СДУ. Численное решение

Сообщение №3603 от Zauberer 28 мая 2002 г. 14:04
Тема: СДУ. Численное решение

Имеем систему обыкновенных диф. уравнений первого порядка в векторном виде:
X' = A * X
Пусть начальные условия (н.у.) неизвестны. Пределы интегрирования от A до
B, после решения нужны значения Х только на конце отрезка интегрирования (в
т. B). Поэтому решаю так: сначала задаю такой вектор н.у. (1 0 0 ... 0),
решаю, получаю вектор решений Y1 в точке В; затем задаю такие н.у. (0 1 0
... 0), получаю Y2; и т.д до (0 0 0 ... 1) и Yn. Таким образом, задавая
произвольные н.у., вектор решений получаю так:
--- T---T---T--¬
¦ ¦ ¦ ¦ ¦
X = ¦Y1¦Y2¦...¦Yn¦ * Zн.у.
¦ ¦ ¦ ¦ ¦
L--+---+---+----

В векторном виде: X = B * Z. Расписывая поблочно (выделю подматрицы):

X1 ¦B11 ¦B12 ¦ ¦Z1 ¦
--- = ---- +---- + * +---+
X2 ¦B21 ¦B22 ¦ ¦Z2 ¦

Вопрос: правилен ли такой способ решения? Hужно решать каким-нибудь
подобным образом, так как в итоге я нахожу выражение:
-1
X2 = B22 * B12 * X1, где неизвестный мне вектор начальных условий в явном
виде отсутствует.


Отклики на это сообщение:

Сорри, криво получилось.
Но думаю ясно, что вначале я расписал матрицу с Y, как состоящую из векторов Y1...Yn.
Где нахожу Х2 подматрица В12 - обратная (в степени -1)


Ни хрена не понял из того что ты написал.

Есть система ДУ вида:
dX/dt=A*X
Заданы начальные условия X(A)=X0
Нужно найти X(B)=X(A+T)

так?

тогда выбираешь шаг интегрирования h, так чтобы за N шагов пройти T, h=T/N

И используешь одну из многих схем, например
Явная
(X(n+1)-X(n))/h=A*X(n) => X(n+1)=X(n)+h*A*X(n)
Неявная
(X(n+1)-X(n))/h=A*X(n+1) => X(n+1)=[(I+h*A)**-1]*X(n)
Явно-неявная
(X(n+1)-X(n))/h=A*(X(n+1)+X(n))/2.
и.т.д.
X(0)=X0 ты знаешь
Для явных схем шаг нужен маленький, для неявных можно побольше
В любом случае решаешь для N=n, затем N=2*n и т.д. до тех пор пока результат перестанет меняться от шага.

Рекомендую "Методы вычислительной математики", Г.И.Марчук


> Ни хрена не понял из того что ты написал.

Вот здесь все красиво нарисовалось:
http://groups.google.com/groups?selm=750364579%40p22.f7.n5034.z2.ftn&oe=KOI8-R&output=gplain

> Есть система ДУ вида:
> dX/dt=A*X
> Заданы начальные условия X(A)=X0
> Нужно найти X(B)=X(A+T)
> так?

В том то и дело, что не знаю я нач. условий.

Да, и еще. Система с переменными коэффициентами (в матрице А есть слагаемые с t).


> > Ни хрена не понял из того что ты написал.

> Вот здесь все красиво нарисовалось:
> http://groups.google.com/groups?selm=750364579%40p22.f7.n5034.z2.ftn&oe=KOI8-R&output=gplain

> > Есть система ДУ вида:
> > dX/dt=A*X
> > Заданы начальные условия X(A)=X0
> > Нужно найти X(B)=X(A+T)
> > так?

> В том то и дело, что не знаю я нач. условий.

Опять не понял.
С матрицами все правильно. Но откуда взялось
-1
X2 = B22 * B12 * X1 ?

Либо должны быть определены Z1 и Z2 (эволюционные задачи)
Либо связь между Z1 и Z2 Z1=A*Z2 (альбедная задача)
Либо одна из пар (Z1,X2), (Z2,X1) и т. д. (встречается в задачах теории переноса)
Откуда задача?


> Да, и еще. Система с переменными коэффициентами (в матрице А есть слагаемые с t).

А есть ли зависимость от X A=A(X,t)?



> Опять не понял.
> С матрицами все правильно. Но откуда взялось
> -1
> X2 = B22 * B12 * X1 ?

Моей целью является получение этой зависимости. Эта формула получается из матричной записи, т.е. если из той формулы выразить Х2, то она и получится.
Как видишь, здесь нет в явном виде неизвестного мне вектора нач. условий Z. Он выражается через матрицу В, который я получаю путем задания различных нач. условий ( [1,0...0],
[0,1,0,...0] ... [0,0,...,1]). Теперь задавая известный мне вектор Х1, я могу получить Х2. Так вот мне интересно, можно ли так решать, особенно если система с переменными коэффициентами.

> Либо должны быть определены Z1 и Z2 (эволюционные задачи)
> Либо связь между Z1 и Z2 Z1=A*Z2 (альбедная задача)
> Либо одна из пар (Z1,X2), (Z2,X1) и т. д. (встречается в задачах теории переноса)
> Откуда задача?

Моделирование статического взаимодействия валов валковых машин текстильного отделочного оборудования путем решения диф. уров плоской задачи теории упругости.

Давай в мыло перейдем, а то с инетом напряг. Я тебе все очень-очень точно объясню еще раз.
Мыль: alexandr.balakirev@p184.f1.n5034.z2.fidonet.org


.......а то с инетом напряг.

Какого характера "напряг" вы имеете ввиду?


> .......а то с инетом напряг.

> Какого характера "напряг" вы имеете ввиду?

Максимум 1 раз в неделю имею такую возможность. А время идет :(


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100