Задача Банаха о спичечных коробках

Сообщение №6065 от Kostik 18 декабря 2002 г. 17:52
Тема: Задача Банаха о спичечных коробках

Как решать или где можно найти решение этой задачи?? Заранее спасибо!
http://www.tt.ru/?do=shum1&type=z&srt=date&pos=2&id=16


Отклики на это сообщение:

> Как решать или где можно найти решение этой задачи?? Заранее спасибо!
> http://www.tt.ru/?do=shum1&type=z&srt=date&pos=2&id=16

Если n - количество спичек в двух коробках первоначально, k - количество спичек, оставшихся в другой (непустой) коробке, то искомая вероятность есть
P(n,k)=C(k,n+k-1)/2^(n-1), для k=0,...,n-1 (где C(*,*) - биномиальный коэффициент).


> Как решать или где можно найти решение этой задачи?? Заранее спасибо!
> http://www.tt.ru/?do=shum1&type=z&srt=date&pos=2&id=16

Известный польский математик Стефан Банах имел привычку носить в каждом из двух карманов пальто по коробку спичек. Всякий раз, когда ему хотелось закурить трубку, он выбирал наугад один из коробков и доставал из него спичку. Первоначально в каждом коробке было по n спичек. Но когда-то наступает момент, когда выбранный наугад коробок оказывается пустым.
Какова вероятность того, что в другом коробке осталось k спичек?

Всего было вынуто 2n-k спичек. Это можно сделать (2n)!/(2n-k)! способами. В то же время из одного кармана было вынуто n-k спичек, n!/(n-k)! способами. Делим одно на другое, получаем искомую вероятность: n!(2n-k)!/[(2n)!(n-k)!]. Буду очень признателен за критику, т.к. подобные задачи давно не решал.



Выберем какой-нибудь (назовем его первым) коробок и найдем вероятность P1(n,k) того, что спички в нем закончились, в то время как втором их еще оставалось k (k=1,...,n) штук.
Такое могло произойти только если:
(1) на предпоследнем вытаскивании в первом коробке оставалась всего одна спичка, а во втором - k спичек;
(2) при последнем вытаскивании была вытащена (последняя) спичка из первого коробка.
Вероятность первого события есть C(2n-k-1,n-1)/2^(2n-k-1), второго - 1/2.
Таким образом P1(n,k)=C(2n-k-1,n-1)/2^(2n-k-1)/2.
Искомая же вероятность того, что в любом из коробков закончаться спички, в то время как в другом еще будет оставаться k штук есть
P(n,k)=2*P1(n,k)=C(2n-k-1,n-1)/2^(2n-k-1).


> Всего было вынуто 2n-k спичек. Это можно сделать (2n)!/(2n-k)! способами. В то же время из одного кармана было вынуто n-k спичек, n!/(n-k)! способами. Делим одно на другое, получаем искомую вероятность: n!(2n-k)!/[(2n)!(n-k)!]. Буду очень признателен за критику, т.к. подобные задачи давно не решал.

Неправильно! А правильная фомула вот:

p = C2n-kn/22n-k

Численно проверено для всех n и k до 5.


> > Всего было вынуто 2n-k спичек. Это можно сделать (2n)!/(2n-k)! способами. В то же время из одного кармана было вынуто n-k спичек, n!/(n-k)! способами. Делим одно на другое, получаем искомую вероятность: n!(2n-k)!/[(2n)!(n-k)!]. Буду очень признателен за критику, т.к. подобные задачи давно не решал.

> Неправильно! А правильная фомула вот:

> p = C2n-kn/22n-k

> Численно проверено для всех n и k до 5.

Численно уже при n=k=1 не работает (ответ должен быть - единица).


> > p = C2n-kn/22n-k

> > Численно проверено для всех n и k до 5.

> Численно уже при n=k=1 не работает (ответ должен быть - единица).

Ответ должен быть 1/2. В другом коробке может быть одна спичка или ни одной.


> > Численно уже при n=k=1 не работает (ответ должен быть - единица).
> Ответ должен быть 1/2. В другом коробке может быть одна спичка или ни одной.

Возможно я неверно понял задачу, но в если в другом коробке ни одной спички - значит впервые они закончились именно в нем.


> > > Численно уже при n=k=1 не работает (ответ должен быть - единица).
> > Ответ должен быть 1/2. В другом коробке может быть одна спичка или ни одной.

> Возможно я неверно понял задачу, но в если в другом коробке ни одной спички - значит впервые они закончились именно в нем.

Дело не в том, когда спички впервые закончились в одном коробке. Например, Банах достает из коробка последнюю в нем спичку. Затем он лезет в карман еще раз. Он может залезть в другой карман, где спички еще есть!


Ответ C(2n-k,n)/2^(2n-k) правдоподобен...
Теперь ставится задача найти мат. ожидание(среднее значение) величины k.
т.е необходимо посчитать сумму следующего ряда:
СУММ(k=0->k=n)[k*C(2n-k,n)/2^(2n-k)]
Ваши предложения...


> Ответ C(2n-k,n)/2^(2n-k) правдоподобен...
> Теперь ставится задача найти мат. ожидание(среднее значение) величины k.
> т.е необходимо посчитать сумму следующего ряда:
> СУММ(k=0->k=n)[k*C(2n-k,n)/2^(2n-k)]
> Ваши предложения...

В Феллере (том 1) на стр. 173, 177, 231 разобраны оба варианта задачи.
В частности, показано, что матожидание = (2*n+1)/2^(2*n)*C(2*n,n)-1 ~ 2*(n/pi)^0.5-1.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100