Бесконечные последовательности и суммы

Сообщение №6841 от Vadim 01 февраля 2003 г. 22:49
Тема: Бесконечные последовательности и суммы

Недавно начал писпть научно-исследовательскую работу по теме: "Бесконечные последовательности и суммы". Не подкините ли какую-нибудь интересную информацию на заданную тему?
ОЧЕНЬТребуется история возникновения бесконечных последовательностей! Ну когда появилась и всё такое!
Если вдруг кто чё знает, ПОДСКАЖИТЕ!
Заранее СПАСИБО!


Отклики на это сообщение:

> ОЧЕНЬТребуется история возникновения бесконечных последовательностей! Ну когда появилась и всё такое!
> Если вдруг кто чё знает, ПОДСКАЖИТЕ!

Не знаю, интересно ли, но например еще во времена Пифагора пытались вычислить sqrt(2) или число PI. Естессно последовательными приближениями. Вот Вам и бесконечные последовательности.
Опять же антиномия "Ахилл, который никогда не догонит черепаху".

Чем могу.


Ираклий 19 мая 2003 г. 21:56
Тема: Гипотеза Сиракуз (проблема 3x+1)

Формулировка:
a(1)=n
a(i+1)=a(i)/2, если a(i)- четное; 3*a(i)+1 в противном случае.
Верно ли, что при любом n найдется k, такое, что a(k)=1.

У меня есть весьма незначительные мысли по решению. Идея: двоичная
система счисления. Нечто подобное я видел на форуме. Автор (не Вы ли?)
называет мантисой то, что я называю лонгом. У Вас есть идеи?


--------------------------------------------------------------------------------
Re: Гипотеза Сиракуз (проблема 3x+1) Шибко умный 20 мая 12:40
А n = число положительное? А то, например, при n=-1 последовательность a(i)= -1, -2, -1, -2, -1... не содержит 1.


--------------------------------------------------------------------------------
Re: Гипотеза Сиракуз (проблема 3x+1)) Ираклий
Уточняю формулировку:

А[1]=n - натуральное число
A[i+1]=A[i]/2 если A[i] четное, 3A[i]+1 в противном случае.
При любом ли n найдется натуральное k, такое, что A[k]=1 ?

Мои идеи: в двоичной системе счисления (с.с.) легко отслеживается
деление на 2 четного числа (просто убираем один нуль) и относительно
легко - прибавление единицы. Но есть трудности с умножением на 3.
В троичной с.с. элементарно происходит переход от N к 3N+1 (нужно
просто приписать единицу), но зато не ясно, как изменится запись
числа при делении на два. Вот бы придумать такую с.с. (не обязательно
позиционную), чтобы в ней легко отслеживались все три действия:
умножение на три,
прибавление единицы,
деление четного числа на два.

Буду рад обсудить.


--------------------------------------------------------------------------------
Re: Гипотеза Сиракуз (проблема 3x+1) Шибко Умный 23 мая 15:26
Среди первого миллиона чисел n нет таких, которые не приводят в конце концов к a(i)=1. Иногда все кончается быстро, а иногда не очень. Например, для n=21 - на 8-м шаге, а при n=27 - на 112-м! Глядя на цепочку 112 чисел a(i) в случае n=27 даже не верится, что существует простое доказательство конечности этой последовательности:
a(i)= 27 82 41 124 62 31 94 47 142 71
214 107 322 161 484 242 121 364 182 91
274 137 412 206 103 310 155 466 233 700
350 175 526 263 790 395 1186 593 1780 890
445 1336 668 334 167 502 251 754 377 1132
566 283 850 425 1276 638 319 958 479 1438
719 2158 1079 3238 1619 4858 2429 7288 3644 1822
911 2734 1367 4102 2051 6154 3077 9232 4616 2308
1154 577 1732 866 433 1300 650 325 976 488
244 122 61 184 92 46 23 70 35 106
53 160 80 40 20 10 5 16 8 4 2 1


--------------------------------------------------------------------------------
Re: Гипотеза Сиракуз (проблема 3x+1) Ираклий 23 мая 21:18
> Среди первого миллиона чисел n нет таких, которые не приводят в конце концов к a(i)=1. Иногда все кончается быстро, а иногда не очень. Например, для n=21 - на 8-м шаге, а при n=27 - на 112-м! Глядя на цепочку 112 чисел a(i) в случае n=27 даже не верится, что существует простое доказательство конечности этой последовательности:
> a(i)= 27 82 41 124 62 31 94 47 142 71
> 214 107 322 161 484 242 121 364 182 91
> 274 137 412 206 103 310 155 466 233 700
> 350 175 526 263 790 395 1186 593 1780 890
> 445 1336 668 334 167 502 251 754 377 1132
> 566 283 850 425 1276 638 319 958 479 1438
> 719 2158 1079 3238 1619 4858 2429 7288 3644 1822
> 911 2734 1367 4102 2051 6154 3077 9232 4616 2308
> 1154 577 1732 866 433 1300 650 325 976 488
> 244 122 61 184 92 46 23 70 35 106
> 53 160 80 40 20 10 5 16 8 4 2 1
У меня есть разные соображения. Все - безнадежные.
Например, будем следить за каноническим разложением а[i].
При делении на 2 уменьшается на 1 показатель двойки, при
умножении на 3 возрастает показатель тройки. Но что происходит
при добавлении единицы - "философский" вопрос.
Другая идея - следить за лонгом числа. Под этим я понимаю
совокупность цифр в двоичной записи числа, стоящих
между крайними единицами. У числа ...00000110100
лонгом является 1101. Требуется доказать, что у некоторого
члена последовательности длина лонга равна 1. При такой формулировке
можно отбросить деление на два. Тогда вместо единицы нужно прибавлять
2k, где k - число ведущих нулей.
Интересно, что подобные мысли я обнаружил на одной конференции:
http://mathmag.spbu.ru/conference/fido7.ru.math
См. также:
http://cpq300.comp.pgu.karelia.ru/Karelia/Education/school/stf/teleconf/1999/matemat/sidoren1/doklad.htm


--------------------------------------------------------------------------------
Re: Гипотеза Сиракуз (проблема 3x+1)) Игрек 26 мая 20:03
Явно последовательность случайная (что-то похожее я видел у Пригожина, в иллюстрации детерминированного хаоса, значит, последовательность известна).
В ряду случайных чисел всегда встретится 1. ЧТД?
МИхалыча сюда надо...

С другой стороны, вы не рассматривали a1=1? Кажется, последовательность кончается: 1,4,2,1,4,2,...
Хм.. т.е. получается, если вы правы, что независимо от начального данного, все скатится к циклу:(((.


--------------------------------------------------------------------------------
Re: Гипотеза Сиракуз (проблема 3x+1)) Ираклий 27 мая 00:40
> Явно последовательность случайная (что-то похожее я видел у Пригожина, в иллюстрации детерминированного хаоса, значит, последовательность известна).
> В ряду случайных чисел всегда встретится 1. ЧТД?
> МИхалыча сюда надо...

> С другой стороны, вы не рассматривали a1=1? Кажется, последовательность кончается: 1,4,2,1,4,2,...
> Хм.. т.е. получается, если вы правы, что независимо от начального данного, все скатится к циклу:(((.

Мера кажущейся случайности этой последовательности
обратно пропорциональна нашим знаниям в области проблем делимости
натуральных чисел.


--------------------------------------------------------------------------------
Re: Гипотеза Сиракуз (проблема 3x+1)) Михалыч 27 мая 08:34
> Явно последовательность случайная (что-то похожее я видел у Пригожина, в иллюстрации детерминированного хаоса, значит, последовательность известна).
> В ряду случайных чисел всегда встретится 1. ЧТД?
> МИхалыча сюда надо...

> С другой стороны, вы не рассматривали a1=1? Кажется, последовательность кончается: 1,4,2,1,4,2,...
> Хм.. т.е. получается, если вы правы, что независимо от начального данного, все скатится к циклу:(((.

Наиболее известная онлайновая энциклопедия числовых последовательностей:

http://www.research.att.com/~njas/sequences/Seis.html

Не смотрели, "как играют мастера"?

--------------------------------------------------------------------------------
Re: Гипотеза Сиракуз (проблема 3x+1)) Фёдор 14 июня 00:39
Мне кажется, не причём тут системы счисления.. Фактически, чтобы попасть в 1цу, мы должны оказаться на главном ряде - прямом ряде итераций в 1цу - 2^n. С любого числа на этом ряде мы скатываемся в 1. С каждого второго числа этого ряда начиная с 4 мы можем образовать вспомогательный ряд (каждое число, предшествующее 2^n c чётным n, делится на 3, и мы получаем некоторое число р, из которого можно попасть на главный ряд, а значит, и с любого числв p*(2^n) мы выпадем на главный ряд и в единицу. Естественно, что у части чисел, относящихся к "рядам второго порядка", есть свои ветви, то есть, "ряды третьего порядка". ). В принципе, от каждого натурального нечётного числа можно возвести ряд чётных чисел q*(2^n). Все подобные ряды не имеют общих точек. Однако, посколько гипотеза сиракуз работает, с каждого ряда, видимо,можно перейти как минимум на 1 другой, а мне кажется, что на бесконечное множество. Этот аспект нужно проанализировать. Если переходов и впрямь бесконечно много, то на ограниченной области [1,n] будет конечное число рядов, бесокнечное переходов, и всегда мы попадём на главный ряд.... В общем, не знаю, но надо доказыват ьчто любой такой ряд связан с любым другим... Вообще, я эмпирически (компом :)) ) наблюдал построение рядов от главного, и заметил, что для каждого натурального числа N все числа, принадлежащие главному ряду и всем побочным рядам любого порядка, однако при этом не превышающие N, принадлежат рядам, из которых можно выйти на ряды от ВСЕХ натуральных чисел меньших n-малое, которе значительно меньше N. Для N=1024 n=30, N=100 000 n что-то около полутра тысяч. То есть, русским языком говоря, при общей кажущейся хаотичности движения по этой формуле, мы можем прийти к единице от каждого из первых n чисел таким образом, что ни одно число ни на одной итерации не превысит N. N растёт существенно быстрее n. Насколько я понимаю, это связано с тем, что плотность главного ряда снижается с ростом степени двойки... В общем, у меня голова болит, а вы можете попробоват подумать.... Может ,попробовать теорвер подогнать... Ведь при каждом новом N после N-дN наибольшая часть "свежепоявившихся" :)) натуральных чисел, вычисляемых итерациями внутри области N ложится не совсем у N, но и не там, где всё оснавательно забито числами, ставшими допустимыми при предыдущем N. Может, есть распределение какое.... А вообще, первая мысль котроая у меня возникла - притянуть известную задачку от отрезке, который делят на 3,выбрасывают середину и 2 оставшихся отрезка тем же макаром делят на 3 :)) Много красивых точек получается :))))))))))))))) Но это уже совсем не оттуда... А всё из-за того, что мало что известно с рекурсией и аттракторами... Читайте про фракталы, и пробывайте умищем эту нехоженную глыбу!! Если бы найти способ вычислять, к какому аттрактору притянется каждая точка, загруженая в рекурсию, и притянется ли вообще, а если не притянется, то в какой области останется, вот это бвло бы дааа....

--------------------------------------------------------------------------------
Re: Гипотеза Сиракуз (проблема 3x+1)) Ираклий 17 июня 15:19
> Мне кажется, не причём тут системы счисления..
> В общем, у меня голова болит, а вы можете попробоват подумать....
__Во-первых, про системы счисления.
__С помощью двоичной СС легко видеть, что "гипотеза х+1" верна:
при добавлении единицы в младший разряд лонга, содержащего не только
единицы, число нулей в нем уменьшается. Стало быть, со временем он
потеряет все свои нули и будет состоять из одних единиц. Очередное
добавление единицы - и мы получаем лонг из одной единицы.
__К слову замечу, что "гипотеза 5х+1" неверна. Достаточно первый член
взять равным 13 и мы получаем цикл:13,66,33,166,83,416,208,104,52,26,13.
__Вы говорите интересные вещи относительно "рядов". Пусть Вn
- множество тех натуральных чисел, которые после n операций 3х+1 (которые
могут быть перемежованы с любым количеством делений на 2) дают 1.
Аn - нечетные элементы из Вn.

Ясно, что
В0 - степени 2;
А0 = {1};
A1 = {5,21,85,341,1365,5461,21845,87381,...};
A2 = {3,13,53,113,213,227,453,853,909,...};
A3 = {17,35,69,75,141,151,277,301,565,605,1109,1137,...};
A4 = {11,23,45,93,181,201,369,373,401,403,725,739,...};

Ясно также, что если k принадлежит An, то 3k+1 принадлежит Bn-1.

Требуется доказать, что любое нечетное натуральное число
попадает в какое-то An.

Легко видеть, что в A1 m-й элемент - это (22m+2-1)/3.
Надо бы придумать общую формулу для всех An и доказать,
что всякое нечетное число представляется в таком виде.


--------------------------------------------------------------------------------
Re: Гипотеза Сиракуз (проблема 3x+1)) Ираклий 17 июня 15:22
> Легко видеть, что в A1 m-й элемент - это (22m+2-1)/3.
Перепутал: это, конечно, показатель степени.


--------------------------------------------------------------------------------
Re: Гипотеза Сиракуз (проблема 3x+1)) ФД 18 июня 01:03
Чем вам 1 не понравилась? Она просто образует тот же ряд:
правильно так:
(2^2m - 1)/3 : m = 1,2,3,4,5,.....
Скажу вам больше. Если вы посчитаете числа этого ряда, посчитаете их НОМЕРА в ряду нечётных натуральных чисел (1 : 1е, 5 : 3е , 21 : 11е), и посчитаете РАЗНОСТИ между этими НОМЕРАМИ, вы получите последовательность 2*4^n (3-1 = 2, 11-3 =8, 43-11 = 32). Если вы посчитаете ту же фигню для всех чисел, образуемых от ряда 85ти (сам ряд - 85*2^n - мы немного расходимся в терминологии, что считать РЯДОМ в данном смысле слова), то вы получите, что разницы между порядковыми номерами "ветвей" составит 85*2*4^n, то есть аналогично как для главного ряда, только ещё на 85 умножить, и первая ветвь будет только у 3 числа в ряду - предшествующее каждому 2 вообще на 3 не делится, а само (85 - 1) даёт чётный результат, то есть посторонний - от чётного мы на три множить никада не будем :). Однако ряды, образованные числами, делящимися на 3, например, ряд 21, вообще ветвей не имеют (21-1 не делится на 3, 42-1 не едлится, 84-1 не делится, 168-1 не делится итд). Есть ещё виды рядов, последовательность которых мне не ясна пока. По-моему, ключ к тому, какое число веток у ряда и какие они - в остаткеот деления корневого числа ряда на 3 или на 6.... Думайте...


--------------------------------------------------------------------------------
Re: Гипотеза Сиракуз (проблема 3x+1)) Ираклий 18 июня 22:37
> Чем вам 1 не понравилась?
Помещать 1 в A1 или нет - это формальность.
Мне больше нравится не помещать.
> Однако ряды, образованные числами, делящимися на 3,
> например, ряд 21, вообще ветвей не имеют.
Все очень сильно ветвится :), и я довольно смутно представляю себе,
что именно Вы назаваете ветвями. Поясните, пожалуйста.

> Есть ещё виды рядов,
> последовательность которых мне не ясна пока.
Попробуйте (и я попробую) разбить ряд на подряды, в каждом из которых
закономерность прослеживается.


--------------------------------------------------------------------------------
Re: Гипотеза Сиракуз (проблема 3x+1)) ФД 19 июня 00:17
Я другое называю рядом.
Я исхожу из того, чт очётные числа нас ВААЩЕ не волнуют, ибо простейшим рбразом приводятся к нечётным. Все чётные числа приводящиеся к одному нечётному делением их на 2 предлагаю назвать рядом этого нечётного числа. Тот ряд, который приводится к 1, называю главным рядом. В зависмости от корневого (нечётного) числа просматриваются ряды 3 типов - с нечётным числом, делящемся на 3 без остатка (тип А), с остатком 1 (тип Б) и с остатком 2 (тип В). На ряд каждого нечётного числа можно выйти с какого-то нечётного числа, умножив его на 3 и прибавив единицу. Соответственно, вычев единицу из каждого числа (чётного!) любого ряда и разделив результат на 3, мы получим корень нового ряда. Это число я называю "ветвью". Теперь приколы. Если в корне ряда лежит нечётное число, делящееся на 3, то у такого ряда ветвей не будет, ибо вычитая 1 из любого числа этого ряда мы получим число, на 3 не длящееся. Вывод: А-ряды не имеют ветвей, это - концевые ряды. Если в корне ряда лежит число, делящееся на 3 с остатком 1, то каждое 2 число этого ряда будет ветвеобразующим (за исключением случаев, когда (корневое число - 1) делится на 6, тогда 1-е не будет ветвеобразующим). В В-рядах тоже каждое второе будет ветвеобразующим, но начиная со 2-го. Отсюда 4 принципиально разных типа ряда. То, что вы обозначали за A1 - это множество значений первой итерации рекурсии, обратной рекурсии Сиракуз - сокращаю до множество-1. У меня это - все ветви главного ряда. Ваше множество-2 - это совокупность ВСЕХ ветвей ВСЕХ рядов, производных от главного ряда, то есть совокупность всех ветвей всех рядов второго порядка. И так далее. Я просто использую другое понятие ряда в данном смысле, ибо так чётко прослеживаются 4 вида ряда и легко задаётся их формула, правда, рекурентная. Для ряда типа А - пустое множество ветвей. Для ряда типа В(р) =
((р * 22n + 1) - 1) /3 при n: [0, oo]. Для Б1(р) =
(р * 22n ) - 1) /3 при тех же n и для Б2 =
((р * 22n + 2) - 1) /3 . Критерий выбора формулы - остаток от деления на 3 числа р. Выбор между Б1 и Б2 - делимость (р-1) на 2. Если не едлится -Б1. Вот вам почти готовая рекурсия, обратная сиракузам - только на каждое полученное нечётное число нужно добавить весь его ряд. Вы можете мыслить в 2 направлениях: либо выпрямлятть эту рекурсию в 1 алгебраический ряд, либо вывести формулу числа заполненных подряд натуральных чисел с единицы либо от порядка итерации, либо от некого "потолка", выше которого все числа всех рядов не принимаются в расчёт. Вот. Кстати, вот вам "подряды" - то есть подмножества множеств итераций обратной функции - это мои наборы ветвей для каждого натурального числа. Всё давно сделано.


--------------------------------------------------------------------------------
Re: Гипотеза Сиракуз (проблема 3x+1)) ФД 19 июня 11:37
Прошу прощения, рядов Б1 не существует :)Если число делится делится на 3 с остатком 1, и это число - корень ряда, то оно нечётное, и оно минус один чётное, и если оно ещё и делится на три, то уж точно делится на 6, и ветви не образовывает, ибо будучё делено на три, даст чётное число, то бишь постороннее число. Все ряды Б считать рядами Б2

--------------------------------------------------------------------------------
Re: Гипотеза Сиракуз (проблема 3x+1)) ФД 19 июня 12:13
Вообще, простите именя за некоторую сумбурность мышления... Я как-нибудь на неделе подытожу свои соображения по теме.. Попробую вам сейчас объяснить, откуда взялись мои "ряды". Как графически изобразить рекурсию? Я предлагаю взять обычную декартову систему координат, и нарисовать график функции дважды - на осях икс-игрек как обычно, и в перевёрнутом состоянии, то есть игрек-от-икс, притом учитывая направление оси игрек. То есть, повернуть график на 270* и отразить. Так вот, на этом графике из 2 графиков легко прослеживается любая рекурсия. Берём зерно - началную точку, по "правильному" графику вычисляем соотвтетствующую зерну ординату (f(seed)). Потом смотрим на график с другой стороны, и считаем следующую точку, загружая предыдущую в перевёрнутый график. Потом загружаем 2 точку в "правильный" график. И так пока не надоест, или пока не наткнёмся на аттрактор. Динамики процесса эта иллюстрация не покажет, ибо половина точек надлежит считать по одной оси, а половину по другой, зато можно визуально поопределять, куда точки стремятся. Так вот, если у нас рекурсия задаётся одной функцием, то см. всё, что было выше. Если рекурсия состоит из двух функций (различных последовательн овызываемых), то по одной оси рисуем один график, по другой - другой. Например, если эт одве линейные функции, то получится крест, и в зависимости от угла между этими линиями рекурсия будет либо взрывающаяся , либо сходящаяся к точке пересечения линий. Но в нашем случае только один график линеен (3х + 1) , а второй - это график функции, выбрасывающей из числа все степени двойки. Функция весьма кривая, например, можно искать ближайшую стпень двойки и находить с ней Евклидовым методом наибольший общий делитель, а потом делить данное число на него.. В общем, точки будут, но идти они будут РЯДАМИ. Это и есть мои ряды. Показываю схему (не грфик, график потом как-нть сварганю, просто СХЕМУ, не ожидайте от неё свойств графика):
| перевёрнутый 3х + 1
| /
| /
| /
| /
| /
3| / . . . <- ряд 3
1| / . . . . <-ряд 1 (f(x) =1)
| /_______________________________


--------------------------------------------------------------------------------
Re: Гипотеза Сиракуз (проблема 3x+1)) И 19 июня 20:41
> Прошу прощения, рядов Б1 не существует :)Если число делится делится на 3 с остатком 1, и это число - корень ряда, то оно нечётное, и оно минус один чётное, и если оно ещё и делится на три, то уж точно делится на 6, и ветви не образовывает, ибо будучё делено на три, даст чётное число, то бишь постороннее число. Все ряды Б считать рядами Б2


--------------------------------------------------------------------------------
Re: Гипотеза Сиракуз (проблема 3x+1)) Ираклий 19 июня 20:48
Федор, не известно ли Вам что-нибудь об истории гипотезы Сиракуз?
Как она возникла? Как ее пытались решать?
_______________________________________________________________________
__Я понял Вашу терминологию. Можете ли Вы в ее рамках
переформулировать гипотезу Сиракуз? Другими словами, что полезного
дает рассмотрение рядов и их ветвей?
_______________________________________________________________________
__Вы говорили что-то о числе ветвей у ряда: ясно, что если они вообще есть,
то их бесконечно много.


--------------------------------------------------------------------------------
Re: Гипотеза Сиракуз (проблема 3x+1)) ФД 19 июня 22:23
Здраствуйте, Ираклий!
Увы и ах, про гипотезу мне ничего не известно, кроме того что её приписывают Архимеду, что она давно мучает науку и что пару клиентов издали по ней книги.


Переформулировать эту рекурсию довольно просто . Через эти ряды я формулирую обратную рекурсию - с областью определения {1} и областью значения предположительно во всё множество нечётных чисел, или если немного модифицировать функцию, то просто во всё множество НАТУРАЛЬНЫХ чисел. ФОРМУЛИРОВКА: доказать что данная рекурсия при неограниченном числе итераций имеет областью значений мн-во нечётных нат. чисел.
Чем хороша такая формулировка? Сложно сказать :)) У меня есть 2 мотива. Первый - поскольку гипотеза Сиракуз есть чистейшей воды рекурсия, мне хотелось рассмотреть её именно с точки зрения рекурсии, а поскольку второй график оказался множеством точек, единственная возможность его анализировать мне представлялась через эти ряды. Второй мотив чисто практический. Видите ли, я довольно далёк от математики, и первым делом бросился создавать машинный алгоритм. Простой перебор всех чисел - вещица неблагодарная, и я пришёл к выводу, что наипростейший способ доказать гипотезу - показатЬ, что если мы возьмём любое число N и в каждом из рядов будем рассматривать числа, не превышающие это N, то количество итераций будет конечным (на определённом этапе все ветви будут больше N) и в рамках конечного множества результатов этих итераций будет некоторе число n натуральных чисел, идущих подряд с единицы. При этом, n < N и n возрастает вслед за N, хотя и медленнее Отсюда вывод, что при нужном нам n всегда будет подходящее N, и на этом можно успокоиться. Если Вам удастся математически доказать гипотезу так, то Вы в дамках. Я это показал машиной (меньше циклов, чем перебор,и гораздо иллюстративнее - тыкаете N и ждёте, какое появится n), теперь нужно доказать. Ценность этого подхода в том, что становится видно, что на каждой итерации число не летает по всей оси, а зависит от того, с какого числа мне начали. Просто кто-то выше по тексту утверждал, что Сиракузы - функция стахостическая по всему множеству чисел размазанная, ан нет, есть некоторая зависимость..
В сущности, доказать-то надо что... 1) круг в 2 цикла бывает только вокруг 1 (доказывается элементарно: p* 2n = 3p + 1 имеет только одно челое решение с p = 1). 2) надо доказать, что других точек на каком-то круге нет (как например 13 в 5х + 1). 3) доказать, что ни от одного зерна мы не убежим в бесконечность
Фактически, если множество значений моей обратной функции совпадёт с множеством натуральных чисел, пункты 2 и 3 будут доказаны, ибо если бы это было не так, некоторые числа замыкались бы в своих кругах или вообще не замыкались и не были бы связаны с 1.
Вот я в своей сбивчивой манере немножко аргументировал......


--------------------------------------------------------------------------------
Re: Гипотеза Сиракуз (проблема 3x+1)) ФД 19 июня 22:41
Вообще, у нас с вами дискуссия принимает какие-то тормозные очертания.. Вы допытыватесь, почему мне так привидилось, я начинаю сомневаться в том, что мне привидилось правильно, возникают вопросы историко-философские... Так скоро до политики дойдём... Надо развить мысль.. Или объясните поподробнее ваши соображения с лонгами и как вы в них укладывате умножение на 3 ? Может, срестим их с моими рядами :))


--------------------------------------------------------------------------------
Re: Гипотеза Сиракуз (проблема 3x+1)) Matigor 20 июня 18:05
Where is the answer&


--------------------------------------------------------------------------------
Re: Гипотеза Сиракуз (проблема 3x+1)) Ираклий 20 июня 20:37
> Вообще, у нас с вами дискуссия принимает какие-то тормозные очертания.. Вы допытыватесь, почему мне так привидилось, я начинаю сомневаться в том, что мне привидилось правильно, возникают вопросы историко-философские... Так скоро до политики дойдём... Надо развить мысль.. Или объясните поподробнее ваши соображения с лонгами и как вы в них укладывате умножение на 3 ? Может, срестим их с моими рядами :))
Загляните сюда:
http://mathmag.spbu.ru/conference/fido7.ru.math/12664/
Я немного отдохну... Пойму Ваши рассуждения... Доздам сессию...


--------------------------------------------------------------------------------
Re: Гипотеза Сиракуз (проблема 3x+1)) ФД 20 июня 23:01
Вы думаете, вы один такой сессию досдавать? :)))


--------------------------------------------------------------------------------
Re: Гипотеза Сиракуз (проблема 3x+1)) ФД 21 июня 21:28
Мне кажется, что мне удалось упростить эту чёртову гипотезу... Докажите, что на любой итерации мантиса будет уникальной.


Что за претрубации творятся с дискуссией?
Вообще, у меян созрел эскиз док-ва....


_Хотите увидеть Ваши ряды "в живую"? Загляните сюда:
www.cecm.sfu.ca/organics/papers/lagarias/paper/html/node2.html
_Мой "эскиз" таков:

Пусть а - неотрицательное целое число.
Через а[i] обозначим значение i-го разряда в двоичной записи а.
Например, если х=1012, то
x[0]=1
x[1]=0
x[2]=1
x[k]=0 при k>2.

Пусть требуется сложить два натуральных числа a и b.
Введем вспомогательное число d, которое определим так:
d[0]=a[0]*b[0]
d[k+1]=a[k+1]*b[k+1]+d[k]*(a[k+1]+b[k+1])
В Н И М А Н И Е ! СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ ЗДЕСЬ ЛОГИЧЕСКИЕ

Оказывается, что число a+b (обозначим его с) удовлетворяет условиям:
c[0]=a[0] XOR b[0]
c[k+1]=a[k+1] XOR b[k+1] XOR d[k].

Таким образом, мы можем свести сложение, а, следовательно, и умножение,
к логическим операциям над цифрами числа...
Не правда ли, это "эскиз", а не эскиз.
Кстати, известно ли Вам, в какой мере исследована связь между
арифметикой в n-ричной системе счисления и n-значной логикой?


Ну, графы Коллатца это не совсем мои ряды. Однако, рассмотрение проблеммы по указанному адресу черезвычайно интересно и близко к правде.
Отличие моего подхода в том, что я пытался анализмровать поведение обратной функции. Очевидно (ну, может и не очивидно, но у меня получается :) ), что обратная функция на каждой итерации выдаёт бесконечный ряд уникальных неповторяющихся "ветвящихся" значений, то есть повторений не будет и будет бесконечно много натуральных чисел, явл. решениями обратной ф-ии, т. е. составляющих допустимую область опр-я самой ф-ии Сиракуз.Очевидно также, что они будут концентрирооваться у 0 при любом масштабе, т. е. на любой итерации чем ближе к 0, тем гуще. Причём я мыслил не категориями времни останова, а верхней границей всех рядов (произвольно выбранной). Я считаю, что каждую последовательнось [1;n] можно получить, ограничив все ряды сверху неким числом N
Так оно и есть, но пойди докажи.. Докажешь - докажешь всё.
Второе моё соображение было в том, что если вышеуказанную штуку не доказать, то не ясно, нет ли зацикливающихся чисел :) То, что нету разлетающихся, и что сам на себя клиниться может только главный ряд, ежу понятно (т.е. легко доказывается :) ). Единственная загвоздка - эта возможная цикличность итерации от некоторого числа, т. е. нужно опровергнуть возможность прихода от одного числа к нему же самому, если это число не 1. Формулируя вашими терминами, достаточно доказать что при любой итерации i от любого зерна р мантисса будет уникальным, не встречавшимся на раньших итерациях.
Ваш метод мне ясен, однако не ясно, что вы хотите делать дальше. Вы можете таким кривым методом выразить S(n) в двоичном виде через логические операции, а дальше-то что? Не надейтесь, что лонга будет видоизменяться каким-то особым прогнорзируемым способом.... Я считаю, что как представляй проблемму, хоть в 10й системе, хоть в 2й, хоть мат-кой, хоть логикой, суть не изменится..
Насчёт связи логики и арифметики я Вас просто не понимаю. Я не вижу здесь предмета для исследования :))) Во-первых, n-ричность системы не имеет к n-значности логики никакого отношения, ибо логика (если она только не нечёткая) есть в чистом виде теор. множеств и посему она бинарна в своей сути, сколько элементов мн-ва не бери.. Поэтому хоть какая иллюстративность связи может быть достигнута только в 2й системе... А вообще, это совершенно разные области. Логика не учитывет добавление единицы в старший разряд, вы сами только что введи подмножество, с которым ксорили каждый разряд :) по-другому и не определишь.... Хотя может маниакальные математки что и понапридумывали, но с моей точки зрения, тут просто нечего изучать....
Ещё интересно было бы поставить перед вами суровую проблемму, с частным случаем которой мы и мучаемся:

Имеется некоторая функция A=F(B), где A, B - n-мерные векторы. Функция вызывается неограниченное число раз следующим образом:
A 1 = F(A 0)
A 2 = F(A 1)
....
A n = F(A n-1)
где A 0 - зерно, некоторое данное значение.
Функция может вести себя 4 способами (в зависимости от A 0:
1. Она может с увеличением числа итераций n стремиться к оо (точнее, если это 2- или более мерный вектор, стремится расстояние от О).
2. Она может достигать накоторого числа С и зацикливаться, постоянно к нему возвращаясь (С - аттрактор)
3. Она может стремится к такому числу, не достигая его.
4. Она может меняться хаотически-нециклически, не уходя в бесконечность и оставаясь в пределах какаого-либо расстояния.

ЗАДАЧА: 1.Выяснить для любой функции F , как она будет себя вест ив рамках этих понятий в зависимости от A 0
2. Выяснить число аттракторов любой такой функции.
3. Выявить множество на множестве определения такой функции, которое бы включало все точки, от которых данная функция стремится к каждому из аттракторов.

Вот :)))) Думайте..


> То, что нету разлетающихся, и что сам на себя клиниться может
> только главный ряд, ежу понятно (т.е. легко доказывается :) ).

ГМ-ГМ...
Ежу-то может и понятно...
Откуда именно следует отсутствие дивергентных траекторий?


Вилами по воде это писано. Ask the Ёж! Он понимет всё. ~/^^^*-o Эта фигня доказывалась на том сайте, который вы мне показали... Правда, теперь он сдохЪ.

Вообшче, если подуматЬ::

Вот некоторое число а, от которого будет дивергентная траектория. Получается из этого числа число (3а + 1)/2 = р. Моими словами, а - ветвь р. а - число случайно выбранное, в той же мере случайно и р. Ровно половина чисел делится на 2. Ровно половина чисел, делимых на 2, делится на 4 :)) . Так вот, если р не делится на 2, то идя от числа а мы после умножения на 3, прибавления единицы и единственного деления на 2 получим число, чуть болшее 1.5а. Если а делится на 2, то после умножения, сложения и 2 делений мы получим чуть больше чем 0.75а. Итд. Посчитаем матожидание коэфициента коррекции числа а после делений:
0.5*1.5 + 0.25*0.75 + 0.125 * 0.375 + ......
Геометрическая прогрессия, однако. S = 0.5*1.5 / (1-0.25) = 1. Поскольку на самом деле не прямо 1.5, 0.75 итд, а чуть больше, то и сумма будет чуть больше, прям-таки неощутимо больше :) Значит, а - ветвь числа, чуть-чуть большего его самого (в ожидании). Причём поскольку в этой сумме я не учёл 1-цу, то её роль будет всё меньше, чем больше числа. Таким образом, уход в бесконечность крайне маловероятен. Особенно если подумать, что у числа р обязаны быть ветви, большие чем а, то получаются вообще нелады с дивергентной траекторией: получается, что мы от числа а идём в бесконечность, но для каждого числа n на i итерации будет бесконечно много ветвей от числа m на i+1 итерации, больших, чем n. Значит, получается что ьакая "дивергентная" траектория будет стремиться к какому-то "бесконечно большому" числу, к которому будут стремится дофига чисел, ещё больших чем оно само, значит, никакое оно не бесконечно большое. А что касается возможности бесконечно долгого блуждания без ухода в плюс бесконечность, то оно совсем уж невозможно. Фишка в том, что наше множество чисел, от которых ты попадаешь в 1, получаемое моей обратной функцией, бесконечно большое и концентрируется около нуля. Значит, если и есть множество чисел, не ведущих к 1, скажем, не превышающих численно некого произвольного N, то оно конечно (натуральные числа ведь, и везде кругом наши правильные числа :)) ). Нельзя блуждать бесконечно долго по конечному множеству, не зацикливаясь. Не забывайте, что каждое число - ветвь только одного числа, и если мы дважды попадаем на одно число (гипотетеически), то мы неминуемо повторим всю траекторию, то есть ЗАЦИКЛИМСЯ! Вывод: все дружно пытаемся доказать уникальность мантиссы :)))


1. Как доказывается теорема Гёделя о неполноте ?
2. Какова сумма ряда чисел обратных простым, если он сходится ?
3. Какова сумма ряда чисел, обратных числам Фибоначчи, если он сходится ?

--------------------------------------------------------------------------------

Re: 3 вопроса Б.Б. 29 июня 08:48
> 1. Как доказывается теорема Гёделя о неполноте ?
> 2. Какова сумма ряда чисел обратных простым, если он сходится ?
> 3. Какова сумма ряда чисел, обратных числам Фибоначчи, если он сходится ?
1. Грубо: нумеруются все формулы и все доказательства, стоится высказывание "Для любого N: N не есть номер доказательства высказывания с номером G", такое что номер этого высказывания есть G. Таким образом это утверждение недоказуемо и истинно.
2. Расходится. Следует из Pi(n)~n/log(n).
3. Сходится. Доказательства не знаю.



> Вот некоторое число а, от которого будет дивергентная траектория. Получается из этого числа число (3а + 1)/2 = р. Моими словами, а - ветвь р. а - число случайно выбранное, в той же мере случайно и р. Ровно половина чисел делится на 2. Ровно половина чисел, делимых на 2, делится на 4 :)) . Так вот, если р не делится на 2, то идя от числа а мы после умножения на 3, прибавления единицы и единственного деления на 2 получим число, чуть болшее 1.5а. Если а делится на 2, то после умножения, сложения и 2 делений мы получим чуть больше чем 0.75а. Итд. Посчитаем матожидание коэфициента коррекции числа а после делений:
> 0.5*1.5 + 0.25*0.75 + 0.125 * 0.375 + ......
> Геометрическая прогрессия, однако. S = 0.5*1.5 / (1-0.25) = 1.
> Поскольку на самом деле не прямо 1.5, 0.75 итд, а чуть больше, то и сумма будет чуть больше, прям-таки неощутимо больше :) Значит, а - ветвь числа, чуть-чуть большего его самого (в ожидании). Причём поскольку в этой сумме я не учёл 1-цу, то её роль будет всё меньше, чем больше числа. Таким образом, уход в бесконечность крайне маловероятен.
Вы, видимо, шутите: где же здесь ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ?
Вообще, я не однократно встречал предположение об эффективности
использования теории вероятности в данной проблеме. Мне кажется, что
это не грозит успехом. :)
> Фишка в том, что наше множество чисел, от которых ты попадаешь в 1, получаемое моей обратной функцией, бесконечно большое и концентрируется около нуля.
Не понял я, что делают натуральные числа вблизи нуля...


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100