Геометрия. Нужна помощь.

Сообщение №36267 от Никос 15 декабря 2010 г. 20:00
Тема: Геометрия. Нужна помощь.

Из всех треугольников, имеющих данное основание 2а и данный угол при вершине α, найти тот у которого площадь наибольшая и периметр наибольший.

Прошу. Очень нужно.


Отклики на это сообщение:

> Из всех треугольников, имеющих данное основание 2а и данный угол при вершине α, найти тот у которого площадь наибольшая и периметр наибольший.

> Прошу. Очень нужно.

Рассмотрим угол α. Возьмем на одном из лучей точку и опустим перпендикуляр, равный 2a, из этой точки на другую сторону угла, тем самым получим прямоугольный треугольник. Представим, что отрезок, длина которого равна 2a, есть диаметр окружности, и если его повернуть относительно центра окружности по часовой стрелке на небольшой угол β, то расстояние от точки на окружности до одной стороны угла равно расстоянию от диаметрально противоположной точки на окружности до другой стороны угла. Следовательно, треугольник с наибольшим периметром и площадью равен прямоугольному треугольнику с катетом(диаметр) 2a, гипотенузой=2a/sinα и вторым катетом=2a*ctgα
S=2a²ctg²α
P=(2a/sinα)+(2a*ctgα)+2a

ps В правильности решения не уверен.


> > Из всех треугольников, имеющих данное основание 2а и данный угол при вершине α, найти тот у которого площадь наибольшая и периметр наибольший.

> > Прошу. Очень нужно.

> Рассмотрим угол α. Возьмем на одном из лучей точку и опустим перпендикуляр, равный 2a, из этой точки на другую сторону угла, тем самым получим прямоугольный треугольник. Представим, что отрезок, длина которого равна 2a, есть диаметр окружности, и если его повернуть относительно центра окружности по часовой стрелке на небольшой угол β, то расстояние от точки на окружности до одной стороны угла равно расстоянию от диаметрально противоположной точки на окружности до другой стороны угла. Следовательно, треугольник с наибольшим периметром и площадью равен прямоугольному треугольнику с катетом(диаметр) 2a, гипотенузой=2a/sinα и вторым катетом=2a*ctgα
> S=2a²ctg²α
> P=(2a/sinα)+(2a*ctgα)+2a
>

> ps В правильности решения не уверен.

то расстояние от точки на окружности до одной стороны угла равно расстоянию от диаметрально противоположной точки на окружности до другой стороны угла. Как это доказать не знаю, все-таки не так походу. http://neive.by.ru/geometriia/praktika26/zadatcha261.html


Из всех треугольников, имеющих данное основание 2а и данный угол при вершине α, найти тот у которого площадь наибольшая и периметр наибольший.

Решение. Используем тот факт, что точки из которых основание 2а видно под углом α лежат на дуге окружности радиуса R, точное значение которого нам не нужно. Отсюда сразу вытекает, что треугольник с наибольшей площадью - равнобедренный, т.к. тогда получается наибольшая высота, опущенная на основание.
Периметр можно вычислить с помощью теоремы синусов. Пусть один из углов при основании равен х. В силу симметрии, достаточно рассмотреть значения х на промежутке [0,(π-α)/2]. Тогда другой угол при основании равен π-α-x. Согласно теоремы синусов, сумму длин боковых сторон можно представить так
2R(sin(x)+sin(π-α-x))=2R(sin(x)+sin(α+x))=4Rcos(α/2) sin(α/2+x)
Т.к. синус возрастает, максимум будет при x = π-α)/2. Треугольник равнобедренный.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100