Предел.

Сообщение №6003 от Mikhail 12 декабря 2002 г. 21:38
Тема: Предел.

Пусть U(x) дважды непрерывно дифференцируемая функция.
Требуется доказать (или опровергнуть), что условий, -
U'(x)>0 и U''(x)<0 для всех x>0, -
достаточно для существования предела выражения x*U'(x)/U(x) при x->+oo.

Заранее благодарен.


Отклики на это сообщение:

> Пусть U(x) дважды непрерывно дифференцируемая функция.
> Требуется доказать (или опровергнуть), что условий, -
> U'(x)>0 и U''(x)<0 для всех x>0, -
> достаточно для существования предела выражения x*U'(x)/U(x) при x->+oo.

> Заранее благодарен.

Если имеется в вмду существование конечного предела, то можно привести контрпример U(x) = -exp(-x); указанное Вами выражение будет стремится к минус бесконечности при x->+infinity, т.е. конечного предела не существует.

Если же имеется в виду существование предела вообще (т.е. без разницы -- конечный он или нет), то очевидно (имхо) он существует, так как x*U'(x) и U(x) -- непрерывно-дифференцируемые функции.


> > Пусть U(x) дважды непрерывно дифференцируемая функция.
> > Требуется доказать (или опровергнуть), что условий, -
> > U'(x)>0 и U''(x)<0 для всех x>0, -
> > достаточно для существования предела выражения x*U'(x)/U(x) при x->+oo.

> > Заранее благодарен.

> Если же имеется в виду существование предела вообще (т.е. без разницы -- конечный он или нет), то очевидно (имхо) он существует, так как x*U'(x) и U(x) -- непрерывно-дифференцируемые функции.

Спасибо за ответ.
Только непрерывной дифференцируемости функций f(x), g(x) все же явно недостаточно для существования предела f(x)/g(x) при x->oo (ну, например, если это отношение - какая-то периодическая функция или т.п.).

Еще один вопрос. Предположим, что существует предел x*U''(x)/U'(x) (скажем = а) при x->oo.
Спрашивается, что можно сказать о самой функции U(x) при больших x? Ясно, что она должна быть похожа на степенную C1+C2*x^a или логарифмическую C1+C2^*ln(x) (при а=-1). Но нельзя ли сказать более точно, скажем, что при x->+oo:
U(x)/[f(x)*x^a] -> 1, где f такова, что f'(x)*x/f(x) -> 0, при x->oo или что-то подобного плана.

Спасибо за любые отклики, Михаил.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100