Приближенное число

Сообщение №5981 от Петр 11 декабря 2002 г. 01:28
Тема: Приближенное число

Вопрос на засыпку для математиков: Что такое приближенное число: реальное действительное число или интервал? Кто выскажется?


Отклики на это сообщение:

> Вопрос на засыпку для математиков: Что такое приближенное число: реальное действительное число или интервал? Кто выскажется?

Конечно приближенное число есть обычное число.


> > Вопрос на засыпку для математиков: Что такое приближенное число: реальное действительное число или интервал? Кто выскажется?

> Конечно приближенное число есть обычное число.

Вопрос действительно на засыпку.
В старой докомпьютерной математике приближенное число рассматривалось как интервал. И потому были специальные "Правила прриближенных вычислений", которые можно было найти, к примеру, в "Четырехзначных математических таблицах" Брадиса. Вот выдержка из них "При сложении и вычитании в результате оставляют столько цифр после запятой, сколько в числе с наименьшим числом их.
Например, по этим правилам сумма приближенные чисел 1.5+0.055555=1.6.
Но компьютер изменил всю математику и стал рассматривать приближенное число как простое число и потому в компьютерной математике 1.5+0.055555=1.55555. Таким образом, две математики дают различные результаты. Вот такое странное получилось положение. А все потому, что в одной математикке приближенное число - это число, а в другой - интервал. Я думаю, что тут что-то нелепое, в одном мире действуют две математики в зависимости от того, каким вычислительным инструментом мы пользуемся. Кто сможет что-то еще сказать по этому поводу?


> > > Вопрос на засыпку для математиков: Что такое приближенное число: реальное действительное число или интервал? Кто выскажется?

> > Конечно приближенное число есть обычное число.

> Вопрос действительно на засыпку.
> В старой докомпьютерной математике приближенное число рассматривалось как интервал. И потому были специальные "Правила прриближенных вычислений", которые можно было найти, к примеру, в "Четырехзначных математических таблицах" Брадиса. Вот выдержка из них "При сложении и вычитании в результате оставляют
столько цифр после запятой, сколько в числе с наименьшим числом их.
> Например, по этим правилам сумма приближенные чисел 1.5+0.055555=1.6.
> Но компьютер изменил всю математику и стал рассматривать приближенное число как простое число и потому в компьютерной математике 1.5+0.055555=1.55555. Таким образом, две математики дают различные результаты. Вот такое странное получилось положение. А все потому, что в одной математикке приближенное число - это число, а в другой - интервал. Я думаю, что тут что-то нелепое, в одном мире действуют две математики в зависимости от того, каким вычислительным инструментом мы пользуемся. Кто сможет что-то еще сказать по этому поводу?

Ужасно интересная и важная дискуссия. Действительно, если в одной "математике" 1.5+0.05555=1.6, а в другой 1.55555, то сразу же встает вопрос, а какая из них бверная, а какая - ложная. Не могут же два ответа быть равно верными.

И я вот о чем подумал. В ручной матенматике пр.чи. есть интервал. А комп. мат. приближенное число есть просто число. А ОТКУДА в компьютере появилось это число? А? ОТКУДА? Как правило, из результатов ИЗМЕРЕНИЯ. например, вводим колометры, килограммы, вольты и т.д. А потом их обрабатываеми. А сами вольты, килограммы, киломентры числа или интервалы, А? Конечно, интервалы, так как получены с помощью измерительного инструмента, которые дает именно интервал +-0.5В, +-20 г и т.д. Таким образом, в компьтер вводятся именно ИНТЕРВАЛЫ. Но тогда каким образом можно интервал числовой превратить в число? Известно, что нельзя числовой интервал превратить в число - это будет бред. Ведь интервал не только среднее, но и размах, и среднеквадратичное и т.д. Так что тут я не понимиаю. Ручную математику можно понять. А вот компьютерную я что-то перестал понимать.


> > > > Вопрос на засыпку для математиков: Что такое приближенное число: реальное действительное число или интервал? Кто выскажется?

> > > Конечно приближенное число есть обычное число.

> > Вопрос действительно на засыпку.
> > В старой докомпьютерной математике приближенное число рассматривалось как интервал. И потому были специальные "Правила прриближенных вычислений", которые можно было найти, к примеру, в "Четырехзначных математических таблицах" Брадиса. Вот выдержка из них "При сложении и вычитании в результате оставляют
> столько цифр после запятой, сколько в числе с наименьшим числом их.
> > Например, по этим правилам сумма приближенные чисел 1.5+0.055555=1.6.
> > Но компьютер изменил всю математику и стал рассматривать приближенное число как простое число и потому в компьютерной математике 1.5+0.055555=1.55555. Таким образом, две математики дают различные результаты. Вот такое странное получилось положение. А все потому, что в одной математикке приближенное число - это число, а в другой - интервал. Я думаю, что тут что-то нелепое, в одном мире действуют две математики в зависимости от того, каким вычислительным инструментом мы пользуемся. Кто сможет что-то еще сказать по этому поводу?

> Ужасно интересная и важная дискуссия. Действительно, если в одной "математике" 1.5+0.05555=1.6, а в другой 1.55555, то сразу же встает вопрос, а какая из них бверная, а какая - ложная. Не могут же два ответа быть равно верными.

> И я вот о чем подумал. В ручной матенматике пр.чи. есть интервал. А комп. мат. приближенное число есть просто число. А ОТКУДА в компьютере появилось это число? А? ОТКУДА? Как правило, из результатов ИЗМЕРЕНИЯ. например, вводим колометры, килограммы, вольты и т.д. А потом их обрабатываеми. А сами вольты, килограммы, киломентры числа или интервалы, А? Конечно, интервалы, так как получены с помощью измерительного инструмента, которые дает именно интервал +-0.5В, +-20 г и т.д. Таким образом, в компьтер вводятся именно ИНТЕРВАЛЫ. Но тогда каким образом можно интервал числовой превратить в число? Известно, что нельзя числовой интервал превратить в число - это будет бред. Ведь интервал не только среднее, но и размах, и среднеквадратичное и т.д. Так что тут я не понимиаю. Ручную математику можно понять. А вот компьютерную я что-то перестал понимать.

То что же, компьютер врет? Так надо понимать. Бей компьютеры. Назад к промокашке.




Ваш вопрос трудно понять, что Вы спрашиваете?
В чем собственно «засыпка-то»?
Вы даете три определения приближенного числа через некоторые понятия, которые , в свою очередь не определяете.

Из Вашего текста следует (как бы) утверждение,
что приближенное число – это одно трех:

(1) Либо реальное (вероятно число).
(2) Либо действительное (вероятно число)
(3) Либо интервал (Чего? и Какой?).

Если Вы пользуетесь понятиями
реальное,
действительное,
интервал

Дайте их определения!.


> Вопрос на засыпку для математиков: Что такое приближенное число: реальное действительное число или интервал? Кто выскажется?
Я думаю что впору учасникам этой темы присоединиться к теме по соседству
Global Interval Optimization


>
>
> Ваш вопрос трудно понять, что Вы спрашиваете?
> В чем собственно «засыпка-то»?
> Вы даете три определения приближенного числа через некоторые понятия, которые , в свою очередь не определяете.

> Из Вашего текста следует (как бы) утверждение,
> что приближенное число – это одно трех:

> (1) Либо реальное (вероятно число).
> (2) Либо действительное (вероятно число)
> (3) Либо интервал (Чего? и Какой?).

> Если Вы пользуетесь понятиями
> реальное,
> действительное,
> интервал

> Дайте их определения!.


Уважаемая Анна!
Числа могут быть разными. Интервалы - тоже. Но число и интервал это совершенно различные вещи. Между ними такая же разница, как между километром и километровым столбом. И спрашивать, чем отличается километр от километрового столба смешно. Или какой краской покрашен километровый столб. Есть интервал и есть число. Так я и спрашиваю, что есть так назывваемое "приближенное число" - число или интервал?



> Уважаемая Анна!
Уважаемый Петр!

> Числа могут быть разными.
Согласна!

> Интервалы - тоже.
Согласна!

> Но число и интервал это совершенно различные вещи.
Согласна

> Между ними такая же разница, как между километром и километровым столбом.
Согласна

> И спрашивать, чем отличается километр от километрового столба смешно.
> Или какой краской покрашен километровый столб. Есть интервал и есть число.
Согласна. (Кстати, я об этом и не спрашивала)

> Так я и спрашиваю, что есть так назывваемое "приближенное число" - число или интервал?
В вашем вопросе по сути содержится ответ.
Вчитайтесь сами «в себя». Вы пишете:
"приближенное число" - ЧИСЛО или ……?
Я бы Вас более поняла, если бы Вы написали:
«Правда ли, что приближенное число на самом деле не есть число»?


> > > > > Вопрос на засыпку для математиков: Что такое приближенное число: реальное действительное число или интервал? Кто выскажется?

> > > > Конечно приближенное число есть обычное число.

> > > Вопрос действительно на засыпку.
> > > В старой докомпьютерной математике приближенное число рассматривалось как интервал. И потому были специальные "Правила прриближенных вычислений", которые можно было найти, к примеру, в "Четырехзначных математических таблицах" Брадиса. Вот выдержка из них "При сложении и вычитании в результате оставляют
> > столько цифр после запятой, сколько в числе с наименьшим числом их.
> > > Например, по этим правилам сумма приближенные чисел 1.5+0.055555=1.6.
> > > Но компьютер изменил всю математику и стал рассматривать приближенное число как простое число и потому в компьютерной математике 1.5+0.055555=1.55555. Таким образом, две математики дают различные результаты. Вот такое странное получилось положение. А все потому, что в одной математикке приближенное число - это число, а в другой - интервал. Я думаю, что тут что-то нелепое, в одном мире действуют две математики в зависимости от того, каким вычислительным инструментом мы пользуемся. Кто сможет что-то еще сказать по этому поводу?

> > Ужасно интересная и важная дискуссия. Действительно, если в одной "математике" 1.5+0.05555=1.6, а в другой 1.55555, то сразу же встает вопрос, а какая из них бверная, а какая - ложная. Не могут же два ответа быть равно верными.

> > И я вот о чем подумал. В ручной матенматике пр.чи. есть интервал. А комп. мат. приближенное число есть просто число. А ОТКУДА в компьютере появилось это число? А? ОТКУДА? Как правило, из результатов ИЗМЕРЕНИЯ. например, вводим колометры, килограммы, вольты и т.д. А потом их обрабатываеми. А сами вольты, килограммы, киломентры числа или интервалы, А? Конечно, интервалы, так как получены с помощью измерительного инструмента, которые дает именно интервал +-0.5В, +-20 г и т.д. Таким образом, в компьтер вводятся именно ИНТЕРВАЛЫ. Но тогда каким образом можно интервал числовой превратить в число? Известно, что нельзя числовой интервал превратить в число - это будет бред. Ведь интервал не только среднее, но и размах, и среднеквадратичное и т.д. Так что тут я не понимиаю. Ручную математику можно понять. А вот компьютерную я что-то перестал понимать.

> То что же, компьютер врет? Так надо понимать. Бей компьютеры. Назад к промокашке.

Компьютер вошел в нашу жизнь столь глубоко, что его уже не выковырнешь.
И тем ни менее, до сих пор нет ясности по вопросу: а что собственно считает компьютер?
Компьютер считает числа. Но какие числа?
Понятно, что компьютер обрабатывает целые числа. В любом компьютере есть некий аппаратно-программный блок, который можно назвать процессором целых чисел. Именно процессор целых чисел осуществляет так называемую символьную (нечисловую) обработку.
Но любой современный компьютер имеет еще так называемый флоат-процессор, процессор обработки чисел с плавающей запятой (ЧПЗ).
Математика не знает чисел «с плавающей запятой». Но для того, чтобы мы могли использовать математику с достаточной уверенностью, нам необходимо отождествить эти ЧПЗ с классическими числами, для которых математика разработала правила действий.
Кроме целых чисел математика знает следующие типы чисел, которые, как и целые, можно назвать фундаментальными числами математики. Это числа рациональные и числа действительные. Остальные типы чисел ─ комплексные, векторные и т.д. являются уже производными.
Иногда утверждается, что ЧПЗ есть действительные числа.
Это очень большая ошибка.
Действительное число в любой позиционной системе счисления (а в компьютере используется именно позиционная система счисления) изображается бесконечным числом разрядов. А так как компьютер обладает ограниченной разрядной сеткой, то, следовательно, действительных чисел он не может обрабатывать.
Но можно возразить, что, например, число 1.5 является действительным числом. На самом деле это не так. Истинно действительным числом было бы число 1.50000000000000… или сокращенно 1.5(0). (нуль в периоде). Число же 1.5 есть на самом деле рациональное число 15/10.
Таким образом, мы приходим к выводу, что так называемое ЧПЗ есть дробно или смешанно-рациональные числа по основанию 2 и со знаменателем 2n (n ─ переменно).
Итак, компьютер работает либо с целыми числами, либо с дробно-смешанными рациональными числами. Никаких действительных чисел он обрабатывать не может.
Но тут сразу же возникает проблема. Дело в том, что подавляющая часть всех результатов всех математических вычислений дробно-рациональных чисел дает либо действительное число, либо бесконечное (периодическое) рациональное число. Дробно-рациональных чисел с нулем в периоде да еще с ограниченной разрядностью числителя бесконечно мало. А ведь обрабатывать нужно все функции и все выражения.
Таким образом, компьютер решает на самом деле задачу:
Найти дробное или смешанное рациональное число с заданным количеством разрядов (целой части плюс числителя), наиболее приближающееся к функции, как правило, действительному или бесконечному рациональному числу.
Вот такова вычислительная задача, поставленная перед ним его конструкторами. К сожалению, они до сих пор не смогли ее четко сформулировать, отсюда и непонятное понятие «число с плавающей запятой», которых математика никогда не знала и не видела. На самом деле компьютер работает с рациональными числами, обрабатывает рациональные числа и выдает результат в виде рациональных чисел.
Итак, мы, казалось бы, решили проблему компьютерной обработки и найти цель этой обработки ─ найти близкое к функции от рациональных чисел (как правило, действительному числу) рациональное число при определенных ресурсных ограничениях по разрядности. Это близкое к истинной функции рациональное число и называется в компьютеринге «приближенным числом». Другими словами, приближенное число в компьютеринге есть дробно или смешанно-рациональное число, в любом случае именно ЧИСЛО.

Все это было бы очень хорошо, если бы такая задача кому бы то ни было была нужна. Разве что для чистых математиков, которые составляют ничтожную долю пользователей компьютеров.
На самом деле перед вычислительной математикой стоит совершенно иная задача.
А стоит она так. Мы снимаем результаты измерения с помощью некоторых приборов. Приборы имеют точность или погрешность. Поэтому результат изменения можно трактовать двумя путями. Первое ─ результат измерения есть МЕТРОЛОГИЧЕСКОЕ число, имеющее ДВЕ характеристики номинал, как правило, рациональное число, и метрологическую характеристику, определяющую точность, ошибку и т.д. Существует несколько способов описания метрологических характеристик, которые, в принципе, эквивалентны. Например, 125±2 В и т.д.
Второй способ описания результата измерения ─ интервал. Результат измерения может быть описан как интервал 123-127 В.
Отметим отличие метрологического интервала от математического. Интервал 123-127.5 и интервал 123-127 с точки зрения математики ─ различные интервалы. Но с точки зрения метрологии ─ это один и тот же интервал. В метрологии точность описания интервалов достаточно низкая, более того, используются ограниченный стандартизированный набор метрологических интервалов. Например, существует ограниченный стандартизированный ряд точностей измерительных приборов, например, 1%, 2%, 5%, 0.2% и т.д. Но нет приборов класса 4.5%, 5.68% и т.д.
Таким образом, метрологический интервал вовсе не есть математический интервал, а есть некоторая более размытая математическая конструкция. Поэтому метрологический интервал будем называть ИНТЕРВАЛОНОМ. Именно непонимание разницы между математическим интервалом и метрологическим интервалоном и привели к краху всех попыток создать интервальное исчисление как рабочий вычислительный инструмент.
Итак, входные данные для вычислений есть не числа, а интервалоны. И задача вычислительной деятельности дать на выходе тоже интервалон. Естественно, что реальное значение функции должна находиться внутри этого интервалона. Но сам интервалон не должен быть настолько широк, чтобы реальное значение могло выходить за пределы этого интервалона лишь в одном случае из 100 миллионов. Ибо это потребует больших затрат на создание того или иного устройства или производства. Ведь потребуется иметь все комплектующие и детали чрезвычайно высокой точности и потому дорогие.
Но, с другой стороны, он не должен и быть слишком узкими. Если в одном случае из десяти реализация параметра выходит за его пределы, такое устройство становится мало надежным, аварийным и т.д.
В любом случае, практика ставит перед компьютерной вычислительной технологией не исчисление рациональных чисел, а исчисление интервалонов.
Вот почему мы говорим, что компьютерная технология пошла по принципиально неверному пути. И результаты этого неверного выбора вычислительной стратегии не заставляют себя ожидать.
Действительно, в настоящее время в результате вычислений мы получаем какие-то рациональные числа. Но что делать с ними дальше? Что, к примеру, делать с рациональным числом 123454564474846474/10000000000000, которое выдал нам в результате расчета железной балки компьютер? Строго говоря, непонятно. Правда, пользователи как-то приспособились извлекать из этих рациональных чисел полезную информацию. Но где гарантия, что они ее извлекают верно? Знаем ли мы, сколько происходит аварий, ошибок, катастроф именно из-за этой полной оторванности компьютерной технологии от запросов практики? Увы, не знаем. Хотя есть отдельные указания на конкретные аварии и катастрофы, вину в которых удалось полностью возложить на существующую технологию компьютерных вычислений. См. напр. www.ima.umn.edu/~arnold/disasters/disasters.html, где приведен внушительный список аварий и катастроф с многомиллиардными убытками и человеческими жертвами, связанный именно к компьютерными вычислениями. Увы, в большинстве случаев мы не можем ничего сказать, так как у нас нет средств независимой проверки. Как знать, даже не был ли сам Чернобыль результатом компьютерной ошибки?
Итак, перед компьютерной вычислительной технологией стоит неотложнейшая задача перехода от исчисления рациональных чисел к исчислению интервалонов.
На первый взгляд, даже непонятно, как перейти к этой задаче.

Но на самом деле вычислительная математика знает исчисление интервалонов и сотни лет пользовалась именно этой вычислительной технологией и чрезвычайно успешно. Это было в докомпьютерную эпоху, в эпоху ручного, неавтоматизированного счета.
При этом для вычислений чаще всего использовались математические таблицы ─ логарифмов, тригонометрических функций и т.д. И стоит открыть такую таблицу, то мы сразу же поймем, что этих табличные данные есть именно интервалоны. Действительно, если в такой таблице имеется некоторое значение, например, 2.788, то его ошибка (интервал) составляет половину последнего значащего разряда, т.е. для данного числа ±0.0005. Но это отнюдь не строгий математический интервал, например, число 2.7885111 входит в этот интервалон, так как при округлении до четырех знаков получим то же самое значение. Эти интервалоны назывались также приближенными числами. В результате в современной математике под приближенными числами зачастую понимаются два совершенно различных понятия. В компьютерной технике ─ это рациональное число, близкое к истинному значению некоторого действительного числа, в докомпьютерной математике ─ это интервалон, включающий с себя некоторое действительное число.
И были разработаны правила исчисления интервалонов, которые излагались в системе так называемых «Правил приближенных вычислений». Их можно посмотреть в справочнике В.М.Брадиса «Четырехзначные математические таблицы», которые издавались уже в советское время более пятидесяти раз. Издаются ли они сейчас, я не знаю. По крайней мере, самих «Правил приближенных вычислений» в интернете даже не удалось найти.
Вот лишь выдержка из этих «Правил», нынешним пользователям компьютеров неизвестных:
«При сложении и вычитании приближенных чисел (интервалонов) в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближенном данном с наименьшим числом десятичных знаков после знака дробности».
Например, если дать задачу компьютеру 1.5 + 0.000001, то он выдаст в рамках исчисления рациональных чисел ответ 1.5000001. Но эта же задача в интервалонном исчислении на основании «Правил приближенных вычислений» имеет совершенно иной ответ ─ 1.5. Мы видим, две вычислительные технологии дают совершенно различные результаты.
Но если разница в таком простейшем случае, то можно представить, какие различия в вычислениях получатся при большом их объеме.
Как известно, в течение столетий вручную с использованием именно интервалонного исчисления вычислялись расположения звезд и комет, строились водопроводы и мосты, и все работало, и кометы прибывали во время. Так что оно показало свою высочайшую эффективность.
Итак, практика не только требует создания компьютерной интервалонной вычислительной технологии, но и показывает пути ее создания.
Естественно, механически перенести существующее интервалонное исчисление («Правила приближенных вычислений») в компьютер невозможно. Ведь классическое интервалонное исчисление было в десятичной системе счисления, а компьютер работает в двоичной. Более того, само классическое интервалонное исчисление было разработано лишь частично, в основном по отношению к четырем арифметическим операциям ─ сложению, вычитанию, умножению и делению. На иные, даже элементарные функции, например, на тригонометрические, логарифмические и т.п. его не удалось распространить.
Таким образом, стоит задача полной разработки интервалонного исчисления для двоичной системы представления чисел.
Есть еще одна причина, почему разработка интервалонного исчисления столь неотложна. Дело в том, что все больше и больше используется автоматический ввод данных в компьютер с помощью дигитальных преобразователей. Ясно, что эти входные бинарные данные уже являются бинарными интервалонами, имеющими точность половину последнего двоичного разряда. И вот эти уже готовые данные, несущие в себе и свой номинал, и свою точность, современная компьютерная технология превращает в рациональные числа, сдвигая их мантиссу влево, тем самым полностью теряя метрологические характеристики. А после обработки в технологии рационального числа прикладываются гигантские усилия для определения точности и значимости результатов вычислений. Разве нелепо, сначала уничтожить уже имеющуюся информацию, а затем пытаться с гигантскими усилиями ее восстановить.
К решению задачи создания компьютерной интервалонной вычислительной технологии наиболее близко, на наш взгляд, подошел В.Юровицкий в своей «Аппроксиметике» (см. www.yur.ru/science/computer).
То, что будущее за интервалонной вычислительной технологией ─ без сомнения. А рациональная компьютерная обработка ЧПЗ войдет в анналы недоразумений. И мы еще ужаснемся, как много было сделано ошибок, как много было аварий и катастроф из-за этого «чуда» ─ современного компьютера, который использовался неправильно и безграмотно. И это даст убедительный пример, как технический прогресс может сочетаться с интеллектуальным регрессом.



> > > > > > Вопрос на засыпку для математиков: Что такое приближенное число: реальное действительное число или интервал? Кто выскажется?

> > > > > Конечно приближенное число есть обычное число.

> > > > Вопрос действительно на засыпку.
> > > > В старой докомпьютерной математике приближенное число рассматривалось как интервал. И потому были специальные "Правила прриближенных вычислений", которые можно было найти, к примеру, в "Четырехзначных математических таблицах" Брадиса. Вот выдержка из них "При сложении и вычитании в результате оставляют
> > > столько цифр после запятой, сколько в числе с наименьшим числом их.
> > > > Например, по этим правилам сумма приближенные чисел 1.5+0.055555=1.6.
> > > > Но компьютер изменил всю математику и стал рассматривать приближенное число как простое число и потому в компьютерной математике 1.5+0.055555=1.55555. Таким образом, две математики дают различные результаты. Вот такое странное получилось положение. А все потому, что в одной математикке приближенное число - это число, а в другой - интервал. Я думаю, что тут что-то нелепое, в одном мире действуют две математики в зависимости от того, каким вычислительным инструментом мы пользуемся. Кто сможет что-то еще сказать по этому поводу?

> > > Ужасно интересная и важная дискуссия. Действительно, если в одной "математике" 1.5+0.05555=1.6, а в другой 1.55555, то сразу же встает вопрос, а какая из них бверная, а какая - ложная. Не могут же два ответа быть равно верными.

> > > И я вот о чем подумал. В ручной матенматике пр.чи. есть интервал. А комп. мат. приближенное число есть просто число. А ОТКУДА в компьютере появилось это число? А? ОТКУДА? Как правило, из результатов ИЗМЕРЕНИЯ. например, вводим колометры, килограммы, вольты и т.д. А потом их обрабатываеми. А сами вольты, килограммы, киломентры числа или интервалы, А? Конечно, интервалы, так как получены с помощью измерительного инструмента, которые дает именно интервал +-0.5В, +-20 г и т.д. Таким образом, в компьтер вводятся именно ИНТЕРВАЛЫ. Но тогда каким образом можно интервал числовой превратить в число? Известно, что нельзя числовой интервал превратить в число - это будет бред. Ведь интервал не только среднее, но и размах, и среднеквадратичное и т.д. Так что тут я не понимиаю. Ручную математику можно понять. А вот компьютерную я что-то перестал понимать.

> > То что же, компьютер врет? Так надо понимать. Бей компьютеры. Назад к промокашке.

> Компьютер вошел в нашу жизнь столь глубоко, что его уже не выковырнешь.
> И тем ни менее, до сих пор нет ясности по вопросу: а что собственно считает компьютер?
> Компьютер считает числа. Но какие числа?
> Понятно, что компьютер обрабатывает целые числа. В любом компьютере есть некий аппаратно-программный блок, который можно назвать процессором целых чисел. Именно процессор целых чисел осуществляет так называемую символьную (нечисловую) обработку.
> Но любой современный компьютер имеет еще так называемый флоат-процессор, процессор обработки чисел с плавающей запятой (ЧПЗ).
> Математика не знает чисел «с плавающей запятой». Но для того, чтобы мы могли использовать математику с достаточной уверенностью, нам необходимо отождествить эти ЧПЗ с классическими числами, для которых математика разработала правила действий.
> Кроме целых чисел математика знает следующие типы чисел, которые, как и целые, можно назвать фундаментальными числами математики. Это числа рациональные и числа действительные. Остальные типы чисел ─ комплексные, векторные и т.д. являются уже производными.
> Иногда утверждается, что ЧПЗ есть действительные числа.
> Это очень большая ошибка.
> Действительное число в любой позиционной системе счисления (а в компьютере используется именно позиционная система счисления) изображается бесконечным числом разрядов. А так как компьютер обладает ограниченной разрядной сеткой, то, следовательно, действительных чисел он не может обрабатывать.
> Но можно возразить, что, например, число 1.5 является действительным числом. На самом деле это не так. Истинно действительным числом было бы число 1.50000000000000… или сокращенно 1.5(0). (нуль в периоде). Число же 1.5 есть на самом деле рациональное число 15/10.
> Таким образом, мы приходим к выводу, что так называемое ЧПЗ есть дробно или смешанно-рациональные числа по основанию 2 и со знаменателем 2n (n ─ переменно).
> Итак, компьютер работает либо с целыми числами, либо с дробно-смешанными рациональными числами. Никаких действительных чисел он обрабатывать не может.
> Но тут сразу же возникает проблема. Дело в том, что подавляющая часть всех результатов всех математических вычислений дробно-рациональных чисел дает либо действительное число, либо бесконечное (периодическое) рациональное число. Дробно-рациональных чисел с нулем в периоде да еще с ограниченной разрядностью числителя бесконечно мало. А ведь обрабатывать нужно все функции и все выражения.
> Таким образом, компьютер решает на самом деле задачу:
> Найти дробное или смешанное рациональное число с заданным количеством разрядов (целой части плюс числителя), наиболее приближающееся к функции, как правило, действительному или бесконечному рациональному числу.
> Вот такова вычислительная задача, поставленная перед ним его конструкторами. К сожалению, они до сих пор не смогли ее четко сформулировать, отсюда и непонятное понятие «число с плавающей запятой», которых математика никогда не знала и не видела. На самом деле компьютер работает с рациональными числами, обрабатывает рациональные числа и выдает результат в виде рациональных чисел.
> Итак, мы, казалось бы, решили проблему компьютерной обработки и найти цель этой обработки ─ найти близкое к функции от рациональных чисел (как правило, действительному числу) рациональное число при определенных ресурсных ограничениях по разрядности. Это близкое к истинной функции рациональное число и называется в компьютеринге «приближенным числом». Другими словами, приближенное число в компьютеринге есть дробно или смешанно-рациональное число, в любом случае именно ЧИСЛО.

> Все это было бы очень хорошо, если бы такая задача кому бы то ни было была нужна. Разве что для чистых математиков, которые составляют ничтожную долю пользователей компьютеров.
> На самом деле перед вычислительной математикой стоит совершенно иная задача.
> А стоит она так. Мы снимаем результаты измерения с помощью некоторых приборов. Приборы имеют точность или погрешность. Поэтому результат изменения можно трактовать двумя путями. Первое ─ результат измерения есть МЕТРОЛОГИЧЕСКОЕ число, имеющее ДВЕ характеристики номинал, как правило, рациональное число, и метрологическую характеристику, определяющую точность, ошибку и т.д. Существует несколько способов описания метрологических характеристик, которые, в принципе, эквивалентны. Например, 125±2 В и т.д.
> Второй способ описания результата измерения ─ интервал. Результат измерения может быть описан как интервал 123-127 В.
> Отметим отличие метрологического интервала от математического. Интервал 123-127.5 и интервал 123-127 с точки зрения математики ─ различные интервалы. Но с точки зрения метрологии ─ это один и тот же интервал. В метрологии точность описания интервалов достаточно низкая, более того, используются ограниченный стандартизированный набор метрологических интервалов. Например, существует ограниченный стандартизированный ряд точностей измерительных приборов, например, 1%, 2%, 5%, 0.2% и т.д. Но нет приборов класса 4.5%, 5.68% и т.д.
> Таким образом, метрологический интервал вовсе не есть математический интервал, а есть некоторая более размытая математическая конструкция. Поэтому метрологический интервал будем называть ИНТЕРВАЛОНОМ. Именно непонимание разницы между математическим интервалом и метрологическим интервалоном и привели к краху всех попыток создать интервальное исчисление как рабочий вычислительный инструмент.
> Итак, входные данные для вычислений есть не числа, а интервалоны. И задача вычислительной деятельности дать на выходе тоже интервалон. Естественно, что реальное значение функции должна находиться внутри этого интервалона. Но сам интервалон не должен быть настолько широк, чтобы реальное значение могло выходить за пределы этого интервалона лишь в одном случае из 100 миллионов. Ибо это потребует больших затрат на создание того или иного устройства или производства. Ведь потребуется иметь все комплектующие и детали чрезвычайно высокой точности и потому дорогие.
> Но, с другой стороны, он не должен и быть слишком узкими. Если в одном случае из десяти реализация параметра выходит за его пределы, такое устройство становится мало надежным, аварийным и т.д.
> В любом случае, практика ставит перед компьютерной вычислительной технологией не исчисление рациональных чисел, а исчисление интервалонов.
> Вот почему мы говорим, что компьютерная технология пошла по принципиально неверному пути. И результаты этого неверного выбора вычислительной стратегии не заставляют себя ожидать.
> Действительно, в настоящее время в результате вычислений мы получаем какие-то рациональные числа. Но что делать с ними дальше? Что, к примеру, делать с рациональным числом 123454564474846474/10000000000000, которое выдал нам в результате расчета железной балки компьютер? Строго говоря, непонятно. Правда, пользователи как-то приспособились извлекать из этих рациональных чисел полезную информацию. Но где гарантия, что они ее извлекают верно? Знаем ли мы, сколько происходит аварий, ошибок, катастроф именно из-за этой полной оторванности компьютерной технологии от запросов практики? Увы, не знаем. Хотя есть отдельные указания на конкретные аварии и катастрофы, вину в которых удалось полностью возложить на существующую технологию компьютерных вычислений. См. напр. www.ima.umn.edu/~arnold/disasters/disasters.html, где приведен внушительный список аварий и катастроф с многомиллиардными убытками и человеческими жертвами, связанный именно к компьютерными вычислениями. Увы, в большинстве случаев мы не можем ничего сказать, так как у нас нет средств независимой проверки. Как знать, даже не был ли сам Чернобыль результатом компьютерной ошибки?
> Итак, перед компьютерной вычислительной технологией стоит неотложнейшая задача перехода от исчисления рациональных чисел к исчислению интервалонов.
> На первый взгляд, даже непонятно, как перейти к этой задаче.

> Но на самом деле вычислительная математика знает исчисление интервалонов и сотни лет пользовалась именно этой вычислительной технологией и чрезвычайно успешно. Это было в докомпьютерную эпоху, в эпоху ручного, неавтоматизированного счета.
> При этом для вычислений чаще всего использовались математические таблицы ─ логарифмов, тригонометрических функций и т.д. И стоит открыть такую таблицу, то мы сразу же поймем, что этих табличные данные есть именно интервалоны. Действительно, если в такой таблице имеется некоторое значение, например, 2.788, то его ошибка (интервал) составляет половину последнего значащего разряда, т.е. для данного числа ±0.0005. Но это отнюдь не строгий математический интервал, например, число 2.7885111 входит в этот интервалон, так как при округлении до четырех знаков получим то же самое значение. Эти интервалоны назывались также приближенными числами. В результате в современной математике под приближенными числами зачастую понимаются два совершенно различных понятия. В компьютерной технике ─ это рациональное число, близкое к истинному значению некоторого действительного числа, в докомпьютерной математике ─ это интервалон, включающий с себя некоторое действительное число.
> И были разработаны правила исчисления интервалонов, которые излагались в системе так называемых «Правил приближенных вычислений». Их можно посмотреть в справочнике В.М.Брадиса «Четырехзначные математические таблицы», которые издавались уже в советское время более пятидесяти раз. Издаются ли они сейчас, я не знаю. По крайней мере, самих «Правил приближенных вычислений» в интернете даже не удалось найти.
> Вот лишь выдержка из этих «Правил», нынешним пользователям компьютеров неизвестных:
> «При сложении и вычитании приближенных чисел (интервалонов) в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближенном данном с наименьшим числом десятичных знаков после знака дробности».
> Например, если дать задачу компьютеру 1.5 + 0.000001, то он выдаст в рамках исчисления рациональных чисел ответ 1.5000001. Но эта же задача в интервалонном исчислении на основании «Правил приближенных вычислений» имеет совершенно иной ответ ─ 1.5. Мы видим, две вычислительные технологии дают совершенно различные результаты.
> Но если разница в таком простейшем случае, то можно представить, какие различия в вычислениях получатся при большом их объеме.
> Как известно, в течение столетий вручную с использованием именно интервалонного исчисления вычислялись расположения звезд и комет, строились водопроводы и мосты, и все работало, и кометы прибывали во время. Так что оно показало свою высочайшую эффективность.
> Итак, практика не только требует создания компьютерной интервалонной вычислительной технологии, но и показывает пути ее создания.
> Естественно, механически перенести существующее интервалонное исчисление («Правила приближенных вычислений») в компьютер невозможно. Ведь классическое интервалонное исчисление было в десятичной системе счисления, а компьютер работает в двоичной. Более того, само классическое интервалонное исчисление было разработано лишь частично, в основном по отношению к четырем арифметическим операциям ─ сложению, вычитанию, умножению и делению. На иные, даже элементарные функции, например, на тригонометрические, логарифмические и т.п. его не удалось распространить.
> Таким образом, стоит задача полной разработки интервалонного исчисления для двоичной системы представления чисел.
> Есть еще одна причина, почему разработка интервалонного исчисления столь неотложна. Дело в том, что все больше и больше используется автоматический ввод данных в компьютер с помощью дигитальных преобразователей. Ясно, что эти входные бинарные данные уже являются бинарными интервалонами, имеющими точность половину последнего двоичного разряда. И вот эти уже готовые данные, несущие в себе и свой номинал, и свою точность, современная компьютерная технология превращает в рациональные числа, сдвигая их мантиссу влево, тем самым полностью теряя метрологические характеристики. А после обработки в технологии рационального числа прикладываются гигантские усилия для определения точности и значимости результатов вычислений. Разве нелепо, сначала уничтожить уже имеющуюся информацию, а затем пытаться с гигантскими усилиями ее восстановить.
> К решению задачи создания компьютерной интервалонной вычислительной технологии наиболее близко, на наш взгляд, подошел В.Юровицкий в своей «Аппроксиметике» (см. www.yur.ru/science/computer).
> То, что будущее за интервалонной вычислительной технологией ─ без сомнения. А рациональная компьютерная обработка ЧПЗ войдет в анналы недоразумений. И мы еще ужаснемся, как много было сделано ошибок, как много было аварий и катастроф из-за этого «чуда» ─ современного компьютера, который использовался неправильно и безграмотно. И это даст убедительный пример, как технический прогресс может сочетаться с интеллектуальным регрессом.
>


>

Такая интересная тема, а народ набрал в род воды. Что, физтехи, слабо думать дальше интеграла от логарифма?


Замечание за излишне цитирование.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100