Моменты -> функция плотности вероятности

Сообщение №555 от Алексей Сказик 05 сентября 2001 г. 22:42
Тема: Моменты -> функция плотности вероятности

Помогите, плз!
1. Где можно взглянуть на формулы _сабж_ для центральных/начальных моментов произвольных порядков, вычисленных по конечной выборке? Полагаю, они пропорциональны интегралу от соответствующих степеней автокорреляционной функции.
2. Можно ли считать, что оценки моментов (они же сами случайные величины) распределены по одному закону?

3.Какую литературу посоветует All по проблеме восстановления плотностей вероятностей по имеющимся экспериментальным выборкам (по расчитанным моментам)? (Вроде нужно использовать преобразование Лапласа)



Отклики на это сообщение:

> Помогите, плз!
> 1. Где можно взглянуть на формулы _сабж_ для центральных/начальных моментов произвольных порядков, вычисленных по конечной выборке? Полагаю, они пропорциональны интегралу от соответствующих степеней автокорреляционной функции.
> 2. Можно ли считать, что оценки моментов (они же сами случайные величины) распределены по одному закону?

> 3.Какую литературу посоветует All по проблеме восстановления плотностей вероятностей по имеющимся экспериментальным выборкам (по расчитанным моментам)? (Вроде нужно использовать преобразование Лапласа)


по 3. см. Ахиезер "Лекции по интегральным преобразованиям"
и где-то у Цыпкина Я.З. встречается, но поиск -
немеряный

Сочувствую потому, что если бы мне пришлось искать ответы
на такие вопросы, то я бы лучше отдал себя на съедение
тамбовскому волку :-)


> Помогите, плз!
> 1. Где можно взглянуть на формулы _сабж_ для центральных/начальных моментов произвольных порядков, вычисленных по конечной выборке? Полагаю, они пропорциональны интегралу от соответствующих степеней автокорреляционной функции.
> 2. Можно ли считать, что оценки моментов (они же сами случайные величины) распределены по одному закону?

> 3.Какую литературу посоветует All по проблеме восстановления плотностей вероятностей по имеющимся экспериментальным выборкам (по расчитанным моментам)? (Вроде нужно использовать преобразование Лапласа)

Первое и ломое, что приходит в голову - это следующее.

В случае дискретной случайной величины, принимающей n значений, необходимо 2n-1 моментов. Записываешь систему

sum(p_j*x^i_j) = m_i для всех i=1..2N-1 и решаешь численно.

От условия sum(p_j)=1 избавляешься сферичесокй параметризацией, поскольку данное условие есть всего лишь теорема Пифагора.

Случай непрерывной величины можно свести к приведенному выше, если предположить, что функция плотности - ступеньчатая и финитная. Тогда выбираешь n+1 точек с номерами j=1..n и вновь выписываешь систему

sum(f_j*(x_j^(i+1) - x_(j-1)^(i+1))/(i+1) = m_i

однако моментов уже нужно 2n.

Сферическая параметризация - так же как раньше, получаешь вместо f_j произведение sin и cos, аргументы которых ограничиваешь при решении так, чтобы произведение было положительным.

Щас уже поздно - мож завтра нарою более строгое решение. Что про это читать в России - не знаю, сорри.



> Щас уже поздно - мож завтра нарою более строгое решение. Что про это читать в России - не знаю, сорри.

А строгое решение в непрерывном случае - обратное преобразование Фурье характеристической функции. При практической реализации пользуются алгоритмами быстрого преобразования Фурье.

В принципе, то что я написал про приближение непрерывного случая вчера, это и есть кондовая имплементаыия обратного преобразования.


Моменты это коэффициенты разложения в ряд Тейлора характеристической функции. Если известны моменты, то легко вычисляется х.ф. Если известна х.ф. , то несложно вычислить распределение.Все это можно найти в любом справочнике по теории вероятностей.


> Моменты это коэффициенты разложения в ряд Тейлора характеристической функции. Если известны моменты, то легко вычисляется х.ф. Если известна х.ф. , то несложно вычислить распределение.Все это можно найти в любом справочнике по теории вероятностей.

Справочники отделаются, как правило, определением предела.
А в вопросе - выборка!



> Справочники отделаются, как правило, определением предела.
> А в вопросе - выборка!

Задававшему вопрос это, кажется, уже безразлично.


>
> > Справочники отделаются, как правило, определением предела.
> > А в вопросе - выборка!

> Задававшему вопрос это, кажется, уже безразлично.
Ошибаетесь! (В задержке виновен. До инета дорваться не мог. Была только почта. Пришло несколько писем. Но ответить на них не мог - робот форума съедает обратные адреса. Впрочем, это пустое. Теперь, вроде, устаканилось.)
Действительно, интересует именно определение плотности вероятности по _выборке_. -andre dajd- предложил вариант. За эти дни думалось следущее. Можно связаться с моментами - тогда каждый последующий момент будет определяться с меньшей точностью, и , вообще говоря, будет случайной величиной, распределение к-й выводить долго и неохота.
Но ведь остается автокорреляционная функция! Оценка для каждого t распределена примерно по хи-квадрат (правда точность также уменьшается с увеличением t).
Как, хороша такая идея?


> >
> > > Справочники отделаются, как правило, определением предела.
> > > А в вопросе - выборка!

> > Задававшему вопрос это, кажется, уже безразлично.
> Ошибаетесь! (В задержке виновен. До инета дорваться не мог. Была только почта. Пришло несколько писем. Но ответить на них не мог - робот форума съедает обратные адреса. Впрочем, это пустое. Теперь, вроде, устаканилось.)
> Действительно, интересует именно определение плотности вероятности по _выборке_. -andre dajd- предложил вариант. За эти дни думалось следущее. Можно связаться с моментами - тогда каждый последующий момент будет определяться с меньшей точностью, и , вообще говоря, будет случайной величиной, распределение к-й выводить долго и неохота.
> Но ведь остается автокорреляционная функция! Оценка для каждого t распределена примерно по хи-квадрат (правда точность также уменьшается с увеличением t).

Примерно - очень "примерное" слово. Во-первых "ассимптотически", во-вторых, в предположении белого шума при измерении. Последнее ни откуда не следует.

Поэтому, улучшение точности только кажется. На самом деле, сколько информации было в выборке, столько и останется.

То что я выписал - не мое изобретение (в принципе). Именно так и поступают на практике, если выборка не очень велика. Если велика - через преобразования Фурье.

Я только добавил сферическую параметризацию, коия есть весьма стандартный трюк в оценивании распределений вероятности.


> > >
> > > > Справочники отделаются, как правило, определением предела.
> > > > А в вопросе - выборка!

> > Но ведь остается автокорреляционная функция! Оценка для каждого t распределена примерно по хи-квадрат (правда точность также уменьшается с увеличением t).
> Примерно - очень "примерное" слово. Во-первых "ассимптотически", во-вторых, в предположении белого шума при измерении. Последнее ни откуда не следует.
> Поэтому, улучшение точности только кажется. На самом деле, сколько информации было в выборке, столько и останется.
Я о АКФ думал не в плане увеличения точности. Естественно, из того, что есть , больше не вытянешь. В способе через АКФ привлекателен единый закон распределения ошибок для каждого t, тогда как в случае ч/з моменты - для каждого порядка своя функция. Впрочем, я буду пробовать и ч/з моменты.

> То что я выписал - не мое изобретение (в принципе). Именно так и поступают на практике, если выборка не очень велика. Если велика - через преобразования Фурье.
Можно какую-нибудь ссылку? (На бумаге лучше воспринимается, да и цитировать источник нужно.)


> > > >
> > > > > Справочники отделаются, как правило, определением предела.
> > > > > А в вопросе - выборка!

> > > Но ведь остается автокорреляционная функция! Оценка для каждого t распределена примерно по хи-квадрат (правда точность также уменьшается с увеличением t).
> > Примерно - очень "примерное" слово. Во-первых "ассимптотически", во-вторых, в предположении белого шума при измерении. Последнее ни откуда не следует.
> > ... сколько информации было, столько и останется...

> > То что я выписал - не мое изобретение (в принципе). Именно так и поступают на практике, если выборка не очень велика. Если велика - через преобразования Фурье.
> Можно какую-нибудь ссылку? (На бумаге лучше воспринимается, да и цитировать источник нужно.)

АКФ? белый шум?! :-Р см. Марпл, Стенли Лоренс младший, "Цифровой спектральный анализ..."
См. и увидите сохранение меры :-) Как бы не пришлось
попасть в обобщённый гармонический анализ.

Ради чего нужно распределение?


> > > > >
> > > > > > Справочники отделаются, как правило, определением предела.
> > > > > > А в вопросе - выборка!

> > > > Но ведь остается автокорреляционная функция! Оценка для каждого t распределена примерно по хи-квадрат (правда точность также уменьшается с увеличением t).
> > > Примерно - очень "примерное" слово. Во-первых "ассимптотически", во-вторых, в предположении белого шума при измерении. Последнее ни откуда не следует.
> > > ... сколько информации было, столько и останется...

> > > То что я выписал - не мое изобретение (в принципе). Именно так и поступают на практике, если выборка не очень велика. Если велика - через преобразования Фурье.
> > Можно какую-нибудь ссылку? (На бумаге лучше воспринимается, да и цитировать источник нужно.)

> АКФ? белый шум?! :-Р см. Марпл, Стенли Лоренс младший, "Цифровой спектральный анализ..."
Смотрел, хорошая книжка.
> См. и увидите сохранение меры :-) Как бы не пришлось
> попасть в обобщённый гармонический анализ.
Да мне, вроде, гармоники определять не надо.

Нашёл ссылки по опеределению плотности вероятности (+ дисперсий сделанных оценок) у Пирсола и у одного отечественного автора. Они пляшут не от моментов или АКФ, а непосредственно от определения интегральной функции распределения накопленной вероятности.
Только теперь непонятно: выборка конечна, данные коррелируют - по обеим ссылкам умалчивается о воздействии корреляции на точность оценки распределения. Неужели это безразлично?

> Ради чего нужно распределение?
Есть измерения, проводившиеся в течении нескольких дней. Объект измерений за это время изменяется. Вид функций (и определяющие параметры) этих изменений известны. Одновременно с глобальными процессами имеет место некий стохастический процесс (функцию распределения которого ищу). Стохастический процесс, без сомнения, зависит от глобального, но длина выборок такова, что глобальные параметры можно считать неизменными.
Требуется определить плотность распределения, соответствующую стохастическому процессу (и зависящую от времени суток) для целей прогнозирования.


> > > > > > > Справочники отделаются, как правило, определением предела.
> > > > > > > А в вопросе - выборка!

> > Как бы не пришлось попасть в обобщённый гармонический анализ.
> Да мне, вроде, гармоники определять не надо.

Обобщённый гармонический анализ служит для описания "всплесков" ("холмиков" :-)и не вычленяет гармоники, а "отказывается" от порядка их суммирования, т.е. ведет речь о совокупности гармоник (Фурье, Винер)

> Нашёл ссылки по опеределению плотности вероятности (+ дисперсий сделанных оценок) у Пирсола и у одного отечественного автора. Они пляшут не от моментов или АКФ, а непосредственно от определения интегральной функции распределения накопленной вероятности.

В пределе вероятность может и не существовать.

> Только теперь непонятно: выборка конечна, данные коррелируют - по обеим ссылкам умалчивается о воздействии корреляции на точность оценки распределения. Неужели это безразлично?

А нужно ли такую зависимость искать?

> > Ради чего нужно распределение?
> Есть измерения, проводившиеся в течении нескольких дней. Объект измерений за это время изменяется. Вид функций (и определяющие параметры) этих изменений известны. Одновременно с глобальными процессами имеет место некий стохастический процесс (функцию распределения которого ищу). Стохастический процесс, без сомнения, зависит от глобального, но длина выборок такова, что глобальные параметры можно считать неизменными.


Гораздо важнее производные (!) плотности распределения.
А функцию распределения можно "заменить" эквивалентной
для известного горизонта прогноза и связанных задач. У
Колмогора есть оценка доверительного интервала для ф.р.,
но опять же, через предел. Придётся углубиться в неравенство Крамера-Рао (см.Льюнг)

> Требуется определить плотность распределения, соответствующую стохастическому процессу (и зависящую от времени суток) для целей прогнозирования.

"... зависящую от времени суток ... " - не просто это.
Придётся разобраться, что такое в практике "скачок".
(см. Льюнг /в экономике/: метод "Манхэттен").
Траектории - за Винером...

И меня очень интересует подобная тема. Давно хочу составить Инет-сайт (а потом и домен:-) и выложить подборку материалов. Присоединяйтесь.


>
> Гораздо важнее производные (!) плотности распределения.
> А функцию распределения можно "заменить" эквивалентной
> для известного горизонта прогноза и связанных задач. У
> Колмогора есть оценка доверительного интервала для ф.р.,
> но опять же, через предел. Придётся углубиться в неравенство Крамера-Рао (см.Льюнг)

> > Требуется определить плотность распределения, соответствующую стохастическому процессу (и зависящую от времени суток) для целей прогнозирования.

> "... зависящую от времени суток ... " - не просто это.
> Придётся разобраться, что такое в практике "скачок".
> (см. Льюнг /в экономике/: метод "Манхэттен").
> Траектории - за Винером...

В моей практике делалось следующее. В непрерывный процесс - напр. диффузию - добавляется пуассоновская трансляционная диффузия (кажется, так называется по-русски jump diffusion), с некими параметрами скачка. После этого процесс интегрируется и калибруется, при этом одновременно вычисляются параметры как "бесскачковой" диффузии, так и скачков.

Типичный пример:

dX(t) = m_s*dt + sigma_s*dW

W - стандартный винеровский процесс (адаптированное стандартное броуновское движение)

Добавим в него jump diffusion:

dX(t) = m_s*dt + sigma_s*dW(t) + J(t)*dN(t),

где J - размер скачка, J ~ N(m_j, sigma_j^2)

N - пуассоновский процесс с интенсивностью lambda = const.

Если эту штуку проинтегрировать то получается хорошо известная функция распределения с плотностью, завиясящей от всех пяти параметров:

f=f(m_s, sigma_s, m_j, sigma_j, lambda)

Ее можно откалибровать численно через глобальную максимизацию правдоподобия, по пути получив доверительные интервалы для всех параметров.


> > Нашёл ссылки по опеределению плотности вероятности (+ дисперсий сделанных оценок) у Пирсола и у одного отечественного автора. Они пляшут не от моментов или АКФ, а непосредственно от определения интегральной функции распределения накопленной вероятности.
> В пределе вероятность может и не существовать.
:) Здесь другая проблема - выборка конечна. А в книгах только теоретизирование, а не реальные алгоритмы. Нашел ссылку на Алгоритмы и программы восстановления зависимостей. Под ред. В.Н. Вапника. М., Наука, Главная редакция физико-математической литературы. 1984. 816 с.
Кажется то, что надо, но в библиотеке (центральной публичной славного города имени краснознамённого папы Ростове-на-Дону) сказали, что она утеряна. :(

> > Только теперь непонятно: выборка конечна, данные коррелируют - по обеим ссылкам умалчивается о воздействии корреляции на точность оценки распределения. Неужели это безразлично?
> А нужно ли такую зависимость искать?
А если она сильно влияет?

> > > Ради чего нужно распределение?
> > Есть измерения, проводившиеся в течении нескольких дней. Объект измерений за это время изменяется. Вид функций (и определяющие параметры) этих изменений известны. Одновременно с глобальными процессами имеет место некий стохастический процесс (функцию распределения которого ищу). Стохастический процесс, без сомнения, зависит от глобального, но длина выборок такова, что глобальные параметры можно считать неизменными.

> Гораздо важнее производные (!) плотности распределения.
> А функцию распределения можно "заменить" эквивалентной
> для известного горизонта прогноза и связанных задач. У
> Колмогора есть оценка доверительного интервала для ф.р.,
> но опять же, через предел. Придётся углубиться в неравенство Крамера-Рао (см.Льюнг)

> > Требуется определить плотность распределения, соответствующую стохастическому процессу (и зависящую от времени суток) для целей прогнозирования.

> "... зависящую от времени суток ... " - не просто это.
> Придётся разобраться, что такое в практике "скачок".
> (см. Льюнг /в экономике/: метод "Манхэттен").
ОК. Посмотрим. :) Задача всё более и более разрастается.

> И меня очень интересует подобная тема. Давно хочу составить Инет-сайт (а потом и домен:-) и выложить подборку материалов. Присоединяйтесь.
:) Я совсем не специалист по статистике.
А адрес какой?


> > > Нашёл ссылки по опеределению плотности вероятности (+ дисперсий сделанных оценок) у Пирсола и у одного отечественного автора. Они пляшут не от моментов или АКФ, а непосредственно от определения интегральной функции распределения накопленной вероятности.
> > В пределе вероятность может и не существовать.
> :) Здесь другая проблема - выборка конечна. А в книгах только теоретизирование, а не реальные алгоритмы. Нашел ссылку на Алгоритмы и программы восстановления зависимостей. Под ред. В.Н. Вапника. М., Наука, Главная редакция физико-математической литературы. 1984. 816 с.
> Кажется то, что надо, но в библиотеке (центральной публичной славного города имени краснознамённого папы Ростове-на-Дону) сказали, что она утеряна. :(

В славном Ростове-на-Дону имеется университет (? если не ошибаюсь) и в нём неплохая школа "нейроподобных алгоритмов" :-)

> > > Только теперь непонятно: выборка конечна, данные коррелируют - по обеим ссылкам умалчивается о воздействии корреляции на точность оценки распределения. Неужели это безразлично?
> > А нужно ли такую зависимость искать?
> А если она сильно влияет?
> > > > Ради чего нужно распределение?
> > > Есть измерения, проводившиеся в течении нескольких дней. Объект измерений за это время изменяется. Вид функций (и определяющие параметры) этих изменений известны. Одновременно с глобальными процессами имеет место некий стохастический процесс (функцию распределения которого ищу). Стохастический процесс, без сомнения, зависит от глобального, но длина выборок такова, что глобальные параметры можно считать неизменными.
> > Гораздо важнее производные (!) плотности распределения.
> > А функцию распределения можно "заменить" эквивалентной
> > для известного горизонта прогноза и связанных задач. У
> > Колмогора есть оценка доверительного интервала для ф.р.,
> > но опять же, через предел. Придётся углубиться в неравенство Крамера-Рао (см.Льюнг)
> > > Требуется определить плотность распределения, соответствующую стохастическому процессу (и зависящую от времени суток) для целей прогнозирования.

> > "... зависящую от времени суток ... " - не просто это.
> > Придётся разобраться, что такое в практике "скачок".
> > (см. Льюнг /в экономике/: метод "Манхэттен").
> ОК. Посмотрим. :) Задача всё более и более разрастается.

Извините, моя опечатка: (см. ЛЬЮИС /в экономике/...).

Я понял. Задачу "разрастать" не нужно :-) Зайдите на SUBSCRIBE.RU и подпишитесь на подходящие рассылки. А дальше - по статьям и ссылкам. Это очень хорошо: видеть задачу в целом.

> > И меня очень интересует подобная тема. Давно хочу составить Инет-сайт (а потом и домен:-) и выложить подборку материалов. Присоединяйтесь.
> :) Я совсем не специалист по статистике.
> А адрес какой?

WWW-адресочка пока нет. Надеюсь за месяц собрать материал. Если захотите написать мне, пишите на форум: "for Viktor" (пока моё имя уникально :-). Я думаю после сезона моды на CRM и ERP, а также всплеска 11.09.01 кризиса в этих проблемах останутся те, кто серьёзно подходит к таким вопросам.


> > Траектории - за Винером...

> В моей практике делалось следующее. В непрерывный процесс - напр. диффузию - добавляется пуассоновская трансляционная диффузия (кажется, так называется по-русски jump diffusion), с некими параметрами скачка. После этого процесс интегрируется и калибруется, при этом одновременно вычисляются параметры как "бесскачковой" диффузии, так и скачков.

> Типичный пример:

> dX(t) = m_s*dt + sigma_s*dW

> W - стандартный винеровский процесс (адаптированное стандартное броуновское движение)

> Добавим в него jump diffusion:

> dX(t) = m_s*dt + sigma_s*dW(t) + J(t)*dN(t),

> где J - размер скачка, J ~ N(m_j, sigma_j^2)

> N - пуассоновский процесс с интенсивностью lambda = const.

> Если эту штуку проинтегрировать то получается хорошо известная функция распределения с плотностью, завиясящей от всех пяти параметров:

> f=f(m_s, sigma_s, m_j, sigma_j, lambda)

> Ее можно откалибровать численно через глобальную максимизацию правдоподобия, по пути получив доверительные интервалы для всех параметров.

KISS = keep it simple, stupid. Нужно проще.
Например, параметры эквивалентной АКФ найти методом наименьших квадратов. И для социально-экономического
прогноза хватило бы вычисления непосредственно по наблюдениям параметров модели и будущих значений процесса адаптивными алгоритмами. Т.е. достаточно :-)общепризнанной процедурой, назвав её, для удобоваримости, методом наилучшего эксперта.



> KISS = keep it simple, stupid. Нужно проще.

Нужно не проще, а с пониманием дела. (Типа, сам дурак :)

> Например, параметры эквивалентной АКФ найти методом наименьших квадратов.

АКФ полностью адекватна как мера ассоциативности данных только для условно гауссового процесса.

И для социально-экономического
> прогноза хватило бы вычисления непосредственно по наблюдениям параметров модели и будущих значений процесса адаптивными алгоритмами.

Речь шла о прогнозе функции распределения, а не о прогнозе значения. Разные вещи. Зачем нужна вся функция - другой вопрос. Напримаер интегрировать хвосты плотности, при оценке рисков. Причем в данном случае, речь уже может идти о многомерной функции распределения.

Можно моделировать интересующие числа - вероятность хвоста в предыдущем примере - непосредственно. Некоторые товарищи так и поступают. Проблема в том, что это не всегда согласуется с другими требованиями задачи. Например, посчитав риск, нужно также предложить метод хеджирования данного риска. А это уже требует знания распределений факторов, а не только самой рисковой величины.

>Т.е. достаточно :-)общепризнанной процедурой, назвав её, для удобоваримости, методом наилучшего эксперта.

Как ни назови, но наименьшие квадраты - это максимизация правдоподобия, при дополнительных условиях на шум.


>
> > KISS = keep it simple, stupid. Нужно проще.

> Нужно не проще, а с пониманием дела. (Типа, сам дурак :)

> > Например, параметры эквивалентной АКФ найти методом наименьших квадратов.
> АКФ полностью адекватна как мера ассоциативности данных только для условно гауссового процесса.
> > И для социально-экономического прогноза хватило бы вычисления непосредственно по наблюдениям параметров модели и будущих значений процесса адаптивными алгоритмами.
> Речь шла о прогнозе функции распределения, а не о прогнозе значения. Разные вещи. Зачем нужна вся функция - другой вопрос. Напримаер интегрировать хвосты плотности, при оценке рисков. Причем в данном случае, речь уже может идти о многомерной функции распределения.

Риск - это возможные потери = ошибки прогноза. Прогноз в первом приближении :( формализуется совпадением терминологии (фильтрацией, экстраполяцией, интерполяцией) с предсказуемым. А дальше всё действительно зависит от хвоста. :-) Например, Римский клуб уже давал прогнозы...

> Можно моделировать интересующие числа - вероятность хвоста в предыдущем примере - непосредственно. Некоторые товарищи так и поступают. Проблема в том, что это не всегда согласуется с другими требованиями задачи. Например, посчитав риск, нужно также предложить метод хеджирования данного риска. А это уже требует знания распределений факторов, а не только самой рисковой величины.

О-о-о! И действительно, не самоцель. Жизнеспособность (робастность) в случае опасности (=возможных потерь) ?

> >Т.е. достаточно :-)общепризнанной процедурой, назвав её, для удобоваримости, методом наилучшего эксперта.
> Как ни назови, но наименьшие квадраты - это максимизация правдоподобия, при дополнительных условиях на шум.

Не люблю я глотать верёвки...
Передать мысль, конечно, невозможно. Но вызвать образ можно даже с помощью языка. Если иметь в виду множество моделей, то прямые попадания в процесс возможны, кто отрицает?! Не зря же весь мир в игре "угадайка сс юр/призом". Потом уже таких пророков, кто чаще угадывает, можно назвать "экспертами с богатым опытом" и т.д. И процедура массовых гаданий внешне проста!

Ой, не могу удержаться, сорри!
"АКФ полностью адекватна как мера ассоциативности данных только для условно гауссового процесса."
В АКФ содержится правдоподобная модель, но АКФ-то и изучают (кто может) и пренебрегают, как нечто малое в разложении Тейлора y=e+cx+... Вот и я о том же... С пониманием дополнительных ограничений... :-) Где ж их, родимых-аналитических, в коротких выборках?! "...при дополнительных условиях на шум..." :-(. Ну ладно бы ещё, априорных. Да и разложения бывают другие.

Не хотел "кусаться", сорри. Тема бесконечна, как и сами асимптотические методы :-). Мне кажется, что из моей практики :-) следует не увлечение предсказанным числом, а важность анализа ошибок (МНК :-), ну и правдоподобие, как само собой разумеется :-). Другими словами.

Последним доводом (на сегодня :-) и казалось бы противореча себе) хочу заметить, что не постулируя в модели производную невозможно отождествление. Вычисление её, производной, "упрётся" в ошибку метода (предел/величину малости), ошибку измерений (понятно: конечная разрядность, задержки) и вычислительную ошибку (поделить два числа близких к 0 :-).

А нужна эквивалентность, но попроще и поточнее... :-)))
Ну и "всё это мелочи по сравнению с бесконечностью:-)


> > > > >
> > > > > > Справочники отделаются, как правило, определением предела.
> > > > > > А в вопросе - выборка!

> > > > Но ведь остается автокорреляционная функция! Оценка для каждого t распределена примерно по хи-квадрат (правда точность также уменьшается с увеличением t).
> > > Примерно - очень "примерное" слово. Во-первых "ассимптотически", во-вторых, в предположении белого шума при измерении. Последнее ни откуда не следует.
> > > ... сколько информации было, столько и останется...

> > > То что я выписал - не мое изобретение (в принципе). Именно так и поступают на практике, если выборка не очень велика. Если велика - через преобразования Фурье.
> > Можно какую-нибудь ссылку? (На бумаге лучше воспринимается, да и цитировать источник нужно.)

> АКФ? белый шум?! :-Р см. Марпл, Стенли Лоренс младший, "Цифровой спектральный анализ..."
> См. и увидите сохранение меры :-) Как бы не пришлось
> попасть в обобщённый гармонический анализ.

> Ради чего нужно распределение?

///// Где можно скачать Марпла "Спектральный анализ"


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100