доказательство суммы ряда обратных квадратов

Сообщение №5632 от Gour 19 ноября 2002 г. 15:04
Тема: доказательство суммы ряда обратных квадратов

1+1/4+1/9+1/16+1/25+...=?
помогитенайти доказательство???:):))))


Отклики на это сообщение:

> 1+1/4+1/9+1/16+1/25+...=?
> помогитенайти доказательство???:):))))

Сумма заданного ряда - это значение дзета-функции при z=2
Поищите по ключевому слову дзета-функция Римана


можно разложить в ряд Фурье:
y=x(pi-x) 0<=x<=pi чётно на [-pi 0]

ряд

y=pi^2/6-(cos(2x)/1^2+cos(4x)/2^2+...) далее берём значения ряда в 0, оно должно равняться значению функции.


Не совсем уловил в чем бред. Всё основано на теории рядов Фурье.


> 1+1/4+1/9+1/16+1/25+...=?
> помогитенайти доказательство???:):))))

Товарищи!
Я не совсем уловилб что означает знак ^ В интернете?
Andrew The Great.


y=Σn=1..∞n-2


> можно разложить в ряд Фурье:
> y=x(pi-x) 0<=x<=pi чётно на [-pi 0]

> ряд

> y=pi^2/6-(cos(2x)/1^2+cos(4x)/2^2+...) далее берём значения ряда в 0, оно должно равняться значению функции.
Да, я знаю такой способ.
А вот можно лди по-иному?


> 1+1/4+1/9+1/16+1/25+...=?
> помогитенайти доказательство???:):))))


Вот, нашел в одной книжке: обозначим х=1/2+1/4+1/9+1/16+1/25...
умножим на 2, имеем: 2х=1+1/2+1/4+1/9+1/16+1/25... то-есть после 1 справа тот же ряд, значит: 2х=1+х, откуда х=1. Значит, сумма ряда равна 2.


> > 1+1/4+1/9+1/16+1/25+...=?
> > помогитенайти доказательство???:):))))

>
> Вот, нашел в одной книжке: обозначим х=1/2+1/4+1/9+1/16+1/25...
> умножим на 2, имеем: 2х=1+1/2+1/4+1/9+1/16+1/25... то-есть после 1 справа тот же ряд, значит: 2х=1+х, откуда х=1. Значит, сумма ряда равна 2.

Вы что написали, извините.

2x=1=1/2+2/9+1/8+ , а не то что написано у вас


> 1+1/4+1/9+1/16+1/25+...=?
> помогитенайти доказательство???:):))))

Есть тут одна идея, но я ее до конца не досчитал, времени нет.
В общем рассмотрим функцию на интервале (0,1)
f(x)=x+x^2/4+x^3/9+...+x^n/n^2+...
Поскольку ряд этот сходится достаточно хорошо, можно ее дифференцировать:
f'(x)=1+x/2+x^2/3+...+x^(n-1)/n+...
f''(x)=1/2+2x/3+3x^2/4...+(n-1)x^(n-2)/n+...=
1/2+(x-x/3)+(x^2-x^2/4)+...=
1/2+x/(1-x)-x/3-x^2/4-x^3/5-...=
1+x/(1-x)-(f'(x)-1)/x
Получили уравнение:
f''=1+x/(1-x)-(f'-1)/x
c краевыми значениями:
f(0)=0
f'(0)=1

Чтобы решить исходную задачу нам надо вычислить f(1).


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100