Системы счисления

Сообщение №6560 от Evgen 22 января 2003 г. 17:33
Тема: Системы счисления

Кто подскажет, где можно хоть что-нибудь серьезное почитать о троичных арифметике и алгебре?


Отклики на это сообщение:

> Кто подскажет, где можно хоть что-нибудь серьезное почитать о троичных арифметике и алгебре?

А что именно.


> Кто подскажет, где можно хоть что-нибудь серьезное почитать о троичных арифметике и алгебре?

А какая разница, в какой системе происходит дело? Законы-то одни и теже =)


> Кто подскажет, где можно хоть что-нибудь серьезное почитать о троичных арифметике и алгебре?

http://www.computer-museum.ru/histussr/12-1.htm
Начало серии статей о единственной в мире серийной троичной ЭВМ "Сетунь"


> > Кто подскажет, где можно хоть что-нибудь серьезное почитать о троичных арифметике и алгебре?

> http://www.computer-museum.ru/histussr/12-1.htm
> Начало серии статей о единственной в мире серийной троичной ЭВМ "Сетунь"

1.Поищите также по ключевому
"Брусенцов"
2. Кое-что есть у Кнута, т.2


> > Кто подскажет, где можно хоть что-нибудь серьезное почитать о троичных арифметике и алгебре?

> А что именно.

Как будут выглядеть теоремы Булевой алгебры.


> > Кто подскажет, где можно хоть что-нибудь серьезное почитать о троичных арифметике и алгебре?

> А какая разница, в какой системе происходит дело? Законы-то одни и теже =)

А как с законом исключения «третьего»?


> > Кто подскажет, где можно хоть что-нибудь серьезное почитать о троичных арифметике и алгебре?

> http://www.computer-museum.ru/histussr/12-1.htm
> Начало серии статей о единственной в мире серийной троичной ЭВМ "Сетунь"
Как мне кажется, на самом деле она вовсе не «троичная», т.к. там что-то сделано с двоичным представлением положительных и отрицательных чисел.
А троичной системы там как -то не видать, по крайней мере я дважды читал статьи Брусенцова «Введение в троичную … технику» и ни чего за что можно было бы зацепиться не нашел.
Например, как в троичной нотации будет выглядеть RS-триггер? И будет ли вообще существовать там такое «устройство»
Как будет работать регистр сдвига?
И.Т.П.


> Как мне кажется, на самом деле она вовсе не «троичная», т.к. там что-то сделано с двоичным представлением положительных и отрицательных чисел.
> А троичной системы там как -то не видать, по крайней мере я дважды читал статьи Брусенцова «Введение в троичную … технику» и ни чего за что можно было бы зацепиться не нашел.
> Например, как в троичной нотации будет выглядеть RS-триггер? И будет ли вообще существовать там такое «устройство»
> Как будет работать регистр сдвига?

Это именно троичная машина, использующая элементы с тремя состояниями, разработанные на основе магнитных усилителей. В ее арифметике используется троично-симметричная система счисления, с цифрами "один", "ноль" и "минус один".


> > Как мне кажется, на самом деле она вовсе не «троичная», т.к. там что-то сделано с двоичным представлением положительных и отрицательных чисел.
> > А троичной системы там как -то не видать, по крайней мере я дважды читал статьи Брусенцова «Введение в троичную … технику» и ни чего за что можно было бы зацепиться не нашел.
> > Например, как в троичной нотации будет выглядеть RS-триггер? И будет ли вообще существовать там такое «устройство»
> > Как будет работать регистр сдвига?

> Это именно троичная машина, использующая элементы с тремя состояниями, разработанные на основе магнитных усилителей. В ее арифметике используется троично-симметричная система счисления, с цифрами "один", "ноль" и "минус один".

Чему равно например, 26 минус 13 в этой системе?



> Чему равно например, 26 минус 13 в этой системе
А там есть цифры 2,6, 3?



> > > Как мне кажется, на самом деле она вовсе не «троичная», т.к. там что-то сделано с двоичным представлением положительных и отрицательных чисел.
> > > А троичной системы там как -то не видать, по крайней мере я дважды читал статьи Брусенцова «Введение в троичную … технику» и ни чего за что можно было бы зацепиться не нашел.
> > > Например, как в троичной нотации будет выглядеть RS-триггер? И будет ли вообще существовать там такое «устройство»
> > > Как будет работать регистр сдвига?

> > Это именно троичная машина, использующая элементы с тремя состояниями, разработанные на основе магнитных усилителей. В ее арифметике используется троично-симметричная система счисления, с цифрами "один", "ноль" и "минус один".

> Чему равно например, 26 минус 13 в этой системе?

Обозначая цифру -1, как М, запишем
26(10)=100М(3)
13(10)=111(3)
100М
-
111
_____
111


Зачем «М» можно просто "2" :-)


> > > > Как мне кажется, на самом деле она вовсе не «троичная», т.к. там что-то сделано с двоичным представлением положительных и отрицательных чисел.
> > > > А троичной системы там как -то не видать, по крайней мере я дважды читал статьи Брусенцова «Введение в троичную … технику» и ни чего за что можно было бы зацепиться не нашел.
> > > > Например, как в троичной нотации будет выглядеть RS-триггер? И будет ли вообще существовать там такое «устройство»
> > > > Как будет работать регистр сдвига?

> > > Это именно троичная машина, использующая элементы с тремя состояниями,
разработанные на основе магнитных усилителей. В ее арифметике используется троично-симметричная система счисления, с цифрами "один", "ноль" и "минус один".

> > Чему равно например, 26 минус 13 в этой системе?

> Обозначая цифру -1, как М, запишем
> 26(10)=100М(3)
> 13(10)=111(3)
> 100М
> -
> 111
> _____
> 111

Спасибо, въехал :-)
Однако удобная система получается, не правда ли?



> > > > Это именно троичная машина, использующая элементы с тремя состояниями,
> разработанные на основе магнитных усилителей. В ее арифметике используется троично-симметричная система счисления, с цифрами "один", "ноль" и "минус один".

Которым соответствуют положительная полярность, отсутствие тока и отрицательная полярность посылок.

> > > Чему равно например, 26 минус 13 в этой системе?

> > Обозначая цифру -1, как М, запишем
> > 26(10)=100М(3)
> > 13(10)=111(3)
> > 100М
> > -
> > 111
> > _____
> > 111

> Спасибо, въехал :-)
> Однако удобная система получается, не правда ли?

Да. В ней, например, оптимальное округление = отбрасывание лишних знаков (вообще, хорошего округления при четном основании не достичь...)
Никаких проблем с представлением отрицательных чисел (заморочек с прямым, обратным и дополнительным кодами - и вообще нет особого знакового разряда).
Есть основания утверждать, что она вообще оптимальна.
(Приписываемое фон Нейману доказательство)
При основании системы счисления К для представления числа М требуется LOGk(M) разрядов. Причем каждый разряд принимает К состояний и при небольшом К требует не менее К элементов, итого K*LOGk(M)=k*LN(M)/LN(K)
Минимум достигается при K=e=2.718281828...
Берем ближайшее целое =3.
(Критику на эту математическую шутку можете навести сами - но в каждой шутке...)


> Да. В ней, например, оптимальное округление = отбрасывание лишних знаков (вообще, хорошего округления при четном основании не достичь...)
> Никаких проблем с представлением отрицательных чисел (заморочек с прямым, обратным и дополнительным кодами - и вообще нет особого знакового разряда).
> Есть основания утверждать, что она вообще оптимальна.
> (Приписываемое фон Нейману доказательство)
> При основании системы счисления К для представления числа М требуется LOGk(M) разрядов. Причем каждый разряд принимает К состояний и при небольшом К требует не менее К элементов, итого K*LOGk(M)=k*LN(M)/LN(K)
> Минимум достигается при K=e=2.718281828...
> Берем ближайшее целое =3.
> (Критику на эту математическую шутку можете навести сами - но в каждой шутке...)
Почему же шутку, система просто классная, по мере изучения ее свойств, все больше проникаешься к ней любовью.
Непонятно почему эта самая Сетунь не получила развития, трехстабильный триггер не смогли придумать что-ли… или может что-то есть, чего не видно сразу…??


> > Да. В ней, например, оптимальное округление = отбрасывание лишних знаков (вообще, хорошего округления при четном основании не достичь...)
> > Никаких проблем с представлением отрицательных чисел (заморочек с прямым, обратным и дополнительным кодами - и вообще нет особого знакового разряда).
> > Есть основания утверждать, что она вообще оптимальна.
> > (Приписываемое фон Нейману доказательство)
> > При основании системы счисления К для представления числа М требуется LOGk(M) разрядов. Причем каждый разряд принимает К состояний и при небольшом К требует не менее К элементов, итого K*LOGk(M)=k*LN(M)/LN(K)
> > Минимум достигается при K=e=2.718281828...
> > Берем ближайшее целое =3.
> > (Критику на эту математическую шутку можете навести сами - но в каждой шутке...)
> Почему же шутку, система просто классная, по мере изучения ее свойств, все больше проникаешься к ней любовью.
> Непонятно почему эта самая Сетунь не получила развития, трехстабильный триггер не смогли придумать что-ли… или может что-то есть, чего не видно сразу…??

А вы почитайте на
http://www.computer-museum.ru/index.php
про Сетунь.
Я не знаком лично с автором, только виртуально, переписывались пару лет назад.
Что касается Вашего вопроса о том, почему идеи не получили развития, то причины общие.
В романтический "период развития кибернетики" СССР был если и не "впереди планеты всей",
то, по крайней мерее соответствовал. И очень интересные разработки были, и по десятичным машинам...
Технологическая революция конца 60-начала 70-х, котрую мы проспали убила эти идеи.
"Силиконовую долину" решено было не строить, и так хорошо.
Пошли машины серии ЕС, "цельнотянутые" с IBM360, потом пошли персоналки...

ЗЫ. Есть интерес к системам счисления - мыльте. Я кое-что делал там...


забыл, кстати.
У "сетуни и логика была, кажется троичной


> > Непонятно почему эта самая Сетунь не получила развития, трехстабильный триггер не смогли придумать что-ли… или может что-то есть, чего не видно сразу…??

> А вы почитайте на
> http://www.computer-museum.ru/index.php
> про Сетунь.
> Я не знаком лично с автором, только виртуально, переписывались пару лет назад.
> Что касается Вашего вопроса о том, почему идеи не получили развития, то причины общие.
> В романтический "период развития кибернетики" СССР был если и не "впереди планеты всей",
> то, по крайней мерее соответствовал. И очень интересные разработки были, и по десятичным машинам...
> Технологическая революция конца 60-начала 70-х, котрую мы проспали убила эти идеи.
> "Силиконовую долину" решено было не строить, и так хорошо.
> Пошли машины серии ЕС, "цельнотянутые" с IBM360, потом пошли персоналки...

Тогда, время было другое, понятно, а сейчас…

> ЗЫ. Есть интерес к системам счисления - мыльте. Я кое-что делал там...
Есть, я в этом форуме еще не разобрался где e-mail авторов лежат, куда мылить, тезка? А интересует, например перевод из 27-ричной в троичную, что с такими цифрми -1,0,1, да и не только это.


сабж
> Есть, я в этом форуме еще не разобрался где e-mail авторов лежат, куда мылить, тезка? А интересует, например перевод из 27-ричной в троичную, что с такими цифрми -1,0,1, да и не только это.


> Да. В ней, например, оптимальное округление = отбрасывание лишних знаков (вообще, хорошего округления при четном основании не достичь...)
> Никаких проблем с представлением отрицательных чисел (заморочек с прямым, обратным и дополнительным кодами - и вообще нет особого знакового разряда).
> Есть основания утверждать, что она вообще оптимальна.
> (Приписываемое фон Нейману доказательство)
> При основании системы счисления К для представления числа М требуется LOGk(M) разрядов. Причем каждый разряд принимает К состояний и при небольшом К требует не менее К элементов, итого K*LOGk(M)=k*LN(M)/LN(K)
> Минимум достигается при K=e=2.718281828...
> Берем ближайшее целое =3.
> (Критику на эту математическую шутку можете навести сами - но в каждой шутке...)

По вашей формуле выигрыш по сравнеию с кондовой двоичной системой составляет целых 6% ! Если я не ошибся, то с "Сетунью" проясняется...


> > Да. В ней, например, оптимальное округление = отбрасывание лишних знаков (вообще, хорошего округления при четном основании не достичь...)
> > Никаких проблем с представлением отрицательных чисел (заморочек с прямым, обратным и дополнительным кодами - и вообще нет особого знакового разряда).
> > Есть основания утверждать, что она вообще оптимальна.
> > (Приписываемое фон Нейману доказательство)
> > При основании системы счисления К для представления числа М требуется LOGk(M) разрядов. Причем каждый разряд принимает К состояний и при небольшом К требует не менее К элементов, итого K*LOGk(M)=k*LN(M)/LN(K)
> > Минимум достигается при K=e=2.718281828...
> > Берем ближайшее целое =3.
> > (Критику на эту математическую шутку можете навести сами - но в каждой шутке...)
> Почему же шутку, система просто классная, по мере изучения ее свойств, все больше проникаешься к ней любовью.
> Непонятно почему эта самая Сетунь не получила развития, трехстабильный триггер не смогли придумать что-ли… или может что-то есть, чего не видно сразу…??


0. Шутка тут в том, что это объявляется _доказательством_, тогда как это не более чем остроумные инженерные соображения (хорошо математически подготовленного инженера). Хотя при известном трудолюбии можно ввести распределение возможных чисел М и искать максимум матожидания, строго показать, что функция имеет единственный максимум и для перехода к целым можно ограничиться двумя ближайшими значениями 2 и 3 (а не говорить, что е оптимально, поэтому округляем к ближайшему). И построить математически строгое доказательство.
1. Вопрос о выборе всерьез рассматривался при построении первых ЭВМ. Подозреваю, что основной причиной для него было то, что лампы пропускали ток только в одном направлении. Если бы релейные машины развивались бы подолее - была бы арифметика троичной (поляризованное реле не сложнее простого - а нужно их в полтора раза меньше...). Хотя, может, и десятичная (машины на декадных электро-механических счетчиках строились до конца 60-х, табуляторы назывались...). Вполне возможно было бы создание таких элементов на транзисторах или газоразрядных лампах.
2. Машина была продуктом инициативы аспиранта Брусенцова и делалась из подручных средств. А магнитные усилители, уже устаревшие изделия, были в избытке. На их основе был создан элемент с тремя стабильными состояниями (сейчас под элементом с тремя состояниями понимают нечто иное - третье состояние - "выключен и заперт":), -1, 0, 1. Это дало и троичную арифметику, и троичную логику. Несмотря на отсутствие мощной поддержки (МГУ не был самым популярным среди военных/космонавтов разработчиком...) машина была принята к серийному производству. Однако ОЗУ на магнитных барабанах было уже изрядно архаичным решением (хотя было и в серийных машинах того времени производства США - хотя бы ИБМ 650, которой посвятил свою серию Кнут...), сделать ОЗУ на 3-триггерах (трайгерах?) было бы слишком дорого, а тут появились большие интегральные схемы - и все опошлили ("Бог создал сильных людей и слабых людей - но пришел полковник Кольт и все опошлил!" - Конан-варвар), а миниатюризовать магнитные элементы не удалось. Далее пошла политика (и не в смысле идеологии - в смысле идеологии все было в порядке%), а в смысле пристраивания на теплые места директоров НИИ младших сыновей и зятьев Важных Людей, а они вряд ли были способны измыслить что самим, и предпочли копировать уже готовые решения...
3. Троичное кодирование имеет некоторое применение в передаче данных. Иногда это позволяет снизить полосу сигнала. Там обычно двумя тритами передают три бита (комбинация 00 не используется, что дает известный контроль и, что важнее, гарантирует отсутствие длительного времени без сигнала - а сие может привести к уплыванию синхронизации).
4. Троичная логика может быть полезна для представления неопределенности (-1 - "ложь", 0 - "не знаю", 1 - "истина"). Но в логике рассматриваются и более широкие системы (4-значная, где различаются "неизвестно" и "неопределено", бесконечнозначная, где значение истинности - число в интервале (0;1), женская, со значениями истинности "да нет!", "нет, да!", "нет, нет, ни за что!" и "нет и не проси!" :))) - мужская, со значениями истинности "Нет, я сказал!" и "Да, дорогая!" - сводится к двоичной:) Для их моделирования не обязательна троичная арифметика.
5. Во втором томе Кнута рассматриваются многие весьма интересные системы счисления, в том числе с комплексными или иррациональными основаниями.
6. Троичные машины строились только в СССР ("Сетунь" - серийно, "Сетунь-70" - единично), моделирование было в США (компьютерное, до макетирования вроде не дошло), попытки разработать элементную базу вроде были в Индии. Рассматривались также возможности делать двоичные элементы, но с троичным кодированием при передаче по шине.
7. Интересно также рассмотреть эту тему применительно к сжатию данных.



> По вашей формуле выигрыш по сравнеию с кондовой двоичной системой составляет целых 6% ! Если я не ошибся, то с "Сетунью" проясняется...

сабж
А если серьезно, то
1. не во всех случаях инвертирование знака единицы элементарно;
2. для меня были интересными (и продолжают интересовать) "проблемно-ориентированные системы счисления"
( в некороых алгоритмах "массовые" умножения, к примеру. на константы удается тривиализировать именно за счет выбора нетрадиционной системы счисления (фигурирующей в алгоритме явно или "как бы"0

Но это - отдельный и длинный разговор.


>
> > По вашей формуле выигрыш по сравнеию с кондовой двоичной системой составляет целых 6% ! Если я не ошибся, то с "Сетунью" проясняется...

> сабж
> А если серьезно, то
> 1. не во всех случаях инвертирование знака единицы элементарно;
> 2. для меня были интересными (и продолжают интересовать) "проблемно-ориентированные системы счисления"
> ( в некороых алгоритмах "массовые" умножения, к примеру. на константы удается тривиализировать именно за счет выбора нетрадиционной системы счисления (фигурирующей в алгоритме явно или "как бы"0

> Но это - отдельный и длинный разговор.

Да нет, я прекрасно понимаю, что не только в процентах дело... (хотя уверен, что выигрыш поболе будет: или я напутал, или формула неподходящая).
Как время бежит... По вашей ссылке прочитал:

"1.Скорость работы - несколько сот операций в секунду.
2.Точность вычислений - 6-8 верных десятичных знаков.
3.Простота и удобство программирования.
4.Надежность в эксплуатации и непритязательность в техническом обслуживании.
5.Умеренные габариты, небольшое потребление энергии.
6.Использование недорогих и недефицитных материалов и деталей.

Рассматривая эти требования в совокупности, можно заметить, что некоторые из них являются трудно совместимыми. Например, создание значительных удобств для программистов влечет за собой усложнение машины и увеличение количества оборудования, что ведет к снижению надежности и повышению стоимости как самой машины, так и ее эксплуатации."

И так было во всем мире:)



> Как время бежит... По вашей ссылке прочитал:

> "1.Скорость работы - несколько сот операций в секунду.
> 2.Точность вычислений - 6-8 верных десятичных знаков.
> 3.Простота и удобство программирования.
> 4.Надежность в эксплуатации и непритязательность в техническом обслуживании.
> 5.Умеренные габариты, небольшое потребление энергии.
> 6.Использование недорогих и недефицитных материалов и деталей.
>
> Рассматривая эти требования в совокупности, можно заметить, что некоторые из них являются трудно совместимыми. Например, создание значительных удобств для программистов влечет за собой усложнение машины и увеличение количества оборудования, что ведет к снижению надежности и повышению стоимости как самой машины, так и ее эксплуатации."

> И так было во всем мире:)

Поностальгируем...

1. Вычисления, требующие 10^6 тривиальны и их стоит выполнить даже если ценность их результатов вызывает сомнения.
Вычисления порядка 10^9 операций реальны, но неблагоразумны. Их стоит делать в погоне за какой-нибудь серьезной идеей,
но они не могут быть обоснованы надеждой на счастливую случайность; кроме того, метод вычислений должен быть достаточно
эффективным, поскольку в небольших задачах выбирают способ, требующий минимальных усилий для написания программы.
Наконец, вычисления, требующие 10^12 операций, находятся на границе физических возможностей; они могут быть оправданы
только важнейшими научными достижениями, такими, как высадка человека на Луне.

"Алгебраическая теория чисел", под редакцией Дж.Касселса и А Фрелихера , М.: Мир, 1969

2. Не могу представить себе, чтобы кому-нибудь потребовалось выполнять умножение со скоростью
40 000 или даже 4 000 операций в час; такое радикальное изменение (как переход к восьмеричной системе)
не следует навязывать всему человечеству ради нескольких личностей
Fillips E.U. "Binary calculations", E.J. of the Institute of Actuaries,
67 (1936), 187-221 - из дискуссии с Wales F.H.


> > Да. В ней, например, оптимальное округление = отбрасывание лишних знаков (вообще, хорошего округления при четном основании не достичь...)
> > Никаких проблем с представлением отрицательных чисел (заморочек с прямым, обратным и дополнительным кодами - и вообще нет особого знакового разряда).
> > Есть основания утверждать, что она вообще оптимальна.
> > (Приписываемое фон Нейману доказательство)
> > При основании системы счисления К для представления числа М требуется LOGk(M) разрядов. Причем каждый разряд принимает К состояний и при небольшом К требует не менее К элементов, итого K*LOGk(M)=k*LN(M)/LN(K)
> > Минимум достигается при K=e=2.718281828...
> > Берем ближайшее целое =3.
> > (Критику на эту математическую шутку можете навести сами - но в каждой шутке...)

> По вашей формуле выигрыш по сравнеию с кондовой двоичной системой составляет целых 6% ! Если я не ошибся, то с "Сетунью" проясняется...

Да, примерно так. Но "Сетунь" имела элементы, в которых для представления трита использовалось не три, а два транзистора (самых тогда дорогих элемента), почему и выигрыш составлял порядка 44%.



А кто-нибудь сталкивался с такой операцией?
Операция (точнее пара операций - аналоги сложения и вычитания) определяется
на множестве значений
{-1,0,1} следующим образом:

a [+] b =def sign(a+b)
a [-] b =def sign(a-b),

Или в табличной форме.

¦ a ¦ b ¦ a[+]b ¦a[-]b¦
+---+----+-------+-----+
¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 0 ¦
¦ 1 ¦ 0 ¦ 1 ¦ 1 ¦
¦ 1 ¦ -1 ¦ 0 ¦ 1 ¦
¦ 0 ¦ 1 ¦ 1 ¦ -1 ¦
¦ 0 ¦ 0 ¦ 0 ¦ 0 ¦
¦ 0 ¦ -1 ¦ -1 ¦ 1 ¦
¦ -1 ¦ 1 ¦ 0 ¦ -1 ¦
¦ -1 ¦ 0 ¦ -1 ¦ -1 ¦
¦ -1 ¦ -1 ¦ -1 ¦ 0 ¦

На этом множестве можно также определить умножение обычным образом.
Набор из "сложения", "вычитания" и "умножения" является по-видимому полным в
том смысле что позволяет выразить любые функции заданные на этом множестве.
Особенностью операций "сложения" и "вычитания" является обратимость. Именно
если мы знаем "сумму" и
"разность" то можем восстановить исходные величины.
Пишите на адрес: Anatoly.Medyntsev@arcadia.spb.ru


> А кто-нибудь сталкивался с такой операцией?
> Операция (точнее пара операций - аналоги сложения и вычитания) определяется
> на множестве значений
> {-1,0,1} следующим образом:

> a [+] b =def sign(a+b)
> a [-] b =def sign(a-b),

> Или в табличной форме.

> ¦ a ¦ b ¦ a[+]b ¦a[-]b¦
> +---+----+-------+-----+
> ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 0 ¦
> ¦ 1 ¦ 0 ¦ 1 ¦ 1 ¦
> ¦ 1 ¦ -1 ¦ 0 ¦ 1 ¦
> ¦ 0 ¦ 1 ¦ 1 ¦ -1 ¦
> ¦ 0 ¦ 0 ¦ 0 ¦ 0 ¦
> ¦ 0 ¦ -1 ¦ -1 ¦ 1 ¦
> ¦ -1 ¦ 1 ¦ 0 ¦ -1 ¦
> ¦ -1 ¦ 0 ¦ -1 ¦ -1 ¦
> ¦ -1 ¦ -1 ¦ -1 ¦ 0 ¦
>
>

> На этом множестве можно также определить умножение обычным образом.
> Набор из "сложения", "вычитания" и "умножения" является по-видимому полным в
> том смысле что позволяет выразить любые функции заданные на этом множестве.
> Особенностью операций "сложения" и "вычитания" является обратимость. Именно
> если мы знаем "сумму" и
> "разность" то можем восстановить исходные величины.
> Пишите на адрес: Anatoly.Medyntsev@arcadia.spb.ru

сабж

Сталкивался. Особенно интересно и содержательно при НЕКОММУТАТИВНОМ умножении.
Один из вариантов введения алгебр Клиффорда.
А Вы что хотите?


> Сталкивался. Особенно интересно и содержательно при НЕКОММУТАТИВНОМ умножении.
> Один из вариантов введения алгебр Клиффорда.
> А Вы что хотите?
Я хотел бы знать где применяется, где про это можно почитать, какие еще любопытные свойства имеются?


Подскажите где и что почитать по системе исчисления в которой число представляется как произведение степеней простых чисел.
То есть:

A=(n1^a1)*(n2^a2) *...* (ni^ai) ; ni - простое
--------------------------------------------------------------------------------

Re: система исчисления с предст. числа как пр-я степ. Михалыч 17 июня 11:52 нов
> Подскажите где и что почитать по системе исчисления в которой число представляется как произведение степеней простых чисел.
> То есть:
> A=(n1^a1)*(n2^a2) *...* (ni^ai) ; ni - простое

Представить-то - без проблем (т.н. "Основная теорема арифметики")
Умножать - тоже...
А складывать хотим? Не здорово там что-то со сложением...

Вот системы счисления, каждое целое в которых представимо в виде СУММЫ
степеней некоторых "базисных" элементов (выбранных достаточно произвольно) рассматривались (Прюфер,Дж.фон Нейман и др.)
Там и топология своеобразная имеется ("согласованная" с представлением),
и пополнение, и теория меры...



Привет всем!
Помогите! Горю с курсовым!
У кого что-нибудь есть по моей теме скидывайте на ящик (программы, алгоритм решения, и т.д.)


> Привет всем!
> Помогите! Горю с курсовым!
> У кого что-нибудь есть по моей теме скидывайте на ящик (программы, алгоритм решения, и т.д.)

Вот интерпретатор МТ: http://onzi.narod.ru/antons/neerc/turing.zip
Описание см. в задаче C здесь: http://onzi.narod.ru/antons/neerc/4.htm#C


есть двоичные числа:
11 10 01 00
в другом представлении выглядят так:
1000 0100 0010 0001
как такое представление называется и где про это можно прочитать???
03 июня 2004 г. 13:23:


Как выполнить умножение двух чисел в машине тьюринга в унарной системе,
как построить нормальный алгоритм маркова сдвигающий первый элемент в цикле.
Плиз!
17 июня 2004 г. 09:20:


> Как выполнить умножение двух чисел в машине тьюринга в унарной системе,
Сложить первое число с самим собой "второе число" раз.
Сложение - просто перетащить все палочки от второго числа к первому.


Добрый день !
Подскажите, пожалуйста, какой формулой или чем-то еще можно воспользоваться, чтобы записать несколько чисел одним, максимум двумя ?
Нампример: 74, 224, 122, 64, ... . заменить одним или двумя.
ГЛАВНОЕ, чтобы этот же набор чисел можно было получить обратно.
ОЧЕНЬ нужно.

Заранее благодарен.
С уважением, Максим.
05 июля 2004 г. 22:24

--------------------------------------------------------------------------------
Re: Работа с числами
Dasher
В ответ: Работа с числами от Maxim , 05 июля 2004 г.:
> Добрый день !
> Подскажите, пожалуйста, какой формулой или чем-то еще можно воспользоваться, чтобы записать несколько чисел одним, максимум двумя ?
> Например: 74, 224, 122, 64, ... . заменить одним или двумя.
> ГЛАВНОЕ, чтобы этот же набор чисел можно было получить обратно.
> ОЧЕНЬ нужно.
> Заранее благодарен.
> С уважением, Максим.

Например так:
перевести в двоичную систему счисления
a = a1_a2_a3_..._an
b = b1_b2_b3_..._bm
И закодировать их
c = a1_a1_a2_a2_..._an_an_0_1_b1_b1_..._bm_bm
А c - в десятичную.
Или кодом пары брать
c = (a+b)^2+a
05 июля 22:48

--------------------------------------------------------------------------------
Re: Работа с числами Maxim 05 июля 22:53
В ответ на: Re: Работа с числами от Dasher , 05 июля 2004 г.:
> Например так:
> перевести в двоичную систему счисления
> a = a1_a2_a3_..._an
> b = b1_b2_b3_..._bm
> И закодировать их
> c = a1_a1_a2_a2_..._an_an_0_1_b1_b1_..._bm_bm
> А c - в десятичную.
> Или кодом пары брать
> c = (a+b)^2+a
А обратно как ?
Я буду очень признателен, если на живом примере покажите.
--------------------------------------------------------------------------------

Re: Работа с числами Dasher 05 июля 23:08
В ответ на: Re: Работа с числами от Maxim , 05 июля 2004 г.:
> > Например так:
> > перевести в двоичную систему счисления
> > a = a1_a2_a3_..._an
> > b = b1_b2_b3_..._bm
> > И закодировать их
> > c = a1_a1_a2_a2_..._an_an_0_1_b1_b1_..._bm_bm
> > А c - в десятичную.
> > Или кодом пары брать
> > c = (a+b)^2+a

> А обратно как ?
> Я буду очень признателен, если на живом примере покажите.

1)Берём несколько чисел, например 3,4,5
В двоичной системе счисления:
3 - 11,
4 - 100,
5 - 101.
Код получаем как 1111 01 110000 01 110011 и переводим в десятичную систему -
1011827.
Т.е. сперва пишем первое число удваивая каждый символ, затем второе и т.д.,
а между ними вставляем '01'. При раскодировании читаем с начала по два символа,
если на нек. шаге не совпадают - значит это разделитель.

2) Здесь a+b находим как наибольшее число, квадрат которого не превосходит c.
Ну а отсюда уже a, а затем и b.
Если чисел больше, чем два, то несколько раз повторяем эту процедуру.

А вообще-то способов кодирования уйма, хоть гёделевская бета-функция.

--------------------------------------------------------------------------------


> 1)Берём несколько чисел, например 3,4,5
> В двоичной системе счисления:
> 3 - 11,
> 4 - 100,
> 5 - 101.
> Код получаем как 1111 01 110000 01 110011 и переводим в десятичную систему -
> 1011827.
> Т.е. сперва пишем первое число удваивая каждый символ, затем второе и т.д.,
> а между ними вставляем '01'. При раскодировании читаем с начала по два символа,
> если на нек. шаге не совпадают - значит это разделитель.

> 2) Здесь a+b находим как наибольшее число, квадрат которого не превосходит c.
> Ну а отсюда уже a, а затем и b.
> Если чисел больше, чем два, то несколько раз повторяем эту процедуру.

> А вообще-то способов кодирования уйма, хоть гёделевская бета-функция.

Вся проблема в том, чтобы получаемое число было не больше "255" (идеальный вариант). Или же , чтобы хотябы два числа можно было записать одним, но с этим условием. (кодируемые числа так же не будут привышать "255")

Как быть ?
> --------------------------------------------------------------------------------


> > 1)Берём несколько чисел, например 3,4,5
> > В двоичной системе счисления:
> > 3 - 11,
> > 4 - 100,
> > 5 - 101.
> > Код получаем как 1111 01 110000 01 110011 и переводим в десятичную систему -
> > 1011827.
> > Т.е. сперва пишем первое число удваивая каждый символ, затем второе и т.д.,
> > а между ними вставляем '01'. При раскодировании читаем с начала по два символа,
> > если на нек. шаге не совпадают - значит это разделитель.

> > 2) Здесь a+b находим как наибольшее число, квадрат которого не превосходит c.
> > Ну а отсюда уже a, а затем и b.
> > Если чисел больше, чем два, то несколько раз повторяем эту процедуру.

> > А вообще-то способов кодирования уйма, хоть гёделевская бета-функция.

> Вся проблема в том, чтобы получаемое число было не больше "255" (идеальный вариант). Или же , чтобы хотябы два числа можно было записать одним, но с этим условием. (кодируемые числа так же не будут привышать "255")

> Как быть ?
> > --------------------------------------------------------------------------------

Вы шутите? Пар из двух чисел, каждое из которых не больше 255, будет 255^2.
Как по вашему можно установить взаимно-однозначное соответствие между 255-ю и
255^2-ю элементами.


Добрый день !

Подсажите, пожалуйста, как можно записать два числа, которые не будут превышать "255". ГЛАВНОЕ, чтобы получаемое число не превышало значения "255".

Заранее благодарен.
С уважением, Максим
06 июля 2004 г. 20:26:


Существуют ли такие системы исчисления, в которых два умноженное на два в ответе даёт не четыре, а другое число?
Встретилось мнение, что "в троичной системе исчисления, 2-ка, взятая дважды, даст 11." Но не знаю насколько оно верное, поэтому хочется уточнить.
24 августа 2004 г. 03:36:


ВЫ:
Существуют ли такие системы исчисления, в которых два умноженное на два в ответе даёт не четыре, а другое число?

Как это понимать? Умножение не зависит от системы исчисления, зависит только форма записи числа! Другими словами 2*2 в любой системе исчисления даст 4, но в зависимости от энтой самой системы, это число будет записываться по-разному!
ВЫ:
Встретилось мнение, что "в троичной системе исчисления, 2-ка, взятая дважды, даст 11." Но не знаю насколько оно верное, поэтому хочется уточнить.
24 августа 2004 г. 03:36:
Троичная система исчисления имеет вид:
a*3^n+b*3^(n-1)+...+j*3^2+k*3+v
где числа a, n ...j,k,v могут принимать три значения:0,1,2!
4 записывается в троичной системе так:
4=3+1=11



Большое спасибо!

Именно написание я и имела ввиду.


Дробное основание числа

Мы привыкли что числа бывают десятичные, двоичные, восьмеричные и т.д.
Число обычно характеризуется значением числа, количеством разрядов в
этом числе и основанием числа. Несложно представить себе число как некий
объект с набором свойств. Вот только некоторые из них - количество разрядов,
основание разряда, количество значащих цифр в каждом разряде, весовой
коэффициент каждого разряда и т.д.
Для преобразования целого числа в число с другим основанием, нужно
последовательно разделить это число на величину нового основания, каждый
раз запоминая остаток.Если число А1 с основанием 10 равно 1234567 то для
того чтобы преобразовать его в число В1 с основанием 8 необходимо А1 нацело
разделить на 8. Получим число U1 , значение которого 154320 и остаток R1
равный 7. R1 это младший разряд числа В1. Далее U1 снова нужно разделить
на 8 и запомнить остаток R2. Это следующий разряд числа В1, и так далее.
В результате получим число В1 значение которого равно 4553207.
Можно предположить, что значение оснований в каждом разряде числа может
быть различным, ведь число можно разделить сначала на 2 потом на 3, потом
на 4 и т.д., в конце на 10. Получим число с основаниями 2;3;4;5;6;7;8;9;10
и оно может быть записано как 334640101. Следует оговориться, что это
получится если весовой коэффициент каждого разряда равен 1 и количество
значащих цифр в каждом разряде равно величине основания.
И вот почему. Можно изменить условия, ведь максимальное значение десятичного
числа для одного разряда - 10 минус 1, для двух разрядов - 10 во второй
степени минус 1, для трех разрядов - 10 в третьей степени минус 1 и т.д.
В восьмеричном числе максимальное значение одного разряда - 8 минус 1,
двух разрядов - 8 во второй степени минус 1, для трех разрядов - 8 в
третьей степени минус 1 и т.д. Если десятичное число А1 равное 1234567
разделить нацело сначала на 8 в седьмой степени и запомнить остаток. Затем
результат деления разделить нацело на 8 в шестой степени и запомнить остаток.
И так далее. В результате получим то же самое число В1 со значением 4553207
с основанием 8.
Но все изменится если после деления числа 1234567 на 8 в седьмой степени
результат деления разделить на 8 в шестой степени плюс 1 и т.д.Предидущий
делитель на последующий нацело не делится и основание числа получается дробным.
Если решать обратную задачу и число с произвольными наперед заданными
дробными основаниями попытаться преобразовать в привычное для нас десятичное
число, то само напрашивается предположение что дробную часть могут иметь все
четыре упомянутых свойства числа.
Желающие могут попытаться просто сложить два числа с произвольными, имеющими
дробную часть, наперед заданными свойствами или найти значение свойств для
результирующего числа.
08 сентября 2004 г. 16:35:


> Дробное основание числа

> Мы привыкли что числа бывают десятичные, двоичные, восьмеричные и т.д.
> Число обычно характеризуется значением числа, количеством разрядов в
> этом числе и основанием числа. Несложно представить себе число как некий
> объект с набором свойств. Вот только некоторые из них - количество разрядов,
> основание разряда, количество значащих цифр в каждом разряде, весовой
> коэффициент каждого разряда и т.д.
> Для преобразования целого числа в число с другим основанием, нужно
> последовательно разделить это число на величину нового основания, каждый
> раз запоминая остаток.Если число А1 с основанием 10 равно 1234567 то для
> того чтобы преобразовать его в число В1 с основанием 8 необходимо А1 нацело
> разделить на 8. Получим число U1 , значение которого 154320 и остаток R1
> равный 7. R1 это младший разряд числа В1. Далее U1 снова нужно разделить
> на 8 и запомнить остаток R2. Это следующий разряд числа В1, и так далее.
> В результате получим число В1 значение которого равно 4553207.
> Можно предположить, что значение оснований в каждом разряде числа может
> быть различным, ведь число можно разделить сначала на 2 потом на 3, потом
> на 4 и т.д., в конце на 10. Получим число с основаниями 2;3;4;5;6;7;8;9;10
> и оно может быть записано как 334640101. Следует оговориться, что это
> получится если весовой коэффициент каждого разряда равен 1 и количество
> значащих цифр в каждом разряде равно величине основания.
> И вот почему. Можно изменить условия, ведь максимальное значение десятичного
> числа для одного разряда - 10 минус 1, для двух разрядов - 10 во второй
> степени минус 1, для трех разрядов - 10 в третьей степени минус 1 и т.д.
> В восьмеричном числе максимальное значение одного разряда - 8 минус 1,
> двух разрядов - 8 во второй степени минус 1, для трех разрядов - 8 в
> третьей степени минус 1 и т.д. Если десятичное число А1 равное 1234567
> разделить нацело сначала на 8 в седьмой степени и запомнить остаток. Затем
> результат деления разделить нацело на 8 в шестой степени и запомнить остаток.
> И так далее. В результате получим то же самое число В1 со значением 4553207
> с основанием 8.
> Но все изменится если после деления числа 1234567 на 8 в седьмой степени
> результат деления разделить на 8 в шестой степени плюс 1 и т.д.Предидущий
> делитель на после
дующий нацело не делится и основание числа получается дробным.
> Если решать обратную задачу и число с произвольными наперед заданными
> дробными основаниями попытаться преобразовать в привычное для нас десятичное
> число, то само напрашивается предположение что дробную часть могут иметь все
> четыре упомянутых свойства числа.
> Желающие могут попытаться просто сложить два числа с произвольными, имеющими
> дробную часть, наперед заданными свойствами или найти значение свойств для
> результирующего числа.
> 08 сентября 2004 г. 16:35:

Позиционные системы счисления с дробным основанием достаточно давно и исследовались (исследуются) теоретически, и применяются в Comp.Sci.
Для начала можно почитать соответствующую главу в Кнут, Искусство программирования на ЭВМ, т.2.
Если нужна более "продвинутая" информация/библиография, то наверное кой в чем смогу помочь.


0. "Читайте Устав, там все написано!" "Товарищ прапорщик, а какой у программистов Устав?!" - "Понял, уточняю! Читайте КнутА, там все написано!"
1. Второй том Кнута. Рассмотрены, помимо дробных рациональных оснований, также иррациональные, комплексные и некоторые иные системы.
2. Определенное применение в теории измерений и теории связи нашли числа с основанием Ф=1.6180339887498948482045868343656... или "золотое сечение".
3. А, согласно (не вполне серьезному) доказательству Дж. фон Неймана (1948 год), оптимальным для построения ЭВМ основанием будет е=2.7182818284590452353602874713527...
4. Наконец, они рассматривались в теории "разрядно-аналоговых" машин, вымерших под натиском цифровых в 60-х...
09 сентября 19:21


Подскажите, что такое фактоиальная система исчисления?
04 декабря 2004 г. 20:42:


> Подскажите, что такое фактоиальная система исчисления?
> 04 декабря 2004 г. 20:42:

каждое натуральное представляется в форме

x = x(1)*1!+ x(2)*2!+...x(k)*k!

где

0 =< x(j)< j!


Пополнение множества натуральных (переход к бесконечным суммам с корректным определением сходимости в специфической метрике) приводит к т.н. "полиадическим числам".
Этим занимались Прюфер, Дж.фон Нейман, Новоселов, А.Г.Постников.
Достаточно общий подход на эту тему - см. Хьюитт, Росс "Абстрактный гармонический анализ" т.1.


> > Подскажите, что такое фактоиальная система исчисления?
> > 04 декабря 2004 г. 20:42:

> каждое натуральное представляется в форме

> x = x(1)*1!+ x(2)*2!+...x(k)*k!

> где

> 0 =< x(j)< j!

Возможно для всех натуральных чисел и представление

x = x(1)*1!+ x(2)*2!+...x(k)*k!

где 0 =< x(j)=< j (без факториала)

Не знаю, правда, изучал ли кто такое представление и есть ли у него свое название.

>
> Пополнение множества натуральных (переход к бесконечным суммам с корректным определением сходимости в специфической метрике) приводит к т.н. "полиадическим числам".
> Этим занимались Прюфер, Дж.фон Нейман, Новоселов, А.Г.Постников.
> Достаточно общий подход на эту тему - см. Хьюитт, Росс "Абстрактный гармонический анализ" т.1.


> > > Подскажите, что такое фактоиальная система исчисления?
> > > 04 декабря 2004 г. 20:42:

> > каждое натуральное представляется в форме

> > x = x(1)*1!+ x(2)*2!+...x(k)*k!

> > где

> > 0 =< x(j)< j!

> Возможно для всех натуральных чисел и представление

> x = x(1)*1!+ x(2)*2!+...x(k)*k!

> где 0 =< x(j)=< j (без факториала)

> Не знаю, правда, изучал ли кто такое представление и есть ли у него свое название.

> >
> > Пополнение множества натуральных (переход к бесконечным суммам с корректным определением сходимости в специфической метрике) приводит к т.н. "полиадическим числам".
> > Этим занимались Прюфер, Дж.фон Нейман, Новоселов, А.Г.Постников.
> > Достаточно общий подход на эту тему - см. Хьюитт, Росс "Абстрактный гармонический анализ" т.1.

Конечно, без факториала. Предыдущая информация "безфакториальна". Впрочем, проверю...


Кто сможет решить????

Выполнить перевод заданных точных десятичных чисел в системе счисления:

1. Двоичная
2. Восьмеричная
3. Шестнадцатеричная

873,07
16 февраля 2005 г. 07:54:


> Кто сможет решить????
> Выполнить перевод заданных точных десятичных чисел в системе счисления:
В MxTxcel очень удобно делать эти преобразования. Не правда ли?
Образуем верхнюю строку ячеек со значениями разрядов от 10 до -10. Переходим к следующей строке. Это будет строка двоичного числа.
Пишем алгоритм преобразования для старшего разряда в виде формулы в ячейке, затем копируем его в строку ячеек для младших разрядов
Переходим к третьей строке. Копируем сюда алгоритм из второй строки и продолжим копирование на 20 строк. Получим 20 систем счета для оснований от 2 до 20.
Для ввода десятичного числа используем отдельную ячейку.
Очень хорошая тренировка для программиста.


Помогите вычислить выражения с Помощью Машины Тьюринга: 2*(a+b)-c ..


> > Дробное основание числа

> > Мы привыкли что числа бывают десятичные, двоичные, восьмеричные и т.д.
> > Число обычно характеризуется значением числа, количеством разрядов в
> > этом числе и основанием числа. Несложно представить себе число как некий
> > объект с набором свойств. Вот только некоторые из них - количество разрядов,
> > основание разряда, количество значащих цифр в каждом разряде, весовой
> > коэффициент каждого разряда и т.д.
> > Для преобразования целого числа в число с другим основанием, нужно
> > последовательно разделить это число на величину нового основания, каждый
> > раз запоминая остаток.Если число А1 с основанием 10 равно 1234567 то для
> > того чтобы преобразовать его в число В1 с основанием 8 необходимо А1 нацело
> > разделить на 8. Получим число U1 , значение которого 154320 и остаток R1
> > равный 7. R1 это младший разряд числа В1. Далее U1 снова нужно разделить
> > на 8 и запомнить остаток R2. Это следующий разряд числа В1, и так далее.
> > В результате получим число В1 значение которого равно 4553207.
> > Можно предположить, что значение оснований в каждом разряде числа может
> > быть различным, ведь число можно разделить сначала на 2 потом на 3, потом
> > на 4 и т.д., в конце на 10. Получим число с основаниями 2;3;4;5;6;7;8;9;10
> > и оно может быть записано как 334640101. Следует оговориться, что это
> > получится если весовой коэффициент каждого разряда равен 1 и количество
> > значащих цифр в каждом разряде равно величине основания.
> > И вот почему. Можно изменить условия, ведь максимальное значение десятичного
> > числа для одного разряда - 10 минус 1, для двух разрядов - 10 во второй
> > степени минус 1, для трех разрядов - 10 в третьей степени минус 1 и т.д.
> > В восьмеричном числе максимальное значение одного разряда - 8 минус 1,
> > двух разрядов - 8 во второй степени минус 1, для трех разрядов - 8 в
> > третьей степени минус 1 и т.д. Если десятичное число А1 равное 1234567
> > разделить нацело сначала на 8 в седьмой степени и запомнить остаток. Затем
> > результат деления разделить нацело на 8 в шестой степени и запомнить остаток.
> > И так далее. В результате получим то же самое число В1 со значением 4553207
> > с основанием 8.
> > Но все изменится если после деления числа 1234567 на 8 в седьмой степени
> > результат деления разделить на 8 в шестой степени плюс 1 и т.д.Предидущий
> > делитель на после
> дующий нацело не делится и основание числа получается дробным.
> > Если решать обратную задачу и число с произвольными наперед заданными
> > дробными основаниями попытаться преобразовать в привычное для нас десятичное
> > число, то само напрашивается предположение что дробную часть могут иметь все
> > четыре упомянутых свойства числа.
> > Желающие могут попытаться просто сложить два числа с произвольными, имеющими
> > дробную часть, наперед заданными свойствами или найти значение свойств для
> > результирующего числа.
> > 08 сентября 2004 г. 16:35:

> Позиционные системы счисления с дробным основанием достаточно давно и исследовались (исследуются) теоретически, и применяются в Comp.Sci.
> Для начала можно почитать соответствующую главу в Кнут, Искусство программирования на ЭВМ, т.2.
> Если нужна более "продвинутая" информация/библиография, то наверное кой в чем смогу помочь.

Скажите, пожалуйста, а где можно взять более подробную информацию?



> > Позиционные системы счисления с дробным основанием достаточно давно и исследовались (исследуются) теоретически, и применяются в Comp.Sci.
> > Для начала можно почитать соответствующую главу в Кнут, Искусство программирования на ЭВМ, т.2.
Это первый источник


> > Если нужна более "продвинутая" информация/библиография, то наверное кой в чем смогу помочь.

> Скажите, пожалуйста, а где можно взять более подробную информацию?
Второй:
Наберите в www.scirus.com

ключевые слова

canonical number system

Если что-то заинтересует, то я кое-какие статьи смогу выслать.

С уважением.


системы счисления

11 мая 2006 г. 11:37:

Помогите, пожалуйста, решить уравнение
(8B)16 = (351)x , где 16 и х - системы счисления


> системы счисления

> 11 мая 2006 г. 11:37:

> Помогите, пожалуйста, решить уравнение
> (8B)16 = (351)x , где 16 и х - системы счисления

Так как длина строки "351" больше длины строки "8В", то х меньше 16. Решаем методом подбора:
(8В)16=8*16+11=(139)10
5___25*3+5*5+1=101
6___36*3+6*5+1=139
7___49*3+7*5+1=183
Ответ: х=6.


> Помогите, пожалуйста, решить уравнение
> (8B)16 = (351)x , где 16 и х - системы счисления

Можно решать, составив уравнение "в лоб":

11+8*16=1+5*x+3*x^2

Далее, решаем это квадратное уравнение. Получаем корни 6 и -5/18. Второй не подходит. При таком способе решения автоматически получается единственность решения.


Есть такой проект распределенных вычислений SZTAKI Desktop Grid. Занимается нахождением неких матриц в качестве основы двоичных систем счисления. Попытались сделать русский перевод единственной странички на английском (сам проект венгерский).

Может кто-то пояснить насущность проблемы, которой венгры занимаются и возможность практического применения результатов в случае успеха. :?:
11 мая 2006 г. 13:14:


Очень интересно. Если я правильно понял, то в статьях рассматриваеся представление целых чисел с помощью элементов некоторых полей?


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100