О пределе дважды непрерывно дифференцируемой функции

Сообщение №6913 от Morok 08 февраля 2003 г. 12:46
Тема: О пределе дважды непрерывно дифференцируемой функции

Дифференцируемость ф-ий. Док-ть.

Помогите доказать!!!
Пусть f(x) дважды непрерывно дифференцируема на [0;+oo), lim f(x)=0 при x->+oo, |f''(x)|<=1.
Доказать, что lim f'(x)=0 при x->+oo.



Отклики на это сообщение:

> Пусть f(x) дважды непрерывно дифференцируема на [0;+oo), lim f(x)=0 при x->+oo, |f''(x)|<=1.
> Доказать, что lim f'(x)=0 при x->+oo.

Извиняюсь, могу ошибиться.

Идея док-ва:
Функция меняет выпуклость в ограниченных пределах (она равномерно непрерывна и ее производная тоже), а если существуют "горбы" (как e^(-x) * Sin(x)), то их "крутизна" уменьшается в пределе. Значит производная будет меняться в диапазоне, который будет --> 0.

Если не выполняется определение lim f'(x)=0. Расписываем это отрицание в лоб и наверняка получим противоречие с условием lim f(x)=0 или с равномерной непрерывностью.


Мож какое-то готовое правило типа Лопиталя есть?



> Извиняюсь, могу ошибиться.

> Идея док-ва:
> Функция меняет выпуклость в ограниченных пределах (она равномерно непрерывна и ее производная тоже), а если существуют "горбы" (как e^(-x) * Sin(x)), то их "крутизна" уменьшается в пределе. Значит производная будет меняться в диапазоне, который будет --> 0.

> Если не выполняется определение lim f'(x)=0. Расписываем это отрицание в лоб и наверняка получим противоречие с условием lim f(x)=0 или с равномерной непрерывностью.

>
> Мож какое-то готовое правило типа Лопиталя есть?

В лоб расписать можно. Если предел производной не равен нулю, значит существует некоторое е>0 такое что при сколь угодно большом a найдется x'>a такое что f'(x')>e. Можно без ограничения общности считать без модуля.
Далее. Вторая производная ограничена по модулю 1, следовательно в окрестности (x'-e/2,x'+e/2):
f'(x)>e/2
И следовательно
f(x'+e/2)> f(x')+e^2/4
Что противоречит условию что f(x) стремится к нулю.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100