Помогите найти максимум нелинейной функции.

Сообщение №35802 от Крячик 03 ноября 2010 г. 14:44
Тема: Помогите найти максимум нелинейной функции.

Помогите, пожалуйста с решением задачи. Сразу скажу, тема для меня незнакомая, так как учусь заочно, а учебник с примером подобного решения нашел только один.

Условие: Дана нелинейная функция F(x,y) = 302x + 202y - 3x^2 - 4y2 - 2xy
Ее ограничение: x+y=52

Необходимо: найти значения х и у с помощью функции Лагранжа, максимальное значение функции при этих значениях, а также х и у при которых значение функции наибольшее и абсолютный максимум целевой функции.

Вот, что я сделал:
Функция Лагранжа: L (x, y, λ) = 302x + 202y - 3x^2 - 4y^2 - 2xy + λ (52 - x - y)

Находим производные и приравниваем к 0:
302 – 6х – 2y - λ = 0
202 – 8y – 2х - λ = 0
x - y - 52 = 0

Первые два уравнения можно приравнять, если перенести λ вправо, получим 302 – 6х – 2y = 202 – 8y – 2х. Решаем систему из двух оставшихся уравнений, находим х, у: y = 54, х = 106.

Получается, что это точка, подозрительная на экстремум. Как проверить ее на максимум? Правильно ли мое решение до этого момента? И "найти абсолютный максимум" - это имеется в виду исследовать функцию без учета ограничения?

Заранее спасибо всем.


Отклики на это сообщение:


Извиняюсь, в предыдущем сообщении ошибка, ответы:
y = 10,8
x = 41,2

Я просто спутал в производной знак
x + y - 52 = 0


Условие: Дана нелинейная функция F(x,y) = 302x + 202y - 3x^2 - 4y2 - 2xy
Ее ограничение: x+y=52
Необходимо: найти значения х и у с помощью функции Лагранжа, максимальное значение функции при этих значениях, а также х и у при которых значение функции наибольшее и абсолютный максимум целевой функции.

Вы правы. Обычно, под словами "найти абсолютный максимум" понимают нахождения максимума без учёта ограничений.
Вернёмся к задаче. Там точка подозрительная на экстремум имеет координаты x = 41.2, y = 10.8.
Идея исследования состоит в том, что если это точка условного локального максимума, то при малых сдвигах, "позволенных ограничениями", мы будем получать меньшие значения (аналогично, для минимума).
Ограничение устанавливает связь между переменными x и y.
x+y=52
Вычисляя дифференциал левой и правой части, получим
dx + dy = 0
Отсюда dy = - dx. Если переменную x считать независимой, то dx = Δx. Поэтому dy = -Δx.
Другими словами: меняя x на Δx, переменная y меняется на -Δx.
Рассмотрим значения функции в окрестности подозрительной точки
302(41.2 + Δx) +202(10.8 -Δx) - 3(41.2 +Δx)2 - 4(10.8 -Δx)2 - 2(41.2 + Δx)(10.8 -Δx) = 8175.2 - 50(Δx)2
Отсюда видно, что при Δx ≠0 значения функции уменьшаются. Следовательно, найденная точка - точка условного максимума. Сам условный максимум равен 8175.2.


> Вы правы. Обычно, под словами "найти абсолютный максимум" понимают нахождения максимума без учёта ограничений.
> Вернёмся к задаче. Там точка подозрительная на экстремум имеет координаты x = 41.2, y = 10.8.
> Идея исследования состоит в том, что если это точка условного локального максимума, то при малых сдвигах, "позволенных ограничениями", мы будем получать меньшие значения (аналогично, для минимума).
> Ограничение устанавливает связь между переменными x и y.
> x+y=52
> Вычисляя дифференциал левой и правой части, получим
> dx + dy = 0
> Отсюда dy = - dx. Если переменную x считать независимой, то dx = Δx. Поэтому dy = -Δx.
> Другими словами: меняя x на Δx, переменная y меняется на -Δx.
> Рассмотрим значения функции в окрестности подозрительной точки
> 302(41.2 + Δx) +202(10.8 -Δx) - 3(41.2 +Δx)2 - 4(10.8 -Δx)2 - 2(41.2 + Δx)(10.8 -Δx) = 8175.2 - 50(Δx)2
> Отсюда видно, что при Δx ≠0 значения функции уменьшаются. Следовательно, найденная точка - точка условного максимума. Сам условный максимум равен 8175.2.

Спасибо вам огромное за помощь! Вчера, кстати, нашел еще один способ проверки на экстремум - через производные второго порядка. Оказывается, я все это уже проходил, но со временем знания стрелись из головы))


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100