олимпиадные задачи заочного тура по математике 7-8 класс

Сообщение №36562 от Limonya 15 января 2011 г. 12:20
Тема: олимпиадные задачи заочного тура по математике 7-8 класс

1. Во всех клетках таблицы 100×100 стоят плюсы. Разрешается одновременно менять знаки во всех клетках одной строки или столбца. Можно ли, пользуясь только этими операциями получить 2010 минусов?
2. В классе 25 учеников. В любой тройке учеников этого класса найдутся двое, которые являются друзьями. Доказать, что найдется ученик, у которого в классе не менее 12 друзей.
3. Существуют ли 2011 разных натуральных чисел, что сумма их квадратов является точным квадратом?
4. Какое наименьшее число фигур вида нужно разместить в квадрате 8×8 клеток, чтобы в него нельзя было больше поместить без наложения ни одной такой фигуры?
5. В группе людей каждый имеет знакомого. Докажите, что эту группу можно разбить на две подгруппы так, чтобы каждый человек имел знакомого из другой подгруппы.

6. Пусть a и b натуральные числа, такие, что число (a+1)/b+ (b+1)/a - целое. Доказать, что [НОД(a,b)]^2≤a+b.

7. Докажите, что найдутся 2010 последовательных натуральных чисел, среди которых ровно одно простое.


Отклики на это сообщение:

> 1. Во всех клетках таблицы 100×100 стоят плюсы. Разрешается одновременно менять знаки во всех клетках одной строки или столбца. Можно ли, пользуясь только этими операциями получить 2010 минусов?

Попробуем как всегда обойтись уравнением.

Пусть мы поменяли знаки в i строках.

Тогда у нас есть 100*i минусов.

После этого поменяли знаки в k столбцах

Тогда у нас стало 100*i + (100-i)*k - i*k минусов (на пересечении строк и столбцов минусы опять поменялись на плюсы, поэтому вычитаем i*k).

Теперь есть все для уравнения

100*i + (100-i)*k - i*k = 2010

Если можно подобрать целые i и k, удовлетворяющие этому уравнению, то ответ положительный (i <= 100; k <= 100).

Преобразуем уравнение

100*i + 100*k - i*k - i*k = 2010

100*i + 100*k - 2*i*k = 2010

i + k - 0,02*i*k = 20,1

Теперь надо сделать ряд замечаний:
i + k - число цело, поэтому чтобы получить 20,1, произведение 0,02*i*к должно обязательно содержать дробную часть 0,9 (сколько-то целых и девять сотых).

А теперь проверим

0,02*i*k = 0,9 при i*k = 45, i = 3, k = 15 - не подходит.
0,02*i*k = 1,9 при i*k = 95, i = 5, k = 19 - уже больше 20,1.

Так что подходящих чисел нет. Ответ отрицательный.


> 1. Во всех клетках таблицы 100×100 стоят плюсы. Разрешается одновременно менять знаки во всех клетках одной строки или столбца. Можно ли, пользуясь только этими операциями получить 2010 минусов?

А вот и так сказать официальное решение этой задачи: http://kvant.mirror1.mccme.ru/1971/05/p32.htm

В итоге автор приходит к тому же уравнению, что и я, но другим путем и затем доказывает по-другому.
(По-моему мое решение проще )


В группе людей каждый имеет знакомого. Докажите, что эту группу можно разбить на две подгруппы так, чтобы каждый человек имел знакомого из другой подгруппы.


> 1. Во всех клетках таблицы 100×100 стоят плюсы. Разрешается одновременно менять знаки во всех клетках одной строки или столбца. Можно ли, пользуясь только этими операциями получить 2010 минусов?
Эту уже решили.
2. В классе 25 учеников. В любой тройке учеников этого класса найдутся двое, которые являются друзьями. Доказать, что найдется ученик, у которого в классе не менее 12 друзей.
Решение. Предположим, что у любого ученика не более 11 друзей или не менее 13 "врагов". Тогда выберем двоих учеников враждебных друг другу. У каждого из них из оставшихся 23 учеников не менее 12 "врагов". Следовательно, у них есть хотя бы один общий враг, которого мы и пригласим в качестве третьего. Так получили тройку враждебно настроенных друг к другу учеников. Получили противоречие. Наше допущение неверно. Следовательно верно утверждение задачи (теоремы).

3. Существуют ли 2011 разных натуральных чисел, что сумма их квадратов является точным квадратом?
Решение. Есть способ. восходящий к Ньютону. Выберем рациональное число
,
Обозначим, через общий знаменатель этих дробей, тогда - общий знаменатель квадратов этих дробей. Кроме того, выберем дроби так, чтобы
,
здесь - обозначение числителя дроби, полученной после сложения квадратов.
Теперь построим дробей
, ,

Тогда, умножив эти числа на , получим целые числа, сумма квадратов которых равна .

4. Какое наименьшее число фигур вида нужно разместить в квадрате 8×8 клеток, чтобы в него нельзя было больше поместить без наложения ни одной такой фигуры?
Не пропечатался вид фигуры.

5. В группе людей каждый имеет знакомого. Докажите, что эту группу можно разбить на две подгруппы так, чтобы каждый человек имел знакомого из другой подгруппы.
Решение. Будем делить на группы постепенно. Сначала возьмём человека и всех его знакомых. Человека поставим налево, а его знакомых направо. Пусть остались ещё люди. Смотрим, есть ли их знакомые в правой группе. Если знакомых не оказалось, то снова берём любого человека из оставшихся, ставим его налево, а всех его знакомых направо. Если есть из не распределённых людей знакомые из правой группы, то берём их всех и ставим налево. Пусть снова остались люди. Если среди них нет знакомых с людьми из правой или левой групп, то опять берём любого, ставим налево, а его знакомых направо. Если есть знакомые левой группы, то всех их ставим направо. И т.д. Каждый раз перед очередным распределением у нас альтернатива: либо нет распределённых ранее знакомых, либо есть знакомые только в одной группе. Как действовать - описано выше.

6. Пусть a и b натуральные числа, такие, что число (a+1)/b+ (b+1)/a - целое. Доказать, что [НОД(a,b)]^2≤a+b.
Решение. Пусть

или

Положим , , где НОД(а,b) = d. Тогда

или

Отсюда

Умножив на , получим требуемое неравенство.
В решении, конечно учитывалось, что имеем дело с натуральными числами.
> 7. Докажите, что найдутся 2010 последовательных натуральных чисел, среди которых ровно одно простое.
Простого решения не знаю. Да и сложное не чистое.


> 1. Во всех клетках таблицы 100×100 стоят плюсы. Разрешается одновременно менять знаки во всех клетках одной строки или столбца. Можно ли, пользуясь только этими операциями получить 2010 минусов?
> 2. В классе 25 учеников. В любой тройке учеников этого класса найдутся двое, которые являются друзьями. Доказать, что найдется ученик, у которого в классе не менее 12 друзей.
> 3. Существуют ли 2011 разных натуральных чисел, что сумма их квадратов является точным квадратом?
> 4. Какое наименьшее число фигур вида нужно разместить в квадрате 8×8 клеток, чтобы в него нельзя было больше поместить без наложения ни одной такой фигуры?
> 5. В группе людей каждый имеет знакомого. Докажите, что эту группу можно разбить на две подгруппы так, чтобы каждый человек имел знакомого из другой подгруппы.

> 6. Пусть a и b натуральные числа, такие, что число (a+1)/b+ (b+1)/a - целое. Доказать, что [НОД(a,b)]^2≤a+b.

> 7. Докажите, что найдутся 2010 последовательных натуральных чисел, среди которых ровно одно простое.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100