Линейная алгебра

Сообщение №6685 от СМ 26 января 2003 г. 13:04
Тема: Линейная алгебра

В этой теме сборка вопросов и задач участников форума по ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ.
Новые вопросы и задачи можете посылать в качесте сообщений в эту тему.
Эта сборка идет в порядке эксперимента.


Отклики на это сообщение:

Линейная алгебра

Сообщение от Al. , 26 января 2003 г. 12:05:

Что является вполне изотропным подпространством относительно
некоторой ненулевой билинейной ф-ии f(x,y)и
чем оно отличается от ядра этой ф-ии?! Если можно, то приведите конкретный пример! Заранее спасибо)


Ядро функции - это множество векторов с условием f(x,x)=0, а изотропное пространство W - это такое пространство, что для любых x,y из W выполнено f(x,y)=0.


Добрый день.

Знает ли кто-нибудь, как с помощью алгоритма динамического программирования решить систему линейных уравнений?

Если кто-то знает, помогите, пожалуйста. А то я нашёл много примеров применения метода динамического программирования для разных задач, кроме этой.

Заранее благодарен.


ищу список прикладных задач в которых требуется решение систем линейных уравнений.
в первую очередь интересуют высокоразмерные задачи

заранее благодарю.


вышлите плиз на e-mail ответы на следующее
1. Мономорфизм, эпиморфизм и изоморфизм. Необходимые условия изоморфизма.
2. Матрица тензора. Изменение коэфицентов тензора при замене базиса линейного пространства.
3. Подпространства, инвариантные относительно изометрического оператора.
Ограничение оператора на инвариантное подпространство.
или подскажите на каких сайтах взять эту информацию
Заранее благодарен!



Коэффициенты матрицы А(100,100) представляют собой рациональные числа 1 000 000+t, где t- случайное рациональное число [0,1]. Возможно ли в настоящее время предсказуемое решение таких СЛАУ ? Если да ,то какими методами ? Буду признателен за возможный ответ.



Hi All!
Подскажите быстрый алгоритм нахождения собственных векторов
симметричной матрицы размерности N=2:

| K00 K01|
K= | |
| K01 K11|

Желательно, чтобы элементы векторов можно было бы найти
аналитически.

Всего наилучшего.


1. Явно выписываем характеристический полином
(K00-x)*(K11-x)=K01*K10
и решаем относительно х.
2. Вычитаем найденное собственное значение из диагонали. Столбцы/строки полученной матрицы суть собственный вектор для данного С.З.
Аналогично и для второго С.З.


А в чем проблема?

Значения коэффициентов случайны, и нужно найти распределение для решений этого уравнения?
Тут я копал бы через теорию возмущений, далее вспомнил бы про семиинварианты...

Или они все же фиксированы, но при этом принадлежат интервалу (1000000;1000001)?
Тогда просто вопрос о повышении точности вычислений.
а. Использовать числа повышенной разрядности.
б. Использовать методы повышенной точности (скажем, сингулярное разложение) и, возможно, уточнять решение итеративно.
в. Если матрица близка к вырожденной - регуляризация.


Проблема в том, что тестируется метод решения для таких систем.

На входе произвольная матрица А(m,n) и b(m).
На выходе нормальное псевдорешение х.
*АT - транспонированная матрица
c=АT b
*С одной стороны , ищется решение Ах=b,
*с другой стороны, ищется решение АT b=с
x=0
НачалоЦикла
b1=Аc
*Найдем такое число k, при котором норма вектора b-kb1 будет минимальной
k=(b1b)/(b1b1)
b1=kb1
b=b-b1
x=x+kс
*Проверим b1 в качестве решения АT b=с
*Только для первого цикла возможно с1= АT b1, но правильно
delta= АT b
с1= c- delta
*
k=(c1c) / (c1c1)
c=c-kc1
КонецЦикла
*Критерием выхода пусть будет малость нормы вектора с.

Пока ясно , что сходимость метода зависит от правой части.
Для матрицы Гильберта H(100,100) относительная погрешность решения для разных правых частей может отличаться в сотни тысяч раз.
Для первоначального же примера эта зависимость слаба или отсутствует.
Например.Заранее известен вектор-решение х(1,4,9,16,..10 000)-
понадобилось 1800-2000 итераций для получения решения такого ,что погрешность для каждой координаты по абсолютному значению не превысила 0.01.
Хорошо это или плохо , сказать трудно. Сравнить не с чем.


> Проблема в том, что тестируется метод решения для таких систем.

> На входе произвольная матрица А(m,n) и b(m).
> На выходе нормальное псевдорешение х.
> *АT - транспонированная матрица
> c=АT b
> *С одной стороны , ищется решение Ах=b,
> *с другой стороны, ищется решение АT b=с
> x=0
> НачалоЦикла
> b1=Аc
> *Найдем такое число k, при котором норма вектора b-kb1 будет минимальной
> k=(b1b)/(b1b1)
> b1=kb1
> b=b-b1
> x=x+kс
> *Проверим b1 в качестве решения АT b=с
> *Только для первого цикла возможно с1= АT b1, но правильно
> delta= АT b
> с1= c- delta
> *
> k=(c1c) / (c1c1)
> c=c-kc1
> КонецЦикла
> *Критерием выхода пусть будет малость нормы вектора с.

> Пока ясно , что сходимость метода зависит от правой части.
> Для матрицы Гильберта H(100,100) относительная погрешность решения для разных правых частей может отличаться в сотни тысяч раз.
> Для первоначального же примера эта зависимость слаба или отсутствует.
> Например.Заранее известен вектор-решение х(1,4,9,16,..10 000)-
> понадобилось 1800-2000 итераций для получения решения такого ,что погрешность для каждой координаты по абсолютному значению не превысила 0.01.
> Хорошо это или плохо , сказать трудно. Сравнить не с чем.


Какой-то алгоритм у Вас странный...
Для такой размерности вполне себе работает сингулярное разложение, тем более, что ни разреженности, ни особой структуры я что-то не вижу.


> Какой-то алгоритм у Вас странный...
> Для такой размерности вполне себе работает сингулярное разложение, тем более, что ни разреженности, ни особой структуры я что-то не вижу.

Возможно, Вы правы. Если сингулярное разложение «вполне себе работает» и эффективно работает , тогда его и надо использовать.
О странности.
Какие-либо обоснования у меня отсутствуют.
Все свойства метода выясняются экспериментально.


> > Какой-то алгоритм у Вас странный...
> > Для такой размерности вполне себе работает сингулярное разложение, тем более, что ни разреженности, ни особой структуры я что-то не вижу.

> Возможно, Вы правы. Если сингулярное разложение «вполне себе работает» и эффективно работает , тогда его и надо использовать.
> О странности.
> Какие-либо обоснования у меня отсутствуют.
> Все свойства метода выясняются экспериментально.

Алгоритм сингулярного разложения есть, например, на www.nr.com
(собственно, за программу там надо платить, но исходник приведен в бесплатном тексте книги...). Там же и пояснения.
Если мы разложим матрицу A=SLC, где S и C ортогональные, a L диагональна, то
Ax=b
SLCx=b
x=C# L^(-1) S# b (# здесь транспонирование)
В случае вырожденности матрицы А вместо обращения L делаем псевдообращение (попросту Linv[i]= {1/L[i], L[i]!=0| 0, L[i]=0} )
Несложно ввести и регуляризацию.
Размерность 100х100 не представляет существенных трудностей, ИМХО.
Итеративная схема (насколько я понял, у Вас именно итеративная?) оправдана при размерности, скажем, 10000х10000 и разреженности, но и здесь можно найти что-то получше, скажем, сопряженными градиентами.



Благодарю за ссылку.
Судя по всему , Вы исходите из практического опыта решения плохо обусловленных систем. Хотелось бы знать: на какую погрешность для первоначального примера х(1,4,..10 000) я могу рассчитывать, воспользовавшись Вашим советом ?
Потому что, до сих пор предлагали мне только одно -ЛАПТИ . Мерить погрешность.
Возможно , предлагающие не правы.

Дело, к сожалению, не только в том, чтобы решить конкретный пример.
Матрицу на входе алгоритма можно описать так :
Неразреженная,
Возможно , неположительная
Максимальный размер 1000х1000
M ,возможно, не равно N(причем > или <).
Коэффициенты по абс. значению, скорее всего , близки к некоей константе .

Первоначальный пример - один из наихудших вариантов этой матрицы( на мой взгляд).

P.S. Что есть ИМХО ? Неужто что-то неприличное ?



> Судя по всему , Вы исходите из практического опыта решения плохо обусловленных систем. Хотелось бы знать: на какую погрешность для первоначального примера х(1,4,..10 000) я могу рассчитывать, воспользовавшись Вашим советом ?
> Потому что, до сих пор предлагали мне только одно -ЛАПТИ . Мерить погрешность.
> Возможно , предлагающие не правы.

> Дело, к сожалению, не только в том, чтобы решить конкретный пример.
> Матрицу на входе алгоритма можно описать так :
> Неразреженная,
> Возможно , неположительная
> Максимальный размер 1000х1000
> M ,возможно, не равно N(причем > или <).
> Коэффициенты по абс. значению, скорее всего , близки к некоей константе .

> Первоначальный пример - один из наихудших вариантов этой матрицы( на мой взгляд).

> P.S. Что есть ИМХО ? Неужто что-то неприличное ?
>
>

0. Полезно ознакомится с теорией анализа погрешностей (Уилкинсон, "Алгебраическая проблема собственных значений" - в начальных главах дан более общий, чем заглавие, материал; Воеводин; Парлетт; названная ссылка на "Цифровые рецепты" и др.), а также с применением сингулярного разложения (Лоусон и Хенсон - применительно к МНК; Алберт - "Регрессия, псевдоинверсия, рекуррентное оценивание), возможно, с теорией регуляризации (Тихонов, Арсенин).
1. Оценить погрешность априори не могу, но полагаю, что она не фатально велика. Какова она - зависит от того, насколько близки к нулю сингулярные значения матрицы (они, по определению, положительны).
2. Что есть "матрица неположительна"? Если могут быть отрицательные значения - это несущественно. Если могут быть отрицательные собственные значения - то она заведомо квадратна (причем - они, вероятнее всего, еще и комплексны...)
3. 100х100 - вполне подъемно стандартными средствами. Точность double (8 байт) вполне достаточна, но перейти на extended (10 байт) не столь дорого. 1000х1000 - возможно, придется напрячься.
4. Если сингулярные числа близки к нулю - придется их регуляризовать, скажем, искусствено увеличив. Повышение же точности вычислений не спасет - основной вклад в ошибку будут вносить погрешности до вычислений.
5. Помимо теоретического анализа можно сделать "имитационное моделирование" - ввести искусственную погрешность разумной величины и посмотреть на изменения решения.
6. Иногда помогает вычесть среднее значение (особенно если одна из строк - константа) и учесть его при обработке результата. Скажем, это используют в регрессионном анализе.
7. ИМХО - IMHO - In My Humble Opinion - По Моему Скромному Мнению (но ПМСМ не привилось...)
Впрочем, иногда расшифровывают непосредственно ИМХО как "Имею Мнение - Хрен Оспоришь!" :)


Индейское «Хау» благозвучнее. Но :
ИМХО, я благодарю Вас за неожиданно подробный комментарий.
Ваше Мнение(имхо) :
Вначале пп.0-6 ,а затем станет ясно , нужны ли «странные алгоритмы» .


> Индейское «Хау» благозвучнее. Но :
> ИМХО, я благодарю Вас за неожиданно подробный комментарий.
> Ваше Мнение(имхо) :
> Вначале пп.0-6 ,а затем станет ясно , нужны ли «странные алгоритмы» .

ИМХО употребляется несколько в ином случае, а именно, чтобы подчеркнуть, что высказано выражение своего мнения, не более - но и не менее...


Можно ли по матрице А и вектору b системы линейных уравнений А*x=b оценить, будет ли вектор х обладать отрицательными компонентами?
20 декабря 2003 г. 17:45:



> Можно ли по матрице А и вектору b системы линейных уравнений А*x=b оценить, будет ли вектор х обладать отрицательными компонентами?
> 20 декабря 2003 г. 17:45:

naverno tol'ko esli A s preobladajuschej diagonal'ju.


> Можно ли по матрице А и вектору b системы линейных уравнений А*x=b оценить, будет ли вектор х обладать отрицательными компонентами?
> 20 декабря 2003 г. 17:45:

Ну, как бы можно - решив систему. Видимо, речь о том, какой минимальный объем работы нужен, чтобы определить наличие отрицательных элементов в решении?
Боюсь, что в общем случае это неразрешимо...


> > Можно ли по матрице А и вектору b системы линейных уравнений А*x=b оценить, будет ли вектор х обладать отрицательными компонентами?
> > 20 декабря 2003 г. 17:45:

> Ну, как бы можно - решив систему. Видимо, речь о том, какой минимальный объем работы нужен, чтобы определить наличие отрицательных элементов в решении?
> Боюсь, что в общем случае это неразрешимо...

Это у нашего аспиранта-физика возникла задача на распределение токов. Отрицательная компонента соотв обратному току с кластера. Послали его Гантмахера читать. У него система положительная (в смысле все элементы А положительны из физического смысла). Ещё дали совет ему 2х2 и 3х3 полностью разобрать, а потом переходить к физике, где счёт на тысячи идёт.


> > Можно ли по матрице А и вектору b системы линейных уравнений А*x=b оценить, будет ли вектор х обладать отрицательными компонентами?
> > 20 декабря 2003 г. 17:45:

> naverno tol'ko esli A s preobladajuschej diagonal'ju.

Не знаю, но по смыслу, кажется, ближе к главной диагонали числа должны быть побольше... Спасибо.


> ищу список прикладных задач в которых требуется решение систем линейных уравнений.
> в первую очередь интересуют высокоразмерные задачи

> заранее благодарю.

Израэль Моисеевич Гельфанд сказывал, что любая задача сводится к задаче линейной алгебры так или иначе.

Другое дело, что от этого жизнь не станет проще. Простой пример - решение системы алгебраических уравнений. Ищите все следствия, записывая их в базисе из мономов, координатно. Аналогично и УРЧП с Диффурами - главное по базису разложить. А если конкретно - смотрите задачку выше, что я выложил.


> > > Можно ли по матрице А и вектору b системы линейных уравнений А*x=b оценить, будет ли вектор х обладать отрицательными компонентами?
> > > 20 декабря 2003 г. 17:45:

> > Ну, как бы можно - решив систему. Видимо, речь о том, какой минимальный объем работы нужен, чтобы определить наличие отрицательных элементов в решении?
> > Боюсь, что в общем случае это неразрешимо...

> Это у нашего аспиранта-физика возникла задача на распределение токов. Отрицательная компонента соотв обратному току с кластера. Послали его Гантмахера читать. У него система положительная (в смысле все элементы А положительны из физического смысла). Ещё дали совет ему 2х2 и 3х3 полностью разобрать, а потом переходить к физике, где счёт на тысячи идёт.

Единственное, что приходит в голову - воспользоваться правилом Крамера. Однако, если только не удастся проинтерпретировать получаемые определители физически, и из физических соображений найти их знак - будет проще решить уравнения...


чем кончит - боюсь и гадать.


Да, потомучто матрица равна С=A*B+B2-F(X)+F'(X)-LIM AN=N


> Да, потомучто матрица равна С=A*B+B2-F(X)+F'(X)-LIM AN=N

Не понял - о чём Вы?


Всем привет!
подскажите, плиз, как будет изменяться неравенство c*xЯ придумал такой алгоритм:
1. гиперплоскость c*x=k представляет собой линейное подпространство, сдвинутое на вектор x0. Базис этого линейного пространства определяется как ортогональное дополнение к с.
2. берем ортогональное дополнение к с, умножаем на А и берем еще раз ортогональное дополнение. Получаем с'. Линейное подпр-во мы повернули.
3. Далее вычисляем xo'= A*x0+b и, соответственно, находим k'.

Я не уверен до конца, правильно ли это и меня волнует вопрос со знаком. Не может ли получиться, что я получу неверный знак в новом неравенстве?

Дима
03 февраля 2004 г. 15:52:


Сорри, тут у меня кусок письма как-то испарился. В оригинале вопрос звучал так:
как будет изменяться неравенство c*x


Помогите, пожалуйста, доказать , что для любых лин-х операторов A,B,C на V
сраведливо нер-во Фробениуса rankBA + rankAC<=rankA +rankBAC,
используя рав-во rankA=rankB+dim(ImA^KerB)(^ -пересечение).
заранее большое спасибо!


> Имеются два кольца : D = {a/2 + b/2 * \sqrt{-3}} и K = {a/2 + b/2 * \sqrt{-19}}. Требуется доказать евклидовость первого и неевклидовость и факториальность второго.

См. например
П.Ноден, К.Китте ``Алгебраическая алгоритмика'' - М.:Мир, 1999.
глава II. Евклид и основная теорема арифметики,
а также упражнение 20 к этой главе.


> Всем привет!
> подскажите, плиз, как будет изменяться неравенство c*xЯ придумал такой алгоритм:
> 1. гиперплоскость c*x=k представляет собой линейное подпространство, сдвинутое на вектор x0. Базис этого линейного пространства определяется как ортогональное дополнение к с.

Подпространство чего? С-это число или вектор?

> 2. берем ортогональное дополнение к с, умножаем на А и берем еще раз ортогональное дополнение. Получаем с'. Линейное подпр-во мы повернули.

Что такое А, на которое Вы умножаете.

> 3. Далее вычисляем xo'= A*x0+b и, соответственно, находим k'.

Что такое к со штрихом? Рассмотрите конкретный пример, и Вам самому прояснится!

> Я не уверен до конца, правильно ли это и меня волнует вопрос со знаком. Не может ли получиться, что я получу неверный знак в новом неравенстве?

> Дима
> 03 февраля 2004 г. 15:52:


Если окружность при бесконечном увеличении радиуса совпадает со своей касательной, то она обращается в линию. Однако интересно посмотреть эту линию на бесконечности. Все таки это же окружность и в бесконечности она имеет закругление или хотя бы кривизну, а касательная нет. Вопрос в том совпадает ли окружность со своей касательной или же вообще не бывает абсолютно прямых ( не имеющих кривизну) линий ???? Парадокс ??? если можете объясниете .


Парадоксы здесь только из-за неправильного употребления терминов.


Псевдообращение столбцов, минимальная псевдообратная матрица
Добрый вечер!
Буду очень благодарна за ссылки в интернете, где рассматривается вопросы о нахождении минимальной псевдообратной матрицы т.к. нашла только статьи Леонова по этой проблеме, а этого очень мало.. чтобы понять суть.
Подскажите каким образом происходит псевдообращение столбцов?

Заранее спасибо.
28 марта 2004 г. 22:47
--------------------------------------------------------------------------------

Re: Псевдообращение столбцов, минимальная псевдооб
RElf 29 марта
В : Псевдообращение столбцов, минимальная псевдообратная матрица от Анна , 28 марта 2004 г.:
> Буду очень благодарна за ссылки в интернете, где рассматривается вопросы о нахождении минимальной псевдообратной матрицы т.к. нашла только статьи Леонова по этой проблеме, а этого очень мало.. чтобы понять суть.
Что значит "минимальной" ?! Псевдообратная матрица A^+ для данной матрицы A определена вполне конкретным образом:

A^+ = (A^T*A)^(-1)*A^T

http://mathworld.wolfram.com/Moore-PenroseMatrixInverse.html


Доброе время суток!
Может кто-нибудь подскажет .. :) буду очень благодарна.
Есть Ах=b , А-матрица, x,b-вектора.
Необходимо задать А и b таким образом, чтобы компоненты вектора х в сумме давали 1 + чтобы матрица А была невырожденной.

Заранее спасибо
20 апреля 2004 г. 19:37:
Анне замечание. CoModerator


>> Доброе время суток!
>> Может кто-нибудь подскажет .. :) буду очень благодарна.
>> Есть Ах=b , А-матрица, x,b-вектора.
>> Необходимо задать А и b таким образом, чтобы компоненты вектора х в сумме давали 1 + чтобы матрица А была невырожденной.

> Взять: А -единичная матрица, b - любой вектор с суммой компонентов 1 >(например, [1,0,...,0]). Тогда x=b => сумма компонентов x = 1,что и требовалось.


> >> Доброе время суток!
> >> Может кто-нибудь подскажет .. :) буду очень благодарна.

Есть Ах=b , А-матрица, x,b-вектора.
Необходимо задать А и b таким образом, чтобы компоненты вектора х в сумме давали 1 + чтобы матрица А была невырожденной.

Взять: А -единичная матрица, b - любой вектор с суммой компонентов 1,
(например, [1,0,...,0]). Тогда x=b => сумма компонентов x = 1,что и требовалось.


> Доброе время суток!
> Может кто-нибудь подскажет .. :) буду очень благодарна.
> Есть Ах=b , А-матрица, x,b-вектора.
> Необходимо задать А и b таким образом, чтобы компоненты вектора х в сумме давали 1 + чтобы матрица А была невырожденной.

Можно просто выбрать какой-либо x, потом взять произвольную невырожденную матрицу A и умножить на x, а результат назвать b.


> Доброе время суток!
> Может кто-нибудь подскажет .. :) буду очень благодарна.
> Есть Ах=b , А-матрица, x,b-вектора.
> Необходимо задать А и b таким образом, чтобы компоненты вектора х в сумме давали 1 + чтобы матрица А была невырожденной.

> Заранее спасибо
> 20 апреля 2004 г. 19:37:
> Анне замечание. CoModerator

Из равенства АХ=В следует, что А(рХ)=рВ. Поэтому можно взять любую систему, посиотреть решение и разделить все правые части на сумму значений неизвестных. В полученной системе сумма компонент вектора Х будет уже равна единице.


Спасибо!!!


Здравствуйте!
Столкнулось с небольшой проблемой при написании алгоритма, к сожалению сама не могу найти выход :).

Bx=f,
B,f- задаются , надо найти х. Причем сумма компонент х должна равняться 1, и желательно чтобы компоненты были положительными величинами.
Проблема в том, какие задать B,f???
Изначально брала B=(1...1), а f=1.Но к сожалению, данные условия не пригодны для алгоритма.
B-должна быть матрицей. Если взять матрицу B просто , чтобы сумма по столбцам была равна 1.. то это накладывает более жесткие ограничения на х, чем начальные.

Вот и не могу придумать, такой универсальной матрицы B и f.
Может у кого-нибудь появятся идеи.


Спасибо.
Lory
28 апреля 2004 г. 21:02:



> Здравствуйте!
> Столкнулось с небольшой проблемой при написании алгоритма, к сожалению сама не могу найти выход :).

> Bx=f,
> B,f- задаются , надо найти х. Причем сумма компонент х должна равняться 1, и желательно чтобы компоненты были положительными величинами.
> Проблема в том, какие задать B,f???
> Изначально брала B=(1...1), а f=1.Но к сожалению, данные условия не пригодны для алгоритма.
> B-должна быть матрицей. Если взять матрицу B просто , чтобы сумма по столбцам была равна 1.. то это накладывает более жесткие ограничения на х, чем начальные.

> Вот и не могу придумать, такой универсальной матрицы B и f.
> Может у кого-нибудь появятся идеи.

Получив любое значение х, можно привести его к единичной сумме, домножив на соответсвующий множитель, либо на обратную к текущей сумме х домножив f, либо на текущую сумму х домножив В.
Если f положительно, неотрицательность x=B^(-1)f
гарантируется при положительной главной диагонали В и отрицательных элементах вне ее.


Мне попалась интересная задачка на экзамене,я ее до сих пор не решил!
Не могли бы вы помочь мне с решением этой задачи. Я вам буду очень благодарен!
Даны 2 кольца: первое D- {a+b*sqrt(-3); a,b принадлежат целым числам, a сравнимо с b по mod 2},второе K- {a+b*sqrt(-19); a,b принадлежат целым числам, а сравнимо с b по mod 2}. Показать: D,K - целостные кольца, причем:
1) D - евклидово кольцо (D - факториально)
2) K - факториальное кольцо, но не является евклидовым.


> Парадоксы здесь не из за непонимания терминов, а из за несовершенности математического аппарата. Из за непонимания людьми того, что они пытаются описать. В природе НЕ СУЩЕСТВУЕТ взаимосвязей описываемых диференциальными, интегральными уравнениями! И вообще существуют лишь замкнутые адаптивные системы. Математика полна теорем и правил которые в частных случаях имею поправки, а это позвольте глупо.


Помоготе решить задачку: Сумма цифр двухзначного числа равна 10. Если цифры этого числа переставить и цифру единиц нового числа увеличить на 1, то получится число в 2 раза больше первоначального. Найти это число?
10 июня 2004 г. 15:00

--------------------------------------------------------------------------------
Re: Линейные уравнения ъ
sleo 10 июня 15:26
В ответ на №11663: Re: Линейные уравнения от sleo , 10 июня 2004 г.:
> > Помоготе решить задачку: Сумма цифр двухзначного числа равна 10. Если цифры этого числа переставить и цифру единиц нового числа увеличить на 1, то получится число в 2 раза больше первоначального. Найти это число?
> Составляем систему из 3-х уравнений:

> x + y = 10
> z = 10x + y
> 2z = 1 + x + 10y

> Решение:

> x = 3
> y = 7

Искомое число: 37
--------------------------------------------------------------------------------


> Помоготе решить задачку: Сумма цифр двухзначного числа равна 10. Если цифры этого числа переставить и цифру единиц нового числа увеличить на 1, то получится число в 2 раза больше первоначального. Найти это число?
> 10 июня 2004 г. 15:00

> --------------------------------------------------------------------------------
> Re: Линейные уравнения ъ
> sleo 10 июня 15:26
> В ответ на №11663: Re: Линейные уравнения от sleo , 10 июня 2004 г.:
> > > Помоготе решить задачку: Сумма цифр двухзначного числа равна 10. Если цифры этого числа переставить и цифру единиц нового числа увеличить на 1, то получится число в 2 раза больше первоначального. Найти это число?
> > Составляем систему из 3-х уравнений:

> > x + y = 10
> > z = 10x + y
> > 2z = 1 + x + 10y

> > Решение:

> > x = 3
> > y = 7

> Искомое число: 37
> --------------------------------------------------------------------------------

Арифметическое решение. В пандан к приведенному алгебраическому.
Поскольку второе число при прибавлении единицы вдвое больше первого, то первая цифра первого - нечетное число, а поскольку второе остается двухначным, то названная цифра меньше 5 (1, 3 и... и все).
Проверяем 19 и 37. Первое дает 92<>2*19=38 и не подходит. Второе - 74=2*37.
Ответ 37.


Уважаемые дамы и господа! Помогите, пожалуйста, с проблемой.
Вот читаю книгу И.Р. ШаФаревича и, не уходя от начала на расстояние выстрела, обнаруживаю такой пассаж. Игорь Ростиславич пишет, что если у нас есть два вектора x, y в четырёхмерном векторном пространстве, то автоматически определён так называемый бивектор (или внешнее произведение), координаты которого суть
p_{i,j} = x_i*y_j - x_j*y_i,
где, конечно, нижним подчёркиванием обозначен нижний индекс, а i, j = 1,...,4.
Тут ничто вопросов не вызывает, НО!!! Прямо следом сказано, что при замене базиса в исходном векторном пространстве бивектор умножается на ненулевой элемент поля, над которым это пространство задано.
И так пробовал, и сяк - НЕ ВЫХОДИТ!!! Подскажите, может, я где ошибаюсь? Или дело именно в четырёхмерности?
Заранее благодарю.


> Уважаемые дамы и господа! Помогите, пожалуйста, с проблемой.
> Вот читаю книгу И.Р. ШаФаревича и, не уходя от начала на расстояние выстрела, обнаруживаю такой пассаж. Игорь Ростиславич пишет, что если у нас есть два вектора x, y в четырёхмерном векторном пространстве, то автоматически определён так называемый бивектор (или внешнее произведение), координаты которого суть
> p_{i,j} = x_i*y_j - x_j*y_i,
> где, конечно, нижним подчёркиванием обозначен нижний индекс, а i, j = 1,...,4.
> Тут ничто вопросов не вызывает, НО!!! Прямо следом сказано, что при замене базиса в исходном векторном пространстве бивектор умножается на ненулевой элемент поля, над которым это пространство задано.
> И так пробовал, и сяк - НЕ ВЫХОДИТ!!! Подскажите, может, я где ошибаюсь? Или дело именно в четырёхмерности?
> Заранее благодарю.

\Lambda^2(V) для четырёхмерного V - шестимерно, с какой стати там родится скаляр? Если бы двумерное V было - тогда действительно выпрыгивает определитель. Где Вы такое прочитали? - дайте ссылку. Я тоже заинтересовался.


> > Парадоксы здесь не из за непонимания терминов, а из за несовершенности математического аппарата. Из за непонимания людьми того, что они пытаются описать. В природе НЕ СУЩЕСТВУЕТ взаимосвязей описываемых диференциальными, интегральными уравнениями! И вообще существуют лишь замкнутые адаптивные системы. Математика полна теорем и правил которые в частных случаях имею поправки, а это позвольте глупо.

Глупо рассуждать о бесконечности не понимая что это такое. Если Вы хотите рассматривать кривизны на бесконечностях, учтите, что проективные преобразования не сохраняют метрические свойства.

Таким образом, проблема, всё-таки не в недостаточности математической теории (тот предмет, что вы обсуждаете ещё в начале 16 века начал развиваться и закончен в 19-ом), а в Вашем непонимании терминов, которыми Вы оперируете.


Нет, шастимерно-то шестимерно, с этим никто не спорит, проблема в другом. По ходу книги рассуждения приводят нас к тому, что каждым двум четырёхмерным векторам (а точнее, их линейной оболочке, "плоскости") ставится в соответствие точка в пятимерном проективном пространстве (сиречь как раз шесть координат),
НО! координаты-то однородные, так что не должны изменяться при умножении на число, не равное нулю.
Вот об этом и речь: Игорь Ростиславич пишет, что если мы заменим базис в выбранной "плоскости" в четырёхмерном пространстве, в которой лежат два выбранных вектора, то ВСЕ элементы бивектора умножатся на одно и то же число - то есть, проективные координаты не изменятся, как и положено.
Но не получается ведь, правда?
Написано это нас странице 92 в книге И.Р. Шафаревича "Основы алгебраичесской геометрии". - М.: Наука, 1972. Есть ещё другое издание, так что скажу тему: это пункт "Прямые на поверхностях" в параграфе "Размерность". подскажите, пожалуйста, может, я всё же что-то недопонимаю!!!
Заранее благодарю.


> Нет, шастимерно-то шестимерно, с этим никто не спорит, проблема в другом. По ходу книги рассуждения приводят нас к тому, что каждым двум четырёхмерным векторам (а точнее, их линейной оболочке, "плоскости") ставится в соответствие точка в пятимерном проективном пространстве (сиречь как раз шесть координат),
> НО! координаты-то однородные, так что не должны изменяться при умножении на число, не равное нулю.
> Вот об этом и речь: Игорь Ростиславич пишет, что если мы заменим базис в выбранной "плоскости" в четырёхмерном пространстве, в которой лежат два выбранных вектора, то ВСЕ элементы бивектора умножатся на одно и то же число - то есть, проективные координаты не изменятся, как и положено.
> Но не получается ведь, правда?


А мне наоборот кажется, что GL(V) на \Lambda^2(V) действует транзитивно. Надо посмотреть - что Шафаревич имел в виду. Я читал эту книгу давно и с большим удовольствием. Недопониманий не было вроде. Хотя, может и пропустил чего.

> Написано это нас странице 92 в книге И.Р. Шафаревича "Основы алгебраичесской геометрии". - М.: Наука, 1972. Есть ещё другое издание, так что скажу тему: это пункт "Прямые на поверхностях" в параграфе "Размерность". подскажите, пожалуйста, может, я всё же что-то недопонимаю!!!
> Заранее благодарю.


Очень жду и благодарю за участие!!! книга-то и в самом деле прекрасная.


Ой, извиняюсь, сам разобрался!!!)))
Это, конечно, я сам дурак: в книге говорится, что при замене базиса в "ПЛОСКОСТИ" в четырёхмерном пространстве бивектор не изменится (это, окнечно, очевидно).
Извиняюсь за беспокойство!
Правда, беда не приходит одно. Следом прямо сказано, что, оказывается, НЕ ВСЯКАЯ точка в Р^5 задаёт прямую, атолько та, у которой
p_{01}p_{23} + p_{02}p_{13} + p_{03}p_{12} = 0.
(номера координат даны в соответствии с определением бивектора, как раз оставлено шесть независимых).
Честно говоря, вообще не знаю, как к этому подойти!


> Ой, извиняюсь, сам разобрался!!!)))
> Это, конечно, я сам дурак: в книге говорится, что при замене базиса в "ПЛОСКОСТИ" в четырёхмерном пространстве бивектор не изменится (это, окнечно, очевидно).
> Извиняюсь за беспокойство!

Именно это и написано у Шафаревича - я посмотрел

> Правда, беда не приходит одно. Следом прямо сказано, что, оказывается, НЕ ВСЯКАЯ точка в Р^5 задаёт прямую, атолько та, у которой
> p_{01}p_{23} + p_{02}p_{13} + p_{03}p_{12} = 0.

Это и есть условие "разложимости" тензора из \Lambda^2(E) - у Шафаревича пространство обозначено E, а не V. И поэтому GL(E) не действует транзитивно на \Lambda^2(E), как я раньше написал по-наивности. Это хорошо известная проблема "тензорных рангов" решаемая в описываемом случае. Посмотрите ещё в "Принципах алг. геом." Гриффитса и Харриса, кажется в 1-ом томе. В старой книжке Ходжа и Пидо. Эта теория называется "координаты Плюккера".

> (номера координат даны в соответствии с определением бивектора, как раз оставлено шесть независимых).
> Честно говоря, вообще не знаю, как к этому подойти!

Дерзайте!


Дерзнул. "Тензорный" подход всё бестренько сводит к красивой геомтерической интерпретации,
НО!
Выходит, что там в середине должен быть не плюс, а минус!
Это, кажется, даже более логично: по идее, должна происходить цикличная замена индексов у р, а ведь, как известно, p_{13} = -p_{31}.
Я подозреваю идиота-наборщика (ну, или, конечно, идиота-себя))))
Как Вам кажется?
Опять же, заренее благодарен.


> Мне попалась интересная задачка на экзамене,я ее до сих пор не решил!
> Не могли бы вы помочь мне с решением этой задачи. Я вам буду очень благодарен!
> Даны 2 кольца: первое D- {a+b*sqrt(-3); a,b принадлежат целым числам, a сравнимо с b по mod 2},второе K- {a+b*sqrt(-19); a,b принадлежат целым числам, а сравнимо с b по mod 2}. Показать: D,K - целостные кольца, причем:
> 1) D - евклидово кольцо (D - факториально)
> 2) K - факториальное кольцо, но не является евклидовым.


Здесь


Сила эта – незнание.
Под действием этой силы я решил ,что без вычисления собственных векторов и
собственных значений произвольную матрицу можно разложить на слагаемые –
вырожденные матрицы так, чтобы каждому слагаемому исходной матрицы
соответствовало слагаемое обратной (псевдообратной) матрицы.
Буду признателен участникам форума , которые сочтут эксперимент занимательным.
Описание алгоритма


> Сила эта – незнание.
> Под действием этой силы я решил ,что без вычисления собственных векторов и
> собственных значений произвольную матрицу можно разложить на слагаемые –
> вырожденные матрицы так, чтобы каждому слагаемому исходной матрицы
> соответствовало слагаемое обратной (псевдообратной) матрицы.
> Буду признателен участникам форума , которые сочтут эксперимент занимательным.
> Описание алгоритма

Похоже, Вы нашли метод простых итераций для нахождения собственных векторов и применили его к задаче нахождения сингулярного разложения...
Забавно, но не слишком практично.



> Похоже, Вы нашли метод простых итераций для нахождения собственных векторов и применили его к задаче нахождения сингулярного разложения...

Никакой вектор в алгоритме не является собственным.

> Забавно, но не слишком практично.

Я старался.



Кто-то мне раньше, на каком-то форуме писал такие(я указал внизу) способы определения принадлежности точки параллелограмму, не мог бы кто-нибудь сейчас пояснить по конкретней их решение. Допустим для двух векторов(a,b) определяющих парал-м. Другие методы: трассировки луча, разбиение на треугольники - я знаю.
Ну если кто знает ещё какие-нибудь способы, буду только благодарен:)

1) определение, принадлежит ли некоторая точка на плоскости заданному параллелограмму.
Если так, то решение, например, такое. Без огр. общ. положим, вершина параллелограмма
лежит в т. (0, 0) и одна из его сторон лежит на оси x. Если не так, трансляцией/поворотом
плоскости всегда можно достичь этого. Затем тривиальным преобразованием плоскости $y'=y$,
$x'=x+ay$, где $a=\tan\alpha$, $\alpha$ --- угол в вершине параллелограмма, лежащей в
начале координат, переводим параллелограмм в прямоугольник. Определить, принадлежит ли
точка прямоугольнику не составляет труда.

2) Быстрее будет метод, который по данным вершинам параллелограмма A,B,C
(таким, что AB и AC суть смежные стороны) и данной точке X будет проверять,
удовлетворяют ли числа u,v, являющиеся решениями системы u(B-A)+v(C-A)=X-A,
неравенствам 0Причём при целочисленных данных алгоритм имеет целочисленную же реализацию.
Выписать необходимые для проверки неравенства нетрудно.


Пытаюсь вывести формулу преобразования матрицы билинейной формы к новому базису. Получается A'=C*A*CT, где C - матрица преобразования реперов. А Ильин-Позняк ("Линейная алгебра", гл. Билинейные и квадратичные формы) дает A'=CT*A*C. Но у него ошибка в самом начале вывода, перепутаны коэффициенты! Помогите разобраться, плиз.
03 июля 2005 г. 11:00:


Пытаюсь вывести формулу преобразования матрицы билинейной формы к новому базису. Получается A'=C*A*CT, где C - матрица преобразования реперов. А Ильин-Позняк ("Линейная алгебра", гл. Билинейные и квадратичные формы) дает A'=CT*A*C. Но у него ошибка в самом начале вывода, перепутаны коэффициенты! Помогите разобраться, плиз.
03 июля 2005 г. 11:00


> Пытаюсь вывести формулу преобразования матрицы билинейной формы к новому базису. Получается A'=C*A*CT, где C - матрица преобразования реперов. А Ильин-Позняк ("Линейная алгебра", гл. Билинейные и квадратичные формы) дает A'=CT*A*C. Но у него ошибка в самом начале вывода, перепутаны коэффициенты! Помогите разобраться, плиз.
> 03 июля 2005 г. 11:00

Для транспонирования лучше буду употреблять штрих: T' - это матрица, полученная из Т транспонированием. Если С - матрица перехода от старого базиса к новому, то координатный столбец Х вектора х в старом базисе вычисляются через координатный столбец Y этого же вектора х по формуле Х=СY. Отсюда имеем Х'AX = Y'C'ACY, что и требуется.
Путаница обычно возникает тогда, когда пишут координаты вектора не в столбец, а в строку, но забывают, что в этом случае везде надо внести поправки - в том числе и в определении матрицы перехода от одного базиса к другому.
Если коротко, то в одном вагоне можно ехать в любую сторону, но одновременно ехать в разные стороны нельзя.


Тут я встретил в одном месте такое рассуждение:

Имеем две СЛАУ:
1. |A|*X = (1,0,...,0)T
2. |A|*Y= (0,...,0,1)T
где |A| - некая персимметричная матрица размерности N*N, X - вектор (x1,...,xN)T, Y - вектор (y1,...,yN)T (верхний индекс T означает транспонирование строки в столбец).

Далее следует такое рассуждение:
"Поскольку |A| персимметрична, yN = x1".

Вопрос: с чего бы это?
Как-то я не пойму. Вот если бы она была симметрична: |A|T = |A|...


> Тут я встретил в одном месте такое рассуждение:

> Имеем две СЛАУ:
> где |A| - некая персимметричная матрица
Ребус, однако.Впрочем, относительно СЛАУ всё же догадываюсь - это система линейных алгебраических уравнений. Так? А персимметрическая это что-нить от permutation? То есть после некоторой перестановки и транспонирования матрица должна остаться прежней?


> > Тут я встретил в одном месте такое рассуждение:

> > Имеем две СЛАУ:
> > где |A| - некая персимметричная матрица
> Ребус, однако.Впрочем, относительно СЛАУ всё же догадываюсь - это система линейных алгебраических уравнений. Так? А персимметрическая это что-нить от permutation? То есть после некоторой перестановки и транспонирования матрица должна остаться прежней?

Насчет СЛАУ правильно догадались. Что касается персимметричности, то изложено так, как в первоисточнике - без объяснений термина. Но вообще-то можно предположить, что этот термин используется в смысле "симметричная относительно вспомогательной диагонали" - в таком смысле, во всяком случае, он употребляется во многих других источниках.


> Тут я встретил в одном месте такое рассуждение:

> Имеем две СЛАУ:
> 1. |A|*X = (1,0,...,0)T
> 2. |A|*Y= (0,...,0,1)T
> где |A| - некая персимметричная матрица размерности N*N, X - вектор (x1,...,xN)T, Y - вектор (y1,...,yN)T (верхний индекс T означает транспонирование строки в столбец).

> Далее следует такое рассуждение:
> "Поскольку |A| персимметрична, yN = x1".

> Вопрос: с чего бы это?
> Как-то я не пойму. Вот если бы она была симметрична: |A|T = |A|...
Действительно, персимметричная (persymmetric) матрица - это симметричная относительно побочной диагонали. И утверждение в первом посте верное - достаточно переставить уравнения второй (первой) системы (т.е. строки матрицы системы) в обратном порядке и получим первую (вторую) систему.


> > Тут я встретил в одном месте такое рассуждение:

> > Имеем две СЛАУ:
> > 1. |A|*X = (1,0,...,0)T
> > 2. |A|*Y= (0,...,0,1)T
> > где |A| - некая персимметричная матрица размерности N*N, X - вектор (x1,...,xN)T, Y - вектор (y1,...,yN)T (верхний индекс T означает транспонирование строки в столбец).

> > Далее следует такое рассуждение:
> > "Поскольку |A| персимметрична, yN = x1".

> > Вопрос: с чего бы это?
> > Как-то я не пойму. Вот если бы она была симметрична: |A|T = |A|...
> Действительно, персимметричная (persymmetric) матрица - это симметричная относительно побочной диагонали. И утверждение в первом посте верное - достаточно переставить уравнения второй (первой) системы (т.е. строки матрицы системы) в обратном порядке и получим первую (вторую) систему.

Если просто переставить строки матрицы в обратном порядке, то ту же самую матрицу (с учетом ее персимметричности) мы не получим. Такую операцию можно выполнить посредством применением к матрице A слева матрицы инверсии J:
(0,0,...,0,1)
(0,0,...,1,0)
.............
(0,1,...,0,0)
(1,0,...,0,0)

Условие же персимметричности A можно записать так:
(J*A)T = J*A
или так:
AT*J = J*A

Отсюда никак не следует J*A = A

Вы можете сказать, что нужно еще добавить перестановку столбцов вместе с перестановкой компонент вектора X (или Y). Но из этого тоже ничего не получается. В результате из системы 2 мы получим:
J*(A*J)*(J*Y) = (1,0,...,0)T
Но никак не:
A*(J*Y) = (1,0,...,0)T
Условие же J*A*J = A - это не похоже на условие персимметричности.


> > > Тут я встретил в одном месте такое рассуждение:

> > > Имеем две СЛАУ:
> > > 1. |A|*X = (1,0,...,0)T
> > > 2. |A|*Y= (0,...,0,1)T
> > > где |A| - некая персимметричная матрица размерности N*N, X - вектор (x1,...,xN)T, Y - вектор (y1,...,yN)T (верхний индекс T означает транспонирование строки в столбец).

> > > Далее следует такое рассуждение:
> > > "Поскольку |A| персимметрична, yN = x1".

> > > Вопрос: с чего бы это?
> > > Как-то я не пойму. Вот если бы она была симметрична: |A|T = |A|...
> > Действительно, персимметричная (persymmetric) матрица - это симметричная относительно побочной диагонали. И утверждение в первом посте верное - достаточно переставить уравнения второй (первой) системы (т.е. строки матрицы системы) в обратном порядке и получим первую (вторую) систему.

> Если просто переставить строки матрицы в обратном порядке, то ту же самую матрицу (с учетом ее персимметричности) мы не получим.

Да - погорячился=)


> > > Тут я встретил в одном месте такое рассуждение:

> > > Имеем две СЛАУ:
> > > 1. |A|*X = (1,0,...,0)T
> > > 2. |A|*Y= (0,...,0,1)T
> > > где |A| - некая персимметричная матрица размерности N*N, X - вектор (x1,...,xN)T, Y - вектор (y1,...,yN)T (верхний индекс T означает транспонирование строки в столбец).

> > > Далее следует такое рассуждение:
> > > "Поскольку |A| персимметрична, yN = x1".

> > > Вопрос: с чего бы это?

[...]

> Если просто переставить строки матрицы в обратном порядке, то ту же самую матрицу (с учетом ее персимметричности) мы не получим. Такую операцию можно выполнить посредством применением к матрице A слева матрицы инверсии J:
> (0,0,...,0,1)
> (0,0,...,1,0)
> .............
> (0,1,...,0,0)
> (1,0,...,0,0)

> Условие же персимметричности A можно записать так:
> (J*A)T = J*A

Пусть B = J*A - симметричная матрица.
Тогда
B*X = (0,...,1)^T
B*Y = (1,...,0)^T
Откуда
Y^T*B*X = y_N
X^T*B*Y = x_1
причем
(Y^T*B*X)^T = X^T*B*Y
Поэтому
y_N = x_1.



> > Условие же персимметричности A можно записать так:
> > (J*A)T = J*A

> Пусть B = J*A - симметричная матрица.
> Тогда
> B*X = (0,...,1)^T
> B*Y = (1,...,0)^T
> Откуда
> Y^T*B*X = y_N
> X^T*B*Y = x_1
> причем
> (Y^T*B*X)^T = X^T*B*Y
> Поэтому
> y_N = x_1.

Ага, поскольку перестановка столбцов (или строк) матрицы в обратном порядке переводит персимметрическую матрицу в симметрическую, а симметрическую в персимметрическую, то систему АХ=e_1 можно переписать в виде AJX=e_1. Поставив скобки A(JX), мы можем переформулировать утверждение в очевидной форме:
Если BХ=e_1 и ВY=e_n для симметрической матрицы В, то x_n = y_1. Для док-ва рассматриваем X'BY.


> > > > Тут я встретил в одном месте такое рассуждение:

> > > > Имеем две СЛАУ:
> > > > 1. |A|*X = (1,0,...,0)T
> > > > 2. |A|*Y= (0,...,0,1)T
> > > > где |A| - некая персимметричная матрица размерности N*N, X - вектор (x1,...,xN)T, Y - вектор (y1,...,yN)T (верхний индекс T означает транспонирование строки в столбец).

> > > > Далее следует такое рассуждение:
> > > > "Поскольку |A| персимметрична, yN = x1".

> > > > Вопрос: с чего бы это?

> [...]

> > Если просто переставить строки матрицы в обратном порядке, то ту же самую матрицу (с учетом ее персимметричности) мы не получим. Такую операцию можно выполнить посредством применением к матрице A слева матрицы инверсии J:
> > (0,0,...,0,1)
> > (0,0,...,1,0)
> > .............
> > (0,1,...,0,0)
> > (1,0,...,0,0)

> > Условие же персимметричности A можно записать так:
> > (J*A)T = J*A

> Пусть B = J*A - симметричная матрица.
> Тогда
> B*X = (0,...,1)^T
> B*Y = (1,...,0)^T
> Откуда
> Y^T*B*X = y_N
> X^T*B*Y = x_1
> причем
> (Y^T*B*X)^T = X^T*B*Y
> Поэтому
> y_N = x_1.

Спасибо, въехал.


> Ага, поскольку перестановка столбцов (или строк) матрицы в обратном порядке переводит персимметрическую матрицу в симметрическую, а симметрическую в персимметрическую, то систему АХ=e_1 можно переписать в виде AJX=e_1.

Как я понимаю, АХ=e_1 можно переписать либо как JAX=e_N (применение J к равенству слева, что соответствует перестановке строк СЛАУ), либо как (AJ)(JX)=e_1, что соответствует перестановке столбцов.

AJX=e_1 не катит - компоненты вектора X умножаются не на те компоненты матрицы.


> AJX=e_1 не катит - компоненты вектора X умножаются не на те компоненты матрицы.

Блин, это следствие метода paste-copy. :)
Конечно же имелось в виду ВJX=e_1, где А=ВJ и В - симметрическая матрица.


Извините за поздний ответ, был в отъезде.

> > Пытаюсь вывести формулу преобразования матрицы билинейной формы к новому базису. Получается A'=C*A*CT, где C - матрица преобразования реперов. А Ильин-Позняк ("Линейная алгебра", гл. Билинейные и квадратичные формы) дает A'=CT*A*C. Но у него ошибка в самом начале вывода, перепутаны коэффициенты! Помогите разобраться, плиз.
> > 03 июля 2005 г. 11:00

> Для транспонирования лучше буду употреблять штрих: T' - это матрица, полученная из Т транспонированием. Если С - матрица перехода от старого базиса к новому, то координатный столбец Х вектора х в старом базисе вычисляются через координатный столбец Y этого же вектора х по формуле Х=СY. Отсюда имеем Х'AX = Y'C'ACY, что и требуется.
> Путаница обычно возникает тогда, когда пишут координаты вектора не в столбец, а в строку, но забывают, что в этом случае везде надо внести поправки - в том числе и в определении матрицы перехода от одного базиса к другому.
> Если коротко, то в одном вагоне можно ехать в любую сторону, но одновременно ехать в разные стороны нельзя.

Я так понял, что в разные стороны пытаются ехать как раз Ильин и Позняк. Для перехода к новому базису они используют то формулу e'i=aikek (сокращенная запись формулы 2.25), то fq=cpqep (формула 7.8). Очевидно, матрицы a и c взаимно транспонированные.


Проблема решения линейных уравнений от двух неизвестных с помощью подходящих дробей

С помощью подходящих дробей можно найти решение линейного уравнения вида ax-by=+-1. Для каждой пары чисел a и b будут при этом найдены соответствующие пары значений для переменных x и y. Какое будет значение справа: + или -1 заранее неизвестно. Но если мы знаем одну такую пару, которая дает справа значение, допустим, +1, то можно легко найти вторую пару значений, которая даст справа значение -1.

Из этих двух вариантов метод нахождения решения с помощью подходящих дробей всегда находит ту пару значений переменных x и y, которые меньше по модулю. Примеры
210*52 - 67*163 = -1
210*15 - 67*47 = 1
Подходящие дроби дают: 15; 47

210*9 - 31*61 = -1
210*22 - 31*149 = 1
Подходящие дроби дают: 9; 61


Всегда ли подходящие дроби дают наименьшую пару?
С чем это связано ?
23 августа 2005 г. 14:50:


Совсем запуталась с этими матрицами.Помогите решить систему линейных уравнений методом Гауса.


Совсем запуталась с этими матрицами.Помогите решить систему линейных уравнений методом Гауса.
3х1+Х2-8Х3+2Х4+Х5=2
2Х1-2Х2-3Х3-7Х4+2Х5=-11
Х1+11Х2-12Х3+34Х4-5Х5=40


> Совсем запуталась с этими матрицами.Помогите решить систему линейных уравнений методом Гауса.
> 3х1+Х2-8Х3+2Х4+Х5=2
> 2Х1-2Х2-3Х3-7Х4+2Х5=-11
> Х1+11Х2-12Х3+34Х4-5Х5=40

Так пусть Гаусс и поможет! Сколько нужно уравнений для пяти неизвестных?
Перепишите первое уравнение, отвечая на вопрос Х5=?
Перепишите второе уравнение, вставив замену Х5, и отвечая на вопрос Х4=?
Когда перепишите 5 уравнений, получете ответ: Х1= 43
Подставляете в 4 уравнение Х1= 43 и получите ответ: Х2=-36 и т.д. и т.п.


http://vm.tusur.ru/progr/programs.html

> Добрый день.

> Знает ли кто-нибудь, как с помощью алгоритма динамического программирования решить систему линейных уравнений?

> Если кто-то знает, помогите, пожалуйста. А то я нашёл много примеров применения метода динамического программирования для разных задач, кроме этой.

> Заранее благодарен.



> > Знает ли кто-нибудь, как с помощью алгоритма динамического программирования решить систему линейных уравнений?

Трудно угадать контекст вопроса, когда мало информации. С помощью алгоритма можно только программу написать. Не понятно, что требуется.
Требуется решить конкретную систему уравнений?
Требуется решить конкретную систему уравнений, используя конкретную программу?
Требуется описание метода динамического программирования?
Требуется алгоритм решения СЛАУ?
С какой целью? Для отчета, для практики, из любознательности?


ак решить:
5х1+2х2+7х3+х4=-5
9х1+9х2+15х2+9х4=1
х1-8х2+5х3-13х4=-27


А - матрица n*n
x , y -векторы
At, the transpose of A

нужно докзать что

(A * x) * y = x * (At * y)
21 декабря 2005 г. 09:47:


> А - матрица n*n
> x , y -векторы
> At, the transpose of A

> нужно докзать что

> (A * x) * y = x * (At * y)
> 21 декабря 2005 г. 09:47:

(A * x)(i) = [сумма по j] a(i,j)*x(j)
(A * x) * y = [сумма по i] (A * x)(i)*y(i) = [сумма по i][сумма по j](a(i, j)*x(j)*y(i))

Вот, аналогичное проделай и для правой части. Учти, что at[i,j]=a[j,i]
Получишь тождество. Мне лень писать (медленно получается :) ) Это не трудно.


Помогите пожалуста доказать два свойства .

Обозначим - "x" - произведение Кронекера.
======================================

1) A,B - 2 квадратные матрицы , одного порядка .
Доказать что :

tr (AxB) = ( tr A ) ( tr B )
======================================

2) A,B - 2 матрицы .
Доказать что :

r( AxB) = r(a)r(B)

r(A) - степень матрицы A .
23 декабря 2005 г. 13:49:


Срочно!!! Нужна помощь в решении следующей задачи: Проверить совместимость системы линейных уравнений с пом-ю теорему Кронекера-Капелли и в случае совместимости решить ее методом Гауса. Найти общее решение и выбрать из него какое-нибуль одно частное. Сделать проверку. Первая система: x-y-4z-4t=19 5y-z+2t=3 6x+3y-t=16 -7y+3z+t=-21 Вторая система: x+3y-z=0 2x+6y-2z=0 -4x-12y+4z=0 Варианты решений высылать на E-mail: websart@rambler.ru


помогите найти метод, с помощью которого можно
быстро решить матричное уравнение Ах=В с матрицей
А порядка 1000000*1000. если кто-нибудь знает
что-нибудь по этому поводу - отвечайте лучше
попроще, на аматорском уровне :)

ответы лучше по мылу - sswinter88@yandex.ru
или обсудим в аське - 283287143

буду благодарен за помощь


> Помоготе решить линейные уравнения 3-мя методами:а) методом Крамера, б)методом Гаусса, в) матричным методом (с использованием обратной матрицы)
2х+3у+z=15
-3х+2у+5z=-15
-11х+5у+10z=36


народ оч нада число 7605321364728 возведенное в 467-ую сиепень ? знаю решить сложно но можт кто может пасчитать ?


> народ оч нада число 7605321364728 возведенное в 467-ую сиепень ? знаю решить сложно но можт кто может пасчитать ?

30332289239505505135819687024489215909891562676338963342190304154028118693537\

525238994314993763792599195210058928207395900599211608820493073683927209985\

411482429333129857596270625139320936762316739382213224074321346299115292142\

519989095175971806050028544767653308040977421371683502780959479814747938929\

587985044059632812467997135777130270181434428981782778462331278224981402041\

554635522705829592691907340973619203600360579341435710427466449951363975771\

943601615167087757374046169516335689348060768080203462376293103597440331599\

944940318099953389487960774322733918738734859118295298131560707146105711994\

351262831048858881266318982201048277793590576036821574210705216699467094336\

615775929766422533658230013122621618739734608261280799695398278224163451392\

931354652418291331361741382937128439476718299719873876129491283708064578686\

014497230071669843682771053430017631463363816661819596578208587733044545262\

653718038910452401290000917881987801505805158233667705180842415464362841738\

101519467679238151962317874653772327751133537883313664176586169976914328143\

375948985977088645676595298464630756868914723114407401142338982369392794589\

749345799571426916391715742722380510175915064019040789611874983322543274551\

167137664885908757633224696590619040805505722109519407184882593209769925411\

508250137491588744326910937417544400263732642668962599376138197327227837142\

216443004965252410144493466065952250580373010663991213556974333306652895040\

889856726161503297568252334346247014331019635263052387612831661249367124906\

900177584548274092307837578723002570581518655969436198596854056708158678936\

389222728590967529924338591807147392680310470226787226221180207355253960057\

724776220708201697553827901278102625773111909366822643479269893021769304938\

207035613937343103899488565596819663598783448845117054723588727385804516896\

979033019289749692180582166113634396768689622642665750078575438551226071771\

203243693694711599009892025720201589376021653407509430434357628339871833880\

680857389852898383189230534614706840113592279475279483417330550656302361398\

303247852010021934915116255296456836624020942143653178076465504095320049144\

088146103252178342182355890879289175185552361864725811102590568783591273055\

943655309024904374020275151547391064936845368477351129735847000818511593880\

293643433105469781969614583609117840897358722235789804508433959430309231635\

648159110079875010418451920770567400359525270972807043496731222288187081585\

957067376614524347574673774666086092253572630737310947023666283598216175885\

805170801437697643308443572861828244891169770631396386381773958160082431856\

872430840579547721056098387457782243458515935501835280173508570848059738758\

485791128352102580362746355832690935270080058694608858383416403102440608653\

263522198779047007399734976094322373776185862127144131642953650727209926432\

704426480310998804610333327107070272274640959167691797487109244346728567694\

624291464040844196093620244039789018603073507303029119603888932102812902069\

260395960862251672163250310961317864532138679107970082600728770342718317781\

956597093473473397056929809410155571504729931093542822169743802273941527682\

616608639385122955180860219964688401249879113006545881643027897765260629859\

103488849132524802430159830923894499170350505470345811826432730467783162985\

331384382487050031494341956787166900116448121620254669855307908817239834555\

913089674393996643227761987814065849427636059783492088542473344795713735836\

420529350970747561841036364541213748020518905736829454727399948333273489665\

599553225236472841607489293711624790369307619643104790286294308153540413000\

743955077061079189822650609229599056573331485379176349489285148445464535392\

119563797423259623546415806421398228809489114407956613422821337276710913247\

163949880835160833793889893487479683606091651832010874698407724707955775699\

432800270713680705423558518661200561816860181654424314583411403812583445429\

347660563684758697183777511406437748173805913844428878910916285963061102903\

023392577641714615818661014287143679320457788981383409142250209144927543236\

764765911363341738960853094996328922700676856427861380739359627222737243424\

172169739256270472997513355658236309252793414161229340786833650326282296866\

876414455502621361814825967593974258405907337071108710075969279180097418780\

665422398928600497383070669256454800146174248289814572739791600078625773261\

875751631107971304650529199285475062744622257305701165623346101681014053716\

080883489955728730586214703757298587877521970395953329014362444988964024527\

159725611530695566648885657978054977723474179395805592359549078298498464309\

593713639543317061054181177280770218973848293806205015937236617899923740072\

627480693028446517986227934970988366199790523032389861519832341131870356451\

898740839755691943931787098908069194419854922393632497231756509078991317502\

926584335012106676922943746969007687061412588908306922593035762058815931014\

792473253538112719908242314661883519841085104450464555323609291624739812727\

201258957478443028889584100096015047940220575354224297677809340610144380203\

791670511144856576668339483156465759225538465985634894243598152779847214506\

315882781046979177830692595658415433701172153279737721155708876300565368317\

281173830877619287356458439975366732542116758643664565574533378482454741143\

421181518838630422162044668807061971913310272033462012988881235405541520816\

697536410670377220670165775660269138404956525207542559174174179740915237347\

005027154468394646124576928782531714220554648928845765331837888693699925752\

628307048203843165848559348112181884572544571162060860537182562910621843147\

145208699638488323778720199168839823229412650744991527086561382459413041650\

744297776541851680309956543225623263552852648507773884892324409760199157696\

200015516239478895010979083264787551577232843304672744896079232702466302640\

985330839460810209073542042296581266795878733476278726294101761802373083837\

047119533073307163473543758427288583989891826913331421517694298200135046077\

138881199479232612368197111150432339782289100998602868863326017348641216452\

036297772019654359903023699624101190571646466847606323348587136274486495671\

88558138048512


Можно ли представить любое аффинное преобразование в виде композиции параллельного переноса, поворота и растяжений/сжатий по осям?


Добрый день! Каким образом можно выполнить данное задание?

для данной системы векторов:

а) найти два разных базиса Б1 и Б2 линейной оболочки этой системы;

б) найти координаты всех векторов этой системы в бази-сах Б1 и Б2 ;
в) найти матрицу перехода Т из базиса Б1 в базис Б2;

г)проверить,связаны ли соотношением [Х]Б2=Т-1[Х]Б1 координаты любого вектора Х этой системы в базисах Б1 и Б2.

а1=(3,1,2,4), а2=(0,-2,1,3), а3=(6,4,3,6),
а4=(3,3,1,2,).


Помогите пожалуйста решить данные задания! Заранее благодарна!

Векторная алгебра
Даны два вектора X = (1, 27, 4), Y = (26, 3, 5).
Определить:
1) сумму векторов X и Y;
2) произведение вектора X на число 3;
3) произведение вектора Y на число 2;
4) скалярное произведение векторов X и Y;
5) модуль вектора X;
6) модуль вектора Y;
7) найти угол между векторами X и Y;
8) найти векторное произведение векторов X и Y;

Аналитическая геометрия
1) Дан нормальный вектор (27, 2) к прямой и точка (2, 3) лежащая на ней. Найти общее уравнении прямой.
2) Угол наклона прямой относительной оси Ох 30 градусов. Прямая проходит через точку (22, 2). Найти общее уравнение прямой.
3) Прямая пересекает оси Ox и Oy в точках 27 и 3 соответственно. Найти общее уравнение прямой.
4) Прямая проходит через точки (1, 27), (4, 3). Найти общее уравнение прямой.
5) Дан направляющий вектор (27, 2) к прямой и точка (2, 3) лежащая на ней. Найти уравнение прямой.
6) Даны уравнения прямых x + y = 27, 2x + y = 2. Найти угол между прямыми.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100