Метод Рунге-Кутты шестого порядка точности.

Сообщение №6285 от Zayka 09 января 2003 г. 22:45
Тема: Метод Рунге-Кутты шестого порядка точности.

Тут встала задача о выводе метода Рунге-Кутты шестого порядка точности, только вот боюсь выводить буду очень долго. Случайно, ни у кого нет вывода/конечной формулы/мыслей/ссылки в инете по этому поводу.
Заранее большое спасибо.


Отклики на это сообщение:

> Тут встала задача о выводе метода Рунге-Кутты шестого порядка точности, только вот боюсь выводить буду очень долго
Это точно. Вручную немыслимо.

Вообще – то уже опубликованы (и давно, 1962 – 1964 годы) коэффициенты до десятого порядка.
Может уже и выше есть. Давно не следила за этой темой.
Нашел способ вывода их и тем прославил свое имя Дж. Батчер (Butcher).

И еще.
Думаю, что повышения точности вы не получите.
Может какая задача особая?


> Тут встала задача о выводе метода Рунге-Кутты шестого порядка точности, только вот боюсь выводить буду очень долго. Случайно, ни у кого нет вывода/конечной формулы/мыслей/ссылки в инете по этому поводу.
> Заранее большое спасибо.

Вывордить сам даже и не думай. Некоторые степени вообще запрещены.
Я как-то пробовал штук 12 раных интеграторов до порядка где-то 8. Могу сказать что если интересует стабильноть и скорость, то лучше всего обычный 4 Runge-Kutta.

Если интересует точность бери Дорманд-Принц 8-порядок (ищи net по DOP853)


> Выводить сам даже и не думай.
Для метода RK десятого порядка вроде бы получается система нелинейных алгебраических уравнений с числом переменных (по памяти) более тысячи.

> Некоторые степени вообще запрещены.
Кто запретил?

> Я как-то пробовал штук 12 раных интеграторов до порядка где-то 8.
Что за штуки 12 раных интеграторов?

> Могу сказать что если интересует стабильность и скорость, то лучше всего обычный 4 Runge-Kutta.
Здесь я с вами солидарна.
А чем точность не устраивает?

> Если интересует точность бери Дорманд-Принц 8-порядок (ищи net по DOP853)
Какие основания считать точнее?
Мне представляется, идет размен «величина шага, т.е точность -- на время».


> > Некоторые степени вообще запрещены.
> Кто запретил?
Пардон, я имел ввиду что для порядка n>5 не существует Runge-Kutta с n вычислениями функции.

> > Я как-то пробовал штук 12 раных интеграторов до порядка где-то 8.
> Что за штуки 12 раных интеграторов?

Если честно, то я не помню. Я пробовал несколько многошаговых интеграторов и DormandPrince 5 и 8, на проблеме интегрирования цепочки связанных тел.

> > Могу сказать что если интересует стабильность и скорость, то лучше всего обычный 4 Runge-Kutta.
> Здесь я с вами солидарна.

> А чем точность не устраивает?
Ну если надо считать орбиты планет, например, где точность очень важна, то RK очень медленный получиться. Конечно изменением шага можно любым интегратором добиться любой точности.

> > Если интересует точность бери Дорманд-Принц 8-порядок (ищи net по DOP853)
> Какие основания считать точнее?
> Мне представляется, идет размен «величина шага, т.е точность -- на время».

В известной книге Hairer, Norsett, Wanner "Solving ODEs" сравниваються несколько распространейнных интеграторов (ДормандПринц 5 и 8, DVERK, ODEX и RK45) на 8 разных задачах. ДормандПринц8 выглядит почти всегда лучше остальных в смысле точность/скорость.
Так же один мой очень проффесиональный в ОДУ товарищ советовал DOP853.

Но если интегрировать на пределе стабильности, то я гарантирую что RК4 самый быстрый - интегратор.


> > Тут встала задача о выводе метода Рунге-Кутты шестого порядка точности, только вот боюсь выводить буду очень долго
> Это точно. Вручную немыслимо.
Я тоже так думаю...
> Вообще – то уже опубликованы (и давно, 1962 – 1964 годы) коэффициенты до десятого порядка.
> Может уже и выше есть. Давно не следила за этой темой.
> Нашел способ вывода их и тем прославил свое имя Дж. Батчер (Butcher).
Хм, про это я уже читал. Единственные статьи, которые я нашел в инете по методам РК высоких порядков это сатьи Ивановского ГУ (Хашин С.И.). Там как раз одна из них посвящена решению уравнений Батчера (или Бутчера) и даже программа для численного решения имеется.
> Думаю, что повышения точности вы не получите.
> Может какая задача особая?

Дак в том то и дело, что страдаю я из-за самодурства своего препода, которому за 3 недели до экзаменов захотелось, что бы я ему курсовой по этой теме написал, с полным выводом, мотивируя это тем, что какая-то девочка, сколько-то там лет назад это уже приносила. Поэтому и ты постарайся. А все мои доводы, что эта работа все равно, что воду в решете носить его не устроили (нам еще на втором курсе объяснили, что использовать методы РК выше 4-5 порядков нецелесообразно). Вот и должен я до среды что-нить предумать.
Но как я понял в интернете книг Батчера нет (там хоть вывод или сами уравнения посмотреть можно)?


> Дак в том то и дело, что страдаю я из-за самодурства своего препода, которому за 3 недели до экзаменов захотелось, что бы я ему курсовой по этой теме написал, с полным выводом, мотивируя это тем, что какая-то девочка, сколько-то там лет назад это уже приносила.

Что-то здесь не то.
Коэффициенты явного метода Рунге-Кутты 6-го порядка опубликованы, а соответствующий метод носит специальное название: «Метод Рунге-Кутты- Лобатто».
Похоже, что 6-й порядок является последним, когда коэффициенты могут быть еще получены аналитическим путем (в радикалах).
Уже для метода Рунге-Кутты-Радо 7-го порядка коэффициенты вычисляются численно.
Про девочку – вероятнее всего байка. Спросите у вашего преподавателя, сохранил ли он полученные «девочкой» коэффициенты? В силу того, что Лобатто получил выражения коэффициентов в радикалах, значит в принципе их вывод можно повторить. Но это весьма черновая работа. Мне даже кажется, что вредная задача, т.к. притупляет творческий «расклад мозгов», если эту задачу решать вручную..

Я думаю, что вам необходимо подойти к заведующему кафедрой (к которой относится ваш преподаватель) и обсудить вопрос о целесообразности за три недели до экзаменационной сессии соглашаться на такое задание. Ведь ваш преподаватель может «пойти» и дальше. Принесете вы решение, может быть (а может и наверняка) ошибетесь в каком-то коэффициенте. Он глянет и скажет: « Идите, у вас неправильно».

Эта работа очень рутинная.
В основном на технику дифференцирования.
Даже, если вы распишите систему нелинейных алгебраических условных уравнений (уже для четвертого порядка получается система с шестью неизвестными), её предстоит анализировать и решать.

Очень ясно и подробно механизм получения условных уравнений для явных методов Рунге-Кутты расписан в старой книжку Н.С. Бахвалова «Численные методы» (Анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения). Кажется год 1973, но может быть есть и новые издания.

> Поэтому и ты постарайся. А все мои доводы, что эта работа все равно, что воду в решете носить его не устроили (нам еще на втором курсе объяснили, что использовать методы РК выше 4-5 порядков нецелесообразно). Вот и должен я до среды что-нить предумать.

> Но как я понял в интернете книг Батчера нет (там хоть вывод или сами уравнения посмотреть можно)?

Как я поняла, Батчеру удалось формализовать процедуру вывода условных уравнений и переложить этот труд на «машину» (в буквенном виде). И расписать алгоритм «машинного» решения полученных условных уравнений.
Я в свое время имела ксерокопии оригиналов статей Батчера, но вывода уравнений там, конечно, не было. Был приведен только конечный результат.

Если бы не была «на носу» сессия, то такую задачу ваш преподаватель вполне резонно мог бы вам поставить.
Сама не пробовала выводить, но в принципе («навскидку»), по моим понятиям, эта задача не для учебного процесса.


> Коэффициенты явного метода Рунге-Кутты 6-го порядка опубликованы, а соответствующий метод носит специальное название: «Метод Рунге-Кутты- Лобатто».
О, спасибо за название. Тоже обязательно включу в курсач...
Нашел коэффициенты 6-го порядка 7-ми этапного метода, полученного САМИМ (ну т.е. Батчером). Плюс к тому откопал в статьях некого Хашина из Ивановского ГУ численное решение также для семиэтапного метода. В статье написано, что ему удалось получить для 6-го порядка 8-ми и 9-ти этапные методы. Даже в конце стоит сносочка, что программой может поделиться, правда на мой запрос пока молчит.

> Похоже, что 6-й порядок является последним, когда коэффициенты могут быть еще получены аналитическим путем (в радикалах).
> Уже для метода Рунге-Кутты-Радо 7-го порядка коэффициенты вычисляются численно.
Ну кому охота возиться с системой из 85 уравнений.

> В силу того, что Лобатто получил выражения коэффициентов в радикалах, значит в принципе их вывод можно повторить. Но это весьма черновая работа. Мне даже кажется, что вредная задача, т.к. притупляет творческий «расклад мозгов», если эту задачу решать вручную..
Согласен целиком и полностью, бедный Лобатто.

> Принесете вы решение, может быть (а может и наверняка) ошибетесь в каком-то коэффициенте. Он глянет и скажет: « Идите, у вас неправильно».
Хе-хе, уже вставил решение Батчера. Если скажет -- покажу книгу.

> В основном на технику дифференцирования.
> Даже, если вы распишите систему нелинейных алгебраических условных уравнений (уже для четвертого порядка получается система с шестью неизвестными), её предстоит анализировать и решать.
Хм, а где там дифференцирование. Как я понял уравнения составляются при помощи метода деревьев, а решаются путем упрощающих предложений. Вот только как тут построить все упрощающие предложения, которые Батчер имел в виду.

> Очень ясно и подробно механизм получения условных уравнений для явных методов Рунге-Кутты расписан в старой книжку Н.С. Бахвалова «Численные методы» (Анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения). Кажется год 1973, но может быть есть и новые издания.
Там что-то тяжеловато для понимания. По-моему единственный целесообразный метод для построения системы -- метод деревьев. На дифференцировании просто сломаешь голову.

> Как я поняла, Батчеру удалось формализовать процедуру вывода условных уравнений и переложить этот труд на «машину» (в буквенном виде). И расписать алгоритм «машинного» решения полученных условных уравнений.
> Я в свое время имела ксерокопии оригиналов статей Батчера, но вывода уравнений там, конечно, не было. Был приведен только конечный результат.

А я так его трудов по этому поводу и не достал :(((

> Сама не пробовала выводить, но в принципе («навскидку»), по моим понятиям, эта задача не для учебного процесса.
Меня радовал хотя бы тот факт, что занимаюсь нужной работой, а то и правда получается, что воду в решете ношу.


> >Коэффициенты явного метода Рунге-Кутты 6-го порядка опубликованы, а соответствующий метод носит специальное название: «Метод Рунге-Кутты- Лобатто».
> О, спасибо за название. Тоже обязательно включу в курсач...Нашел коэффициенты 6-го порядка 7-ми этапного метода, полученного САМИМ (ну т.е. Батчером). Плюс к тому откопал в статьях некого Хашина из Ивановского ГУ численное решение также для семиэтапного метода. В статье написано, что ему удалось получить для 6-го порядка 8-ми и 9-ти этапные методы. Даже в конце стоит сносочка, что программой может поделиться, правда на мой запрос пока молчит.

По постановке темы вашей курсовой вам программы не нужны. Не отвлекайтесь и не теряйте времени. Да и примитивны они, тем и хороши. Кстати, метод РК Батчера семнадцати этапный.

Большая просьба, если что по вашей тематике нашли в интернете, киньте в эту тему ссылки. Вам же всё равно придется собирать ссылки и список литературы, которым вы пользовались к курсовой. Неплохо бы, чтобы полностью этот раздел курсовой привели в этой теме.

> >Похоже, что 6-й порядок является последним, когда коэффициенты могут быть еще получены аналитическим путем (в радикалах).
> >Уже для метода Рунге-Кутты-Радо 7-го порядка коэффициенты вычисляются численно.
> Ну кому охота возиться с системой из 85 уравнений.
Я уже писала, что для метода десятого порядка получается, вроде бы, более тысячи условных уравнений

> >В силу того, что Лобатто получил выражения коэффициентов в радикалах, значит в принципе их вывод можно повторить. Но это весьма черновая работа. Мне даже кажется, что вредная задача, т.к. притупляет творческий «расклад мозгов», если эту задачу решать вручную..
> Согласен целиком и полностью, бедный Лобатто.

> >Принесете вы решение, может быть (а может и наверняка) ошибетесь в каком-то коэффициенте. Он глянет и скажет: « Идите, у вас неправильно».
> Хе-хе, уже вставил решение Батчера. Если скажет -- покажу книгу.
Что за книга?

> >В основном на технику дифференцирования.
> >Даже, если вы распишите систему нелинейных алгебраических условных уравнений (уже для четвертого порядка получается система с шестью неизвестными), её предстоит анализировать и решать.
> Хм, а где там дифференцирование. Как я понял уравнения составляются при помощи метода деревьев, а решаются путем упрощающих предложений. Вот только как тут построить все упрощающие предложения, которые Батчер имел в виду.
Ну ведь собственно решение на шаге по методу Рунге_Кутты, - это аппроксимация его (решения) «отрывком» ряда Тейлора до заданного порядком производной. У Н.С. Бахвалова, кстати, это и описано. А способ Батчера, - это техника приспособления компьютера к получению этих «производных» (и условных уравнений).

> >Очень ясно и подробно механизм получения условных уравнений для явных методов Рунге-Кутты расписан в старой книжку Н.С. Бахвалова «Численные методы» (Анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения). Кажется год 1973, но может быть есть и новые издания.
> Там что-то тяжеловато для понимания. По-моему единственный целесообразный метод для построения системы -- метод деревьев. На дифференцировании просто сломаешь голову.
Время другое и технологии другии, а суть осталась та же, как описал Бахвалов.

> >Как я поняла, Батчеру удалось формализовать процедуру вывода условных уравнений и переложить этот труд на «машину» (в буквенном виде). И расписать алгоритм «машинного» решения полученных условных уравнений.
> >Я в свое время имела ксерокопии оригиналов статей Батчера, но вывода уравнений там, конечно, не было. Был приведен только конечный результат.
> А я так его трудов по этому поводу и не достал :(((
А про какую книгу с решение Батчера вы говорили выше?

> >Сама не пробовала выводить, но в принципе («навскидку»), по моим понятиям, эта задача не для учебного процесса.
> >Меня радовал хотя бы тот факт, что занимаюсь нужной работой, а то и правда получается, что воду в решете ношу.
В принципе толковый человек всегда может превратить рутинную работу в творческую!


> Кстати, метод РК Батчера семнадцати этапный.
Странно, наверное в книге просто не написали, что это не Батчер вывел.
Книга эта называется:
Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных
уравнений., М.: Мир, 1990г. (по-моему про нее уже кто-то писал тут)
> Большая просьба, если что по вашей тематике нашли в интернете, киньте в эту тему ссылки. Вам же всё равно придется собирать ссылки и список литературы, которым вы пользовались к курсовой. Неплохо бы, чтобы полностью этот раздел курсовой привели в этой теме.

Кроме стандартных учебников по численным методам (Бахвалов, Амоносов(кстати я метод понял именно по нему, а не по Бахвалову)) и того, что написано выше откопал книгу в библиотеке

Батчер Дж. К., Лэмберт Дж. Л. и др. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, М.:Мир, 1979г. (написано большим коллективом авторов под ред. Уайта или Уатта).

И три труда из Ивановского ГУ

Хаммуд Г. Хашин С.И. Упрощающие предположения высшего порядка для методов
Рунге-Кутта, Научные труды ИвГУ. Математика. Вып.~3, Иваново,~2000г.
Котвин С.В., Хашин С.И. Матричная запись условий порядка для методов
Рунге-Кутты. Научные труды ИвГУ. Математика. 1999. Выпуск 2.

(ссылок на них не помню, но нашел на Яндексе, думаю, что и еще раз найдет.)

Самая толковая (в смысле понятности и широты освещения проблемы это Хайрер Э.)

> Я уже писала, что для метода десятого порядка получается, вроде бы, более тысячи условных уравнений
Если быть точным 1205...
> Что за книга?
Хайрер Э.
> Ну ведь собственно решение на шаге по методу Рунге_Кутты, - это аппроксимация его (решения) «отрывком» ряда Тейлора до заданного порядком производной. У Н.С. Бахвалова, кстати, это и описано. А способ Батчера, - это техника приспособления компьютера к получению этих «производных» (и условных уравнений).
Кстати очень может быть и не компьютера. Сейчас сам попробую по его методу эти злосчастные 37 уравнений вывести...
> А про какую книгу с решение Батчера вы говорили выше?
Опять таки ссылка на Хайрера. Там кстати весьма хорошо описан метод деревьев.
> В принципе толковый человек всегда может превратить рутинную работу в творческую!
Хе-хе, но только не в 3 часа ночи :))


> >> Кстати, метод РК Батчера семнадцати этапный.
> Странно, наверное, в книге просто не написали, что это не Батчер вывел.

Я здесь какую-то чушь написала.
Хотела обратить внимание (по памяти), что для метода десятого порядка необходимо на одном шаге семнадцать раз вычислять правые части системы дифференциальных уравнений.

Для классического метода РК четвертого порядка – четыре. Учитывая, что правые части вычисляются в граничных точках интервала, – по сути три обращения к правым частям.

Таким образом, при тех же, затратах времени (числа обращений к правым частям) шаг классического РК – метода четвертого порядка может быть в девять раз меньше, чем у метода десятого порядка.

В итоге я сделала две ошибки:
(1) Не написала, что «семнадцати – этапный» относится к методу десятого порядка.
(2) К Батчеру это не имеет никакого отношения.
Нашла ксерокопию коэффициентов этого метода.
Коэффициенты приведены в статье:
Hairer E.
“A Runge – Kutte Method of Order 10”
Journal of the Institute of Mathematics and its Applications” стр 57-58.


> Хе-хе, но только не в 3 часа ночи :))

Чем кончилась история с Вашей курсовой по RK шестого порядка?


Господа, очень нужно узнать все о методе Рунге-Кутта - Фельберга 3-го порядка. Спасибо!


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100