Задача по геометрии

Сообщение №6323 от Draugor 11 января 2003 г. 22:58
Тема: Задача по геометрии

Условие:
Дана окружность и диаметральная прямая, надо найти центр окружности с помощью одной линейки.


Отклики на это сообщение:

> Условие:
> Дана окружность и диаметральная прямая, надо найти центр окружности с помощью одной линейки.

Все просто. На диаметральной прямой за пределами окружности отмечаешь точку K
измеряешь расстояние КА и строишь такой же отрезок BL. Проводишь из K и L касательные к окружности и через их пересечение проводишь линию.
Вот так:


> > Условие:
> > Дана окружность и диаметральная прямая, надо найти центр окружности с помощью одной линейки.

> Все просто. На диаметральной прямой за пределами окружности отмечаешь точку K
> измеряешь расстояние КА и строишь такой же отрезок BL. Проводишь из K и L касательные к окружности и через их пересечение проводишь линию.
> Вот так:
>

Зачем так сложно? По вашей методе, можно сразу измерить вашей линейкой (с делениями!) отрезок АВ, поделить его пополам, и получить центральную точку:)


> > Условие:
> > Дана окружность и диаметральная прямая, надо найти центр окружности с помощью одной линейки.

> Все просто. На диаметральной прямой за пределами окружности отмечаешь точку K
> измеряешь расстояние КА и строишь такой же отрезок BL. Проводишь из K и L касательные к окружности и через их пересечение проводишь линию.
> Вот так:
>

Насколько я помню требования к построению с помощью линейки исключают всякие измерения
А посему решение такое:
Приложите линейку к окружности так, чтобы одна ее сторона проходила через точку А, а другая через точку В. Получите еще две точки пересечения с окружностью Проведите через эти точки прямую - получите центр окружности.
Есть в этом методе только один недостаток - случай, когда ширина линейки больше (или даже равна) диаметру. Тогда построение будет дольше - без рисунка не объяснить.


> Насколько я помню требования к построению с помощью линейки исключают всякие измерения

Линейка имеет конечную длину. Совместим один конец линейки с точкой B так, чтобы линейка проходила через точку А. Другой конец линейки укажет нам точку К.
Аналогично отложим точку L от точки А.
KB=AL=длина линейки
Дальше как на рисунке.


> Зачем так сложно? По вашей методе, можно сразу измерить вашей линейкой (с делениями!) отрезок АВ, поделить его пополам, и получить центральную точку:)

Будем делать так: AL=KB=длина линейки от края до края(она ведь не бесконечна), а дальше по рисунку.


>

> > Насколько я помню требования к построению с помощью линейки исключают всякие измерения

> Линейка имеет конечную длину. Совместим один конец линейки с точкой B так, чтобы линейка проходила через точку А. Другой конец линейки укажет нам точку К.
> Аналогично отложим точку L от точки А.
> KB=AL=длина линейки
> Дальше как на рисунке.

Вы, вероятно, большой изобретатель:). Вы сумели заменить циркуль конечной линейкой. Правда, по условию задачи циркуль почему-то не дан...


Вот еще изобретение:
Если линейка - угольник, то из любой точки диаметральной прямой (вне круга) проводим касательную, и строим из точки касания перпендикуляр к самой касательной. Точка пересечения перпендикуляра с диаметром даст центр.
PS. Хотя неизвестно, зачем тогда дается диаметральная прямая, так как касательную можно проводить как угодно, в том числе и параллельно диаметру.


> Вы, вероятно, большой изобретатель:). Вы сумели заменить циркуль конечной линейкой. Правда, по условию задачи циркуль почему-то не дан...

Но дана линейка, а в задаче НЕ ЗАПРЕЩАЕТСЯ использовать линейку в качестве циркуля. Согласитесь, данный метод не менее безупречен чем приведенный выше метод Анатолия (хотя и менее оригинален).
Интересно было бы узнать Ваш метод решения.

P.S. Обычно при построениях люди используют конечные линейки ;)


> Вот еще изобретение:
> Если линейка - угольник, то из любой точки диаметральной прямой (вне круга) проводим касательную, и строим из точки касания перпендикуляр к самой касательной. Точка пересечения перпендикуляра с диаметром даст центр.
> PS. Хотя неизвестно, зачем тогда дается диаметральная прямая, так как касательную можно проводить как угодно, в том числе и параллельно диаметру.

Вы будете смеяться, но провести касательную из данной точки-тоже проблема.
См, напр.:

Геометрия-7, доказательства, пункт 30

построение касательной


Помаленьку поворачиваем линейку вокруг точки, пока она не коснется окружности


> Помаленьку поворачиваем линейку вокруг точки, пока она не коснется окружности

на глазок и центр окружности запросто найдется:)


А в чем собственно проблема? Мне кажется серьезно можно ошибиться можно только на окружностях БОЛЬШИХ размеров. Задача гораздо сложнее (на глазок) если проводить касательную, используя заданную точку на окружности. Там действительно придется попыхтеть (опять же на глазок), и погрешность будеит больше.
Не веришь? Проверь сам :o)


> Условие:
> Дана окружность и диаметральная прямая, надо найти центр окружности с помощью одной линейки.

Спасибо всем кто попытался ответить хоть как-то. Но я еще кое-что уточню по этой задаче (дана в ВУЗе). Итак, под линейкой понимается класс прямых, никаких делений на ленейке нет, циркуля тоже нет, так как если бы он был, то задача была бы легко разрешима поискомм середины отрезка диаметра. Так что вот, замеров никаких делать ненадо. Есть кажется такая теорема Штейнера, если не вру, что при помощи одной окружности с центром разрешима любая задача (что-то в этом роде). Ну так вот, нельзя ли заменить центр на диаметральную прямую, в общем то в этом и есть суть задачи, чтобы из выше указанного решения найти центр.


> > Условие:
> > Дана окружность и диаметральная прямая, надо найти центр окружности с помощью одной линейки.

> Спасибо всем кто попытался ответить хоть как-то. Но я еще кое-что уточню по этой задаче (дана в ВУЗе). Итак, под линейкой понимается класс прямых, никаких делений на ленейке нет, циркуля тоже нет, так как если бы он был, то задача была бы легко разрешима поискомм середины отрезка диаметра. Так что вот, замеров никаких делать ненадо. Есть кажется такая теорема Штейнера, если не вру, что при помощи одной окружности с центром разрешима любая задача (что-то в этом роде). Ну так вот, нельзя ли заменить центр на диаметральную прямую, в общем то в этом и есть суть задачи, чтобы из выше указанного решения найти центр.

Задача решается в 2 приема.

1. Найдите вначале один перпендикуляр к диаметру, а затем другой. Эти два перпендикуляра образуют две параллельные хорды внутри окружности.
2. Зная две параллельные хорды, найдите центр окружности.

Оба эти пункты - стандартные. Если будут трудности, подскажу.


Интересно было бы узнать в каком ВУЗЕ (а еще лучше на каком факультете) задали эту задачу (я не могу представить требования к вашей задаче).
На счет Штейнера, мне известна только одна его теорема (о нахождении момента инерции), хотя кто знает...


> > > Условие:
> > > Дана окружность и диаметральная прямая, надо найти центр окружности с помощью одной линейки.

> Задача решается в 2 приема.

> 1. Найдите вначале один перпендикуляр к диаметру, а затем другой. Эти два перпендикуляра образуют две параллельные хорды внутри окружности.
> 2. Зная две параллельные хорды, найдите центр окружности.

> Оба эти пункты - стандартные. Если будут трудности, подскажу.

Утром сам обнаружил трудность-по пункту 2. Чтобы найти центр окружности, необходимы, во-первых, две параллельные хорды, которые дают линию, проходящую через центр окружности (диаметр), и еще две параллельные между собой хорды, непараллельные первым, чтобы пересечение диаметров обозначило искомый центр. Если брать только один набор хорд и диаметр, то, к сожалению, здесь они перпендикулярны, и поэтому накладываются друг на друга.



> > Вы, вероятно, большой изобретатель:). Вы сумели заменить циркуль конечной линейкой. Правда, по условию задачи циркуль почему-то не дан...

> Но дана линейка, а в задаче НЕ ЗАПРЕЩАЕТСЯ использовать линейку в качестве циркуля. Согласитесь, данный метод не менее безупречен чем приведенный выше метод Анатолия (хотя и менее оригинален).
> Интересно было бы узнать Ваш метод решения.

> P.S. Обычно при построениях люди используют конечные линейки ;)

to GREA
С Вашей точки зрения Вы правы
Но классика требует под линейкой понимать только две параллельные прямые (стороны линейки)


> > > Вы, вероятно, большой изобретатель:). Вы сумели заменить циркуль конечной линейкой. Правда, по условию задачи циркуль почему-то не дан...

> > Но дана линейка, а в задаче НЕ ЗАПРЕЩАЕТСЯ использовать линейку в качестве циркуля. Согласитесь, данный метод не менее безупречен чем приведенный выше метод Анатолия (хотя и менее оригинален).
> > Интересно было бы узнать Ваш метод решения.

> > P.S. Обычно при построениях люди используют конечные линейки ;)

> to GREA
> С Вашей точки зрения Вы правы
> Но классика требует под линейкой понимать только две параллельные прямые (стороны линейки)

Если дана линейка с 2-мя параллельными сторонами, ширина которой меньше диаметра окружности, то центр окружности легко найти. Для этого даже не требуется знание диаметра окружности.


> > > > Вы, вероятно, большой изобретатель:). Вы сумели заменить циркуль конечной линейкой. Правда, по условию задачи циркуль почему-то не дан...

> > > Но дана линейка, а в задаче НЕ ЗАПРЕЩАЕТСЯ использовать линейку в качестве циркуля. Согласитесь, данный метод не менее безупречен чем приведенный выше метод Анатолия (хотя и менее оригинален).
> > > Интересно было бы узнать Ваш метод решения.

> > > P.S. Обычно при построениях люди используют конечные линейки ;)

> > to GREA
> > С Вашей точки зрения Вы правы
> > Но классика требует под линейкой понимать только две параллельные прямые (стороны линейки)

> Если дана линейка с 2-мя параллельными сторонами, ширина которой меньше диаметра окружности, то центр окружности легко найти. Для этого даже не требуется знание диаметра окружности.

Классика как раз понимает под линейкой одностороннюю линейку неограниченной (точнее, любой нужной для построения) протяженности и без делений.


> > Если дана линейка с 2-мя параллельными сторонами, ширина которой меньше диаметра окружности, то центр окружности легко найти. Для этого даже не требуется знание диаметра окружности.

> Классика как раз понимает под линейкой одностороннюю линейку неограниченной (точнее, любой нужной для построения) протяженности и без делений.

Классику я уважаю, и поэтому сказал, что применение "двухсторонней линейки" меняет задачу. Хотя такую линейку иногда используют. См. ссылки:

1. Задача №15
2. Геометрические построения


> > > Если дана линейка с 2-мя параллельными сторонами, ширина которой меньше диаметра окружности, то центр окружности легко найти. Для этого даже не требуется знание диаметра окружности.

> > Классика как раз понимает под линейкой одностороннюю линейку неограниченной (точнее, любой нужной для построения) протяженности и без делений.

> Классику я уважаю, и поэтому сказал, что применение "двухсторонней линейки" меняет задачу. Хотя такую линейку иногда используют. См. ссылки:
> 1. Задача №15
> 2. Геометрические построения

Хотя это и не относится к задаче - но на мой взгляд интересно напомнить любопытствующим, что используя только циркуль,
можно найти центр окружности, если даже стереть отрезок, представляющий диаметр, а оставить только две крайние точки этого диаметра. Вспоминая свои вступительные экзамены в универ,
помню как эта зловещая задачка гуляла в коридорах среди абитуриентов - поскольку использовалась иногда преподавателями как маленький ;-)) дополнительный вопросик на экзамене.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100