Помогите доказать теорему Юнга !!!

Сообщение №5421 от Morok 10 ноября 2002 г. 14:22
Тема: Помогите доказать теорему Юнга !!!

теорема Юнга
Доказать, что если ф-ия f(x,y), где (x,y) принадлежат
E, непрерывна по каждой переменной x и y в отдельности
и монотонна по одной из них, то эта ф-ия непрерывна по
совокупности переменных в области Е.


Отклики на это сообщение:

В имеющихся в наличии книгах не нашел, поэтому обнаружевшего глюк просьба сообщить.
Написано много но физ смысл прост, в случае разрыва монотонность вступает в
противоречие с непрерывностью.

Если бы не было монотонность то пример непрерывной по каждой переменной, но
разрывной по совокупности строился бы примерно так:

на осях f=0, а, скажем вдоль полупрямой x=y, x>0 идет холм высотой 1, который влезает в первый квадрант и, естественно сужается по мере подхода к (0,0), тогда по этому направлению в сколь угодно малой окрестности (0,0) будут точки, в которых f>=e0=1, а вдоль осей 0. Так вот для того, что бы функция была непрерывной необходимо "успевать скатится с холма" до 0 (на осях) - здесь и сидит противоречие, если добавит монотонность.

Доказать, что если ф-ия f(x,y), где (x,y) принадлежат
E, непрерывна по каждой переменной x и y в отдельности
и монотонна по одной из них, то эта ф-ия непрерывна по
совокупности переменных в области Е.


Доказательство от противного.


1. Предположим, что даже выполнение условий теоремы не помогло :) и функция имеет разрыв как минимум в одной точке P0=(x0,y0) в области E. Тогда сущ. последовательность точек Pk=(xk,yk) : P0 является её предельной точкой и
| f(xk,yk)-f(x0,y0) |>=e0>0, т.е в любой окрестности P0 сущ. одна точка : функция в ней отличается от своего значения в точке P0 больше чем на e0.

2. Выбросим из последовательности некоторые точки:

выберем один из четырех квадрантов ( без ограничения общности x0=y0=0 и квадрант x>0,y>0 ), в котором лежит подпоследовательность с предельной точкой P0 ( вообще говоря могут быть и другие предельные точки, а Pk - как некоторое облако вокруг P0 ), получим подпоследовательность Rk.

т.к. функция непрерывна вдоль осей X,Y, то начиная с некоторого N1 ни одна из точкек Pk не будет лежать на оси ( обрежем от k=1 до k=N1 ).

проделаем следующую процедуру над Pk:
- возмём первую точку она лежит в некоторой e окрестности - Q1.
- по определению в e/2 окрестности тоже есть точка ( их бесконечно много ).
- возьмем ёё за Q2.
- и так далее уменьшая окрестность в два раза по сравнению с предыдущим шагом.

Смысл: точки Rk хоть и уходят к P0, но могут скакать, а мы получили последовательность с монотонно убывающим ( с ростом k) расстоянием до P0 и без точек на осях да ещё и лежащую в 1-м квадранте.

Из непрерывности следует что на оси X (x>0) есть точка (x1,y0) :
| f(x,y0)-f(x0,y0) |<=e0/2 для любого x из (x1,x0) (*****)

Без ограничения общности пусть монотонность будет по оси X, причем она может в
зависимости от y меняться с возрастающей на убывающую и наоборот. Каждая из Qk
лежит в слое ( x- меняется, y=yk, z=f(x,yk) ), f(x,yk) как функция x имеет определённую монотонность. Очевидно, что, начиная с некоторого номера, все такие сечения либо будут иметь одинаковую мотонность, либо и тех и других будет бесконечно много и все равно можно отобрать точки так, что слои, которым они принадлежат обладают одинаковой монотонностью. Получили последовательность Wk.

3. Получение противоречия с непрерывностью.

Выберем N : xN ( из Wk) был меньше x1.

Строим Tk=(x(N),y(k+N) ) . Т.е нашли точку с абсциссой меньшей x1 и строим
последовательность, параллельную оси Y, причем, согласно определению Wk, yk
стремится к y0, но так как на каждом слое функция монотонно возрастает, то

| f(xN,yk)-f(x0,y0) |>=e0 в тоже время yk->y0
| f(xN,y0)-f(x0,y0) |<=e0/2 следует из (*****)

противоречие с непрерывностью вдоль Y в точке (xN,y0)

чтд



> теорема Юнга
> Доказать, что если ф-ия f(x,y), где (x,y) принадлежат
> E, непрерывна по каждой переменной x и y в отдельности
> и монотонна по одной из них, то эта ф-ия непрерывна по
> совокупности переменных в области Е.


Напишу словами. Докажем в лоб непрерывность функции. Пусть она монотонна по х.
Возьмем точку (х0,у0) внутри области Е.
Пусть е - больше нуля.
В силу непрерывности по х существует с1 больше нуля такое, что в с1-окрестности х0 значения функции f(x,y0) отличаются от f(x0,y0) не больше, чем е/2.
В силу непрерывности по у существует с2 больше нуля такое, что в с2-окрестности точки у0 значения f(x0-c1,y) и f(x0+c1,y) лежат в е/2-окрестностях значений f(x0-c1,y0) f(x0+c1,y0) соответственно.
Таким образом мы получили прямоугольную окрестность точки (х0,у0), причем на левой и на правой сторонах этого прямоугольника значения функции лежат в е-окрестности f(x0,y0).
Далее используем монотонность по х. Известно что значения монотонной на отрезке функции лежат в интервале между ее значениями на концах отрезка. Следовательно внутри прямоугольника значения функции лежат в е-окрестности f(x0,y0, ч.т.д.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100