Снова, все таже проблемка по теории функций

Сообщение №5035 от deniska 11 октября 2002 г. 06:57
Тема: Снова, все таже проблемка по теории функций

Прежде всего большое спасибо всем, кто откликнулся на мое сообщение. Еще раз, в чем проблема: Существует ли для непрерывной функции, определенной на ограниченном множестве положительной меры, подмножество положительной меры, на котором она монотонна.
В качестве контпримера была предложена нигде не дифференцируемая функция Вейерштрасса.
Я могу доказать, что данная непрерывная функция является ХОРОШЕЙ в смысле гипотезы!!!

Давайте называть функции, хорошие всмысле гипотезы, например, слабо монотонными, тогда функция Вейерштрасса - слабо монотонна.

Могу прести один общий критерий слабой монотонности функции:

Если множество точек, в которых среди правый производных чисел функции есть как плюс так и минус бесконечность, имеет меру нуль, тогда функция слабо монотонна.

Функция Вейерштрасса удовлетворяет этому критерию.

В свете вышеизложенного критерия, проблемку можно поставить по иному: существуют ли непрерывные функции, у которых множество точек, в которых среди правый производных чисел функции есть как плюс так и минус бесконечность, имеет не нулевую меру. Что само по себе интересно.


Отклики на это сообщение:

> Прежде всего большое спасибо всем, кто откликнулся на мое сообщение. Еще раз, в чем проблема: Существует ли для непрерывной функции, определенной на ограниченном множестве положительной меры, подмножество положительной меры, на котором она монотонна.

А, скажем, винеровский процесс еще не приводился в качестве примера?


Рассмотрите классический пример отображения едничного отрезка НА единичный квадрат. Получите кривую, вариация (как и и длина) которой бесконечна на каждом интервале. В качестве нужного вам отображения (или, пардон, "ненужного" :-), возьмите одну из координат полученной функции. В терминах Вашего определения множество "плохих" точек будет иметь меру 1.
Кажется, все дело именно в ограниченности вариации (к чему Вы и подбираетесь с Вашим определением).


Свойство слабой монотоности слабее чем свойство ограниченной вариации, пример тому - функция Вейерштраса.
Что касается кривой Пеано, то в книжке "Контрпримеры в анализе" (Б.Гелбаум, Дж. Олмстед) на стр. 171 утверждается, что кривая Пеано дифференцируема почти всюду!!! (доказательства, правда, нету, и сам еще не проверял).
Осталось рабобраться с Винеровским процессом - пока еще не дошли руки, но у меня складывается впечатление, что с ним будет тоже самое: врядли этот процесс "более кривой" чем кривая Пеано или функция Вейерштраса.


> Свойство слабой монотоности слабее чем свойство ограниченной вариации, пример тому - функция Вейерштраса.
> Что касается кривой Пеано, то в книжке "Контрпримеры в анализе" (Б.Гелбаум, Дж. Олмстед) на стр. 171 утверждается, что кривая Пеано дифференцируема почти всюду!!! (доказательства, правда, нету, и сам еще не проверял).
> Осталось рабобраться с Винеровским процессом - пока еще не дошли руки, но у меня складывается впечатление, что с ним будет тоже самое: врядли этот процесс "более кривой" чем кривая Пеано или функция Вейерштраса.

Впечатление совершенно неверное, таки все же процесс Винера - совсем кривая кривая :))
Причем проверяется совершенно элементарно (если есть под рукой книга Вентцеля по случайным процессам, загляните туда), правда, не трогая вопрос о существовании :).
Если же нужен уж совсем элементарный пример непрерывной всюду негладкой функции, то это пример Ван дер Вардена, в упомянутой книге он, по моему, есть, и здесь его уже кто-то привел


Уважаемый пианист Сидоров, функция Ван дер Вадена действительно уже приводилась в качестве примера (до этотго момента я называл ее функцией Вейерштрасса). Так вот, эта функция ЯВЛЯЕТСЯ слабо монотонной (что такое слабая монотоность смотрите в первом сообщении) несмотря на то, что она является нигде не монотоной (или нигде не дифференцируемой, как вам нравится) Противоречия здесь нет, поскольку нигде не монотонность подразумевает отсутствие монотонности на любом открытом интервале, в то время как, слабая монотонность требует всего лишь, монотонности на некотором подмножестве положительной меры (а множеств положительной меры несравненно больше чем открытых интервалов) Вот так!!!


> Если множество точек, в которых среди правый производных чисел функции есть как плюс так и минус бесконечность, имеет меру нуль, тогда функция слабо монотонна.

Бесконечнвый предел и отсутствие предела - разные вещи.


Наверное я чего-то не понял, это к чему??? Там четко сказано производное число равно плюс бесконечность или минус бесконечность (подчеркиваю не производная, а производное число)

Правым производным числом называется ЧАСТИЧНЫЙ предел отношения
(f(x+dx)-f(x))/dx если dx стремиться к x+0


> Уважаемый пианист Сидоров, функция Ван дер Вадена действительно уже приводилась в качестве примера (до этотго момента я называл ее функцией Вейерштрасса). Так вот, эта функция ЯВЛЯЕТСЯ слабо монотонной (что такое слабая монотоность смотрите в первом сообщении) несмотря на то, что она является нигде не монотоной (или нигде не дифференцируемой, как вам нравится) Противоречия здесь нет, поскольку нигде не монотонность подразумевает отсутствие монотонности на любом открытом интервале, в то время как, слабая монотонность требует всего лишь, монотонности на некотором подмножестве положительной меры (а множеств положительной меры несравненно больше чем открытых интервалов) Вот так!!!

Сори, я невнимательно прочел сообщение. Я полагал, что речь идет о негладкости. Траектории процесса Винера - это именно непрерывные всюду негладкие функции, такие же, как и функция Вейерштрасса.
ЗЫ Что есть "монотонность на множестве положительной меры", совершенно себе не представляю, да и не собираюсь разбираться, имхо это какая-то патология, лично мне абсолютно неинтересная.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100