Линейная независимость. Помогите доказать!!

Сообщение №5285 от Алиса 02 ноября 2002 г. 01:58
Тема: Линейная независимость. Помогите доказать!!

Помогите, пожалуста, доказать!!!
что в пространстве функций одной вещественной переменной векторы f1,f2,...,fn линейно независимые <=> существуют числа а1,...,an такие,что det|fi(ai)|<>0


Отклики на это сообщение:

> Помогите, пожалуста, доказать!!!
> что в пространстве функций одной вещественной переменной векторы f1,f2,...,fn линейно независимые <=> существуют числа а1,...,an такие,что det|fi(ai)|<>0

Если такие a_1,...a_n существуют, то строчки в det линейно независимы и поэтому для любых (k_1,...,k_n)<>(0,...,0) для некоторого j, что k_1*f_1(a_j)+...+k_n*f_n(a_j)<>0, а значит f_1,...,f_n линейно независимы.

Пусть f_1,...,f_n линейно независимы, а второе условие не выполнено. Тогда множество векторов {(f_1(a),...,f_n(a)),а - действительное число} имеет ранг не более n-1 (иначе среди них можно выбрать n независимых и они образуют det), а значит существует ненулевой вектор (k_1,...,k_n) ортогональный всем векторам этого множества, но тогда k_1*f_1+...+k_n*f_n=0, противоречие.


> Пусть f_1,...,f_n линейно независимы, а второе условие не выполнено. Тогда множество векторов {(f_1(a),...,f_n(a)),а - действительное число} имеет ранг не более n-1 (иначе среди них можно выбрать n независимых и они образуют det), а значит существует ненулевой вектор (k_1,...,k_n) ортогональный всем векторам этого множества, но тогда k_1*f_1+...+k_n*f_n=0, противоречие.

Cпасибо большое за ответ! а как можно доказать не используя ортогональность?


> Cпасибо большое за ответ! а как можно доказать не используя ортогональность?

Опять, пусть f_1,...,f_n линейно независимы, а второе условие не выполнено. Тогда множество векторов {f(a)=(f_1(a),...,f_n(a)),а - действительное число} имеет ранг не более n-1 (иначе среди них можно выбрать n независимых и они образуют det), выберем из них максимальное число линейно независимих f(a_1),...,f(a_l) (l0, k_1*f_j(a_1)+...+k_n*f_j(a_n)=0 для j=1,...,l. Но так как любой вектор f(a) линейно выражается через f(a_1),...,f(a_l), то k_1*f_1(a)+...+k_n*f_n(a)=0 для всех а. Противоречие.

Чем плоха ортогональность?


а нельзя так:
пусть f_1,...,f_n линейно независимы, докажем, что столбцы
det|fi(ai)| л.н., а значит наш det=0
k1*( f1(a1) +..+f1(an) )+...+kn*(fn(a1) +..+fn(an))=0 или
( k1*f1(a1)+...+kn*fn(a1),...,k1*f1(an)+...+kn*fn(an) )=0, тогда
k1*f1(ai)+...+kn*fn(ai)=0, i=1,..n; в силу лин. нез-ти
f1,...,fn получаем k1=...=kn=0 => векторы ( f1(a1) +..+f1(an)),...,(fn(a1)+ +..+fn(an)) линейно независимы.


> а нельзя так:
> пусть f_1,...,f_n линейно независимы, докажем, что столбцы
> det|fi(ai)| л.н., а значит наш det=0
> k1*( f1(a1) +..+f1(an) )+...+kn*(fn(a1) +..+fn(an))=0 или
> ( k1*f1(a1)+...+kn*fn(a1),...,k1*f1(an)+...+kn*fn(an) )=0, тогда
> k1*f1(ai)+...+kn*fn(ai)=0, i=1,..n; в силу лин. нез-ти
> f1,...,fn получаем k1=...=kn=0 => векторы ( f1(a1) +..+f1(an)),...,(fn(a1)+ +..+fn(an)) линейно независимы.

нет так нельзя, из того, что k1*f1(ai)+...+kn*fn(ai)=0 не следует k1=...=kn=0, (это следует только если такое равенство выполнено для всех а для одних и тех же ki). Функции f_1,...,f_n могут вообще где-то все равнятся нулю, то есть точки а1,...,ат не могут выбираться произвольно.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100