положительные константы),
a1, a2,... - действительные корни характеристического уравнения
int {(-h/2)^(h/2)} exp(a*x)/h*dt = 1.
В нашем случае характеристическое уравнение имеет действительный корень a=0 кратности 2. Поэтому g(x)=C1+C2*x (в случае кратных корней - однин из частных корней домножается на x).

1. Полянин А.Д., Манжиров А.В. Справочник по интегральным уравнениям: точные решения. М., 1998.
2. Ramachandran B., Lau K.-S. Functional Equations in Probability Theory. Academic Press, San Diego, 1991.
3. Rao C.R., Shanbhag D.N. Choquet-Deny Type Functional Equations with Applications to Stochastic Models. Wiley, New York, 1995.

С помощью палки и веревки можно и так доказать.
Если дважды продифференцировать равенство (*) по h/2, то получим, что g'(x+h/2)=g'(x-h/2). Поскольку это должно быть справедливо при всех x и h, то g'(x)=const. Поэтому f(x) - квадратный трехчлен.

Видимо, также можно при фиксированном h в лоб решить исходное линейное дифференциально-разностное уравнение (http://www.sonoma.edu/Math/faculty/falbo/pag1dde.html) и отобрать те решения, которые не зависят от h.


Спасибо,Михаилу В. Соколову за решение первого ур-я.
Но у меня ещё одно нерешённое:
f(x-y)*f(x+y)=f(x)^2-f(y)^2 при x,y действительных.

P.S. Известны некоторые решения:
f(x)=x ;
f(x)=sin x.
Заранее благодарен!


> Но у меня ещё одно нерешённое:
> f(x-y)*f(x+y)=f(x)^2-f(y)^2 при x,y действительных.

Простота решения всех этих уравнений сильно зависит от предполагаемой гладкости функции f. Скажем, если предполагается лишь непрерывность f, то задача становится достаточно сложной. Здесь надо читать классические (в основном западные, - наших, к сожалению, очень мало) книги по функциональным уравнениям.
Однако, если ограничится решениями в классе дважды непрерывно дифференцируемых
функций, то решение найти не сложно.
Продифференцировав дважды (по x, y) исходное уравнение и перейдя к новым переменным x:=x-y, y:=x+y, приходим к уравнению
f(x)*f''(y) = f(y)*f''(x).
Оно должно быть справедливо для всех x и y. Это, очевидно, возможно только если
f''+a*f = 0, где a - некоторая константа.
Полученное уравнение есть, как известно, уравнение свободных колебаний, общее решение которого представимо в виде
f(x) = c1*x+c2, если a=0,
f(x) = c1*sh(x*sqrt(-a))+c2*ch(x*sqrt(-a)), если a < 0,
f(x) = c1*sin(x*sqrt(a))+c2*cos(x*sqrt(a)), если a > 0,
где c1, c2 - произвольные константы.

Поскольку во всех наших рассуждениях использовался принцип " = > ", то полученные функции включают все решения исходного функционального уравнения, но могут содержать и лишние. То есть осталось только отобрать те из них, которые являются решениями исходного. Это уже, пожалуйста, сами.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100