Построение базиса в гильбертовом пространстве

Сообщение №4791 от Visitor 18 сентября 2002 г. 16:49
Тема: Построение базиса в гильбертовом пространстве

Народ, подскажите пути решения следующей задачи. Предположим, что
задана некоторая область D1 с границей S1 (например - прямоугольник) в R^2. В этой
области есть некоторая "дырка" - маленькая область D2 с границей S2. Граница
S2 описывается некоторым уравнением F(x,y)=0.
Как построить базис из кусочно-полиномиальных функций u=(ux uy)
в области D1 так,
что-бы все эти функции были
1. Соленоидальны, т.е div u=0
2. На кривых S1 и S2 обращались в нуль.

Возможный вариант - взять ux=df/dy, uy=-df/dx, тогда div u=0 для любой f(x,y). А f(x,y)=Bi(x)*Bj(y), Bi(x) - B-сплайн некоторого порядка. Но как тогда обеспечить требование 2... ?

Если кто сможет подсказать возможные подходы, буду очень благодарен.


Отклики на это сообщение:

> Народ, подскажите пути решения следующей задачи. Предположим, что
> задана некоторая область D1 с границей S1 (например - прямоугольник) в R^2. В этой
> области есть некоторая "дырка" - маленькая область D2 с границей S2. Граница
> S2 описывается некоторым уравнением F(x,y)=0.
> Как построить базис из кусочно-полиномиальных функций u=(ux uy)
> в области D1 так,
> что-бы все эти функции были
> 1. Соленоидальны, т.е div u=0
> 2. На кривых S1 и S2 обращались в нуль.

> Возможный вариант - взять ux=df/dy, uy=-df/dx, тогда div u=0 для любой f(x,y). А f(x,y)=Bi(x)*Bj(y), Bi(x) - B-сплайн некоторого порядка. Но как тогда обеспечить требование 2... ?

> Если кто сможет подсказать возможные подходы, буду очень благодарен.

А можно всю задачу целиком?
И еще вопрос: действительно ли на границах обращаются в 0 компоненты u, или может быть, только составляющие u (нормальная или тангенциальная)?


> А можно всю задачу целиком?
> И еще вопрос: действительно ли на границах обращаются в 0 компоненты u, или может быть, только составляющие u (нормальная или тангенциальная)?

В принципе это все данные. Нужно аппроксимировать некоторрую соленоидальную функцию с помощью кусочно-полиномиального базиса (фактически это конечные элементы). На границах обращаются все компоненты целиком, и это требуется от всех базисных функций. Про гладкость ничего особого сказать нельзя. В принципе устроит только непрерывность. Хотя желательно непрерывность и производной. Вообще тут проблема не в гладкости.


> > А можно всю задачу целиком?
> > И еще вопрос: действительно ли на границах обращаются в 0 компоненты u, или может быть, только составляющие u (нормальная или тангенциальная)?

> В принципе это все данные. Нужно аппроксимировать некоторрую соленоидальную функцию с помощью кусочно-полиномиального базиса (фактически это конечные элементы). На границах обращаются все компоненты целиком, и это требуется от всех базисных функций. Про гладкость ничего особого сказать нельзя. В принципе устроит только непрерывность. Хотя желательно непрерывность и производной. Вообще тут проблема не в гладкости.


Могу предложить следующий способ:
Vx=SUM(i,j)Aij*x^i*y^j
Vy=SUM(i,j)Bij*x^i*y^j
Применяем div и получаем соотношения между Aij и Bij
Bij=Ai+1,j-1*(i+1)/j
Пусть I и J порядок полиномов по x и y, теперь, если область имеет границу, состоящую из N кусочно линейных кривых, имеем 2*N*I(J) уравнений для I*J коэффициентов Ai,j
Допустим Vx(x=H1)=0 приведет к J уравнениям:
SUM(i)Ai,j*H1^i=0.
Теоретически, подобрав соответствующие I и J можно найти коэффициенты полинома. Будет ли такая система совместна, честно говоря не знаю.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100