Теория множеств

Сообщение №5383 от Uliss 08 ноября 2002 г. 17:09
Тема: Теория множеств

Можно ли доказать, хотя бы с использованием континуум-гипотезы (КГ), следующее утверждение для бесконечных множеств X и Y:
card(X^Y)=card(X), если card(Y) < card(X).

Без КГ никак не обойтись, поскольку из данного утверждения следует КГ, а именно
если порядковые числа Y < X то
Y^Y <= X^Y = X, и следовательно 2^Y <= X


Отклики на это сообщение:

Привет меня самого занимает проблема КГ, поэтому при желании
можено контачить напрямую tron_off@mail.nnov.ru.
Что касательно твоего замечания то по моему оно не совсем верно
из 2^Y<=X не следует КГ по крайней мерее в её общем виде.
Как я думаю общая форма КГ такова:
( card(X)<=card(A ) <=card(2^X )) следовательно (card(A ) = card(X ))
или (card(A ) = card(2^X ))
Еще уточним обозначения под X^Y понимается, как декартова степень,
так и множество всех функций f(Y)=X, хотя в этом случае утверждение
не верно, но надо еще подумкать.



> Можно ли доказать, хотя бы с использованием континуум-гипотезы (КГ), следующее утверждение для бесконечных множеств X и Y:
> card(X^Y)=card(X), если card(Y) < card(X).

> Без КГ никак не обойтись, поскольку из данного утверждения следует КГ, а именно
> если порядковые числа Y < X то
> Y^Y <= X^Y = X, и следовательно 2^Y <= X

- 2^Y - принятое обозначение множества всех подмножеств множества Y, по аналогии с конечными числовыми множествами, точнее их количеством.
Но это лишь обозначение и довольно корявое.
Что такое X^Y я даже и не силюсь понять.

Зубр


> - 2^Y - принятое обозначение множества всех подмножеств множества Y, по аналогии с конечными числовыми множествами, точнее их количеством.
> Но это лишь обозначение и довольно корявое.
> Что такое X^Y я даже и не силюсь понять.

> Зубр

X^Y-это множество функций Y->X



> Привет меня самого занимает проблема КГ, поэтому при желании
> можено контачить напрямую tron_off@mail.nnov.ru.
> Что касательно твоего замечания то по моему оно не совсем верно
> из 2^Y<=X не следует КГ по крайней мерее в её общем виде.
> Как я думаю общая форма КГ такова:
> ( card(X)<=card(A ) <=card(2^X )) следовательно (card(A ) = card(X ))
> или (card(A ) = card(2^X ))
> Еще уточним обозначения под X^Y понимается, как декартова степень,
> так и множество всех функций f(Y)=X, хотя в этом случае утверждение
> не верно, но надо еще подумкать.
>
>

X^Y в сущности не важно как понимать, можно и как декартово произведение. По определению это множество всех функций Y -> X. 2^X эквивалентно множеству двузначных функций на X.
Например можно показать что для любого бесконечного X:
card(2^X)=card(X^X).
Следствие. Для любого Y:
card(Y^X) = card(X^X), если card(Y)<=card(X).



> Привет меня самого занимает проблема КГ, поэтому при желании
> можено контачить напрямую tron_off@mail.nnov.ru.
> Что касательно твоего замечания то по моему оно не совсем верно
> из 2^Y<=X не следует КГ по крайней мерее в её общем виде.
> Как я думаю общая форма КГ такова:
> ( card(X)<=card(A ) <=card(2^X )) следовательно (card(A ) = card(X ))
> или (card(A ) = card(2^X ))
> Еще уточним обозначения под X^Y понимается, как декартова степень,
> так и множество всех функций f(Y)=X, хотя в этом случае утверждение
> не верно, но надо еще подумкать.
>
>

Да. Следующее утверждение вполне эквивалентно КГ, а именно
Для любых бесконечных X, Y если card(X)



> Что касательно твоего замечания то по моему оно не совсем верно
> из 2^Y<=X не следует КГ по крайней мерее в её общем виде.
> Как я думаю общая форма КГ такова:
> ( card(X)<=card(A ) <=card(2^X )) следовательно (card(A ) = card(X ))
> или (card(A ) = card(2^X ))

Следующее утверждение вполне эквивалентно КГ, а именно:
Для любых бесконечных X, Y
если card(X) < card (Y), то card(2^X) <= card(Y).



Если за аксиому принять отрицание гипотизы континуума
(т.е. постулировать существование множества с промежуточной мощностью,
то можем ли мы привести пример такого множества? Конечно, в данном
случае я не считаю примером то абстрактное множество,
существование которого утверждается в принятой аксиоме. :)


Прошу подсказать про разбиение множеств!!!
Если заданы три множества M, R, S и отображения f: M->R и g: R->S, то суперпозиция этих отображений, т. е. отображение gf: M->S, где
(gf)(i)=g(f(i)) , задает разбиение Agf , которое крупнее чем разбиение Af.
Как это утверждение надо доказывать???


Переформулирую вопрос.
Принимаем за аксиому отрицание ГИПОТЕЗЫ КОНТИНУУМА
(т.е. постулируем существование множества А, такого, что |N|<|A|<|R| ).
Можно ли в рамках этой аксиоматики в R найти подмножество А с таким
свойством?


__Объясните, пожалуйста, какая разница в понятиях связности и
линейной связности.
__В учебнике Кудрявцева читателю предлагается привести пример
такого линейно связного множества А, замыкание которого не является
линейно связным. Но на этом форуме приводилось доказательство теоремы
о том, что если А - связно, то замыкание А - связно. Как же так?
СПАСИБО!



> __Объясните, пожалуйста, какая разница в понятиях связности и
> линейной связности.
> __В учебнике Кудрявцева читателю предлагается привести пример
> такого линейно связного множества А, замыкание которого не является
> линейно связным. Но на этом форуме приводилось доказательство теоремы
> о том, что если А - связно, то замыкание А - связно. Как же так?
> СПАСИБО!

Определение связного множества уже давалось. Линейно связное множество, это
такое множество, любые две точки которого можно соединить ломай, целиком принадлежащей этому множеству. Из линейной связности следует обычная связность, однако, наоборот не верно. Из связности не следует линайная связность. Например окружность она связна, но не линейно связна.
Что касается примера линейно связного множества, замыкание которого не линейно связно, то можно привести такой:
Возьмём внутренность круга с центром в (0,2) и радиусом 2 и вычтем из этого множества круг с цетром в (0,1) и радиусом 1. Получается полумесяц без границ.
Очевидно, что это множество линейно связно. А вот замыкание его уже не будет линейно связно, потому что точку (0,0) которая принадлежит замыканию, в которой касаются окружности нельзя соединить ломаной, принадлежащей множеству, ни с какой другой точкой множества, так как любой отрезок, с концом в этой точке, выходит за пределы этого множества.
Тут нет никакого противоречия. множесто по теореме будет связным, как замыкание связного множества, однако не будет линейно связным.


Существует ли множество, которое является элементом самого себя (принадлежит мамо себе)?



> Существует ли множество, которое является элементом самого себя (принадлежит мамо себе)?

Есть такая аксиома - аксиома регулярности. Из нее следует, что такого множества нет.


Если в рамках этой аксиоматики под R понимать 2^N, а под N понимать omega_0 (первый бесконечный ординал), то любое множество порядкового типа omega_1 будет удовлетворять свойству.
Если же под R вы понимаете "множество действтельных чисел" или "множество точек прямой", то в рамках аксиоматики, допускающей ~CH, это R возможно вообще не будет существовать.

> Переформулирую вопрос.
> Принимаем за аксиому отрицание ГИПОТЕЗЫ КОНТИНУУМА
> (т.е. постулируем существование множества А, такого, что |N|<|A|<|R| ).
> Можно ли в рамках этой аксиоматики в R найти подмножество А с таким
> свойством?


> > Существует ли множество, которое является элементом самого себя (принадлежит мамо себе)?

> Есть такая аксиома - аксиома регулярности. Из нее следует, что такого множества нет.

А как Вы полагаете, если не вводить эту аксиому, нарушится логическая самосогласованность теории множеств или что?


> А как Вы полагаете, если не вводить эту аксиому, нарушится логическая самосогласованность теории множеств или что?

__Ничего не нарушается: просто не удастся доказать или опровергнуть существование такого множества А, что А принадлежит А.
__Даже если за аксиому принять утверждение, что такие А существуют, то "совокупность" этих А множества не образует. Конечно, имеется в виду аксиоматика Цермело-Френкеля.
__Кстати, Вы не знаете, где можно почитать (возможно, в Интернете) об аксиоматиках Геделя-Бернайса и New Foundation?


> __Ничего не нарушается: просто не удастся доказать или опровергнуть существование такого множества А, что А принадлежит А.

Постойте, как же так? Рассел не утверждает и не отрицает существование такого множества. Просто формулируется определение: "Множество, включающее себя в качестве элемента назовем неординарным. Не включающее - ординарным". Это может быть и определением "не существующих" объектов.

Следующий шаг, это вопрос: "Является ли множество всех ординарных множеств ординарным?". Обратите внимание, что про неординарные множества вообще ничего не спрашивается и их с чистой совестью можно считать несуществующими.

> __Даже если за аксиому принять утверждение, что такие А существуют, то "совокупность" этих А множества не образует. Конечно, имеется в виду аксиоматика Цермело-Френкеля.

Каким образом "совокупность" так или иначе определенных элементов может не составлять множества? Наверное, я чего-то не знаю, но неужели существует такая аксиоматика, в которой "совокупность" чем-то отличается от множества?

> __Кстати, Вы не знаете, где можно почитать (возможно, в Интернете) об аксиоматиках Геделя-Бернайса и New Foundation?

Сам бы почитал.


Правильное название - New FoundationS (мн. ч.)
По ключевым словам "New Foundations set theory" можно найти кой-чего, например
http://math.boisestate.edu/~holmes/holmes/nf.html


> Каким образом "совокупность" так или иначе определенных элементов может не составлять множества? Наверное, я чего-то не знаю, но неужели существует такая аксиоматика, в которой "совокупность" чем-то отличается от множества?

Совокупность (класс) отличается от множества в любой аксиоматике, кроме "наивной" (Канторовой), которая, собственно, не аксиоматика.

Наивную теорию сам Рассел и отверг, создав с Уайтхедом Теорию Типов. (эту аксиоматику еще называют PM, по заглавию работы Рассела и Уайтхеда "Principia Matematica"). В PM постулируется существование множеств типа 0, у которых нет элементов, множеств типа 1, которые могут содержать только мн-ва типа 0, и т.д., т.е. тип элемента обязан быть меньше типа мн-ва. Все остальные _классы_ множествами не считаются.

Квини переделал PM в New Foundations - более простой и красивый, но малоизученный набор аксиом. Там множествами считаются только те классы, для которых предикат принадлежности можно записать формулой определенной структуры.

В ZF (Цермело-Френкель) в метаязыке понятия "класс" нет, есть только множества. Они конструируются по определенным правилам из пустого множества.

В NBG (фон Нейман - Бернайс - Гедель) класс отличается от множества только тем, что не может принадлежать другим классам.


> Совокупность (класс) отличается от множества в любой аксиоматике, кроме "наивной" (Канторовой), которая, собственно, не аксиоматика.

> Наивную теорию сам Рассел и отверг, создав с Уайтхедом Теорию Типов. (эту аксиоматику еще называют PM, по заглавию работы Рассела и Уайтхеда "Principia Matematica"). В PM постулируется существование множеств типа 0, у которых нет элементов, множеств типа 1, которые могут содержать только мн-ва типа 0, и т.д., т.е. тип элемента обязан быть меньше типа мн-ва. Все остальные _классы_ множествами не считаются.

> Квини переделал PM в New Foundations - более простой и красивый, но малоизученный набор аксиом. Там множествами считаются только те классы, для которых предикат принадлежности можно записать формулой определенной структуры.

> В ZF (Цермело-Френкель) в метаязыке понятия "класс" нет, есть только множества. Они конструируются по определенным правилам из пустого множества.

> В NBG (фон Нейман - Бернайс - Гедель) класс отличается от множества только тем, что не может принадлежать другим классам.

Спасибо. Вы многое для меня прояснили. Хотя некоторые вопросы еще остаются. Например, нельзя ли тот же парадокс свормулировать для "классов"? Хотя, в определении NBG они не могут принадлежать другим "классам"... Но все же мы вправе определить некие "совокупности", которые могут входить в качестве элемента в другие "совокупности".

Как мне кажется, то, что мы можем построить аксиоматику теории множеств, в которой не будет проблем, не снимает проблемы, состоящей в том, что мы, по-видимому, можем построить разумную аксиоматику, которая тем не менее приведет к тому же парадоксу.

Существуют ли ОБЩИЕ указания, как этого избежать? Мне кажется, проблема возникает тогда, когда мы пытаемся оперировать объектами, указать которые конкретно не можем. Например, если мы оперируем объектом "человек", то мы можем (как нам кажется) указать каждого конкретного представителя (хотя, возможно, и не имеем строгого определения того, что есть "человек"). Если мы будем составлять из этих объектов множества, никаких проблем в общем-то не должно возникнуть. А вот если мы утверждаем, что мы можем составить множество "из чего угодно", тут-то и возникают проблемы: например, при попытке составить множество из других множеств (которые мы не можем на этом этапе конкретно указать, поскольку при этом возникает вопрос, из чего составлены они сами).

Может быть это несколько сумбурные мысли, но, наверное, существуют и строго формализованные подходы? Я имею в виду не только подходы к теории множеств, а вообще к формулировке теорий.


> Существуют ли ОБЩИЕ указания, как этого избежать? Мне кажется, проблема возникает тогда, когда мы пытаемся оперировать объектами, указать которые конкретно не можем. Например, если мы оперируем объектом "человек", то мы можем (как нам кажется) указать каждого конкретного представителя (хотя, возможно, и не имеем строгого определения того, что есть "человек"). Если мы будем составлять из этих объектов множества, никаких проблем в общем-то не должно возникнуть. А вот если мы утверждаем, что мы можем составить множество "из чего угодно", тут-то и возникают проблемы: например, при попытке составить множество из других множеств (которые мы не можем на этом этапе конкретно указать, поскольку при этом возникает вопрос, из чего составлены они сами).

__В рамках своей наивной теории множеств Кантор как раз и предложил оперировать лишь с теми множествами, которые "встречаются в природе".
__В рамках ZF антиномия Рассела может рассматриваться как докозательство существования такой высказывательной функции Ф(х), для которой НЕ существует множества А, такого, что Ф(х)<=>{х принадлежит А}. В рамках наивной теории такого "безобразия" не предполагалось.
_____________________________________________________________________
__Скажите, пожалуйста, как понимать конечную неаксиоматизируемость теории множеств? "Виновником" этого в ZF является аксиома замены. Говорят,
это - схема, для каждой высказывателтьной функции получаем отдельную аксиому...
Но почему нельзя ее начать с квантора всеобщности "Для любой высказывательнойной функции то-то и то-то" ?


> Существуют ли ОБЩИЕ указания, как этого избежать? Мне кажется, проблема возникает тогда, когда мы пытаемся оперировать объектами, указать которые конкретно не можем. Например, если мы оперируем объектом "человек", то мы можем (как нам кажется) указать каждого конкретного представителя (хотя, возможно, и не имеем строгого определения того, что есть "человек"). Если мы будем составлять из этих объектов множества, никаких проблем в общем-то не должно возникнуть. А вот если мы утверждаем, что мы можем составить множество "из чего угодно", тут-то и возникают проблемы: например, при попытке составить множество из других множеств (которые мы не можем на этом этапе конкретно указать, поскольку при этом возникает вопрос, из чего составлены они сами).

__В рамках своей наивной теории множеств Кантор как раз и предложил оперировать лишь с теми множествами, которые "встречаются в природе".
__В рамках ZF антиномия Рассела может рассматриваться как докозательство существования такой высказывательной функции Ф(х), для которой НЕ существует множества А, такого, что Ф(х)<=>{х принадлежит А}. В рамках наивной теории такого "безобразия" не предполагалось.
_____________________________________________________________________
__Скажите, пожалуйста, как понимать конечную неаксиоматизируемость теории множеств? "Виновником" этого в ZF является аксиома замены. Говорят,
это - схема, для каждой высказывателтьной функции получаем отдельную аксиому...
Но почему нельзя ее начать с квантора всеобщности "Для любой высказывательнойной функции то-то и то-то" ?


В схеме аксиом символ, вместо которого подставляются формальные строки - это не переменная, а "метапеременная", на этом уровне никаких кванторов еще нет.

Вообще, я не знаю, чем конечная аксиоматизация лучше бесконечной. Это вообще касается не теории множеств, а металогики.

Есть теорема (Клини? Крейг?) что любую систему можно конечно аксиоматизировать путем добавления новых предикатов в метаязык. Но я понятия не имею, влияют ли такие штуки на саму теорию (не мета) - к примеру не ведет ли это к возможности существования более широких моделей. Если ведет - плохо, т.к. от этого становится больше неразрешимых (независимых) утверждений.

Предупреждаю, что я не специалист, и сам полностью не уверен в том, что говорю.

> __Скажите, пожалуйста, как понимать конечную неаксиоматизируемость теории множеств? "Виновником" этого в ZF является аксиома замены. Говорят,
> это - схема, для каждой высказывателтьной функции получаем отдельную аксиому...
> Но почему нельзя ее начать с квантора всеобщности "Для любой высказывательнойной функции то-то и то-то" ?


> __В рамках своей наивной теории множеств Кантор как раз и предложил оперировать лишь с теми множествами, которые "встречаются в природе".

Про "природу" - это, конечно, лишнее. Математика все же не "природой" занимается, а символьными системами. Договорились, что некий объект "существует", обозначили его неким символом и вперед - можно этот символ в рамках соответствующего контекста определенным образом использовать. Например, определять через него другие символы (для обозначения классов объектов). А вот если попытаться определить множество, состоящее из "чего угодно", так возникает проблема: о том, что такое "что угодно" мы еще не договорились. Так и с множеством содержащим самоё себя: пока мы его не определили, мы его определить не можем, заколдованный круг.

> Но почему нельзя ее начать с квантора всеобщности "Для любой высказывательнойной функции то-то и то-то" ?

Вот то-то и странно, как можно применить квантор всеобщности к тому, что еще не определено? "Все мальчики в классе" - вполне определенное множество, поскольку каждый мальчик персонально указан и обозначен. "Все мальчики в мире" - тоже понятно в рамках наших представлений о том, какие вообще мальчики существуют. А вот "все финтифлюшки" - непонятно, потому что даже если примеры финтифлюшек и существуют, пока явно не определено, на чем множество финтифлюшек заканчивается, мы говорим о совершенно неопределенном понятии.


В формулировке Нэша, кажется, есть аналогичный фокус. Вводится понятие "стратегии" игрока, которая есть не просто множество возможных ходов, а некое множество правил их выбора, включающее некую информацию о стратегиях противников. Здесь, очевидно, возникает тот же порочный круг: попытка определить понятие через еще не определенное понятие, определение которого тоже основано на еще не определенном понятии и т.д.

Интересно, какие подходы существуют к тому, чтобы разорвать этот круг?


> возникает тот же порочный круг: попытка определить понятие через еще не определенное понятие, определение которого тоже основано на еще не определенном понятии и т.д.

> Интересно, какие подходы существуют к тому, чтобы разорвать этот круг?

Посмотрите, например, формальное описание (Бэкуса) языка Алгол.
Там очень часто определение понятия делается через себя.
Отказаться от этого = сильно обеднить математику.


> Посмотрите, например, формальное описание (Бэкуса) языка Алгол.
> Там очень часто определение понятия делается через себя.

Можно какую-нибудь конкретную цитату? Так трудно найти, да и есть шанс найти не то.

> Отказаться от этого = сильно обеднить математику.

Не думаю. Хотя мне и кажется, что наша система естественно-научного знания в целом тавтологична, просто из-за большой длины логических цепочек этого никто не замечает, тем не менее я полагаю, что при обнаружении тавтологий от них нужно немедленно избавляться. Тавтологии - они и в определениях тавтологии. Как они могут обогатить математику? Вспомните С.Лема: "сепуление - это то, чем занимаются сепульки, сепульки - это те , кто занимается сепулением" (или что-то в этом роде). Какой может быть толк от таких определений? Тот, кто начнет разбираться, неизбежно поймет, что речь идет о неопределенных понятиях.


> _____________________________________________________________________
> __Скажите, пожалуйста, как понимать конечную неаксиоматизируемость теории множеств? "Виновником" этого в ZF является аксиома замены. Говорят,
> это - схема, для каждой высказывателтьной функции получаем отдельную аксиому...
> Но почему нельзя ее начать с квантора всеобщности "Для любой высказывательнойной функции то-то и то-то" ?

понимать надо очень просто - формулировка "конечную неаксиоматизируемость"
была применена, когда не было второпорядковой логики. Это просто анахронизм.
Ваша формулировка верна.


> > __Объясните, пожалуйста, какая разница в понятиях связности и
> > линейной связности.
> > __В учебнике Кудрявцева читателю предлагается привести пример
> > такого линейно связного множества А, замыкание которого не является
> > линейно связным. Но на этом форуме приводилось доказательство теоремы
> > о том, что если А - связно, то замыкание А - связно. Как же так?
> > СПАСИБО!

> Определение связного множества уже давалось. Линейно связное множество, это
> такое множество, любые две точки которого можно соединить ломай, целиком принадлежащей этому множеству. Из линейной связности следует обычная связность, однако, наоборот не верно. Из связности не следует линайная связность. Например окружность она связна, но не линейно связна.
> Что касается примера линейно связного множества, замыкание которого не линейно связно, то можно привести такой:
> Возьмём внутренность круга с центром в (0,2) и радиусом 2 и вычтем из этого множества круг с цетром в (0,1) и радиусом 1. Получается полумесяц без границ.
> Очевидно, что это множество линейно связно. А вот замыкание его уже не будет линейно связно, потому что точку (0,0) которая принадлежит замыканию, в которой касаются окружности нельзя соединить ломаной, принадлежащей множеству, ни с какой другой точкой множества, так как любой отрезок, с концом в этой точке, выходит за пределы этого множества.
> Тут нет никакого противоречия. множесто по теореме будет связным, как замыкание связного множества, однако не будет линейно связным.

Я бы не рекомендовал подобные определения.
Связность просто понятно и совершенно формально описана у Мостовского
"Конструктивные множества и их применения"


> > Посмотрите, например, формальное описание (Бэкуса) языка Алгол.
> > Там очень часто определение понятия делается через себя.

> Можно какую-нибудь конкретную цитату? Так трудно найти, да и есть шанс найти не то.

1.Формальное определение целого числа (| означает "или")
"целое без знака"::="цифра"|"целое без знака""цифра"
"целое"::="целое без знака"|+"целое без знака"|-"целое без знака"
2.Определение идентификатора
"идентификатор"::= "буква"|"идентификатор""буква"|"идентификатор""цифра"
3.
"арифметическое выражение" ::="простое арифметическое выражение" |"условие""простое арифметическое выражение" ELSE "арифметическое выражение"

> > Отказаться от этого = сильно обеднить математику.

> Не думаю. Хотя мне и кажется, что наша система естественно-научного знания в целом тавтологична, просто из-за большой длины логических цепочек этого никто не замечает, тем не менее я полагаю, что при обнаружении тавтологий от них нужно немедленно избавляться. Тавтологии - они и в определениях тавтологии. Как они могут обогатить математику? Вспомните С.Лема: "сепуление - это то, чем занимаются сепульки, сепульки - это те , кто занимается сепулением" (или что-то в этом роде). Какой может быть толк от таких определений? Тот, кто начнет разбираться, неизбежно поймет, что речь идет о неопределенных понятиях.

Рекурсивные определения - это не (порочный) круг, а (полезная) спираль,
позволяющая дать формальное определение многих содержательных понятий.


> > __В рамках своей наивной теории множеств Кантор как раз и предложил оперировать лишь с теми множествами, которые "встречаются в природе".

> Про "природу" - это, конечно, лишнее. Математика все же не "природой" занимается, а символьными системами. Договорились, что некий объект "существует", обозначили его неким символом и вперед - можно этот символ в рамках соответствующего контекста определенным образом использовать. Например, определять через него другие символы (для обозначения классов объектов). А вот если попытаться определить множество, состоящее из "чего угодно", так возникает проблема: о том, что такое "что угодно" мы еще не договорились. Так и с множеством содержащим самоё себя: пока мы его не определили, мы его определить не можем, заколдованный круг.

Не обязательно из "чего угодно".
(Б)Библиография - список названий печатных изданий.
(Б1)Б, включающая саму себя, - когда в этом списке есть и его
собственное название.
(Б2)Б, не включающая саму себя, - когда в этом списке нет его
собственного названия.
Предельно понятные определения !

А теперь составляем список всех Б2.
Нужно включить в него собственное название ? :-)


> > Но почему нельзя ее начать с квантора всеобщности "Для любой высказывательнойной функции то-то и то-то" ?

> Вот то-то и странно, как можно применить квантор всеобщности к тому, что еще не определено? "Все мальчики в классе" - вполне определенное множество, поскольку каждый мальчик персонально указан и обозначен. "Все мальчики в мире" - тоже понятно в рамках наших представлений о том, какие вообще мальчики существуют. А вот "все финтифлюшки" - непонятно, потому что даже если примеры финтифлюшек и существуют, пока явно не определено, на чем множество финтифлюшек заканчивается, мы говорим о совершенно неопределенном понятии.

"Все мальчики в мире" - не очень определенное понятие (множество).
Например, при попытке подсчитать его мощность, как Вы будете
учитывать сиамских близнецов ? А трасвеститов ? А до какого возраста ?



> > Вспомните С.Лема: "сепуление - это то, чем занимаются сепульки, сепульки - это те , кто занимается сепулением" (или что-то в этом роде). Какой может быть толк от таких определений? Тот, кто начнет разбираться, неизбежно поймет, что речь идет о неопределенных понятиях.

> Рекурсивные определения - это не (порочный) круг, а (полезная) спираль,
> позволяющая дать формальное определение многих содержательных понятий.

Что же, и лемовское опеделение сепуления - это "полезная спираль"? Не хочу даже спрашивать, что в нем спирального. Спрошу только, что в нем полезного?


> > > Вспомните С.Лема: "сепуление - это то, чем занимаются сепульки, сепульки - это те , кто занимается сепулением" (или что-то в этом роде). Какой может быть толк от таких определений? Тот, кто начнет разбираться, неизбежно поймет, что речь идет о неопределенных понятиях.

> > Рекурсивные определения - это не (порочный) круг, а (полезная) спираль,
> > позволяющая дать формальное определение многих содержательных понятий.

> Что же, и лемовское опеделение сепуления - это "полезная спираль"? Не хочу даже спрашивать, что в нем спирального. Спрошу только, что в нем полезного?

Примеры полезных определений я привел. Но,
"Не все йогурты одинаково полезны".
(Надпись на могильной плите).


Многие математики и философы считали что начинать теорию надо с определение "равенства" или "тождественности". Что значит х=х?
Если обратиться к теории множеств то тут такие странные вещи можно обнаружить. Например множество {x} "тождественно" множеству {x,x,x}.
Или например {x,x,y}\{x}={y}.
И вообще что такое можество {x,x}? Множество состоящее из двух одинаковых х? Или из одного х взятого два раза?
Получается что множеством следует считать совокупность только различных элементов?


Gospoda,

Esli Vas ne zatrudnit, podskagite kak vygliadit AC v multiplicativnoj forme.
Delo v tom chto multiplicativnye formy privedenye v knigax :
Fraenkel Bar-hillel Osnovanija teorii mnogestv(rus)
Rasiova Sikorski Matematika metamatematiki(rus)
P.Koepke Teorija mnogestv(nem)
Kunen Teorija mnogestv(eng)
sodergat oshibki. Vozmogno eto i opechatki.
Ja dumaju, shto ia smogu poluchitj svoju versiyu,
no xotelosj by znatj kak eto sdelali avtoritety.

Vforme ob uporiadochenii AxEy WO(y,x)
ja oshibok ne obnarugil.

S uvageniem
A. Dorin



> Не обязательно из "чего угодно".
> (Б)Библиография - список названий печатных изданий.
> (Б1)Б, включающая саму себя, - когда в этом списке есть и его
> собственное название.
> (Б2)Б, не включающая саму себя, - когда в этом списке нет его
> собственного названия.
> Предельно понятные определения !

> А теперь составляем список всех Б2.
> Нужно включить в него собственное название ? :-)

А существует ли это название на момент составления библиобрафии?


> Многие математики и философы считали что начинать теорию надо с определение "равенства" или "тождественности". Что значит х=х?
> Если обратиться к теории множеств то тут такие странные вещи можно обнаружить. Например множество {x} "тождественно" множеству {x,x,x}.
> Или например {x,x,y}\{x}={y}.
> И вообще что такое можество {x,x}? Множество состоящее из двух одинаковых х? Или из одного х взятого два раза?
> Получается что множеством следует считать совокупность только различных элементов?

Я бы рассматривал только множества из различаемых элементов. А что, может быть какой-то прок от многократного включения одного и того же?


Сколько отношений можно определить на множестве из n элементов?
Я знаю, что 2^(n^2), а как это получается? Объясните, плз.
--------------------------------------------------------------------------------

Re: Сколько отношений можно определить на множестве из
spv
> Сколько отношений можно определить на множестве из n элементов?
> Я знаю, что 2^(n^2), а как это получается? Объясните, плз.
Бинарное отношение-это подмножество декартова квадрата. Сл-но, бинарных отношений столько, сколько подмножеств в декартовом квадрате данного множества, т.е. ровно столько, сколько вы написали.



> Существует ли множество, которое является элементом самого себя (принадлежит мамо себе)?


Есть пример - множество абстрактных понятий само есть абстрактное понятие ! :-)



> > Существует ли множество, которое является элементом самого себя (принадлежит мамо себе)?

>
> Есть пример - множество абстрактных понятий само есть абстрактное понятие ! :-)

Я могу понять это определение, если, например, речь идет о множестве существующих абстрактных понятий. Т.е. о таких, которые к настоящему моменту кем-то где-то как-то были введены. Иначе просто непонятно, о множестве ЧЕГО идет речь, т.е. определение бессодержательно.

А в таком случае становится существенным вопрос, при определении множества ЭТИХ понятий мы уже имели в виду, что к НИМ относится определяемое множество? Очевидно - нет, потому что такого понятия на этот момент просто не существовало.


Помогите, пожалуйста, определить мощность множества всех вложений N -> R


> Помогите, пожалуйста, определить мощность множества всех вложений N -> R

континуальная


Вот такой отрывок (нечто вроде аннотации к книжке по теории множеств):

"Самым знакомым примером бесконечного множества является множество натуральных чисел. От создателей теории множеств требовалось, в частности, мыслить завершенным натуральный ряд, который, в силу своей бесконечности, не может быть завершен (т.к. по по самому смыслу "бесконечного" он не заканчивается никаким числом). Правда (принимая развитие этой теории, предложенное Георгом Кантором), после того, как мы помыслили его завершенным (т.е. после того, как мы решили, что все его элементы даны), мы можем, конечно, к нему что-нибудь мысленно добавить (но эти добавленные элементы уже не будут натуральными числами, это будут, так называемые, трансфинитные числа)."

Вопросы:
1. Сильные ли искажения допущены в этом отрывке?
2. Нужно ли тут что-либо менять? (Иногда слова не совсем точные вернее доносят мысль.)



> Вот такой отрывок (нечто вроде аннотации к книжке по теории множеств):

> "Самым знакомым примером бесконечного множества является множество натуральных чисел. От создателей теории множеств требовалось, в частности, мыслить завершенным натуральный ряд, который, в силу своей бесконечности, не может быть завершен (т.к. по по самому смыслу "бесконечного" он не заканчивается никаким числом). Правда (принимая развитие этой теории, предложенное Георгом Кантором), после того, как мы помыслили его завершенным (т.е. после того, как мы решили, что все его элементы даны), мы можем, конечно, к нему что-нибудь мысленно добавить (но эти добавленные элементы уже не будут натуральными числами, это будут, так называемые, трансфинитные числа)."

> Вопросы:
> 1. Сильные ли искажения допущены в этом отрывке?
> 2. Нужно ли тут что-либо менять? (Иногда слова не совсем точные вернее доносят мысль.)

1. net
2. net


Может ли кто-нибудь пояснить странное место в классическом доказательстве теоремы Кантора?

Формулировка:
Число бесконечных последовательностей 0 и 1 несчетно (следствие - отрезок [0,1[ - несчетный, т.к. каждой такой последовательности соответствует число из отрезка)

Доказательство:
0. Существуют последовательности, которые нельзя пронумеровать. Идем от противного.
1. Предположим, что все последовательности пронумерованы (от 1).
2. Расположим их в списке в порядке возрастания номера.
3. Пронумеруем также и и члены каждой последовательности (тоже от 1).
4. i-й член j-й последовательности обозначим как Aij.
5. Рассмотрим последовательность {A} = A11, A22, A33,...
6. Рассмотрим последовательность {B} = 1-A11,1-A22,1-A33,...
7. Последовательность B отличается от произвольной последовательности C с номером k в позиции k.
8. Следовательно, B отличается от любой последовательности в списке.
9. Следовательно, B не находится в этом списке. Противоречие с утверждением 1.

Теперь что меня смущает. Это шаг 6. Если согласно утверждению 1 B находится в списке и имеет некоторый номер (скажем, m) то нельзя утверждать, что m-й член последовательности B равен 1-Amm, поскольку он равен Amm. Это получается подмена одной из цифр B при прохождении индукции через эту последовательность. То есть, шаг 6 представляет собой индукцию, но m-й шаг этой индукции выглядит странно.

Кто-нибудь может прокомментировать?


> 1. Предположим, что все последовательности пронумерованы (от 1).
> 2. Расположим их в списке в порядке возрастания номера.
> 3. Пронумеруем также и и члены каждой последовательности (тоже от 1).
> 4. i-й член j-й последовательности обозначим как Aij.
> 5. Рассмотрим последовательность {A} = A11, A22, A33,...
> 6. Рассмотрим последовательность {B} = 1-A11,1-A22,1-A33,...
> 7. Последовательность B отличается от произвольной последовательности C с номером k в позиции k.
> 8. Следовательно, B отличается от любой последовательности в списке.
> 9. Следовательно, B не находится в этом списке. Противоречие с утверждением 1.

> Теперь что меня смущает. Это шаг 6. Если согласно утверждению 1 B находится в списке и имеет некоторый номер (скажем, m) то нельзя утверждать, что m-й член последовательности B равен 1-Amm, поскольку он равен Amm. Это получается подмена одной из цифр B при прохождении индукции через эту последовательность. То есть, шаг 6 представляет собой индукцию, но m-й шаг этой индукции выглядит странно.

> Кто-нибудь может прокомментировать?

Непонятно, в чем проблема.

"...шаг 6 представляет собой индукцию..." - это почему? Насколько я понял, шаг 6 представляет собой определение последовательности B.

"...нельзя утверждать, что m-й член последовательности B равен 1-Amm..." - как это нельзя, если это дано по опеределению последовательности?

А вот то, что B = {A1m, A2m, ...} действительно нельзя утверждать, поскольку это приводит к противоречию: Amm = 1-Amm

В этом и состоит доказательство: если нельзя утверждать, что B есть в списке, значит ее в списке нет.


Спасибо. Меня сбило в толку сходство с индукцией. Теперь вижу, что ее там нет.



Пересчитаем множество действительных чисел.
Считать будем блоками.
Первый блок – число 0 – «раз».
Второй блок – числа вида Х.Х (от -9.9 до 9.9) «два, три … 199».
(Уже посчитанное число 0 мы пропустили).
Третий блок - числа вида ХХ.ХХ (от -99.99 до 99.99) «двести, 201, 202 … 19999»
(посчитанное в предыдущих блоках мы пропустили).

-9.9 –> 9.9 n=1...199
-99.99 -> 99.99 n=200...19999
-999.999 -> 999.999 n=20000...1999999
-9999.9999 -> 9999.9999 n=2000000...199999999
..............................................
Множество всех (бесконечных) десятичных дробей счетно.
В той же степени, как и рациональных. И целых.

В чем ошибка?


А каков номер числа π? (Можно ли назвать КОНЕЧНОЕ число?)

> Множество всех (бесконечных) десятичных дробей счетно.
> В той же степени, как и рациональных. И целых.

> В чем ошибка?

В том, что Вы посчитали множество КОНЕЧНЫХ десятичных дробей. Конечная десятичная дробь - это рациональное число. Иррациональное число описывается БЕСКОНЕЧНОЙ десятичной дробью.



Число пи - подумаю.

А считаю я бесконечные дроби - справа и слева вереница нулей, в том же смысле, как и у Кантора в диагональной процедуре.



> Число пи - подумаю.

> А считаю я бесконечные дроби - справа и слева вереница нулей, в том же смысле, как и у Кантора в диагональной процедуре.

У Кантора берутся ВСЕ возможные последовательности единиц и нулей, а не только такие, у которых справа - вереница нулей.

Если справа и слева - вереницы нулей, то это и есть конечная десятичная дробь. Число пи в десятичной записи не имеет справа бесконечной вереницы нулей, поэтому его в Вашей последовательности просто нет.



Если справа и слева - вереницы нулей, то это есть бесконечная линейная дробь (или символьная последовательность), которую (как частный случай) мы договариваемся укорачивать.

Число пи содержится в пересчете. Два варианта.

Если мы все пересчитали, то Бог или Кантор (человеку не дано) "издалека увидит" искомую комбинацию символов.

А если не "актуально", то готов предоставить (Вы и сами это сделаете) последовательность целочисленных N(i), указывающих на строчки, которые отличаются все менее и менне от пи. Предел по Коши.
Пи ведь тоже предел.


> А каков номер числа π? (Можно ли назвать КОНЕЧНОЕ число?)

Можно: пи - раз, е - два идалее по списку.


> > А каков номер числа π? (Можно ли назвать КОНЕЧНОЕ число?)

> Можно: пи - раз, е - два идалее по списку.

У Дила была другая нумерация. Если Вы хотите преддложить свою, я спрошу, под каким номером у Вас идет 127.


> Если справа и слева - вереницы нулей, то это есть бесконечная линейная дробь (или символьная последовательность), которую (как частный случай) мы договариваемся укорачивать.

Давайте не будем играть словами. Можете сколько угодно добавлять справа и слева вереницы нулей и называть то, что получилось, "бесконечной дробью", но на деле - это то же рациональное число (добавление нулей слева и справа ничего не меняет). Только такие числа вы и считаете. А есть еще числа, в записи которых изначально присутствует бесконечное количество цифр, и далеко не нулей.

> Если мы все пересчитали, то Бог или Кантор (человеку не дано) "издалека увидит" искомую комбинацию символов.

Из какого еще далека? Ответьте на вопрос: ВОЗМОЖНО ли назвать КОНЕЧНЫЙ номер, который имеет в Вашей последовательности число Пи? Если невозможно, значит Вы не все числа пронумеровали.

> А если не "актуально", то готов предоставить (Вы и сами это сделаете) последовательность целочисленных N(i), указывающих на строчки, которые отличаются все менее и менне от пи. Предел по Коши.
> Пи ведь тоже предел.

Определение звучит так: "Множество, все элементы которого можно пронумеровать, называется счетным". Где Вы видите в этом определении использование понятия "предела"?


Полагаю, что мы оба (и не только мы) осознаем, что вопрос столетней продолжительности не очень прост.

Да. Давайте не будем играть словами. Множество рациональных чисел однозначно представимо бесконечным множеством конечных символьных комбинаций. Если множество иррациональных чисел представимо бесконечным множеством бесконечных символьных комбинаций, то следует принять, что все рациональные числа (как подмножество) бесконечносимвольны. Т.е. добавление нулей - принципиально.

Возможность назвать номер числа пи напрямую связана с возможностью написать это число на бумаге.

В определении критерий возможности нумерации не прописан: задать алгоритм нумерации - это одно, досчитать до конца - это другое. Я принимаю первый вариант. Вы предлагаете назвать порядковый номер числа пи (лучше было использовать корень из двух), т.е. принимаете второй вариант. Тогда я Вам предлагаю назвать порядковый номер самого большого числа из целых или рациональных, Вы же их ВСЕ пересчитали.




> У Дила была другая нумерация. Если Вы хотите преддложить свою, я спрошу, под каким номером у Вас идет 127.

Класс!
Прямое дополнение к апориям Зенона.
127 идет под номером 3!
Мы никогда и ничего не персчитаем.
Правда, и с Кантором ничего не решим.



> Полагаю, что мы оба (и не только мы) осознаем, что вопрос столетней продолжительности не очень прост.

Вопрос этот много столетий как решен математикой. А ежели кто этого пока не понял - так это другой вопрос.

> Да. Давайте не будем играть словами. Множество рациональных чисел однозначно представимо бесконечным множеством конечных символьных комбинаций. Если множество иррациональных чисел представимо бесконечным множеством бесконечных символьных комбинаций, то следует принять, что все рациональные числа (как подмножество) бесконечносимвольны. Т.е. добавление нулей - принципиально.

Понятие бесконечности от счетности отличаете? Множество рациональных чисел - бесконечно и счетно, множество действительных - бесконечно и несчетно.

Математическое доказательство - это Вам не философский трактат, в котором автор может подменять одни понятия другими и убеждать читателя с помощью ярких ассоциаций.

> Возможность назвать номер числа пи напрямую связана с возможностью написать это число на бумаге.

> В определении критерий возможности нумерации не прописан: задать алгоритм нумерации - это одно, досчитать до конца - это другое. Я принимаю первый вариант. Вы предлагаете назвать порядковый номер числа пи (лучше было использовать корень из двух), т.е. принимаете второй вариант. Тогда я Вам предлагаю назвать порядковый номер самого большого числа из целых или рациональных, Вы же их ВСЕ пересчитали.

Какая разница - назвать, написать или нарисовать? ПРОНУМЕРОВАТЬ - значит поставить в соответствие элементу конкретный номер (натуральное число). И никто не просит Вас "досчитать до конца" (которого все равно нет). Естественно, когда Вы попытаетесь пронумеровать элементы множества, то предлОжите какой-то алгоритм. А теперь докажите, что Ваш алгоритм присваивает каждому элементу конкретный номер, а не мифическую "бесконечность".

А "самого большого натурального числа" просто не существует, так что не надо задавать бессмысленных вопросов. Конкретное натуральное число, конечно, имеет конкретный номер.


1. Спасибо (искренне) за уделенное внимание, Ваши ответы мне были полезны.
2. Я не хочу быть назойливым, у всех есть право остановиться в обмене на любом этапе.


> Понятие бесконечности от счетности отличаете?
Да, это разные понятия.

> Множество рациональных чисел - бесконечно и счетно, множество действительных -> бесконечно и несчетно.
Это постулаты действующей (и красивой) теории. С первым никто не спорит. Второй принимаем - есть теория. Постулаты не доказываются. Но истинность их?

> ...никто не просит Вас "досчитать до конца" (которого все равно нет).
Кантор просит. В "диагональном процессе" дополнительное число только тогда станет (опираюсь на Ваше высказывание) настоящим, когда все его символы (альфы) будут определены. Т.е. процесс счета должен быть завершен. В противном случае нет доказательства.

> А "самого большого натурального числа" просто не существует ...
Да. Аристотель - гений. Но почему натуральные числа нельзя считать до конца, а иррациональные можно? Двойной стандарт?

С конкретным номером заданного числа можно справиться. Исходную нумерацию (на автомате хотел написать "свою", но все новое - хорошо забытое старое) проведем так: иррациональные (настаиваю) числа блоками нумеруем четными Н, а нечетные Н оставляем для Вас. В этой шутке есть доля истины.



> 2. Я не хочу быть назойливым, у всех есть право остановиться в обмене на любом этапе.

Конечно. Если у Вас еще остается желание продолжить, меня хватит еще на несколько попыток объяснить, то, что Вы пока не приняли.

> > Множество рациональных чисел - бесконечно и счетно, множество действительных - бесконечно и несчетно.

> Это постулаты действующей (и красивой) теории. С первым никто не спорит. Второй принимаем - есть теория. Постулаты не доказываются. Но истинность их?

Это не постулаты. Это - доказываемые утверждения, как относительно счетности радиональных, так и относительно несчетности действительных. При доказательстве используется только определение понятия счетности (использующее в свою очередь понятие натурального числа) и математическая логика.

> > ...никто не просит Вас "досчитать до конца" (которого все равно нет).
> Кантор просит. В "диагональном процессе" дополнительное число только тогда станет (опираюсь на Ваше высказывание) настоящим, когда все его символы (альфы) будут определены. Т.е. процесс счета должен быть завершен. В противном случае нет доказательства.

Я ничего не говорю о символьной записи чисел. Я говорю только о том, можно или нельзя их пронумеровать. Для рациональных чисел предложен диагональный алгоритм нумерации. Если Вы прямо возьмете определение рационального числа, то сможете убедиться, что для любого числа, соответствующего этому определению, по этому алгоритму можно определить его уникальный номер. И это будет конкретное натуральное число, а не мифическое "самое большое из натуральных чисел".

> > А "самого большого натурального числа" просто не существует ...
> Да. Аристотель - гений. Но почему натуральные числа нельзя считать до конца, а иррациональные можно? Двойной стандарт?

А почему нельзя пронумеровать действительные числа - смотрите внимательнее на доказательство теоремы Кантора. Оно показывает, что ЛЮБОЙ алгоритм нумерации оставляет некое КОНКРЕТНОЕ число без номера.

> С конкретным номером заданного числа можно справиться. Исходную нумерацию (на автомате хотел написать "свою", но все новое - хорошо забытое старое) проведем так: иррациональные (настаиваю) числа блоками нумеруем четными Н, а нечетные Н оставляем для Вас. В этой шутке есть доля истины.

Не понимаю. Вы хотите еще один алгоритм нумерации предложить?



С "постулатами" я примитивно оговорился. Имелось в виду, что можно было и не доказывать, а несчетность просто постулировать. Здесь пардон.

Спасибо за беседу.
С уважением Дил.


На практике натуральные числа мы записываем, используя минимально необходимое количество символов. На самом деле каждое натуральное число должно представляться неограниченной слева (т.е. бесконечной) последовательностью. Такую форму можно ввести определением. Но есть и формальные основания – алгоритмы арифметических операций. Наглядный пример: 1235-1234=0001. Современные вычислительные машины так и работают, только в двоичной системе счисления и с ограниченной физическими причинами разрядностью, им «лидирующие» нули необходимы по технологии. Теперь поставим задачу: требуется найти такую бесконечную (иные мы исключили из рассмотрения) последовательность нулей и единиц, которая не соответствует натуральному числу. Апория?



Странно, что Ваш ник не "Зенон".

> Теперь поставим задачу: требуется найти такую бесконечную (иные мы исключили из рассмотрения) последовательность нулей и единиц, которая не соответствует натуральному числу. Апория?

Не вдваясь в философские суждения о том, что такое "апория", замечу, что с точки зрения математики таких последовательностей полно. Например, последовательность из одних единиц никакому натуральному числу не соответствует.


Нет, не "Зенон". "Апория" сверху как воробей вылетела, теперь не вычеркну.

> Например, последовательность из одних единиц никакому натуральному числу не соответствует.
Потому, что конкретные натуральные числа конечны.

Я не смог найти в инете исходной работы. Есть ли такой джин, который подскажет ссылочку (лучше без перевода)?


> > Например, последовательность из одних единиц никакому натуральному числу не соответствует.
> Потому, что конкретные натуральные числа конечны.

Вот именно. Вы налету схватываете.


Свежий черновик: http://dileta.narod.ru/Cantor.htm
В таком виде на форум не выкладывают. 10 строк с конца.
Даже если я неправ, посмотрите как радуются дети изрядного возраста.


господа,
дайте конструктивное определения понятия "континуум".
определения - континнум - это множество действительных чисел
не годится т.к. сводит одно неясное понятие к не менее неясному.


> господа,
> дайте конструктивное определения понятия "континуум".
> определения - континнум - это множество действительных чисел
> не годится т.к. сводит одно неясное понятие к не менее неясному.

На сайте по ссылке - неупорядоченные черновики (предупреждение было).
По форуму мы еще не подошли к понятию мощности континуум. Для начала мы рассматриваем счетность/несчетность множеств. Счетность множества рациональных чисел вопросов не вызывает. Выше было предложено два варианта нумерации множества бесконечных линейных (в том числе и десятичных) дробей. Оба варианта были остановлены вопросом: назовите конкретное конечное натуральное число, которое соответствует порядковому номеру числа пи.

Ответ. Иррациональное число пи не содержится в множестве чисел, представимых бесконечными линейными (в том числе десятичными) дробями. Рассмотрим для начала более наглядный пример - корень из двойки. Отложим диагональ квадрата на числовой оси и рассмотрим две последовательности из линейных дробей, одна из которых приближается к концу отложенного отрезка слева, другая справа. Из утверждения несоизмеримости стороны квадрата и ее диагонали следует, что мы никогда не попадем на отмеченную точку. Соответствующие числа - "левое" и "правое" всегда различаются на единицу последнего разряда. В пределе мы должны получить два равных числа, в том смысле, что lim("левое")-lim("правое") равно нулю. При этом будем иметь три несовпадающие точки. Никакого парадокса здесь нет. Просто множество бесконечных линейных дробей отображает лишь рациональные числа. Иррациональные следует представлять другим способом. На предложенном сайте есть более пространное пояснение. Только надо навести порядок. Навожу.

Не ругайте Дила, он не вредный, но не без греха, конечно. 1Victor@mail.ru


> назовите конкретное конечное натуральное число, которое соответствует порядковому номеру числа пи.

> Ответ. Иррациональное число пи не содержится в множестве чисел, представимых бесконечными линейными (в том числе десятичными) дробями.

"Иррациональное число пи" (т.е. Вы сами признаете, что пи ОТНОСИТСЯ к множеству иррациональных чисел) представимо бесконечной десятичной дробью. Непредставимо оно конечной десятичной дробью. Существуют алгоритмы расчета значения числа пи с гарантированной точностью до любого десятичного знака. Не смотря на вычислительные сложности, эти алгоритмы принципиально (т.е. теоретически) позволяют определить любую цифру в последовательности, составляющих его десятичную запись. С корнем из двух ситуация та же самая.

Итак, последовательность цифр, определяющая число, задана. Остается указать номер этого числа в соответствии с Вашим алгоритмом нумерации.


было бы хорошо, если кто-нибудь хорошо переведет

http://www.nyu.edu/gsas/dept/philo/faculty/wright/papers/Frege_Constraint.pdf


> Ответ. Иррациональное число пи не содержится в множестве чисел, представимых бесконечными линейными (в том числе десятичными) дробями.

Прошу прощения, но
(1) Где Вы «подхватили» эту терминологию - «линейные дроби»?
(2) Тогда, что такое нелинейные дроби?
(3) Может это действительно, какие-то особые «бесконечные линейные дроби», которыми число пи не может быть представлено?

Дробно-линейные функции знаю,
Дробно-линейное отображение знаю,
Дробно-рациональную функцию знаю,

а вот про то, что такое «бесконечная линейная дробь»,
хотелось бы получить разъяснения.



Да, это второй круг, но "против часовой стрелки".

Не все мы любим официальную науку; и я ее "изнанку" хорошо знаю. Тем более впечатляет, что "официальный" доктор и профессор Зенкин А.А. по кругу не первый год ходит. Только он пытается вопрос из теории множеств разрешить методами другой не менее научной дисциплины, а надо изнутри. За три версты видно, что для меня это не профильный вопрос, но в этом есть и что-то положительное. Я пошел в обратную сторону. Лучше лишний раз ошибиться, чем пройти мимо. Я Вам "спасибо" искренне высказал. Я начал форум чувствовать. Вы же сами сказали, что на пару раз Вас хватит. Считаем - раз!

Множество иррациональных чисел - бесконечно, и, скорее всего, несчетно. Каждому иррациональному числу, безусловно, ставится в соответствие бесконечная линейная дробь. Но каждой такой дроби соответствует далеко не одно число. Никаких парадоксов - проверено (но пока не доказано). Единственность положительного корня уравнения х*2-2=0 не доказательство взаимной однозначности числа и его символьного представления.

Не догоню - так согреюсь... Но есть чувство удачи.
P.S. Я знаком с алгоритмами определения десятичных знаков; экзамен, правда, наверняка провалю.



Был дважды неприлично неточен.
1. Линейная дробь - общее наимнование десятичных и двочных дробей.
2. Не сочтите за неуважение к даме - только, чтобы лишний раз не мусорить - я уже выдал пояснения.

Язык беда не только моя...


> было бы хорошо, если кто-нибудь хорошо переведет
> http://www.nyu.edu/gsas/dept/philo/faculty/wright/papers/Frege_Constraint.pdf

Я не совсем понял вопрос. Если сайт, то dileta.narod.ru, но там просто набор ответов для соседа (пока). По сути я чуть ниже ответил.



> > было бы хорошо, если кто-нибудь хорошо переведет
> > http://www.nyu.edu/gsas/dept/philo/faculty/wright/papers/Frege_Constraint.pdf

> Я не совсем понял вопрос. Если сайт, то dileta.narod.ru, но там просто набор ответов для соседа (пока). По сути я чуть ниже ответил.

хотелось бы более формально с использованием языка логики 2-го порядка и
с применением устоявшейся символики


> 1. Линейная дробь - общее наимнование десятичных и двочных дробей.

Чего-то никак не понимаю!
А троичных?


> Множество иррациональных чисел - бесконечно, и, скорее всего, несчетно. Каждому иррациональному числу, безусловно, ставится в соответствие бесконечная линейная дробь. Но каждой такой дроби соответствует далеко не одно число. Никаких парадоксов - проверено (но пока не доказано). Единственность положительного корня уравнения х*2-2=0 не доказательство взаимной однозначности числа и его символьного представления.

Насколько я знаю, определение действительного числа таково, что конкретной бесконечной десятичной дроби по определению соответствует только одно конкретное число. Вот обратное неверно: две разных дроби могут соответствовать одному числу, например: 0.9999... = 1.0000...


Xxxxxxx.......
Aaaaaaa.......
Bbbbbbb.......

Дополним предложенное Кантором множество элементами Aa и Bb, последовательно сформированными по алгоритму диагональной процедуры; очевидно символ B имеет инверсное по отношению к A значение. Однако символы A и B должны совпадать, поскольку они от первого a и до A составлены из одной и той же диагонали, т.е. под каждым символом a должен находиться равный ему символ b.

Кантор использовал в качестве индекса натуральное число. А зря.

Дил


Теперь у меня загрузилась указанная Вами ссылка и я убедился, что:
- либо наша с Вами дискуссия прошла мимо Вашего внимания,
- либо указанный Вами текст был составлен до нашей с Вами дискуссии.

Потому что:
- Если мы придумаем такой алгоритм нумерации натуральных чисел, который не нумерует некоторые из них, это еще не означает несчетности множества натуральных чисел. Смотрите еще раз определение счетности: "множество, элементы которого МОЖНО пронумеровать...". От того, что мы выбрали неудачный алгоритм нумерации, мы делаем вывод, что множество НЕЛЬЗЯ пронумеровать? Сабж.
- Предложенный Вами алгоритм нумерации десятичных дробей на самом деле их не нумерует. Вы пронумеровали только конечные десятичные дроби, поэтому Вам и задают вопрос про номер числа пи, представляемого БЕСКОНЕЧНОЙ десятичной дробью. Ваше парирование: "назовите последовательность цифр в числе пи", совсем не в тему. Эта последовательность определена вполне однозначно, а то, что нам не хватит ресурсов для того, чтобы ее полностью выписать, не имеет отношения к делу: для определения последовательности нет необходимости перечислять все ее члены. Так что - сабж.
- Множество всех БДД все таки несчетно, о чем косвенно свидетельствует та же теорема Кантора. Ваши рассуждения про xxx и ууу мне непонятны. Но они вряд ли опровергают ее. Тем более ее не опровергает Ваша попытка вспомнить средневековые рассуждения про "актуальную" бесконечность (и какие там еще бывают - "потенциальная"? "дурная"?). К математике они не имеют никакого отношения: среди элементов рассматриваемых множеств никакой "бесконечности" нет (если ее дополнительно не ввести). Опять же - сабж.

Я вижу, что Вы как-то уж больно по философски относитесь к математике. Поиграли в красивые слова, и решили, что теорема неверна (поскольку ее автор в другие слова "играл"). Давайте все же буквально следовать определениям и правилам математической логики.

P.S. Мой второй ответ про геодезические до Вас дошел?


> - либо наша с Вами дискуссия прошла мимо Вашего внимания,
> - либо указанный Вами текст был составлен до нашей с Вами дискуссии.

2. Действительно, текст изменяется с опозданием.
1. Дискуссия не прошла мимо моего внимания. Именно поэтому возник вариант дополнения множества такими последовательностями, которые для своего построения требуют использования самого большого натурального числа. Т.е. диагональная процедура внутренне противоречива и не может служить доказательством.


> 1. Дискуссия не прошла мимо моего внимания. Именно поэтому возник вариант дополнения множества такими последовательностями, которые для своего построения требуют использования самого большого натурального числа. Т.е. диагональная процедура внутренне противоречива и не может служить доказательством.

Это очень странное дополнение. Если Вы говорите о процедуре доказательства теоремы Кантора, то в ней нет никаких внутренних противоречий, да и понятия "самого большого натурального числа" она не использует.

Чтобы разобраться с этим, для начала хотя бы сформулируйте ее адекватно (как у Кантора), а не так, как в Вашем тексте, из которого ничего не поймешь. Что это за xxx и yyy? В упомянутой ранее формулировке речь шла о бесконечных последовательностях двоичных цифр. Там было четко указано, где номер последовательности, а где - номер члена последовательности.

Долой философию из математики!


Ну надо же, какой флейм вышел из моего вопроса :) Как сказала бы баба Яга: "философским духом от Дила пахнет" :) Дил, если вы решили посоревноваться к крепкости "фаллософского" рога, которым вы упираетесь, то умница-epros никогда ничего вам не докажет. А если не решили, то опровергните сами себя. Для этого вам дали информации более, чем достаточно.


Как происходит образование множества? Например (простейший случай): даны два элемента a и b. Что значит образовать множество из этих двух элементов? Что при этом происходит?

Согласно "определению" (Кантор, Хаусдорф) множество есть многое мыслимое как единое. Понимается это "определение" (Хаусдорф) как указание на психический акт, который может быть нельзя, а может не нужно, разлагать на более простые. Посредством этого акта мы мысленно объединяем некоторые элементы и с тем, что получилось в результате объединения, начинаем обращаться как с целым.

Мысленное действие происходит настолько быстро, что я не успеваю понять, как оно происходит. Например: допустим я хочу образовать множество из двух элементов a и b. Беру эти два элемента. И вот тут - стоп! - как только я их взял, как только я отделил их от остальных не начал ли я, тем самым, уже объединять их? Не являются ли дальнейшее решение - "буду обращаться с ними как с целым" - только закреплением сложившегося положения?

Было бы интересно узнать соображения других людей по этому поводу. Т.е. интересны попытки ответить на вопросы:

1. как происходит образование множества?
2. как успеть за этим процессом, как отследить его?
3. есть ли какое-либо другое "определение" множества?
25 ноября 2003 г. 06:04:


... множество определено тогда, когда определены все его элементы.
Вот и все, не нужно ни за чем успевать.

Есть другие мнения? Вопрос-то может иметь подводные камни...


Хорошо в
Френкель Бар-Хиллел Осноания теории множеств


> Хорошо в
> Френкель Бар-Хиллел Осноания теории множеств

А поподробнее можно? Нет у меня сейчас этой книжки к сожалению. К тому же я могу там не увидеть то, что увидели вы...


Если это аксиоматическая теория ZF,
то множества - это индивидные переменные в логической
системе 1 или второрого порядка + нелогические аксиомы.
В инете можно найти такое описание на англ.


> ... множество определено тогда, когда определены все его элементы.
> Вот и все, не нужно ни за чем успевать.

Конечно, вы можете так говорить. Т.е можно говорить, что множество существует вместе со своими элементами. Элементы есть - значит и множество есть, и все его подмножества есть. Но разве множество это то же самое, что все его элементы?
----
Мне ближе представление о множестве в духе Хаусдорфа.

Если даны два элемента a и b, то элементы мы обозначаем 'a', 'b', а процедуре образования множества соответствуют следующие действия: пишем открывающуюся фигурную скобку '{', записываем имена элементов, пишем закрывающуюся фигурную скобку'}'. Получаем запись, соответствующую множеству - {a, b}. Что этим действиям соответствует в "реальности"?

(Немного коряво написал, но яснее я не могу выразиться...)


Образование множества может происходить разными путями.
1. Тот случай, что привел ты: перечисление элементов. В реальности этому соответствует то, что ты просто берешь несколько штук чего-то и называешь их все вместе как-то. После чего употребляешь это новое название. Например: у меня есть три яблока: вот это - зеленое, вот это - красное, вот это - с червячком, я дальше говорить о них как о "моих яблоках" (множество). То есть описанию множества в математике путем перечисления элементов в реальной жизни соответствует появление в речи нового слова или выражения, которое соответствует нескольким старым.

2. Случай как в "наивной" теории множеств, когда элементами множества считается все, что удовлетворяет какому-то (характеристическому) свойству. Например то, что все те три яблока сейчас у тебя перед глазами. Ты замечаешь тот факт, что яблоки разные, но у них есть общее свойство (что они - яблоки и что они перед твоими глазами). Созданию такого множества в реальности соответствует тот момент, когда ты замечаешь это общее свойство и как-то его называешь ("яблоки, которые я вижу").


Что означает, что множество не является ограниченным?

Ответьте на этот вопрос: "Что означает, что множество не является ограниченным?" пжлста!!!! и по майлу tsirenov_dorzh@mail.ru
26 ноября 2003 г. 21:54

--------------------------------------------------------------------------------
Re: Что означает, что множество не является ограни
Павел
> Ответьте на этот вопрос: "Что означает, что множество не является ограниченным?" пжлста!!!! и по майлу tsirenov_dorzh@mail.ru
Следует задавать более конкретные вопросы. Не мешало бы сказать о множестве каких элементов идет речь.

Если множество X - подмножество множества вещественных чисел, то оно ограничено, если существует вещественное число М>0, такое что всякий элемент Х по модулю меньше M. Если такое условие не выполняется, то множество неограниченно.

Если речь идет о множестве в конечномерном нормированном пространстве, то определение примерно такое же, только вместо модуля используется норма.

А вообще, это есть в любом учебнике по математическому анализу. И вообще странно,что такие понятия могут вызывать затруднение.
27 ноября 01:14


Уважаемый Дил!
Мне кажется, я Вас прекрасно понял. Хотя Вы явно только осваиваетесь в математике, и Ваша терминология еще не вполне строга, мне все же импонирует Ваше творческое свободомыслие. Это то, чего не хватает умнице-эрпосу. Это - важная основа для Вашей деятельности, а строгость и точность мысли еще наработаете.

Уважаемый Зеннон!
"Фаллософский" рог - это, конечно, остроумно, но Вы ли, Эрпос ли, я ли, кто лишен эдипового комплекса? :)
Вообще говоря я хочу высказать Вам лично благодарность за то, что Вы подняли проблему с этой теоремой. Поисковик открыл мне адреса, на которых Вы ее обсуждали. На первый взгляд Ваше ощущение, что в теореме Кантора зарыта какая-то собака - странное, но когда я вдумался, то тоже почувствовал что-то сомнительное в ней. Насчет индукции - а на самом деле индукция там имеет место быть. Не отказывайтесь от этой мысли. ;)

И комментарий к одной мысли.

"Возможность назвать номер числа пи напрямую связана с возможностью написать это число на бумаге" (Дил).
В самую точку! Позвольте переформулировать то, что Вы сказали: ...напрямую связано с возможностью построить это число - описать его так или иначе. Хотя Эрпос это не понял, он прав в том, что не обязательно описать элементы последовательности, чтобы указать ее. Можно указать последовательность с помощью предела функции или с помощью функции, которая конструировала бы эту последовательность. Бесконечность компакто умещается в строчку. ;)


Я надеюсь, что следующие ссылки будут полезны в смысле благородного намерения "отделить мух от котлет" применительно к теории (трансфинитных!) множеств Г.Кантора.

А.А.Зенкин, “Диагональный метод Кантора: «мухи – отдельно, котлеты – отдельно”. – VIII-ая Общероссийская научная конференция «Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке», Секция «Символическая логика». Труды Конференции, изд-во Санкт-Петербургского государственного Университета, 2004. Стр. 487 – 491.

А.А.Зенкин, О некоторых семантических дефектах в логике интеллектуальных систем. – Девятая национальная конференция по искусственному интеллекту с международным участием (КИИ-2004), Секция 3. Правдоподобные рассуждения и неклассические логики. Тверь, Россия, 2004. Труды конференции, том 1, стр. 271-280.

А.А. Зенкин, О логике «правдоподобных» мета-математических заблуждений. – Всесоюзная конференция “Научная сессия МИФИ-2004”. Сборник научных трудов, том 3 “Интеллектуальные системы и технологии”, стр. 182 - 183

А.А.Зенкин, Априорные логические суждения с нулевой онтологией. – Сборник «Математика и опыт», изд. МГУ, 2004, ред. проф. А.Г.Барабашев, стр. 423-434.


Оригиналы этих и других статей можно скачать с сайтов

http://www.com2com.ru/alexzen/

http://www.raai.org/

Если будут проблемы с получением этих статей, постараюсь выслать по персональному запросу на e-mail: alexzen@com2com.ru


Насколько оспоримо утверждение, что замыканием замыкания множества М является замыкание М( [[M]]=[M]? Разве не существует точки x, не принадлежащей [М]: в окрестности этой точки лежит граничная точка М?
25 марта 2005 г. 21:04

--------------------------------------------------------------------------------
Re: Свойство замкнутых множеств KC 25 марта 21:30 нов
В ответ на №14641: Свойство замкнутых множеств от nobody , 25 марта 2005 г.:
> Насколько оспоримо утверждение, что замыканием замыкания множества М является замыкание М( [[M]]=[M]? Разве не существует точки x, не принадлежащей [М]: в окрестности этой точки лежит граничная точка М?
Но ведь в любой окрестности граничной точки М лежат точки самого М.


> Насколько оспоримо утверждение, что замыканием замыкания множества М является замыкание М( [[M]]=[M]? Разве не существует точки x, не принадлежащей [М]: в окрестности этой точки лежит граничная точка М?
> 25 марта 2005 г. 21:04

> --------------------------------------------------------------------------------
> Re: Свойство замкнутых множеств KC 25 марта 21:30 нов
> В ответ на №14641: Свойство замкнутых множеств от nobody , 25 марта 2005 г.:
> > Насколько оспоримо утверждение, что замыканием замыкания множества М является замыкание М( [[M]]=[M]? Разве не существует точки x, не принадлежащей [М]: в окрестности этой точки лежит граничная точка М?
> Но ведь в любой окрестности граничной точки М лежат точки самого М.
Не совсем - граничная точка может быть и изолированной. Видимо Вы имели в виду предельную точку.
Подробнее: так как замыкание [M] множества M - это объединение M с множеством М' его предельных точек, то требуется лишь проверить, что [M]' содержится в [M]
По определению предельной точки в любой окрестности V точки х из [M]' имеется точка y из [М], отличная от х. Если у лежит в М, то доказывать нечего. В противном случае y лежит в М' и поэтому в любой ее окрестности есть точки множества М. Возьмем окрестность U, содержащуюся в V и не содержащую точку х. В этой окрестности U найдется точка z из М. В силу предыдущего эта точка лежит в V и в М и отлична от х.


Всем привет! Может кто поможет решить такую задачу:
Дано: А1,А2,А3,... - открытые множества.
Доказать: 1)В случае конечного числа множеств их пересечение и их объединение открыто.
2)В случае бесконечного числа множеств открытым будет только объединение множеств, а пересечение нет.
Я могу решить эту задачу для двух множеств, но не понимаю, что изменится, если множеств станет бесконечно много?
Заранее спасибо.
27 марта 2005 г. 06:28:


> Всем привет! Может кто поможет решить такую задачу:
> Дано: А1,А2,А3,... - открытые множества.
> Доказать: 1)В случае конечного числа множеств их пересечение и их объединение открыто.
> 2)В случае бесконечного числа множеств открытым будет только объединение множеств, а пересечение нет.
> Я могу решить эту задачу для двух множеств, но не понимаю, что изменится, если множеств станет бесконечно много?
> Заранее спасибо.
> 27 марта 2005 г. 06:28:

То, что вы пытаетесь доказать может быть взято за аксиомы. (С помощью этих аксиом можно ввести топологию. И в этих аксиомах будет прямо указана разница между конечным и бесконечным пересечением.)

Если с аксиомами туго, то можете посмотреть на примерах. Возьмите последовательность интервалов
(-1-1, 1+1)
(-1-1/2, 1+1/2)
(-1-1/3, 1+1/3)
(-1-1/4, 1+1/4)
...
(-1-1/n, 1+1/n)
...

Посмотрите, что произодет если вы будете брать конечное пересечение интервалов и что произойдет если вы возьмете бесконечное пересечение.

1. В случае конечного пересечения, ваше пересечение будет равно самому маленькому из интервалов, и это будет открытое множество.

2. Бесконечным же пересечением будет
[-1, 1]
т.е. получится замкнутый отрезок.

Разница, в данном случае, в том, что в первом случае есть самый маленький интервал, а во втором случае - нет.


> То, что вы пытаетесь доказать может быть взято за аксиомы. (С помощью этих аксиом можно ввести топологию. И в этих аксиомах будет прямо указана разница между конечным и бесконечным пересечением.)

> Если с аксиомами туго, то можете посмотреть на примерах. Возьмите последовательность интервалов
> (-1-1, 1+1)
> (-1-1/2, 1+1/2)
> (-1-1/3, 1+1/3)
> (-1-1/4, 1+1/4)
> ...
> (-1-1/n, 1+1/n)
> ...

> Посмотрите, что произодет если вы будете брать конечное пересечение интервалов и что произойдет если вы возьмете бесконечное пересечение.

> 1. В случае конечного пересечения, ваше пересечение будет равно самому маленькому из интервалов, и это будет открытое множество.

> 2. Бесконечным же пересечением будет
> [-1, 1]
> т.е. получится замкнутый отрезок.

> Разница, в данном случае, в том, что в первом случае есть самый маленький интервал, а во втором случае - нет.


Спасибо за идею. С интервалами все отлично понятно.
Для конечного числа я доказывала так (+ обозначает объединение, * обозначает
пересечение):

1)Пусть x0 принадлежит А+В => x0 принадлежит А или х0 принадлежит В.
Если х0 принадлежит А, то существует шар В(х0,r1) принадлежащий А+В.
Если х0 принадлежит В, то существует шар В(х0,r2) принадлежащий А+В, ч.т.д.

2)Пусть х0 принадлежит А*В => х0 принадлежит А и х0 принадлежит В.
Тогда существует шар В(х0,r1) принадлежащий А, и существует шар В(х0,r2) принадлежащий В. => B(x0,min(r1,r2)) принадлежит А*В - открытое.


> > То, что вы пытаетесь доказать может быть взято за аксиомы. (С помощью этих аксиом можно ввести топологию. И в этих аксиомах будет прямо указана разница между конечным и бесконечным пересечением.)

> > Если с аксиомами туго, то можете посмотреть на примерах. Возьмите последовательность интервалов
> > (-1-1, 1+1)
> > (-1-1/2, 1+1/2)
> > (-1-1/3, 1+1/3)
> > (-1-1/4, 1+1/4)
> > ...
> > (-1-1/n, 1+1/n)
> > ...

> > Посмотрите, что произодет если вы будете брать конечное пересечение интервалов и что произойдет если вы возьмете бесконечное пересечение.

> > 1. В случае конечного пересечения, ваше пересечение будет равно самому маленькому из интервалов, и это будет открытое множество.

> > 2. Бесконечным же пересечением будет
> > [-1, 1]
> > т.е. получится замкнутый отрезок.

> > Разница, в данном случае, в том, что в первом случае есть самый маленький интервал, а во втором случае - нет.

>
> Спасибо за идею. С интервалами все отлично понятно.
> Для конечного числа я доказывала так (+ обозначает объединение, * обозначает
> пересечение):

> 1)Пусть x0 принадлежит А+В => x0 принадлежит А или х0 принадлежит В.
> Если х0 принадлежит А, то существует шар В(х0,r1) принадлежащий А+В.
> Если х0 принадлежит В, то существует шар В(х0,r2) принадлежащий А+В, ч.т.д.

> 2)Пусть х0 принадлежит А*В => х0 принадлежит А и х0 принадлежит В.
> Тогда существует шар В(х0,r1) принадлежащий А, и существует шар В(х0,r2) принадлежащий В. => B(x0,min(r1,r2)) принадлежит А*В - открытое.

Если пересечение бесконечное, то минимум может быть равен нулю, т.е. может не быть открытого шара входящего во все множества... в этом разница с конечным пересечением... поэтому для бесконечного пересечения доказательство не проходит... И есть контрпример (интервалы эти самые), который опровергает, что бесконечное пересечение открытых должно быть открыто.


Ну теперь я окончательно все поняла.
Спасибо за помощь!!!


Как доказать, что в связном множестве любые две точки можно соединить КОНЕЧНОЙ кривой?
25 апреля 2005 г. 10:21:


> Как доказать, что в связном множестве любые две точки можно соединить КОНЕЧНОЙ кривой?

никак (по крайней мере в такой постановке), поскольку для (линейной) связности достаточно существования НЕПРЕРЫВНОЙ кривой, а непрерывная кривая НЕ ОБЯЗАНА быть гладкой/дифференцируемой, и следовательно не обязана иметь длину.

Если ты все же неудовлетворен ответом, предлагаю рассмотреть множество точек лежащих на графике функции Вейерштрасса (непрерывная нигде недифференцируемая функция). Несомненно это связанное множество, любые две точки соединены непрерывной линией (самой функцией), но длины у нее нет.


А если добавить конечномерность и компактность множества?


> > Как доказать, что в связном множестве любые две точки можно соединить КОНЕЧНОЙ кривой?

Любое "связное множество" является множеством с заданными свойствами "связности".
Удовлетворив этому свойству, получаем "связную кривую".
Определяем метрику.
Если множество ограничено (конечно), то и кривая ограничена (конечна).
Если множество неограничено - то извините.

> никак (по крайней мере в такой постановке), поскольку для (линейной) связности достаточно существования НЕПРЕРЫВНОЙ кривой, а непрерывная кривая НЕ ОБЯЗАНА быть гладкой/дифференцируемой, и следовательно не обязана иметь длину.

> Если ты все же неудовлетворен ответом, предлагаю рассмотреть множество точек лежащих на графике функции Вейерштрасса (непрерывная нигде недифференцируемая функция). Несомненно это связанное множество, любые две точки соединены непрерывной линией (самой функцией), но длины у нее нет.

Ну, это Вы круто сказали.
Вероятно, математики что-то недопонимают.

Ozes


> > > Как доказать, что в связном множестве любые две точки можно соединить КОНЕЧНОЙ кривой?

> Любое "связное множество" является множеством с заданными свойствами "связности".
> Удовлетворив этому свойству, получаем "связную кривую".
> Определяем метрику.
> Если множество ограничено (конечно), то и кривая ограничена (конечна).
> Если множество неограничено - то извините.

> > никак (по крайней мере в такой постановке), поскольку для (линейной) связности достаточно существования НЕПРЕРЫВНОЙ кривой, а непрерывная кривая НЕ ОБЯЗАНА быть гладкой/дифференцируемой, и следовательно не обязана иметь длину.

> > Если ты все же неудовлетворен ответом, предлагаю рассмотреть множество точек лежащих на графике функции Вейерштрасса (непрерывная нигде недифференцируемая функция). Несомненно это связанное множество, любые две точки соединены непрерывной линией (самой функцией), но длины у нее нет.

> Ну, это Вы круто сказали.
> Вероятно, математики что-то недопонимают.

Любой человек имеет право ошибаться, но так как делаете это Вы так не возражают серьезные люди. Итак, Ваши аргументы, пожалуйста. Вы утверждаете, что кривая Вейерштрасса имеет КОНЕЧНУЮ длину?


> А если добавить конечномерность и компактность множества?

Я не совсем понимаю о чем речь. Кривая Вейерштрасса из предыдущего примера лежит в двумерном пространстве R^2, причем целиком в копакте, а имеено, в единичном квадрате.



> Итак, Ваши аргументы, пожалуйста. Вы утверждаете, что кривая Вейерштрасса имеет КОНЕЧНУЮ длину?

Я утверждаю, что, прежде чем определять длину кривой, необходимо определить ее метрику.
Определите мне метрику для кривой Вейерштрасса, а уж затем поговорим о ее длине.

Ozes


>
> > Итак, Ваши аргументы, пожалуйста. Вы утверждаете, что кривая Вейерштрасса имеет КОНЕЧНУЮ длину?

> Я утверждаю, что, прежде чем определять длину кривой, необходимо определить ее метрику.
> Определите мне метрику для кривой Вейерштрасса, а уж затем поговорим о ее длине.

Кривая Вейерштрасса как подмножество пространства/многообразия R^2
является СВЯЗАННЫМ множеством, поскольку является непрерывной линией в
метрике R^2, но не имеет конечной длины в этой метрике. Именно это и
имелось ввиду.


> Ozes


> >
> > > Итак, Ваши аргументы, пожалуйста. Вы утверждаете, что кривая Вейерштрасса имеет КОНЕЧНУЮ длину?

> > Я утверждаю, что, прежде чем определять длину кривой, необходимо определить ее метрику.
> > Определите мне метрику для кривой Вейерштрасса, а уж затем поговорим о ее длине.

> Кривая Вейерштрасса как подмножество пространства/многообразия R^2
> является СВЯЗАННЫМ множеством, поскольку является непрерывной линией в
> метрике R^2, но не имеет конечной длины в этой метрике. Именно это и
> имелось ввиду.

С каждым разом все круче.
Я же говорю, что математики чего-то недопонимают.
С чего Вы взяли, что кривая Вейрштрасса является непрерывной линией в метрике R^2?
Я же попросил Вас определить метрику для кривой Вейерштрасса.
Вы не смогли этого сделать, но тут же заявляете, что кривая Вейерштрасса
"является непрерывной линией в метрике R^2"
Где логика Ваших высказываний?

Ozes


> > >
> > > > Итак, Ваши аргументы, пожалуйста. Вы утверждаете, что кривая Вейерштрасса имеет КОНЕЧНУЮ длину?

> > > Я утверждаю, что, прежде чем определять длину кривой, необходимо определить ее метрику.
> > > Определите мне метрику для кривой Вейерштрасса, а уж затем поговорим о ее длине.

> > Кривая Вейерштрасса как подмножество пространства/многообразия R^2
> > является СВЯЗАННЫМ множеством, поскольку является непрерывной линией в
> > метрике R^2, но не имеет конечной длины в этой метрике. Именно это и
> > имелось ввиду.

> С каждым разом все круче.
> Я же говорю, что математики чего-то недопонимают.
> С чего Вы взяли, что кривая Вейрштрасса является непрерывной линией в метрике R^2?

Старая песня. Тут как говорится, комментарии излишни. Если кто не в курсе, т.е. не имел опыта общения на этом форуме с Ozes'ом, то рекомендую поискать прежние дискуссии с его участием, чтобы не удивлятся такой неподражаемой манере вести диалог.
Уважаемый Ozes, Вы утверждаете, что известный (доказанный) математический факт на самом деле не имеет места. Следовательно, чтобы прекратить наконец оболванивание общественности и столкнуть массы с ложного пути, Вам нужно поступить просто: взять какой-либо учебник матанализа, где рассматривается пример Вейерштрасса (напр. У. Рудин, Основы математического анализа) и показать, что доказательство ошибочно. Причем сделать это нужно, используя известную всем терминологию. Если же имеющийся математический аппарат Вас не устраивает, то нужно обосновать почему, а потом, объяснив свою "методу" изложить ее ясно, т.е. с принятыми нормами "строгости". Только чур не вспоминать про теорему Гёделя, когда Вас начнут "подтягивать по понятиям"!=)
Когда же все этапы этого (большого) пути будут пройдены, имеет смысл продолжать обсуждение.


> Я же попросил Вас определить метрику для кривой Вейерштрасса.

никто это делать и не собирался... и не собирается

> Вы не смогли этого сделать, но тут же заявляете,
> что кривая Вейерштрасса "является непрерывной линией в метрике R^2"

Совершенно верно, именно это я и заявляю/утверждаю. Если Вы, вдруг, думаете что это утверждение неверно/нелогично/неуместно, тогда на этом можно считать нашу дискуссию исчерпанной.

С уважением,
aborigen


Теорема:
М - связное множество, такое что все его сечения - выпуклы. Нужно доказать что М - выпукло.
Под сечениями понимаются множества вида Xi=const в пересечении с М.
Нужно доказать...
27 апреля 2005 г. 07:48:

dim-у предупреждение за плохую сообразительность. В следующий раз при открытии новой темы (при уже существующей) сообщение будет удалятьться.
Не обижайтесь.
Модератор.


По крайней мере, с утра :)
Берём пол-параболы (школьной, 0<=x<=1)? Cечения - пусто либо точка...
Видимо, условие - про все сечения мЕньшей размерности...


> По крайней мере, с утра :)
> Берём пол-параболы (школьной, 0<=x<=1)? Cечения - пусто либо точка...
> Видимо, условие - про все сечения мЕньшей размерности...

Ясно, что сечения будут иметь размерность на 1 меньше по ср. со множеством


> > Я же попросил Вас определить метрику для кривой Вейерштрасса.

> никто это делать и не собирался... и не собирается

> > Вы не смогли этого сделать, но тут же заявляете,
> > что кривая Вейерштрасса "является непрерывной линией в метрике R^2"

> Совершенно верно, именно это я и заявляю/утверждаю. Если Вы, вдруг, думаете что это утверждение неверно/нелогично/неуместно, тогда на этом можно считать нашу дискуссию исчерпанной.

> С уважением,
> aborigen

А дискуссии и не было.
Я лишь высказал мысль о том, что математики чего-то недопонимают по рассматриваемому вопросу.
Теперь и Вы, и все остальные участники форума смогли в этом сами убедиться.

Ведь все до очевидного просто.

Ozes


> > С каждым разом все круче.
> > Я же говорю, что математики чего-то недопонимают.
> > С чего Вы взяли, что кривая Вейрштрасса является непрерывной линией в метрике R^2?

> Старая песня. Тут как говорится, комментарии излишни. Если кто не в курсе, т.е. не имел опыта общения на этом форуме с Ozes'ом, то рекомендую поискать прежние дискуссии с его участием, чтобы не удивлятся такой неподражаемой манере вести диалог.

Вам не нравятся мои "неподражаемые манеры"?
Или у Вас еще недостаточно опыта для общения с мной.
Или Вы всех предупреждаете:
Берегитесь Ozes'a!
Он коварный и ужасный!

> Уважаемый Ozes, Вы утверждаете, что известный (доказанный) математический факт на самом деле не имеет места. Следовательно, чтобы прекратить наконец оболванивание общественности и столкнуть массы с ложного пути, Вам нужно поступить просто: взять какой-либо учебник матанализа, где рассматривается пример Вейерштрасса (напр. У. Рудин, Основы математического анализа) и показать, что доказательство ошибочно. Причем сделать это нужно, используя известную всем терминологию. Если же имеющийся математический аппарат Вас не устраивает, то нужно обосновать почему, а потом, объяснив свою "методу" изложить ее ясно, т.е. с принятыми нормами "строгости". Только чур не вспоминать про теорему Гёделя, когда Вас начнут "подтягивать по понятиям"!=)

Вы знаете.
Мне понравилась Ваша программа действий.
Вероятно я ей воспользуюсь.

> Когда же все этапы этого (большого) пути будут пройдены, имеет смысл продолжать обсуждение.

Странное заключение.
А до той поры, когда я это сделаю, Вы так и будете ходить "оболваненные"?
Я правильно Вас понял?

Ozes


> Теорема:
> М - связное множество, такое что все его сечения - выпуклы. Нужно доказать что М - выпукло.
> Под сечениями понимаются множества вида Xi=const в пересечении с М.
> Нужно доказать...
> 27 апреля 2005 г. 07:48:

Если речь идет о множестве, лежащем в произведении линейных пространств
E_1 x E_2 x ... x E_n и сечения понимаются как проекции на соответствующие линейные многообразия, а именно: сдвиги (n-1)-мерных "координатных плоскостей" (x_i = const), то теорема неверна. Можно рассмотреть какое-нибудь звездное (невыпуклое) множество на плоскости типа множества, ограниченного астроидой x^3 + y^3 = a^3: его сечения, параллельные осям координат, выпуклы - отрезки.


> Вы знаете.
> Мне понравилась Ваша программа действий.
> Вероятно я ей воспользуюсь.

> > Когда же все этапы этого (большого) пути будут пройдены, имеет смысл продолжать обсуждение.

> Странное заключение.
> А до той поры, когда я это сделаю, Вы так и будете ходить "оболваненные"?
> Я правильно Вас понял?
До этого дело просто не дойдет - по понятным причинам=)


> > Странное заключение.
> > А до той поры, когда я это сделаю, Вы так и будете ходить "оболваненные"?
> > Я правильно Вас понял?
> До этого дело просто не дойдет - по понятным причинам=)

Зря вы так думаете.
То, что я обещаю, я делаю всегда.

Ozes


Объясните мне неразумному, где ни будь действительно используется теория множеств, всякие Банаховы пространства и тому подобные вещи. Я могу понять куда применить дифференциальное исчисление интегральное вариационное, линейную алгебру, но вот что то не соображу куда приткнуть всякие пространства которые люди сами (ни на что не пологаясь) придумывают, изобретают всякие правила и на основание этого строят всякие теории, и куда их потом девать? Правильно догадались:). Ну а если по правде то хотелось бы понять каково их назначение, просто размышляю стоит ли их изучать или нет? В отличии от другой математики тяжеловато этот раздел идет, ДУ и то приятней.
25 апреля 2006 г. 01:30:


> Объясните мне неразумному, где ни будь действительно используется теория множеств, всякие Банаховы пространства и тому подобные вещи. Я могу понять куда применить дифференциальное исчисление интегральное вариационное, линейную алгебру, но вот что то не соображу куда приткнуть всякие пространства которые люди сами (ни на что не пологаясь) придумывают, изобретают всякие правила и на основание этого строят всякие теории, и куда их потом девать? Правильно догадались:). Ну а если по правде то хотелось бы понять каково их назначение, просто размышляю стоит ли их изучать или нет? В отличии от другой математики тяжеловато этот раздел идет, ДУ и то приятней.
> 25 апреля 2006 г. 01:30:

Все эти абстрактные понятия придуманы из конкретных вещей. Например, при изучении краевых задач для уравнений в частных производных возникают некоторые(банаховы или гильбертовы) пространства решений. Для каждого конкретного уравнения пространства будут свои. Но у всех них есть общие свойства, усмотрев которые умные люди сообразили, что можно ввести абстрактное пространство, удовлетворяющее этим свойствам. Это позволяет изучать не каждую задачу отдельно, а все задачи данного класса, которые вмещаются в одной абстрактной.


> > Объясните мне неразумному, где ни будь действительно используется теория множеств, всякие Банаховы пространства и тому подобные вещи. Я могу понять куда применить дифференциальное исчисление интегральное вариационное, линейную алгебру, но вот что то не соображу куда приткнуть всякие пространства которые люди сами (ни на что не пологаясь) придумывают, изобретают всякие правила и на основание этого строят всякие теории, и куда их потом девать? Правильно догадались:). Ну а если по правде то хотелось бы понять каково их назначение, просто размышляю стоит ли их изучать или нет? В отличии от другой математики тяжеловато этот раздел идет, ДУ и то приятней.
> > 25 апреля 2006 г. 01:30:

> Все эти абстрактные понятия придуманы из конкретных вещей. Например, при изучении краевых задач для уравнений в частных производных возникают некоторые(банаховы или гильбертовы) пространства решений. Для каждого конкретного уравнения пространства будут свои. Но у всех них есть общие свойства, усмотрев которые умные люди сообразили, что можно ввести абстрактное пространство, удовлетворяющее этим свойствам. Это позволяет изучать не каждую задачу отдельно, а все задачи данного класса, которые вмещаются в одной абстрактной.

Вот Данила и задумался над дилемой: или запомнить десяток аксиом и решать задачи индуктивным методом, или запомнить сорок теорем и решать задачи дедуктивным методом? По-моему - лучше синица в руке, чем журавль в небе. Решая задачи на основе аксиом, становишся математиком, решая задачи на основе формальной логики, становишся философом. Став философом, теряешь интерес к математике.
Вот Автор показал путь к совершенству: "введи абстрактное пространство во множество решений, удовлетворяющее общим свойствам и это позволит изучать не конкретную задачу, а все задачи сразу". Теперь бы узнать: что такое пространство решений?


Арх, но ведь те теоремы, которые приходится часто использовать, автоматически включаются во "внутреннюю расширенную" систему аксиом математика! Соверменная математика настолько далеко ушла от базисных аксиом, что, опираясь только на них, никак нельзя достичь профессионального уровня! Это же некийц провинциализм: "Нами обнаружена закономерность..." - а на самом деле эта закономерность уже давно известна в гораздо более общем случае!


Не ожидал такого внимания к своей персоне.
> Теперь бы узнать: что такое пространство решений?
Под пространством решений я понимаю, то множество(плюс топология и всё иже с ними) среди элементов которого ищется решение.
Вот абстрактный пример.
У вас есть формальное уравнение
A(x)=y. x from X, y from Y.
Можно пространства X и Y расширить до более широких пространств X1 и Y1, на которых определено расширение оператора A- A1. (A1|X=A).
И рассматривать уравнение A1(x)=y.

А теперь конкретный пример.
у вас есть уравнение Пуассона (с оператором Лапласа).
Формально оператор Лапласа определён для дважды непрерывно дифференцируемых функций, но его область определения можно расширить на обобщённые функции.
Например, решение ищут в пространствах Гёльдера или Соболева, что не одно и тоже. И получают разные оценки для нормы решения, правые части тоже берутся из различных классов.
То есть тут можно искать решение как из пространства Гёльдера, так и из пространства Соболева. Конечно, есть теоремы вложения, так что решение из одного пространства может заведомо лежать в другом, но для разных целей удобнее использовать разные пространства.


> Арх, но ведь те теоремы, которые приходится часто использовать, автоматически включаются во "внутреннюю расширенную" систему аксиом математика! Соверменная математика настолько далеко ушла от базисных аксиом, что, опираясь только на них, никак нельзя достичь профессионального уровня! Это же некийц провинциализм: "Нами обнаружена закономерность..." - а на самом деле эта закономерность уже давно известна в гораздо более общем случае!

Да. Например определение это по сути аксиома.
Сначала доказывали компактность числовой прямой, а потом введи определение компактности. И теперь говорится "пусть X компактное пространство...".

Тут интересная теория есть- правда это действительно философия уже- "принцип ограниченности" называется
http://osmf.sscc.ru/~amv/atitle.html
суть в том, что все наши понятия "бесконечности" лишь наши "иллюзии".
Кто-нибудь видел бесконечность?
начинаем с n=0 полагаем n:=n+1 и честно считаем.
Когда надоест - это тока половина.))))
А идея такая. Мы приходим к аксиоме из некоторого "опыта", но наш опыт ограничен конечностью выборки. Сначала у нас возникает гипотеза, а потом она "устаивается" в аксиому. Вопрос в том, достаточно ли опыта мы приобрели?

А ведь практически вся наша терия множеств строится на понятии бесконечности.
Интересно мнение (вменяемых) форумчан по этому вопросу.


> > Арх, но ведь те теоремы, которые приходится часто использовать, автоматически включаются во "внутреннюю расширенную" систему аксиом математика! Соверменная математика настолько далеко ушла от базисных аксиом, что, опираясь только на них, никак нельзя достичь профессионального уровня! Это же некийц провинциализм: "Нами обнаружена закономерность..." - а на самом деле эта закономерность уже давно известна в гораздо более общем случае!

Вот подтверждение моих слов: плавно переходим от математики к философии.

> Да. Например определение это по сути аксиома
> Сначала доказывали компактность числовой прямой, а потом введи определение компактности. И теперь говорится "пусть X компактное пространство...".

"Например определение это по сути аксиома" что означает? Слово "определение" имеет множество значений. Что такое "по сути"? Прижилось же слово "пусть", чтоб ему пусто было! "Х" - пространство, да , к тому же, компактное. Какое множество
смыслов включает в себя символ "Х"?


> Тут интересная теория есть- правда это действительно философия уже- "принцип ограниченности" называется
> суть в том, что все наши понятия "бесконечности" лишь наши "иллюзии".
> Кто-нибудь видел бесконечность?

Если я не вижу конца, то, значит, я вижу бесконечность.

> начинаем с n=0 полагаем n:=n+1 и честно считаем.
> Когда надоест - это тока половина.))))
> А идея такая. Мы приходим к аксиоме из некоторого "опыта", но наш опыт ограничен конечностью выборки. Сначала у нас возникает гипотеза, а потом она "устаивается" в аксиому. Вопрос в том, достаточно ли опыта мы приобрели?

Ответ: не достаточно.

> А ведь практически вся наша терия множеств строится на понятии бесконечности.
> Интересно мнение (вменяемых) форумчан по этому вопросу.

Наша терия множеств строится на алгебре логики, бесконечность вне нашего поля зрения.


> > > Арх, но ведь те теоремы, которые приходится часто использовать, автоматически включаются во "внутреннюю расширенную" систему аксиом математика! Соверменная математика настолько далеко ушла от базисных аксиом, что, опираясь только на них, никак нельзя достичь профессионального уровня! Это же некийц провинциализм: "Нами обнаружена закономерность..." - а на самом деле эта закономерность уже давно известна в гораздо более общем случае!

> Вот подтверждение моих слов: плавно переходим от математики к философии.

> > Да. Например определение это по сути аксиома
> > Сначала доказывали компактность числовой прямой, а потом введи определение компактности. И теперь говорится "пусть X компактное пространство...".
>
> "Например определение это по сути аксиома" что означает? Слово "определение" имеет множество значений. Что такое "по сути"? Прижилось же слово "пусть", чтоб ему пусто было! "Х" - пространство, да , к тому же, компактное. Какое множество
> смыслов включает в себя символ "Х"?
У меня такое чувство, что Вы тут придираетесь да ещё с "философской" издёвкой.)))


> > Тут интересная теория есть- правда это действительно философия уже- "принцип ограниченности" называется
> > суть в том, что все наши понятия "бесконечности" лишь наши "иллюзии".
> > Кто-нибудь видел бесконечность?

> Если я не вижу конца, то, значит, я вижу бесконечность.
Тут Вы не правы. Вы идёте по дороге и не видите конца, дорога бесконечна?


> > А идея такая. Мы приходим к аксиоме из некоторого "опыта", но наш опыт ограничен конечностью выборки. Сначала у нас возникает гипотеза, а потом она "устаивается" в аксиому. Вопрос в том, достаточно ли опыта мы приобрели?

> Ответ: не достаточно.
Естественно. Так вот мы можем по этой конечной выборке построить более-менее адекватную модель, а при увеличении объёма выборки придётся модель перестраивать, а, быть может, вообще отказаться от неё и строить другую.

> > А ведь практически вся наша терия множеств строится на понятии бесконечности.
> > Интересно мнение (вменяемых) форумчан по этому вопросу.

> Наша терия множеств строится на алгебре логики, бесконечность вне нашего поля зрения.
А множество целых/рацоинальных/действительных чисел бесконечно?
Бесконечность является скрытой "аксиомой" в теории множеств.

От себя скажу следующее. Я лишь хочу разобраться, по-настоящему хочу! Поэтому я всё подвергаю сомнению и это (быть может:-)) правильно.
Как только удастся разбраться, всё ложное само уйдёт. :)))
У меня такое чувство, что без полного беспристрастного философского осмысления мы не сможем ни в чём разобраься до конца. Конечно, можно задаться набором аксиом и строить по ним формальную логику, разумно ли это? а если аксиомы не верны (в том смысле, что не адекватны реальности)?


> Конечно, можно задаться набором аксиом и строить по ним формальную логику, разумно ли это? а если аксиомы не верны (в том смысле, что не адекватны реальности)?

Интересный вопрос. Вообще аксиомы (которые мы не доказываем) считаются "доказанными" из жизненного опыта или, если угодно, из здравого смысла. То есть мы в формальную систему вносим некую аксиому, потому что "в жизни" она выполняется.

Но вот аксиоматика теории множеств не может похвастаться такой обоснованостью своих аксиом. В ТМ есть масса таких утверждений, про жизненные аналоги которых мы ничего не можем сказать, так как они оперируют с совершенно неясными понятиями.

"Все квадозябрики сепаральны" - вот и думай, принимать это за аксиому или нет.:-)
--------------------------------

Но арифметика представляется более-менее обоснованной. Что касается спора про бесконечность, то если ее исключить, то мы в нашей теории лишаемся принципа потенциальной осуществимости.

Я имею в виду, что можно будет сконструировать такую конечную систему, количество состояний которой зашкалит за разрешенную отметку. Хотя ведь хочется, чтобы можно было просто перебрать все состояния этой системы.

Приведу пример: если чуточку промелочиться с выбором количества натуральных чисел, то может запросто получиться, что всевозможных партий в шахматы больше.
И нам придется признать, что перебрать все эти партии нельзя даже теоретически.


09 мая 2006 г. 22:58:


Привет! Живые есть, говори. Только я пока не понимаю из твоего описания, какой статус носит то, что ты хочешь рассказать. Это некоторая конкретная аксиоматическая теория множеств?


> 09 мая 2006 г. 22:58:

>
> Привет! Живые есть, говори. Только я пока не понимаю из твоего описания, какой статус носит то, что ты хочешь рассказать. Это некоторая конкретная аксиоматическая теория множеств?

Ираклий! текст было начал ставить но меня сразу стёрли.
Придется заново писать, а это трудно и неприятно.
У меня есть несколько вопросов к вам.
я оставлял свой мейл но вы не реагировали.
Как с вами связаться по мейлу?
Я хотел бы пообщаться с кем-либо, кто расскажет мне про этот форум.
Потому что этот форум для посторонних разговоров не приспособлен.
с трудом я понял что вы из Питера, а то что вы студенты видно и по темам.


> Магеллан , 07 мая 2006 г. 07:56:

> Я знаю некое определение понятия множества. позволяющее строить различные (по аксиоматике) теории множеств. Это довольно сложно для понимания. но математический аппарат не слишком "углублённый" (на уровне двух-трех курсов мат.фака советского универа). Если здесь есть кто живой - ответьте я рад буду общению и разговору.

> 09 мая 2006 г. 22:58:

>
> Привет! Живые есть, говори. Только я пока не понимаю из твоего описания, какой статус носит то, что ты хочешь рассказать. Это некоторая конкретная аксиоматическая теория множеств?

Добрый вечер.
Почитал то, что оставил модератор (спасибо ему, что оставил). Впечатлило. В самом деле интересные мысли.
Советую вам набрать текст лекций в ворде или где хотите и потом уже копировать.
И ещё желательно подчистить его от "падокаффскаго сленга". :-)

Название "медоведение" забавно, особенно учитывая, уже, правда, относительно стихнувший (в интернете) ажиотаж вокруг медведа. :-) Может расширить название до "медведоведение"? :-) Шучу.

Сам я тоже пытаюсь философски осмыслить всё, что успел изучить. Чем-то лекция 1 мне показалась похожей на восточную философию. Восток, вообще, дело тонкое. Когда мы изучем объект, мы на самом деле изучаем не его, а наши представления о нём. Это я о именовании, то есть присвоении имени. Или я не прав?

Мне кажется мы могли бы додумать вашу теорию вместе. В смысле мне хотелось бы с вами посотрудничать. Но если вы против, то по крайней мере с современной математикой я знаком (всё относительно, конечно) и могу помочь хотя бы с возникающими по ходу вопросами. Пишите на мыло, только не забудте представиться :-)
daniel_m@list.ru


Краткие тезисы медоведения:
1.
Множество - это регистровое образование, построенное на отношении принадлежности.
Регистровые образования, построенные на других отношениях (например на отношении "больше" - в элементарном меде Ахма) можно также рассматривать как множества с другой аксиоматикой (аксиоматику не задаем, а получаем).
В нашей теории множеств (построенной на отношении принадлежности) существует самое маленькое множество - "пустое", но не существует самого большого - множества всех множеств (потому что этот объект - не множество).
В теории множеств, построенной в элементаром меде Ахма на отношении больше или меньше, существует либо самое маленькое (пустое), либо самое большое ("супер", множество всех множеств) - при чем и то и то в нашем мире является нашей обычной советской единицей (натуральным числом "единица").
2.
Мед - это объект, построенный на исчерпании какой-нибудь идеи.
Мед, построенный на исчерпании идеи "большего" имеет физический смысл, являясь вместилищем миров* (*мир - это все объекты (это не обязательно множество, мир обычно лишь "содержит множественуную часть"), существующие одинаковым, либо родственным существованием. "Родственное существование" например - "то, что есть", "то, что было" и "то что будет". А "то, что могло бы быть" - уже не родственно "тому что есть". Миры устроены довольно сложно.)
3.
В медоведении приходится использовать понятие "разума" как термин. Чего обычно не делается в математике.
В математики также не пользуются определением "существования" - описывая его каждый раз де-факто (доказывая что что-то "существует").
Т.е. для математика существует только то, что существует.
В медоведении приходится более пристально рассматривать объект "существование".

Законы "существующего" определяет необъектная, "несуществующая" часть меда.

Пример (конечно не корректный, но показывает что имею я в виду): откройте кран на кухне. Потечет струя воды. Эта струя - модель мира. В струе - если она достаточно сложно устроена - возможен разум (предположим).
А вы - вы не вода и не течете - но Вы открыли кран и можете его закрыть, или подставить палец и разбить струю на части - Вы - вместе со всем миром, попределяющим и ваши и воды законы - вот это Мед для мира из струи.

Кажется странным, как это несуществующее может определять законы существующего? Но вот законы нынешнего, как правило определяет прошлое - а ведь оно не существует.

-----------

Уважаемые модеры!
Спасибо что текст сохранили, скачал и малость переправил, потом поставлю - в следующий раз. Когда хоть кто-то вновь проявит интерес. Облегчили мне сердце, а то я чуть не умер.
Вот я поставлю тезисы медоведения, чтобы можно было судить относится оно к математике или нет. На самом деле медоведение - это естественное обобщение математики. От физики оно гораздо дальше, ведь я был математик (но я всегда был медовед).
Практика показывает что идеи медоведения становятся понятны через два-три года постоянного общения. Медоведение - это такой математический способ понимания мира. От общего образования это мало зависит.
Например Шафаревич - медовед, а Фоменко - не медовед.
Хотя и оба академики, ага.

Вот пример медоведчекого восприятия - теорема Ферма доказана (уф, наконец).
Что это означает для медоведа?
А то что в мире существют вещи типа золота. Золото валяется на поверхности, а в глубине земли его и нету ни фига, напрасно инженер Гарни рыл бы грунт.
Так и в науке - если что то рядом, здесь, то вовсе и не значит что везде его и завались. Его там дальше может быть и нет!
(Обыденное, не научное сознание подсказывает нам обратное - если уж рядом есть, легок, навалом - то дальше тоже много, даже больше. А вовсе вот и нет, показывает теорема нам Ферма.)


> Краткие тезисы медоведения:
> 1.
> Множество - это регистровое образование, построенное на отношении принадлежности.
> Регистровые образования, построенные на других отношениях (например на отношении "больше" - в элементарном меде Ахма) можно также рассматривать как множества с другой аксиоматикой (аксиоматику не задаем, а получаем).
> В нашей теории множеств (построенной на отношении принадлежности) существует самое маленькое множество - "пустое", но не существует самого большого - множества всех множеств (потому что этот объект - не множество).
> В теории множеств, построенной в элементаром меде Ахма на отношении больше или меньше, существует либо самое маленькое (пустое), либо самое большое ("супер", множество всех множеств) - при чем и то и то в нашем мире является нашей обычной советской единицей (натуральным числом "единица").
> 2.
> Мед - это объект, построенный на исчерпании какой-нибудь идеи.
> Мед, построенный на исчерпании идеи "большего" имеет физический смысл, являясь вместилищем миров* (*мир - это все объекты (это не обязательно множество, мир обычно лишь "содержит множественуную часть"), существующие одинаковым, либо родственным существованием. "Родственное существование" например - "то, что есть", "то, что было" и "то что будет". А "то, что могло бы быть" - уже не родственно "тому что есть". Миры устроены довольно сложно.)
> 3.
> В медоведении приходится использовать понятие "разума" как термин. Чего обычно не делается в математике.
> В математики также не пользуются определением "существования" - описывая его каждый раз де-факто (доказывая что что-то "существует").
> Т.е. для математика существует только то, что существует.
> В медоведении приходится более пристально рассматривать объект "существование".

> Законы "существующего" определяет необъектная, "несуществующая" часть меда.

> Пример (конечно не корректный, но показывает что имею я в виду): откройте кран на кухне. Потечет струя воды. Эта струя - модель мира. В струе - если она достаточно сложно устроена - возможен разум (предположим).
> А вы - вы не вода и не течете - но Вы открыли кран и можете его закрыть, или подставить палец и разбить струю на части - Вы - вместе со всем миром, попределяющим и ваши и воды законы - вот это Мед для мира из струи.

> Кажется странным, как это несуществующее может определять законы существующего? Но вот законы нынешнего, как правило определяет прошлое - а ведь оно не существует.

> -----------

> Уважаемые модеры!
> Спасибо что текст сохранили, скачал и малость переправил, потом поставлю - в следующий раз. Когда хоть кто-то вновь проявит интерес. Облегчили мне сердце, а то я чуть не умер.
> Вот я поставлю тезисы медоведения, чтобы можно было судить относится оно к математике или нет. На самом деле медоведение - это естественное обобщение математики. От физики оно гораздо дальше, ведь я был математик (но я всегда был медовед).
> Практика показывает что идеи медоведения становятся понятны через два-три года постоянного общения. Медоведение - это такой математический способ понимания мира. От общего образования это мало зависит.
> Например Шафаревич - медовед, а Фоменко - не медовед.
> Хотя и оба академики, ага.

> Вот пример медоведчекого восприятия - теорема Ферма доказана (уф, наконец).
> Что это означает для медоведа?
> А то что в мире существют вещи типа золота. Золото валяется на поверхности, а в глубине земли его и нету ни фига, напрасно инженер Гарни рыл бы грунт.
> Так и в науке - если что то рядом, здесь, то вовсе и не значит что везде его и завались. Его там дальше может быть и нет!
> (Обыденное, не научное сознание подсказывает нам обратное - если уж рядом есть, легок, навалом - то дальше тоже много, даже больше. А вовсе вот и нет, показывает теорема нам Ферма.)

Теория как я уже говорил интересная. Жаль что вы на мой пост не отреагировали (а ещё говорите никто не интересуется).
Есть вопросы.
Как расшифровывается "Ахма"?
Когда идея исчерпывается, это получается бесконечный процесс?
Но бесконечность является лишь идеализаией разума. Вы согласны?
Объективно никто бесконечности не видел.
Я не отрицаю того, что она, быть может, есть, но и не принимаю.
Как вы решаете эту проблему?


"Ахма" - это модель, на которой можно какие-то вещи показать не влезая в сложную математику. Ведь это лишь самое начало науки - а в таких случаях применяются разные способы обьяснения - потому тчо и задача тут другая.
Я написал вам ознакомительное письмо по данному вами адресу - жду ответа.
почту првоеряю в разное время и нерегулярно - но каждый день обычно проверяю.
Маг.


насчет бесконечности - я как раз не уверен что существует что-либо конечное.
Сдается это - видимость.
Потому что иначе получчается что мы живем "в начале" - меньше конечного ничего нет - а бесконечностей богато. Но мы Ни где не живем в Начале - почему же вдруг тут? сомнительно это. Поэтому так и сложна континуум-гипотеза.
Кстати ее ведь вроде доказал Коэн тридцать лет тому как? или что?


> Кстати ее ведь вроде доказал Коэн тридцать лет тому как? или что?

Из совместных результатов Геделя и Коэна следует, что КГ не зависет от аксиом ZF. Типа как в геометрии аксиома параллельных не зависет от остальных аксиом. Примем эту аксиому - будет геометрия Евклида, примем ее отрицание - получается геометрия Лобачевского.

Так и в теории множеств Цермело-френкеля. Добавляя либо КГ, либо ее отрицание к основным аксиомам, мы получаем разные теории множеств.


> > Кстати ее ведь вроде доказал Коэн тридцать лет тому как? или что?

> Из совместных результатов Геделя и Коэна следует, что КГ не зависет от аксиом ZF. Типа как в геометрии аксиома параллельных не зависет от остальных аксиом. Примем эту аксиому - будет геометрия Евклида, примем ее отрицание - получается геометрия Лобачевского.

> Так и в теории множеств Цермело-френкеля. Добавляя либо КГ, либо ее отрицание к основным аксиомам, мы получаем разные теории множеств.

О! Классно! значит я был на правильном пути, в понимании коненого и бесконечного вобще. Спасибо вам Ираклий - когда книга Коэна только появилась. после математического конгресса в 66-том, понять что-либо было трудно, он хитрил.


> > > Кстати ее ведь вроде доказал Коэн тридцать лет тому как? или что?

> > Из совместных результатов Геделя и Коэна следует, что КГ не зависет от аксиом ZF. Типа как в геометрии аксиома параллельных не зависет от остальных аксиом. Примем эту аксиому - будет геометрия Евклида, примем ее отрицание - получается геометрия Лобачевского.

> > Так и в теории множеств Цермело-френкеля. Добавляя либо КГ, либо ее отрицание к основным аксиомам, мы получаем разные теории множеств.
И Ираклию, и Магеллану.
Насчёт КГ не совсем так. Вернее я видел в книге Александрова П.С. "Теория множеств и общая топология" следующее
1. Сначала вводится "аксиома выбора"- "из любого набора дизъюнктивных подмножеств множества X множно выбрать по точке, и полученный набор точек снова будет множеством".
2. Потом доказывается, что любое множество можно отобразить на впролне упорядоченное множество, то есть сделать вполне упорядоченным.
3. Континуум-гипотеза ("Не существует множеств промежуточной мощности между Алеф-0 и Алеф-1". это она?) доказывается на основании 1 и 2.
Хотя, скорее всего, можно взять КГ за аксиому и из неё вывести "аксиому выбора".

> О! Классно! значит я был на правильном пути, в понимании коненого и бесконечного вобще. Спасибо вам Ираклий - когда книга Коэна только появилась. после математического конгресса в 66-том, понять что-либо было трудно, он хитрил.

Магеллану.
Кстати, ваш мед это, как я понял, это совокупность элементов и отношения порядка и постулируется, что для любого элемента найдётся элемент "больший" и существует первый элемент - самый "меньший"?
А ведь это вполне упорядоченное множество получается (см. в той же книге).
То есть вопрос в том вы уверены, что открыли нечто новое (в математике)?
Взгляд на жизнь через призму математики всё равно интересный, мне нравится.

З.Ы. Отвечу на письмо.


Блин, Даниель, - не т о р о п и т е с ь ПОНИМАТЬ!

Вот теорию относительности как все просто понимают - "всё относительно"!
Чего тут нового? Как в анекдоте про тюрьму: "Ты, Ваня, ходишь? Нет, Ваня, ты - СИДИШЬ!"

Ваша ошибочная мысль сбивает с толку тех кто тут зайдет (быть может все-таки) и прочитает. (Письмо я ваше получил, сейчас буду читать и отвечать).

Мед - вообще не множество - он только СОДЕРЖИТ множественную часть.
Мед - это объект, построенный на исчерпании идеи "большего" - но чтобы это правильно понять, увидеть, надо пройти по той дорге, по которой я прошел к нему. Отсюда и литературность моих "лекций" . А в сторону свернуть совсем легко и после так сказать: да в этом нет ничего нового.
Если бы это было просто объяснить - то я бы объяснил не приводя там неформальные примеры и не вдаваясь в просторонние для математика предметы!
А грубо говоря - так я объяснял про мед своим лимитчикам-рабочим - мед это все что ЕСТЬ и все чего НЕТ. Но более-менее математически офромленное в объект о котором мы можем многое узнать.
Т.е. Мед это типа абсолютное ВСЁ. НО это вовсе и не означает что кроме меда ничего и нет. Однако это все-таки понять не просто.
Поэтому и надо говорить о СУЩЕСТВОВАНИИ как о ОБЪЕКТЕ.
Поэтому и надо медоведение - иначе получается туфта.



> Насчёт КГ не совсем так. Вернее я видел в книге Александрова П.С. "Теория множеств и общая топология" следующее

> 3. Континуум-гипотеза ("Не существует множеств промежуточной мощности между Алеф-0 и Алеф-1". это она?) доказывается на основании 1 и 2.
> Хотя, скорее всего, можно взять КГ за аксиому и из неё вывести "аксиому выбора".

Энрико Ферми когда его в бомбардировщике везли за океан тоже положил в карман записку о словами: "я доказал теорему Ферма" - на случай вдруг собьют, шутка такая.
То, что вы сейчас сказали Даниэль, меня конечно удивляет.
Такого я не слыхивал. Если из один и два следует три, а из три и один следует два - то это какая то удивительная логика. Уж или мухи, или котлеты.


> Насчёт КГ не совсем так. Вернее я видел в книге Александрова П.С. "Теория множеств и общая топология" следующее
> 1. Сначала вводится "аксиома выбора"- "из любого набора дизъюнктивных подмножеств множества X множно выбрать по точке, и полученный набор точек снова будет множеством".
> 2. Потом доказывается, что любое множество можно отобразить на впролне упорядоченное множество, то есть сделать вполне упорядоченным.
> 3. Континуум-гипотеза ("Не существует множеств промежуточной мощности между Алеф-0 и Алеф-1". это она?) доказывается на основании 1 и 2.

Это не соответствует действительности.

> Хотя, скорее всего, можно взять КГ за аксиому и из неё вывести "аксиому выбора".

И это тоже не верно. КГ и аксиома выбора независимы.


> > Насчёт КГ не совсем так. Вернее я видел в книге Александрова П.С. "Теория множеств и общая топология" следующее
> > 1. Сначала вводится "аксиома выбора"- "из любого набора дизъюнктивных подмножеств множества X множно выбрать по точке, и полученный набор точек снова будет множеством".
> > 2. Потом доказывается, что любое множество можно отобразить на впролне упорядоченное множество, то есть сделать вполне упорядоченным.
> > 3. Континуум-гипотеза ("Не существует множеств промежуточной мощности между Алеф-0 и Алеф-1". это она?) доказывается на основании 1 и 2.

> Это не соответствует действительности.

> > Хотя, скорее всего, можно взять КГ за аксиому и из неё вывести "аксиому выбора".

> И это тоже не верно. КГ и аксиома выбора независимы.

Да. Посмотрел книгу. Действительно, я лажанулся.



Сообщение №18106 от магеллан , 27 мая 2006 г. 11:09:
В ответ на №18105: Re: Не могу взять школьный интеграл от магеллан , 27 мая 2006 г.:


> То, что каждому элементу множества "неберушихся" функций, можно сопоставить счетное множество "берушихся" - не означает что их больше.
> Множество "неберушихся" явно больше чем множество "берушихся" - поэтому.
> Я ведь ставил этот мессаг в теории множеств - потому что в интегральном смысле это малоинтересно, а вот о множествах кое-что показывает, как пример.

Извините, из-за спешки выразился некорректно.

Если каждому элементу можно сопоставить счетное множество элементов другого множества - то оно не больше, но разумеется не меньше.
А неинтегрируемых функций больше - потому что есть там и недеференцируемые (не гладкие).
Я же хотел только показать как сложно бывают устроены множества - вот некий бесконечный ряд дифференцируемых функций упирается в "неберушуюся" функцию - т.е. имеет "конец" с этой стороны (или "начало" - как угодно).
Проблема "концов" и "начал" в мире - сложная проблема.
Я просто хотел бы кого-либо этой проблемой заинтересовать, а с интеграла начал чтобы не на пустом месте.
Вот наша теория множеств имеет "начало" - самое маленькое множество - "пустое" - но не имеет "конца" "множества всех множеств" - ибо это образование есть совокупность, но - не множество.
Вот почему я ставил сей мессаг в разделе "множества" - но модеры его перенесли не спрашивая в раздел "интегралы" - и мои рассуждения тут не к месту как бы. Да впрочем им с бугра виднее.


Вопрос - скажите мне кто знает - я не помню.
Я помню, что множество всех подмножеств любого множества имеет мощность большую чем исходно емножество.
Но я не помню (сорок лет назад учил - в 66) - а промежуточные есть?
Или мощность всех подмножеств следующая за мощностью исходного множества?
Тогда мощность мнодества мощностей счетно?
Скажите мне кто знает.
(после инсульта все почти забыл)


> Вопрос - скажите мне кто знает - я не помню.
> Я помню, что множество всех подмножеств любого множества имеет мощность большую чем исходно емножество.
> Но я не помню (сорок лет назад учил - в 66) - а промежуточные есть?
> Или мощность всех подмножеств следующая за мощностью исходного множества?
> Тогда мощность мнодества мощностей счетно?

Обобщенная континуум-гипотеза утверждает, что промежуточных мощностей никогда нет. (Обычная континуум-гипотеза утверждает это лишь для случая N и R.) Но это в случае наличия аксиомы выбора (т.е. когда все мощности имеются среди ординалов).

Но из этого никак не следует счетность множества всех мощностей. Более того, в ZF такого множества просто не существует. Для любой наперед заданной мощности можно указать множество, элементами которого являются можности, мощность которого больше заданной.


> Обобщенная континуум-гипотеза утверждает, что промежуточных мощностей никогда нет.

- Да... хорошо что К-Г это независимое свойство, а не железобетонное следствие из прочих аксиом. Потому что мир из таких множеств не так уж интересен... и врядли мы в таком мире обитаем.
Уже наличие самосознания в нашем рузуме тредует довольно сложной теории множеств (если принять модель разума, в которой каждому разуму с самосознанием сопоставляется множество объектов, доступных ему для восприятия их и воздействия на них, содержащее самоё себя как элемент "я").
А ведь самосознание имеется не только у собак и человека, но и у дождевых червей и тараканов, у которых две ганглии и разума совсем и мало как бы, но... их поведение не менее разумно чем у человека.
Попробуй такое множество построить - черта с два что выйдет, а вот есть.
Т.е. "реальная" теория множеств, необходимая для жизни всех существ, сложнее нашей - математической Цермело-Френкеля. Хотя и эту я не очень понимаю.

(Обычная континуум-гипотеза утверждает это лишь для случая N и R.) Но это в случае наличия аксиомы выбора (т.е. когда все мощности имеются среди ординалов).

- Забыл, не знал, не помню что такое "ординал" - не дадите ли определение?

> Но из этого никак не следует счетность множества всех мощностей.

- Да, да, конечно! это я снова жидко о. Счетно лишь множество мощностей множеств построенное для любого данного множества вышеуказанным образом.
Т.е. его хвост. Утверждение Магеллана-Ираклия: при выполнении К-Г хвост у любого множества счётен.

"Более того, в ZF такого множества просто не существует. Для любой наперед заданной мощности можно указать множество, элементами которого являются можности, мощность которого больше заданной."

- вот это непонятно. Нельзя ли высказаться пояснее? Какого можноства не существует? Какое множество можно указать и что является его элементами?

А вообще спасибо. Хоть вы и чураетесь переписки по мейлу, но вы похоже математик. От ваших слов в мою измученную душу вливается потоком сила жизни.


> - Забыл, не знал, не помню что такое "ординал" - не дадите ли определение?

Вполне упорядоченные множества распадаются на классы эквивалентности. (Два ВУМ эквивалентны, если между ними имеется биекция, т.е. взаимно-однозначное соответствие, сохраняющая порядок.) По некоторому правилу из этих классов выбираются представители, которые образуют систему вложенных друг в друга множеств:
0 с 1 с 2 с ... c N c ...

В этом списке 0 - это пустое множество, а каждый последующий элемент - множество всех предыдущих элементов. Это и есть ординалы. Любое множество ординалов вполне упорядочено отношением включения "с". Но не существует множества (в ZF), состоящего из всех этих ординалов.

> А вообще спасибо. Хоть вы и чураетесь переписки по мейлу, но вы похоже математик.

Всего лишь студент... :-) А форум ничем не плох для обсуждения этих вопросов, тем более, это может быть еще кому-то интересно.
-----------------------------------------------------
На всякий случай:
Вполне упорядоченное множество - это такое линейно упорядоченное множество, что любое его подмножество содержит наименьший элемент.

Например, натуральные числа вполне упорядочены, а рациональные - нет.


Для студента вы очень толково объясняете, у вас преподавательский талант (или есть опыт).
Хотя я так и не понял какое множество не существует в Z-F? (Относительно устройства мощностей).
По вам выходит что ординалы в этом смысле охватывают все множества ZF?
Тогда непонятно почему множество мощностей НЕ счетно? Не понимаю я чего-то (не прикол).

Множество ВСЕХ оридналов - не существует потому что тут как всегда подводит самое понятие "ВСЁ" - оно изначально парадоксообразующее.
Не зря же умный и безбрачный Кант сказал что "всё" есть тощая абстракция.
Элементарный мед Ахма (объекты - натуральные числа (других нет), роль отношения принадлежности выполняет отношение - "больше" или "меньше") дает модель такой теории множеств, в котором наоборот - нет пустого множества, а есть самое большое - т.е. ВСЁ.

Да, вот, действительно учил оказывается когда-то ординалы тоже.
Но начисто забыл.
Зачем нужны ординалы?
Для чего полезны?
В математике ведь стараются не вводить понятие, если без него можно обойтись.
Потому что объектов можно нарисовать такую уйму, так что жизни не хватит запомнить даже имена. Например треугольники, которые без усилия пролазят основанием в единичный круг - назвать "треугольной единичной опричниной столь сладкой дождевым червям".
Или числа километровой длинны по именам собственным именовать (маша, даша, глаша, и т.д.). К примеру путь "маша" это такие числа, у которых первые сто знаков получаются из последних ста знаков заменой четных цифр нечетными, следующими за ними - 6 = 7.
Но зачем?

На форуме можно было бы общаться - когда бы модеры не свирепствовали аки псы цепные. Чудище обло, стозево, стоглаво, и лаяй, сказал бы Ломоносов...
Они конечно по своему правы - я их не осужаю, сам так делал, но мне бы хотелось пообщаться с вами мейлово. Если я вам - или вы мне неинтересны - это выяснится быстро - спросите у Данилы. Опыт многолетнего общения с сотнями различных творческих людей.
Пока же вы не понимаете что я от вас хочу и объяснить это ЗДЕСЬ - НЕ ПОЛУЧИТСЯ - МГНОВЕННО УДАЛЯТ.
Много времени не займет. Я бы очень хотел общаться с таким толковым человеком как вы. Я - по своей вине - но тридцать лет был отрезан от математики совсем - окружающие самое большее умножать умели. Сейчас я старый - возраст мой предпенсионный - и делать мне не остается ничего, кроме как вести себя как нормальный сумасшедший озабоченный сверхценной теорией. Но к сожалению я не сумасшедший, и мне такое трудно.
Конечно если нет - то остаётся форум - но тут я уже боюсь что-либо писать - мессаги удаляют раньше чем чихнешь - и прочитал ли адресат или не прочитал - остается неизвестным.
Есть ли место, где мы могли бы с вами поговорить не остерегаясь модеров - раз вы не желаете почтовой переписки?
Может на нашем форуме? Если согласны - кину адрес.


Аксиома выбора позволяет для любого множества найти равномощный ему ординал. Возьмем множество всех ординалов, равномощных данному множеству. (Оно существует.) Выберем в нем наименьший ординал. Те ординалы, которые можно получить таким образом (стартуя с различных множеств) называются кардиналы. Или мощности.

> Хотя я так и не понял какое множество не существует в Z-F? (Относительно устройства мощностей).

Не существует множества всех кардиналов.

> По вам выходит что ординалы в этом смысле охватывают все множества ZF?

Никак нет.

> На форуме можно было бы общаться...
Ну, раз Вы настаиваете - мой адрес: astra139@rambler.ru
---------------------
ИМХО, если делать не очень длинные посты и не слишком ругать модераторов, то они нас не станут обижать...


О! да! я напишу вам - хотя и не признаюсь чем меня ваш адрес поразил.


> Чудище обло, стозево, стоглаво, и лаяй, сказал бы Ломоносов...

Может, Ломоносов и сказал бы, если бы цитировал своего современника Тредиаковского...

В 18-й книге поэмы В. К. Тредиаковского...



> Может, Ломоносов и сказал бы, если бы цитировал своего современника Тредиаковского...

> В 18-й книге поэмы В. К. Тредиаковского...

Вот спасибо!!! классно! во усладили мою душу! а то я вобще хотел сказать "маяковского" - но Ломоносов именно цитировал - ибо "огнем и жупелом наполнены усы, о как бы хорошо коптить в них колбасы - про оное чудище обло Тредиаковский бы не сказал - а Ломоносов - запросто (хотя шутить с ним было накладно)


Здравствуйте, люди добрые :)

Помогите, пожалуйста, разобраться с теорией множеств...

1) Как доказать, что мощность множества всех счетных последовательностей из цифр 2 и 3 равна континуум?

Я думаю здесь нужно установить биекцию между континуальным множеством, например, отрезком [0,1] и заданным множеством. Вопрос в том, КАК это сделать, точнее по какому закону??

2) Доказать, что не существует множества, которое содержит все множества.

Мне кажется, что док-во строится от противного. Предполагаем, что есть такое множество, назовем его А. Предполагаем, что а1, а2, ... - элементы множества А. Возможно найдутся элементы в1, в2, ...., которые не принадлежат множеству А (не знаю на чем это основано - чисто интуитивное мое предположение). Но т.к. А - множество всех множеств, то эл-ты в1, в2, ... лежат в А. пришли к противоречию: эл-ты в1, в2, ... одновременно лежат и не лежат в А.

Правильно??


3) Доказать, что между двумя вполне упорядоченными множествами не может существовать более одного изоморфизма.

Тут у меня вообще предположений никаких :( особенно пароблемы в том КАКОй изоморфизм должен быть :(((

4) Привести пример, когда для некоторых различных ординалов а, в ис верно: а не рано в, но а+с=в+с

Здесь я почти уверена, что ординалом в, будет нечто "большое", вроде всего натурального ряда, и прибавив к нему любой ординал, все равно получим натуральный ряд. Вопрос, как это оформить...

5) Доказать, что произведение двух линейных порядков а*в будет линейным тогда и только тогда, когда эти порядки равны а=в

Нет предположений...

Очень надеюсь на посильную помощь!
Спасибо.


Здравствуйте!

1. Понятно, что это то же самое, что последовательности из нулей и единиц. Запишите любое число от нуля до единицы в двоичной систему счисления - вот и биекция! Это, на самом деле, не совсем правильно (так как возникают проблемы типа того, что 0,111111... = 1,00000...), поэтому - а чем Вас не устраивает обычное диагонально доказательство? вот оно: предположим, что нам удалось занумеровать все последовательности из нулей и единиц некоторым образом A_1, A_2, A_3, ..., где А_i = (A_i(1), A_i(2), ...). Составим последовательность A по правилу A(j) = 1 - A_j(j). Её нет в нашем спсике, так как она отличается от каждой последовательности списка хоть в одной цифре.

2. По-моему, в оригинале речь шла о том, что не существует множества всех множеств, то есть не множества, подмножеством которого является лоюбое множество, а множества, которое содержит любое множество в качестве своего элемента. Предположим, что такое множество А существует. Тогда мощность множества всех его подмножеств 2^A больше, чем мощность множества А. Но, очевидно, 2^A и А совпадают!

3. По-моему, это как-то следует из того, что из любых двух вполне упорядоченных множеств одно обязательно является отрезком другого!

4. А разве вариант а = 1, в = 2, с - алеф ноль, не подходит? (хотя, признаться, я не очень во всё этом разбираюсь))))

Если не секрет, зачем Вам это?
02 июня 2006 г. 17:32:


> 5) Доказать, что произведение двух линейных порядков а*в будет линейным тогда и только тогда, когда эти порядки равны а=в

Привет!
Вообще-то, произведению двух линейных порядков ничто не мешает быть линейным порядком в любом случае. Так что утверждение (5) неверно.


Мне это нужно, чтобы сдать экзамен по теории множеств :), на котором по традиции нужно будет решить парочку задач...

спасибо за помощь.

А как опровергнуть, что 5) - неверно??? на что (какие теоремы) ссылаться?


> Мне это нужно, чтобы сдать экзамен по теории множеств :), на котором по традиции нужно будет решить парочку задач...

Извини за любопытство: а где это сдают экзамен по ТМ.

> А как опровергнуть, что 5) - неверно??? на что (какие теоремы) ссылаться?

Просто надо точно знать определение произведения линейных порядков. Его можно ввести двояко: лексикографически и антилексикографически.
При первом варианте сравниваем элементы декартева произведения сначала по первому элементу, а затем, если они совпадут, по второму. Во втором варианте наоборот. (По сути нет никакой разницы.)

Далее легко видеть, что все три условия в определении линейного порядка выполнены.



> Извини за любопытство: а где это сдают экзамен по ТМ.

Ну вообще-то много где сдают ;)
Если тебя интересует, где я учусь... МГПУ (педагогический), Математический факультет, отделение математики, 3 курс.

Я просто много пропустила - тяжело догонять, а так в принципе проблем с высшей математикой у меня нет.



> Извини за любопытство: а где это сдают экзамен по ТМ.

Ну вообще-то много где сдают ;)
Если тебя интересует, где я учусь... МГПУ (педагогический), Математический факультет, отделение математики, 3 курс.

Я просто много пропустила - тяжело догонять, а так в принципе проблем с высшей математикой у меня нет.



> Просто надо точно знать определение произведения линейных порядков. Его можно ввести двояко: лексикографически и антилексикографически.
> При первом варианте сравниваем элементы декартева произведения сначала по первому элементу, а затем, если они совпадут, по второму. Во втором варианте наоборот. (По сути нет никакой разницы.)

Увы, но вы неправы :) Действительно надо знать определение ПРОИЗВЕДЕНИЯ линейных ПОРЯДКОВ, а не элементов множеств ))))

Вот, что я нашла:

Произведением отношений называется отношение, определяемое следующим образом: соотношение хpqy (x,y - элементы, p,q - отношения) равносильно тому, что существует такой элемент z из Х, для которого выполнены соотношения xpz и zqy.

Далее идут леммы, теоремы. Одна из теорем гласит, что "Свойство "быть линейным порядком" не обязано сохраняться при пересечении" + док-во этого.

http://globus.smolensk.ru/user/sgma/MMORPH/N-5-html/EMELCHENKOV/emelchenko.htm

Из всего выше сказанного делаем вывод, что мое задание сформулировано более, чем корректно! кто-то просто в чем-то заблуждался... ;)


> Произведением отношений называется отношение, определяемое следующим образом: соотношение хpqy (x,y - элементы, p,q - отношения) равносильно тому, что существует такой элемент z из Х, для которого выполнены соотношения xpz и zqy.

То определение, которое я имел в виду, вполне общепринятое. Но оно относится скорее не к конкретным отношениям порядка, а к порядковым типам, т.е. оно сохроняет изоморфизм.

Хорошо, давай подумаем про то определение, которое ты привела.
1) Какой линейный порядок имеется в виду в задаче? Строгий или нестрогий? Обычно, когда говоряд просто про порядок, он предполагается нестрогим, т.е. рефлексивным.
2) Верно ли, что совпадение порядков в условии задачи - обычное теоретико-множественное равенство множеств?

Если ответ на (1) "нестрогий", а на (2) "да", то все в самом деле получается.
1) Если порядки совпадают, то их произведение снова этот же порядок.
2) Если не совпадают, то есть по крайней мере два различных элемента x и y, такие, что в одном порядке x


Глюк. Не запостилось до конца:

2) Если не совпадают, то есть по крайней мере два различных элемента x и y, такие, что в одном порядке x


> Глюк. Не запостилось до конца:

Все, я понял... Нельзя знаки сравнения писать. Типа, теги. Короче:
Если не совпадают, то есть по крайней мере два различных элемента x и y, такие, что в одном порядке x меньше y, а в другом y меньше x. Тогда в произведении есть обе пары (x,y) и (y,x), что нехорошо для порядка.


Ну вот и замечательно, что все во всем разобрались)))

Спасибо вам, ребята.


Помогите, пожалуйста!
Требуется привести пример биективного отображения непрерывного только в одну сторону.
p.s. препод пояснил, что нужно взять тождественное отображение с тривиальной топологией прообраза, и дискретной топологией образа.сказал использовать то, что прообраз открытого множества открыт(видимо чтобы доказать, что обратное отображение не является непрерывным).
04 июня 2006 г. 15:49:


> Помогите, пожалуйста!
> Требуется привести пример биективного отображения непрерывного только в одну сторону.

Мало ли что препод сказал...
f: [0,1)U[2,3] --> [0,2]
f(x) = x на [0,1)
f(x) = x-1 на [2,3]


Спасибо огромное!
Поясни пожалуйста в этом примере непрерывность(прямого отображения и почему в обратном ее нет)


Привет всем! Помогите решить задачку:
Найти мощность множества всех сходящихся последовательностей действительных чисел.


Доброго всем времени суток!
Научите, пожалуйста, как определять и доказывать равенство/не равенство ординалов.
Вот эти ординалы нужно сравнить: ω^2, ω+ω^2+1, ω^2+1+ω.
Я рассуждал так:
ω+ω^2+1 - единственный из данных непредельный ординал;
ω^2=ω;
ω^2+1+ω=ω^2+(1+ω)=ω^2+ω=ω+ω≠ω;
Получилось, что все не равны между собой!
Верно ли это?


Всем привет! Подскажите, пожалуйста, что такое максимальная по включению цепь вообще! (Максимальная по длине???)
И как доказать, что в любом частично упорядоченном множестве есть максимальная по включению цепь?
Заранее всех благодарю!!!


> Спасибо огромное!
> Поясни пожалуйста в этом примере непрерывность(прямого отображения и почему в обратном ее нет)

Ну, прямое непрерывно. Это правда. В точках 0, 2 и 3 - непрерывность односторонняя, но это граничные точки, так что ничего страшного.
Обратное отображение разрывно в точке 1.


> ω^2=ω;

Это как так? Точнее, я хочу сказать, что это не так.

> ω^2+1+ω=ω^2+(1+ω)=ω^2+ω=ω+ω≠ω;

Соответственно, здесь последнее преобразование неверно.

> Получилось, что все не равны между собой!
> Верно ли это?

Несмотря на прокол, это верно.


> > ω^2=ω;

> Это как так? Точнее, я хочу сказать, что это не так.

> > ω^2+1+ω=ω^2+(1+ω)=ω^2+ω=ω+ω≠ω;

> Соответственно, здесь последнее преобразование неверно.

> > Получилось, что все не равны между собой!
> > Верно ли это?

> Несмотря на прокол, это верно.

Но вовсе не решает задачу, сравнить - значит установить отношение <, > или =.

Можно доказать, что если a < b, то x+a < x+b (но не обязательно a+x < b+x). Доказывается просто, пусть A и B суть множества соответствующие ординалам a и b, тогда A изоморфно начальному отрезку B, который не совпадает с B. Можно счить, что A начальный отрезок B. Очевидно, что X+A совпадает с начальным отрезком X+B, но не со всем множеством, следовательно x+a < x+b.

Еще верно следующее x(a+b) = xa+xb.

Тогда w+w^2 = w(1+w) = ww = w^2, так как w+1 = w.
0 < 1 - это из определения
w^2 < w^2+1 - это дополнением слева
w^2 < w+w^2+1 - это из последнего равенства.

1 < w - любой конечный ординал меньше бесконечного
w^2+1 < w^2+w - дополнение слева
w+w^2+1 < w^2+1+w - это из равенств w+w^2=w^2 и 1+w=w

Так как отношение < ординалов транзитивно, то получаем:
w^2 < w+w^2+1 < w^2+1+w


Спасибо еще раз, сдал!
Пример точно простой. Препод привел другой(с разными топологиями), но думаю он, кроме меня, никого больше не интересует:)


Еще в институте, а это было лет 12-15 назад, задался вопросом: каждое ли слово, например, русского языка, можно объяснить. Если да, то мы приходим к какой структуре - бесконечное множество бесконечных множеств или конечное множество каких-то множеств, или ...?
04 августа 2006 г. 11:48:


[Перенесено модератором из форума "Форум по математике"]

Сообщение №23823 от йфя 18 февраля 2008 г. 15:18
Тема: множества

Помогите пожайлуста доказать.
Доказать что множество точек А={(x,y):y=|x+1|, -1<=x<=1} нечётно

Отклики на это сообщение:

я нперавильно написал надо не счётно > я нперавильно написал надо не счётно

Прапорщик на теоретических занятиях
- Товарищи курсанты, запишите: вода кипит при температуре 90 градусов!
Робкий голос:
- Товарищ прапорщик, а нам говорили в школе, что при 100 градусов
Прапорщик:
- Здесь вам не школа. Здесь приказы выполняют. Пишите.

На другой день.
- Товарищи курсаны исправьте. 90 градусов - это прямой угол.


[Перенесено модератором из форума "Форум по математике"]

Сообщение №24537 от Ираклий 04 мая 2008 г. 02:52
Тема: Пределы последовательности множеств

В процессе одной дискуссии :) я задумался: знаю ли я понятие предела последовательности множеств. Оказалось, что знаю да еще целых две штуки.

-----------------------------
Верхним пределом последовательности множеств называется множество, состоящее из тех элементов, которые принадлежат бесконечному числу множеств из последовательности.
-----------------------------
Нижним пределом последовательности множеств называется множество, состоящее из тех элементов, которые принадлежат всем множествам из последовательности, начиная с некоторого.
-----------------------------

Будем считать, что все множества, о которых идет речь, являются подмножествами некоторого универсального множества U. Пусть P есть множество всех подмножеств U. Тогда встает вопрос, задаются ли наши пределы топологиями на P. Оказалось, что нижний предел задается топологией, а верхней - нет. Это утверждение я и предлагаю в качестве несложной задачки тем, кто интересуется общей топологией.

Отклики на это сообщение:

> Оказалось, что нижний предел задается топологией, а верхней - нет. Это утверждение я и предлагаю в качестве несложной задачки тем, кто интересуется общей топологией.

Ой, я обманул. Нижний предел тоже не задается топологией!


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100