О связи нестандартного и р-адического анализов

Сообщение №3868 от Spoke 17 июня 2002 г. 00:23
Тема: О связи нестандартного и р-адического анализов

Поле рациональных чисел незыблимо. Пополнили так по стандартной метрике (через модуль) получили действительные числа. Пополнили эдак по той же самой метрике но приняв эквивалентными другие числа получили гипердействительные числа на которых строится нестандартный анализ. Основная особенность что в этом поле не выполняется аксиома Архимеда. Пополнив по неархимедовой метрике для некоторого простого р получаем поле р-адических чисел.
Теперь собственно вопросы:
выполняется ли в поле р-адических чисел аксиома Архимеда или их кроме имени Архимед ничего не объединяет? Можно ли построить полностью анализ на основе р-адических чисел, т.е. рассматривать функции, производные, интегралы и т.д. Если да то где об этом можно почитать.

Заранее благодарен.


Отклики на это сообщение:

> Поле рациональных чисел незыблимо. Пополнили так по стандартной метрике (через модуль) получили действительные числа. Пополнили эдак по той же самой метрике но приняв эквивалентными другие числа получили гипердействительные числа на которых строится нестандартный анализ. Основная особенность что в этом поле не выполняется аксиома Архимеда. Пополнив по неархимедовой метрике для некоторого простого р получаем поле р-адических чисел.
> Теперь собственно вопросы:
> выполняется ли в поле р-адических чисел аксиома Архимеда или их кроме имени Архимед ничего не объединяет? Можно ли построить полностью анализ на основе р-адических чисел, т.е. рассматривать функции, производные, интегралы и т.д. Если да то где об этом можно почитать.

> Заранее благодарен.

Думаю, все не так просто.
Гипердействительные числа строятся, исходя из обычных действительных, а не рациональных.
Факт получения гипердействительных чисел как пополнения рациональных (по норме) противоречил бы теореме Островского о пополнениях, утверждающей, что нормированные поля - пополнения Q либо R, либо Q(р).
Кстати, "нестандартнное" пополнение Q относительно архимедовой нормы (модуль) приводит к обычным действительным числам.
Конечно, основная идея гиперкомплексных чисел заимствована из метода построения действ. чисел "по Коши-Кантору".
Тут Вы правы, но все несколько сложнее.

Насчет неархимедовости Q(p).
В смысле р-адических норм аксиома Архимеда не выполняется.
Действительно, для р-адических норм справедливо
norm (x+y) <= max{norm x, norm y}
В частности,
norm (x+x) <= norm x (вот Вам и неархимедовость).

Насчет перенесения матанализа на р-адические числа.
На русском языке есть только одна (трудноступная) монография саратовского математика В.Ленского (рано умершего),
который в 70-е ставил и решал такую задачу.
Если интересует всерьез - пришлю точную ссылку.
В хороших библиотеках книга должна быть.


> Насчет перенесения матанализа на р-адические числа.
> На русском языке есть только одна (трудноступная) монография саратовского математика В.Ленского (рано умершего),
> который в 70-е ставил и решал такую задачу.
> Если интересует всерьез - пришлю точную ссылку.
> В хороших библиотеках книга должна быть.

У Владимирова, Воловича, Зеленова тоже есть немного про перенесение матанализа, например, про интегралы над Q(p).
Точно не помню, но, возможно, есть и у Коблитца.



> > Насчет перенесения матанализа на р-адические числа.
> > На русском языке есть только одна (трудноступная) монография саратовского математика Д.Ленского (рано умершего),
> > который в 70-е ставил и решал такую задачу.
> > Если интересует всерьез - пришлю точную ссылку.
> > В хороших библиотеках книга должна быть.

> У Владимирова, Воловича, Зеленова тоже есть немного про перенесение матанализа, например, про интегралы над Q(p).
> Точно не помню, но, возможно, есть и у Коблитца.

Да, Вы правы (хотя Зеленова я не читал).
Но там все аналитические конструкции вводятся по мере необходимости, для решения поставленных задач, а не как самоцель.
Д.Ленской пытался строить теорию, а не отдельные аналоги вещественного анализа.

Ссылку нашел.
Д.Н.Ленской. Функции в неархимедовски нормированных полях.
Саратов. Изд.СГУ, 1962, 109 с.


> Да, Вы правы (хотя Зеленова я не читал).
> Но там все аналитические конструкции вводятся по мере необходимости, для решения поставленных задач, а не как самоцель.
> Д.Ленской пытался строить теорию, а не отдельные аналоги вещественного анализа.

> Ссылку нашел.
> Д.Н.Ленской. Функции в неархимедовски нормированных полях.

Построением аналогов матанализа занимаются в Минске. Периодически проводится семинар под руководством зав. кафедрой функционального анализа Я.В. Радыно. Там в основном занимаются рядами. Я сам этим делом не занимаюсь, но как мне говорили, построению более глубокой теории мешает то, что Q(p) не алгебраически замкнуто (как С) и не допускает упорядочения(как R). Если строить алгебраическое замыкание, то оно оказывается неполным. Пополнение алгебраического замыкания уже алгебраически замкнуто, но при этом получается конструкция, совершенно невозможная для понимания, т.е. элемент построенного поля нельзя явно выписать в ясном для понимания виде, как вещественное или p-адическое число. Насколько я понимаю, пока не придумают хорошую интерпритацию для чисел из этого поля, развитие теории, аналогичной мат. анализу, будет проблематичным.


> > Да, Вы правы (хотя Зеленова я не читал).
> > Но там все аналитические конструкции вводятся по мере необходимости, для решения пост
авленных задач, а не как самоцель.
> > Д.Ленской пытался строить теорию, а не отдельные аналоги вещественного анализа.

> > Ссылку нашел.
> > Д.Н.Ленской. Функции в неархимедовски нормированных полях.

> Построением аналогов матанализа занимаются в Минске. Периодически проводится семинар под руководством зав. кафедрой функционального анализа Я.В. Радыно. Там в основном занимаются рядами. Я сам этим делом не занимаюсь, но как мне говорили, построению более глубокой теории мешает то, что Q(p) не алгебраически замкнуто (как С) и не допускает упорядочения(как R). Если строить алгебраическое замыкание, то оно оказывается неполным. Пополнение алгебраического замыкания уже алгебраически замкнуто, но при этом получается конструкция, совершенно невозможная для понимания, т.е. элемент построенного поля нельзя явно выписать в ясном для понимания виде, как вещественное или p-адическое число. Насколько я понимаю, пока не придумают хорошую интерпритацию для чисел из этого поля, развитие теории, аналогичной мат. анализу, будет проблематичным.
Уважаемый spv!
Конечно, аргументы убедительные и трудности понятные. Хотя насколько существенна упорядоченнось я не до конца осознаю.
К сожалению, с работами минчан я не знаком.
Если нетрудно, намыльте библиографию. А если еще и е-версии есть, то совсем здорово...
(Я сейчас пишу монографию, в частности, и о прикладе р-адики, нехорошо будет не сослаться.)
С уважением.



> Если нетрудно, намыльте библиографию. А если еще и е-версии есть, то совсем здорово...
> (Я сейчас пишу монографию, в частности, и о прикладе р-адики, нехорошо будет не сослаться.)
> С уважением.

Ну вот, "приглашал заходить, но адреса почему-то не оставил..." :-))
Исправляюсь.


>
> > Если нетрудно, намыльте библиографию. А если еще и е-версии есть, то совсем здорово...
> > (Я сейчас пишу монографию, в частности, и о прикладе р-адики, нехорошо будет не сослаться.)
> > С уважением.

> Ну вот, "приглашал заходить, но адреса почему-то не оставил..." :-))
> Исправляюсь.

Я так сразу библиографию сказать не могу, эта тема лежит достаточно далеко в стороне от моих интересов. Спрошу у кого-нибудь с кафедры, когда встречу.


> >
> > > Если нетрудно, намыльте библиографию. А если еще и е-версии есть, то совсем здорово...
> > > (Я сейчас пишу монографию, в частности, и о прикладе р-адики, нехорошо будет не сослаться.)
> > > С уважением.

> > Ну вот, "приглашал заходить, но адреса почему-то не оставил..." :-))
> > Исправляюсь.

> Я так сразу библиографию сказать не могу, эта тема лежит достаточно далеко в стороне от моих интересов. Спрошу у кого-нибудь с кафедры, когда встречу.

Вот можете на сайте минского института математики посмотреть. Вдруг там что-нибудь есть.

http://im.bas-net.by/


> Ссылку нашел.
> Д.Н.Ленской. Функции в неархимедовски нормированных полях.
> Саратов. Изд.СГУ, 1962, 109 с.

Михалыч, спасибо. Вот только найти ее и вправду трудно. Не слышали вы о том что нестандартный анализ эфективен в теории вероятностей. Якобы статистическое определение вероятности обрело второе рождение из-зи введения бесконечно больших. С чем это едят?
Какие приклады р-адики вы изучаете?


> > Ссылку нашел.
> > Д.Н.Ленской. Функции в неархимедовски нормированных полях.
> > Саратов. Изд.СГУ, 1962, 109 с.

> Михалыч, спасибо. Вот только найти ее и вправду трудно. Не слышали вы о том что нестандартный анализ эфективен в теории вероятностей. Якобы статистическое определение вероятности обрело второе рождение из-зи введения бесконечно больших. С чем это едят?
> Какие приклады р-адики вы изучаете?

Р-адической ТВ занимается Хренников, много статей, есть монография. Поищу ссылку на его сайт, он сейчас работает в Швеции.
Я вообще-то занимаюсь прикладом алгебры и теории чисел к цифровой обработке сигналов (изображений) и распознаванию образов.
Есть интерес - мыльте.



> Р-адической ТВ занимается Хренников, много статей, есть монография. Поищу ссылку на его сайт, он сейчас работает в Швеции.

Нашел.
http://www.masda.vxu.se/Personer/akhmasda/home.html

> Я вообще-то занимаюсь прикладом алгебры и теории чисел к цифровой обработке сигналов (изображений) и распознаванию образов.
> Есть интерес - мыльте.


> > Ссылку нашел.
> > Д.Н.Ленской. Функции в неархимедовски нормированных полях.
> > Саратов. Изд.СГУ, 1962, 109 с.

> Михалыч, спасибо. Вот только найти ее и вправду трудно.
>Не слышали вы о том что нестандартный анализ эфективен в теории вероятностей.
>Якобы статистическое определение вероятности обрело второе рождение из-зи введения бесконечно больших. С чем это едят?

Мое мнение, что общая "нестандартная конструкция" в известной мере тормозит решение прикладных задач на основе статистического анализа данных.
Я недавно похулиганил на одной из конференций по распознаванию образов.
Показал, что корректными средствами можно из "инженерного" уровня понимания МС и ТВ получить в конкретной задаче любое значение (нестандартнуй) вероятности
и она (эта вероятность) формально ничем не хуже традиционной.
Есть интерес - мыльте.


> > Р-адической ТВ занимается Хренников, много статей, есть монография. Поищу ссылку на его сайт, он сейчас работает в Швеции.

> Нашел.
> http://www.masda.vxu.se/Personer/akhmasda/home.html

> > Я вообще-то занимаюсь прикладом алгебры и теории чисел к цифровой обработке сигналов (изображений) и распознаванию образов.
> > Есть интерес - мыльте.

Большое спасибо за линк. Выглядит это все очень интересно. Вообще щас вроде неколмогоровская теория вероятности входит в моду... вовсю на слуху истории про хамелеона в ящичках интересно к чему приведет. Правда эффективно или просто модная штучка. С Хренниковым попробую связаться по почте.
На счет Вашей работы хочу спросить только одно. Каковы успехи в этом направлении? Можно ли на фотографии выделить изображение человека програмно? И кстати что понимается под изображением? Ведь там в областях крайних масштабов серъезные изменения. Смотришь на листок а насамом деле там одни пустоты между молекулами. В атомах тоже говорят львиная доля объема пустота. Т.е. смотрим на ничтожно малые значения вкраплений в пустоту и видим четкое изображение. Типа как множество Кантора. Вроде бы удалили все а осталось мощное континуальное множество. Это наверно характерно для природы. Удивительно правда? :)) Извиняюсь за философию.


> > > Р-адической ТВ занимается Хренников, много статей, есть монография. Поищу ссылку на его сайт, он сейчас работает в Швеции.

> > Нашел.
> > http://www.masda.vxu.se/Personer/akhmasda/home.html


> > > Я вообще-то занимаюсь прикладом алгебры и теории чисел к цифровой обработке сигналов (изображений) и распознаванию образов.
> > > Есть интерес - мыльте.

> Большое спасибо за линк. Выглядит это все очень интересно. Вообще щас вроде неколмогоровская теория вероятности входит в моду... вовсю на слуху истории про хамелеона в ящичках интересно к чему приведет. Правда эффективно или просто модная штучка. С Хренниковым попробую связаться по почте.
> На счет Вашей работы хочу спросить только одно. Каковы успехи в этом направлении? Можно ли на фотографии выделить изображение человека програмно? И кстати что понимается под изображением? Ведь там в областях крайних масштабов серъезные изменения. Смотришь на листок а насамом деле там одни пустоты между молекулами. В атомах тоже говорят львиная доля объема пустота. Т.е. смотрим на ничтожно малые значения вкраплений в пустоту и видим четкое изображение. Типа как множество Кантора. Вроде бы удалили все а осталось мощное континуальное множество. Это наверно характерно для природы. Удивительно правда? :)) Извиняюсь за философию.

Там много постановок задач. Решаются с разным успехом и разными методами.
Но речь идет о изображении в компьютере, прежде всего. Цифровом изображении.
Что же касается лиц, то что мы хотим? Выделить лицо из картинки - одна задача.
В априорных предположениях, что картинка - портрет, определить, тот человек или другой - вторая задача.

Ну и в качестве забавного случая об определении характера изображения.

Пару недель назад писал отзыв на авторефеат диссертации. Работа нормальная, но в качестве 2практической значимости" была приведена проблема ограничения в школах на доступ к порносайтам Интернет.

фишка в том, что системы распознавания, подобные рассматриваемым соискателем, требуют достаточно длительного процесса обучения на тестовых примерах, настройки.
это ж сколько порнухи пришлось просмотреть в процессе написания диссера!
Полезное с приятным, так сказать....


> Там много постановок задач. Решаются с разным успехом и разными методами.
> Но речь идет о изображении в компьютере, прежде всего. Цифровом изображении.
> Что же касается лиц, то что мы хотим? Выделить лицо из картинки - одна задача.
> В априорных предположениях, что картинка - портрет, определить, тот человек или другой - вторая задача.

> Ну и в качестве забавного случая об определении характера изображения.

> Пару недель назад писал отзыв на авторефеат диссертации. Работа нормальная, но в качестве 2практической значимости" была приведена проблема ограничения в школах на доступ к порносайтам Интернет.

> фишка в том, что системы распознавания, подобные рассматриваемым соискателем, требуют достаточно длительного процесса обучения на тестовых примерах, настройки.
> это ж сколько порнухи пришлось просмотреть в процессе написания диссера!
> Полезное с приятным, так сказать....


Рассмешили, конечно... и это все сработало. Если не трудно подскажите автору выложить ее в инет. Чертовски занимательно было бы ее потестировать. Определить уровень ее "срамливости".


>Можно ли на фотографии выделить изображение человека програмно? И кстати что понимается под изображением?

ЕК. В горячих областях теперь работает очень много людей. Поэтому все происходит гораздо быстрее, чем раньше. В задачах распознавания лица, например, что ни придумай, тут же обнаруживаешь, что полгода назад кто-то уже это делал. Раньше проблемой занималось сто человек, из них один талантливый, теперь - тысяча, но из них уже десять талантливых…

См. Форум «Наука и образование»
811: Прикладная наука в современных условиях Alexander 04 июля 15:42
http://physics.nad.ru/cgi-bin/forum.pl?forum=mipt&number=20&date=new&text=yes&down=1


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100