Sin (cos) 1 градуса в радикалах

Сообщение №6344 от Sine 12 января 2003 г. 20:37
Тема: Sin (cos) 1 градуса в радикалах

Кто-нибудь знает, как вычислить значение синуса (косинуса) 1 градуса в радикалах? Я получил выражение для синуса 3 градусов (см. рисунок), но вычислить синус 1 градуса не могу. Если кто-нибудь знает, как это сделать (и имеет готовый ответ), пожалуйста, напишите. Буду очень признателен!

Мой e-mail: letterto@mail.ru


Отклики на это сообщение:

> Кто-нибудь знает, как вычислить значение синуса (косинуса) 1 градуса в радикалах? Я получил выражение для синуса 3 градусов (см. рисунок), но вычислить синус 1 градуса не могу. Если кто-нибудь знает, как это сделать (и имеет готовый ответ), пожалуйста, напишите. Буду очень признателен!

Maple сразу находит твою формулу для 3 градусов (simplify(convert(sin(Pi/2/30),radical))), но не может найти для одного. Наверно нельзя выразить через радикалы вообще.


> Maple сразу находит твою формулу для 3 градусов (simplify(convert(sin(Pi/2/30),radical))), но не может найти для одного. Наверно нельзя выразить через радикалы вообще.

"If the argument of a trigonometric function is of the form n/120*Pi or n/24*Pi where n is an integer, then Maple converts the function to radical form."

Возможно для других аргументов ответ в радикалах выразить нельзя.


Зная синус 1 градуса, можно найти синус 3 градусов, решив следующее кубическое уравнение:

Попробуйте решить его с помощью Maple. Как я понимаю, оно должно иметь три действительных корня.


> Зная синус 1 градуса, можно найти синус 3 градусов, решив следующее кубическое уравнение:

>

> Попробуйте решить его с помощью Maple. Как я понимаю, оно должно иметь три действительных корня.

Формула верна и один корень действительно sin(1o). Но я не смог привести выражение к человеческому виду. Если просишь Maple найти действительную часть, то он обратно все в синусы/косинусы превращает.

Держи промежуточную формулу. В ней есть i но мнимая часть сокращается в конце. Так же один или несколько из корней имеет отрицательный аргумент так что простая подстановка i=0 не даейт правильный ответ.

Скорей всего не получиться привести выражене к нормальному виду (Maple действительно не очень класно упрощает по сравнению с Mатематикой), но попробую.

http://physics.nad.ru/img/sin1.gif



> Хмм... Зная sin3 нам надо лишь решить ур-у третей степени, чтобы получить sin1 !!! Дак берем формулы Кардано и получаем наш sin1 в радикалах!

> Эта формула точно верна?


Выражение для синуса 3 градусов точно верное. Кубическое уравнение, конечно, тоже правильное. Вот только решить его не так просто. Можете сами попробовать. Напоминаю формулы Кардано:



Спасибо за помощь!

У меня появилась такая идея. Зная синусы 5 и 3 градусов, можно легко найти синус двух, а затем и синус одного градуса. Осталось найти синус 5 градусов, решив кубическое уравнение:

Попробуйте решить его на Maple, оно гораздо проще предыдущего. Заранее благодарен.


> Спасибо за помощь!

> У меня появилась такая идея. Зная синусы 5 и 3 градусов, можно легко найти синус двух, а затем и синус одного градуса. Осталось найти синус 5 градусов, решив кубическое уравнение:

>

> Попробуйте решить его на Maple, оно гораздо проще предыдущего. Заранее благодарен.

Та же хрень - не может выразить действительную часть не преобразовав обратно в тригонометрические функции.


Попробуй формулы Тейлора. Их найдешь в любом учебнике по мат.анализу


> Попробуй формулы Тейлора. Их найдешь в любом учебнике по мат.анализу

Вы имеете в виду это ?

Так ведь это бесконечная сумма. А мне нужно конечное выражение, как, например, для синуса 3 градусов:


x1 = cos(36) = (sqrt(5)+1)/4
x2 = cos(18) = sqrt((x1+1)/2) = sqrt(10+2sqrt(5))/4
x3 = cos(9) = sqrt((x2+1)/2)
x4 = cos(20) = (4 + 4 sqrt(3) i)^(1/3)/4 + (4 + 4 sqrt(3) i)^(-1/3)
x5 = cos(10) = sqrt((x4+1)/2)

sin(1) = sin(10 - 9) = sqrt(1-x5^2) x3 - x5 sqrt(1-x3^2)


> x1 = cos(36) = (sqrt(5)+1)/4
> x2 = cos(18) = sqrt((x1+1)/2) = sqrt(10+2sqrt(5))/4
> x3 = cos(9) = sqrt((x2+1)/2)
> x4 = cos(20) = (4 + 4 sqrt(3) i)^(1/3)/4 + (4 + 4 sqrt(3) i)^(-1/3)
> x5 = cos(10) = sqrt((x4+1)/2)

> sin(1) = sin(10 - 9) = sqrt(1-x5^2) x3 - x5 sqrt(1-x3^2)

Подскажите, пожалуйста, как избавиться от i. Ведь sin(1) - действительное число.



> Подскажите, пожалуйста, как избавиться от i. Ведь sin(1) - действительное число.

По-моему, никак.


Синус 3-х шрадусов никогда не являлся конечной формулой, ее дают в сокращенном виде дабы не заморачиваться про бесконечно малые в символике ландау.


> Кто-нибудь знает, как вычислить значение синуса (косинуса) 1 градуса в радикалах? Я получил выражение для синуса 3 градусов (см. рисунок), но вычислить синус 1 градуса не могу. Если кто-нибудь знает, как это сделать (и имеет готовый ответ), пожалуйста, напишите. Буду очень признателен.

Если можно построить правильный p-угольник с помощью циркуля и линейки, то можно выразить sin(180/p град) в радикалах. А такое построение (для простого p) возможно <=> когда p - простое число Ферма, т.е. имеет вид p = 2^n + 1.
Если же p - непростое, то используют еще соображения такого рода:
1. если можно построить правильный p-угольник, то можно построить также и правильный
(2^k)*p-угольник.
2. если можно построить правильные p_1-угольник и p_2-угольники, то можно построить также и правильный p_1*p_2-угольник.
Вроде так.


> Выражение для синуса 3 градусов точно верное. Кубическое уравнение, конечно, тоже правильное. Вот только решить его не так просто. Можете сами попробовать. Напоминаю формулы Кардано:

блин, ну не выражается в радикалах на действительном множестве sin(x/3) через sin(x)<->cos(x).

все попытки будут приводит в тупик :)


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100