Матрицы 1 000х1 000 и более

Сообщение №3539 от ishak 22 мая 2002 г. 23:50
Тема: Матрицы 1 000х1 000 и более

Если матрица коэффициентов для системы линейных уравнений имеет размерность 1 000 Х 1 000 и более , а значения коэффициентов лежат в диапазоне [-1 000 000, 1 000 000], то можно утверждать, что такие задачи в настоящее время не решить ни одним из известных методов , ни на одной из известных вычислительных машин. Или в общем случае точность любого полученного решения будет оцениваться в " лаптях". Буду рад любым, особенно противоположным, мнениям.


Отклики на это сообщение:

> Если матрица коэффициентов для системы линейных уравнений имеет размерность 1 000 Х 1 000 и более , а значения коэффициентов лежат в диапазоне [-1 000 000, 1 000 000], то можно утверждать, что такие задачи в настоящее время не решить ни одним из известных методов , ни на одной из известных вычислительных машин. Или в общем случае точность любого полученного решения будет оцениваться в " лаптях". Буду рад любым, особенно противоположным, мнениям.

Я бы взялся за опровержение тезиса при выполнении трех условий:
а) целочисленности коэффициентов
б) априорной информации о существовании и единствености ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО решения
в) наличия СЕРЬЕЗНЫХ предложений относительно разработки соответствующих методов


Приветствую!
Думаю, что на Ваши вопросы должна
ответить книжечка:
Хейгеман, Янг - "Итерационные методы решения систем.."
Или что-то в этом роде. Авторов помню точно.
Извиняюсь за неточность названия,
давненько сам читал. Но там достаточно серьезно все Ваши
вопросы исследовались.
Ну, еще Икрамов Х.Д. (с ВМК МГУ) - "Технологии разреженных
матриц". Там тоже всяко-разно вопросы рассматриваются.
И еще. К вопросу о точности. Если "лапоть" не жмет, то
это ХОРОШИЙ лапоть. Есть достаточно мощные, хоть и
приближенные, методы решения таких СЛУ. Например,
с использованием искусственных нейросетей, типа
"машина Больцмана". Очень неплохо "колет" задачки с
размерностью около 2000х2000.. Но может и больше, это
бесспорно.
А так - вычислительная сложность примерно T*N^3, где
T - время выполнения самой "длинной" операции в компе, а
N - размерность СЛУ. Кажется, так получается.

С уважением, *БИОМАССА* :)


> Приветствую!
> Думаю, что на Ваши вопросы должна
> ответить книжечка:
> Хейгеман, Янг - "Итерационные методы решения систем.."
> Или что-то в этом роде. Авторов помню точно.
> Извиняюсь за неточность названия,
> давненько сам читал. Но там достаточно серьезно все Ваши
> вопросы исследовались.
> Ну, еще Икрамов Х.Д. (с ВМК МГУ) - "Технологии разреженных
> матриц". Там тоже всяко-разно вопросы рассматриваются.

Так то, если разреженная...
Давным-давно прочнистам и бОльшие разреженные системы решал еще под ЕС.
(Метод конечного элемента применялся, там матрицы хорошие...)

> И еще. К вопросу о точности. Если "лапоть" не жмет,
...но воду пропускает...
>то
> это ХОРОШИЙ лапоть. Есть достаточно мощные, хоть и
> приближенные, методы решения таких СЛУ. Например,
> с использованием искусственных нейросетей, типа
> "машина Больцмана". Очень неплохо "колет" задачки с
> размерностью около 2000х2000.. Но может и больше, это
> бесспорно.
> А так - вычислительная сложность примерно T*N^3, где
> T - время выполнения самой "длинной" операции в компе, а
> N - размерность СЛУ. Кажется, так получается.

Думаю, проблема не в скорости, а в точности все же...
Плохо обусловленные системы плохо решаются...

> С уважением, *БИОМАССА* :)


> > Если матрица коэффициентов для системы линейных уравнений имеет размерность 1 000 Х 1 000 и более , а значения коэффициентов лежат в диапазоне [-1 000 000, 1 000 000], то можно утверждать, что такие задачи в настоящее время не решить ни одним из известных методов , ни на одной из известных вычислительных машин. Или в общем случае точность любого полученного решения будет оцениваться в " лаптях". Буду рад любым, особенно противоположным, мнениям.

> Я бы взялся за опровержение тезиса при выполнении трех условий:
> а) целочисленности коэффициентов
> б) априорной информации о существовании и единствености ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО решения
> в) наличия СЕРЬЕЗНЫХ предложений относительно разработки соответствующих методов

По пунктам а) и б) ответ отрицательный. По пункту в) ответ ,к сожалению, отрицательный.
Более того, в первоначальном вопросе исправляю : 10 000 х 10 000 , и опускаю слово "целые".
Иными словами, вопросы формулируются так :
1. Существуют ли принципиально иные методы решения СЛУ ?
2. В каких областях стоят задачи решения таких больших СЛУ ?

Дело в том ,что существующие методы решения СЛУ настолько поражают своей корявостью , что говорить об их надежном практическом использованиии невозможно.Под фразой "надежное практическое использование" понимается получение приемлемого решения СЛУ вне зависимости (в идеале) от разреженности и обусловленности матрицы коэффициентов.
Вероятно, методов решения СЛУ так много потому ,что создатели этих методов, начиная со времен царя Гороха, пропустили что-то существенное и важное.
А Вам как кажется ?



> Приветствую!
> Думаю, что на Ваши вопросы должна
> ответить книжечка:
> Хейгеман, Янг - "Итерационные методы решения систем.."
> Или что-то в этом роде. Авторов помню точно.
> Извиняюсь за неточность названия,
> давненько сам читал. Но там достаточно серьезно все Ваши
> вопросы исследовались.
> Ну, еще Икрамов Х.Д. (с ВМК МГУ) - "Технологии разреженных
> матриц". Там тоже всяко-разно вопросы рассматриваются.
> И еще. К вопросу о точности. Если "лапоть" не жмет, то
> это ХОРОШИЙ лапоть. Есть достаточно мощные, хоть и
> приближенные, методы решения таких СЛУ. Например,
> с использованием искусственных нейросетей, типа
> "машина Больцмана". Очень неплохо "колет" задачки с
> размерностью около 2000х2000.. Но может и больше, это
> бесспорно.
> А так - вычислительная сложность примерно T*N^3, где
> T - время выполнения самой "длинной" операции в компе, а
> N - размерность СЛУ. Кажется, так получается.

> С уважением, *БИОМАССА* :)

Подробный ответ приятен. Спасибо.
Но существуют ли новые методы ,точность которых не зависит от разреженности и обусловленности матрицы коэффициентов ? Увеличу размерность до 10 000 х 10 000. И снова задам первый вопрос.
Известны ли Вам области ,где практически используются решения таких систем ?



> 2. В каких областях стоят задачи решения таких больших СЛУ ?

Сам давно сталкивался с этой проблемой у "прочнистов" - расчеты на прочность с использованием метода конечного элемента.
Не сталкивался по работе, но "из общих соображений" предполагаю, что с подобными проблемами сталкиваются и криптографы (вернее, криптоаналитики) - быстрое и с 100% точностью (!) обращение матриц.


> Приветствую!
> Думаю, что на Ваши вопросы должна
> ответить книжечка:
> Хейгеман, Янг - "Итерационные методы решения систем.."
> Или что-то в этом роде. Авторов помню точно.
> Извиняюсь за неточность названия,
> давненько сам читал. Но там достаточно серьезно все Ваши
> вопросы исследовались.
> Ну, еще Икрамов Х.Д. (с ВМК МГУ) - "Технологии разреженных
> матриц". Там тоже всяко-разно вопросы рассматриваются.
> И еще. К вопросу о точности. Если "лапоть" не жмет, то
> это ХОРОШИЙ лапоть. Есть достаточно мощные, хоть и
> приближенные, методы решения таких СЛУ. Например,
> с использованием искусственных нейросетей, типа
> "машина Больцмана". Очень неплохо "колет" задачки с
> размерностью около 2000х2000.. Но может и больше, это
> бесспорно.
> А так - вычислительная сложность примерно T*N^3, где
> T - время выполнения самой "длинной" операции в компе, а
> N - размерность СЛУ. Кажется, так получается.

> С уважением, *БИОМАССА* :)

Обычное QR разложение O(N^2) вычислительная сложность.


> > > Если матрица коэффициентов для системы линейных уравнений имеет размерность 1 000 Х 1 000 и более , а значения коэффициентов лежат в диапазоне [-1 000 000, 1 000 000], то можно утверждать, что такие задачи в настоящее время не решить ни одним из известных методов , ни на одной из известных вычислительных машин. Или в общем случае точность любого полученного решения будет оцениваться в " лаптях". Буду рад любым, особенно противоположным, мнениям.

> > Я бы взялся за опровержение тезиса при выполнении трех условий:
> > а) целочисленности коэффициентов
> > б) априорной информации о существовании и единствености ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО решения
> > в) наличия СЕРЬЕЗНЫХ предложений относительно разработки соответствующих методов

> По пунктам а) и б) ответ отрицательный. По пункту в) ответ ,к сожалению, отрицательный.
> Более того, в первоначальном вопросе исправляю : 10 000 х 10 000 , и опускаю слово "целые".
> Иными словами, вопросы формулируются так :
> 1. Существуют ли принципиально иные методы решения СЛУ ?
> 2. В каких областях стоят задачи решения таких больших СЛУ ?

> Дело в том ,что существующие методы решения СЛУ настолько поражают своей корявостью , что говорить об их надежном практическом использованиии невозможно.Под фразой "надежное практическое использование" понимается получение приемлемого решения СЛУ вне зависимости (в идеале) от разреженности и обусловленности матрицы коэффициентов.
> Вероятно, методов решения СЛУ так много потому ,что создатели этих методов, начиная со времен царя Гороха, пропустили что-то существенное и важное.
> А Вам как кажется ?

для самоссопряженных матриц все вполне решается обычными итерационными методами. И главное где ты откопал такую матрицу. Реальную модель на 10000 уравнений с неразреженной матрицей я себе не представляю. А матрици из численных методов на сетке весьма специальные.



> Если матрица коэффициентов для системы линейных уравнений имеет размерность 1 000 Х 1 000 и более , а значения коэффициентов лежат в диапазоне [-1 000 000, 1 000 000], то можно утверждать, что такие задачи в настоящее время не решить ни одним из известных методов , ни на одной из известных вычислительных машин. Или в общем случае точность любого полученного решения будет оцениваться в " лаптях". Буду рад любым, особенно противоположным, мнениям.


Я очень признателен всем ответившим на тему " Матрицы 1000Х1000 и более ."
И как прямое продолжение хочу предложить вопрос для обсуждения " Что считать решением СЛУ ?"
Определив иначе цель(решение СЛУ),возможно, иначе определятся средства (методы решения).

Для квадратных матриц что такое решение СЛУ известно.

1.Рассмотрим случай для матриц, в которых число строк больше числа столбцов А(3,2).
В трехмерном базисе даны три некомпланарных ненулевых вектора A,В,С.
Рассмотрим тождество

х1*А+х2*В=С в векторной форме

,или СЛУ

х1*А1+х2*В1=С1
х1*А2+х2*В2=С2
х1*А3+х2*В3=С3

В силу некомпланарности векторов А,В,С СЛУ не имеет решения.
Или вектор С не является линейной комбинацией векторов А и В.

Подробнее. Вектор С не лежит в плоскости проходящей через вектора А и В, поэтому и не может быть выражен
через вектора А и В.

Не может быть выражен - и не надо. Зато через вектора А и В может быть выражена проекция Вектора С на плоскость,
проходящую через вектора А и В.

Тогда решением СЛУ (с матрицей 3х2 ) , будем считать такую пару чисел Х1 и Х2, при которой
х1*А+х2*В=С', где С' -проекция ветора С на плоскость ,проходящую через А и В . В результате решения
получаем не сам вектор С ,а "ближайший" к нему вектор С'.

Итак, для СЛУ
X*A =B
с матрицей A(mxn), где в общем случае m>n,
решением будем считать такой вектор Х ,при котором длина вектора В - Х*А будет минимальной.
Примечание.Если матрица А - квадратная и определитель матрицы не равен 0,
то длина вектора В - Х*А будет равна 0.

2.Рассмотрим случай для матриц, в которых число строк меньше числа столбцов А(1,2).
х1*А1+х2*В1=С1 (1)
Все решения этой СЛУ с одним уравнением лежат на прямой.
Мы же определим РЕШЕНИЕ ,как единственное ,как точку ,лежащую на пресечении прямой (1) и перпендикуляра опущенного
из начала координат на прямую (1).
Другими словами, РЕШЕНИЕМ СЛУ будет такой вектор Х(х1,Х2) длина которого будет наименьшей из всех векторов-решений
для уравнения 1.


Итак, решением СЛУ А*Х=В,где А-ненулевая матрица с произвольным количеством строк и столбцов,
является наименьший по длине вектор Х из множества векторов ХХ,для каждого из которых длина вектора
В-А*х будет минимальной.
Следствие 1. Для СЛУ А*Х=В ,при ненулевой матрице А всегда существует ненулевой и единственный вектор-решение Х.
Следствие 2. В случае квадратной матрицы (классический случай) Множество ХХ состоит из одного вектора, а длина вектора
В-А*Х равна 0.
Если вышесказанное корректно,то можно приступить к обсуждению методов решения СЛУ.
Буду искренне рад, если участники дискуссиии сочтут такой поворот темы любопытным.



> > > > Если матрица коэффициентов для системы линейных уравнений имеет размерность 1 000 Х 1 000 и более , а значения коэффициентов лежат в диапазоне [-1 000 000, 1 000 000], то можно утверждать, что такие задачи в настоящее время не решить ни одним из известных методов , ни на одной из известных вычислительных машин. Или в общем случае точность любого полученного решения будет оцениваться в " лаптях". Буду рад любым, особенно противоположным, мнениям.

> > > Я бы взялся за опровержение тезиса при выполнении трех условий:
> > > а) целочисленности коэффициентов
> > > б) априорной информации о существовании и единствености ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО решения
> > > в) наличия СЕРЬЕЗНЫХ предложений относительно разработки соответствующих методов

> > По пунктам а) и б) ответ отрицательный. По пункту в) ответ ,к сожалению, отрицательный.
> > Более того, в первоначальном вопросе исправляю : 10 000 х 10 000 , и опускаю слово "целые".
> > Иными словами, вопросы формулируются так :
> > 1. Существуют ли принципиально иные методы решения СЛУ ?
> > 2. В каких областях стоят задачи решения таких больших СЛУ ?

> > Дело в том ,что существующие методы решения СЛУ настолько поражают своей корявостью , что говорить об их надежном практическом использованиии невозможно.Под фразой "надежное практическое использование" понимается получение приемлемого решения СЛУ вне зависимости (в идеале) от разреженности и обусловленности матрицы коэффициентов.
> > Вероятно, методов решения СЛУ так много потому ,что со
здатели этих методов, начиная со времен царя Гороха, пропустили что-то существенное и важное.
> > А Вам как кажется ?

> для самоссопряженных матриц все вполне решается обычными итерационными методами. И главное где ты откопал такую матрицу. Реальную модель на 10000 уравнений с неразреженной матрицей я себе не представляю. А матрици из численных методов на сетке весьма специальные.

В задачах расчета гидравлики сетей или расчета больших нелинейных эл цепей
могут возникнуть несимметрические матрицы большого порядка, с числом неизвестных
10 000 и более. Но конечно, лучше решать такие задачи с помощью
декомпозиции. Кстати, эти задачи уже нелинейные и возникают проблемы
со сходимостью метода Ньютона, недифференцируемостью оператора, например
нелинейность в виде модуля на неизвестное. Также при трассировке плат.
Матрицы получаются несимметрические и возникают интересные вопросы,
о смене режимов, с ламинарного на турбулентный итп.

PS Голословно утверждать, что кто-то пропустил важное и существенное
несерьезно, необходимо сначала представить программу расчета и результаты
тестовых расчетов.


> > > > > Если матрица коэффициентов для системы линейных уравнений имеет размерность 1 000 Х 1 000 и более , а значения коэффициентов лежат в диапазоне [-1 000 000, 1 000 000], то можно утверждать, что такие задачи в настоящее время не решить ни одним из известных методов , ни на одной из известных вычислительных машин. Или в общем случае точность любого полученного решения будет оцениваться в " лаптях". Буду рад любым, особенно противоположным, мнениям.

> > > > Я бы взялся за опровержение тезиса при выполнении трех условий:
> > > > а) целочисленности коэффициентов
> > > > б) априорной информации о существовании и единствености ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО решения
> > > > в) наличия СЕРЬЕЗНЫХ предложений относительно разработки соответствующих методов

> > > По пунктам а) и б) ответ отрицательный. По пункту в) ответ ,к сожалению, отрицательный.
> > > Более того, в первоначальном вопросе исправляю : 10 000 х 10 000 , и опускаю слово "целые".
> > > Иными словами, вопросы формулируются так :
> > > 1. Существуют ли принципиально иные методы решения СЛУ ?
> > > 2. В каких областях стоят задачи решения таких больших СЛУ ?

> > > Дело в том ,что существующие методы решения СЛУ настолько поражают своей корявостью , что говорить об их надежном практическом использованиии невозможно.Под фразой "надежное практическое использование" понимается получение приемлемого решения СЛУ вне зависимости (в идеале) от разреженности и обусловленности матрицы коэффициентов.
> > > Вероятно, методов решения СЛУ так много потому ,что со
> здатели этих методов, начиная со времен царя Гороха, пропустили что-то существенное и важное.
> > > А Вам как кажется ?

> > для самоссопряженных матриц все вполне решается обычными итерационными методами. И главное где ты откопал такую матрицу. Реальную модель на 10000 уравнений с неразреженной матрицей я себе не представляю. А матрици из численных методов на сетке весьма специальные.

> В задачах расчета гидравлики сетей или расчета больших нелинейных эл цепей
> могут возникнуть несимметрические матрицы большого порядка, с числом неизвестных
> 10 000 и более. Но конечно, лучше решать такие задачи с помощью
> декомпозиции. Кстати, эти задачи уже нелинейные и возникают проблемы
> со сходимостью метода Ньютона, недифференцируемостью оператора, например
> нелинейность в виде модуля на неизвестное. Также при трассировке плат.
> Матрицы получаются несимметрические и возникают интересные вопросы,
> о смене режимов, с ламинарного на турбулентный итп.

> PS Голословно утверждать, что кто-то пропустил важное и существенное
> несерьезно, необходимо сначала представить программу расчета и результаты
> тестовых расчетов.
>
Вопросы ставятся так, как ставятся, по причине узости кругозора автора по данной тематике.
Недопустимо голословное утверждение, а вот сомнение голословное - вполне. Мне интересно Ваше мнение на новый
вопрос см. Re. Что считать решением СЛУ ?


> > > > Если матрица коэффициентов для системы линейных уравнений имеет размерность 1 000 Х 1 000 и более , а значения коэффициентов лежат в диапазоне [-1 000 000, 1 000 000], то можно утверждать, что такие задачи в настоящее время не решить ни одним из известных методов , ни на одной из известных вычислительных машин. Или в общем случае точность любого полученного решения будет оцениваться в " лаптях". Буду рад любым, особенно противоположным, мнениям.

> > > Я бы взялся за опровержение тезиса при выполнении трех условий:
> > > а) целочисленности коэффициентов
> > > б) априорной информации о существовании и единствености ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО решения
> > > в) наличия СЕРЬЕЗНЫХ предложений относительно разработки соответствующих методов

> > По пунктам а) и б) ответ отрицательный. По пункту в) ответ ,к сожалению, отрицательный.
> > Более того, в первоначальном вопросе исправляю : 10 000 х 10 000 , и опускаю слово "целые".
> > Иными словами, вопросы формулируются так :
> > 1. Существуют ли принципиально иные методы решения СЛУ ?
> > 2. В каких областях стоят задачи решения таких больших СЛУ ?

> > Дело в том ,что существующие методы решения СЛУ настолько поражают своей корявостью , что говорить об их надежном практическом использованиии невозможно.Под фразой "надежное практическое использование" понимается получение приемлемого решения СЛУ вне зависимости (в идеале) от разреженности и обусловленности матрицы коэффициентов.
> > Вероятно, методов решения СЛУ так много потому ,что создатели этих методов, начиная со времен царя Гороха, пропустили что-то существенное и важное.
> > А Вам как кажется ?

> для самоссопряженных матриц все вполне решается обычными итерационными методами. И главное где ты откопал такую матрицу. Реальную модель на 10000 уравнений с неразреженной матрицей я себе не представляю. А матрици из численных методов на сетке весьма специальные

Обычные итерационные методамы приводят к таким погрешностям в случае 10000х10000 (матрица неразреженная и плохо обусловленная) ,что выражение "лапоть" вполне уместно.
Вопрос не в наличии или отсутствии реальной модели на 10 000 уравнений, а наличии или отсутствии надежных методов
решения больших СЛУ и в скромном предположении, что такие
методы не созданы . Отсюда вытекает следующий вопрос, на который я прошу Вас ответить см.Re .Что считать решением СЛУ ?


> > > > > > Если матрица коэффициентов для системы линейных уравнений имеет размерность 1 000 Х 1 000 и более , а значения коэффициентов лежат в диапазоне [-1 000 000, 1 000 000], то можно утверждать, что такие задачи в настоящее время не решить ни одним из известных методов , ни на одной из известных вычислительных машин. Или в общем случае точность любого полученного решения будет оцениваться в " лаптях". Буду рад любым, особенно противоположным, мнениям.

> > > > > Я бы взялся за опровержение тезиса при выполнении трех условий:
> > > > > а) целочисленности коэффициентов
> > > > > б) априорной информации о существовании и единствености ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО решения
> > > > > в) наличия СЕРЬЕЗНЫХ предложений относительно разработки соответствующих методов

> > > > По пунктам а) и б) ответ отрицательный. По пункту в) ответ ,к сожалению, отрицательный.
> > > > Более того, в первоначальном вопросе исправляю : 10 000 х 10 000 , и опускаю слово "целые".
> > > > Иными словами, вопросы формулируются так :
> > > > 1. Существуют ли принципиально иные методы решения СЛУ ?
> > > > 2. В каких областях стоят задачи решения таких больших СЛУ ?

> > > > Дело в том ,что существующие методы решения СЛУ настолько поражают своей корявостью , что говорить об их надежном практическом использованиии невозможно.Под фразой "надежное практическое использование" понимается получение приемлемого решения СЛУ вне зависимости (в идеале) от разреженности и обусловленности матрицы коэффициентов.
> > > > Вероятно, методов решения СЛУ так много потому ,что со
> > здатели этих методов, начиная со времен царя Гороха, пропустили что-то существенное и важное.
> > > > А Вам как кажется ?

> > > для самоссопряженных матриц все вполне решается обычными итерационными методами. И главное где ты откопал такую матрицу. Реальную модель на 10000 уравнений с неразреженной матрицей я себе не представляю. А матрици из численных методов на сетке весьма специальные.

> > В задачах расчета гидравлики сетей или расчета больших нелинейных эл цепей
> > могут возникнуть несимметрические матрицы большого порядка, с числом неизвестных
> > 10 000 и более. Но конечно, лучше решать такие задачи с помощью
> > декомпозиции. Кстати, эти задачи уже нелинейные и возникают проблемы
> > со сходимостью метода Ньютона, недифференцируемостью оператора, например
> > нелинейность в виде модуля на неизвестное. Также при трассировке плат.
> > Матрицы получаются несимметрические и возникают интересные вопросы,
> > о смене режимов, с ламинарного на турбулентный итп.

> > PS Голословно утверждать, что кто-то пропустил важное и существенное
> > несерьезно, необходимо сначала представить программу расчета и результаты
> > тестовых расчетов.
> >
> Вопросы ставятся так, как ставятся, по причине узости кругозора автора по данной тематике.
> Недопустимо голословное утверждение, а вот сомнение голословное - вполне. Мне интересно Ваше мнение на новый
> вопрос см. Re. Что считать решением СЛУ ?

Не надо путать вычислительную математику со спортом, - матрицы и системы не существуют сами по себе. Если вопрос абстрактный и ответ такой же - метод Крамера, но если необходимо решить систему возникающую при постановке конкретной задачи из приложений, то ответом будет являться
то, что тербуется в приложениях.

Например, если исходная задача самосопряженная, то матрицы
будут получаться симметричными и положительно определенными,
если же рассматриваемая исходная физическая (или какая другая ) система неконсервативна, то будут получаться несимметричные матрицы. В первом случае решением можно считать комбинацию нескольких собственных вектров, в несимметричном случае можно сводить задачу к симметричном услучаю, рассматривая произведение матрицы на сопряженную.


> > > > > > > Если матрица коэффициентов для системы линейных уравнений имеет размерность 1 000 Х 1 000 и более , а значения коэффициентов лежат в диапазоне [-1 000 000, 1 000 000], то можно утверждать, что такие задачи в настоящее время не решить ни одним из известных методов , ни на одной из известных вычислительных машин. Или в общем случае точность любого полученного решения будет оцениваться в " лаптях". Буду рад любым, особенно противоположным, мнениям.

> > > > > > Я бы взялся за опровержение тезиса при выполнении трех условий:
> > > > > > а) целочисленности коэффициентов
> > > > > > б) априорной информации о существовании и единствености ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО решения
> > > > > > в) наличия СЕРЬЕЗНЫХ предложений относительно разработки соответствующих методов

> > > > > По пунктам а) и б) ответ отрицательный. По пункту в) ответ ,к сожалению, отрицательный.
> > > > > Более того, в первоначальном вопросе исправляю : 10 000 х 10 000 , и опускаю слово "целые".
> > > > > Иными словами, вопросы формулируются так :
> > > > > 1. Существуют ли принципиально иные методы решения СЛУ ?
> > > > > 2. В каких областях стоят задачи решения таких больших СЛУ ?

> > > > > Дело в том ,что существующие методы решения СЛУ настолько поражают своей корявостью , что говорить об их надежном практическом использованиии невозможно.Под фразой "надежное практическое использование" понимается получение приемлемого решения СЛУ вне зависимости (в идеале) от разреженности и обусловленности матрицы коэффициентов.
> > > > > Вероятно, методов решения СЛУ так много потому ,что со
> > > здатели этих методов, начиная со времен царя Гороха, пропустили что-то существенное и важное.
> > > > > А Вам как кажется ?

> > > > для самоссопряженных матриц все вполне решается обычными итерационными методами. И главное где ты откопал такую матрицу. Реальную модель на 10000 уравнений с неразреженной матрицей я себе не представляю. А матрици из численных методов на сетке весьма специальные.

> > > В задачах расчета гидравлики сетей или расчета больших нелинейных эл цепей
> > > могут возникнуть несимметрические матрицы большого порядка, с числом неизвестных
> > > 10 000 и более. Но конечно, лучше решать такие задачи с помощью
> > > декомпозиции. Кстати, эти задачи уже нелинейные и возникают проблемы
> > > со сходимостью метода Ньютона, недифференцируемостью оператора, например
> > > нелинейность в виде модуля на неизвестное. Также при трассировке плат.
> > > Матрицы получаются несимметрические и возникают интересные вопросы,
> > > о смене режимов, с ламинарного на турбулентный итп.

> > > PS Голословно утверждать, что кто-то пропустил важное и существенное
> > > несерьезно, необходимо сначала представить программу расчета и результаты
> > > тестовых расчетов.
> > >
> > Вопросы ставятся так, как ставятся, по причине узости кругозора автора по данной тематике.
> > Недопустимо голословное утверждение, а вот сомнение голословное - вполне. Мне интересно Ваше мнение на новый
> > вопрос см. Re. Что считать решением СЛУ ?

> Не надо путать вычислительную математику со спортом, - матрицы и системы не существуют сами по себе. Если вопрос абстрактный и ответ такой же - метод Крамера, но если необходимо решить систему возникающую при постановке конкретной задачи из приложений, то ответом будет являться
> то, что тербуется в приложениях.

> Например, если исходная задача самосопряженная, то матрицы
> будут получаться симметричными и положительно определенными,
> если же рассматриваемая исходная физическая (или какая другая ) система неконсервативна, то будут получаться несимметричные матрицы. В первом случае решением можно считать комбинацию нескольких собственных вектров, в несимметричном случае можно сводить задачу к симметричном услучаю, рассматривая произведение матрицы на сопряженную.

Хм.. У меня действительно : выч.математика и спорт крепко спутаны.
И чтобы матрицы и системы не существовали сами по себе ,представим себе некую вычислительную систему, на вход которой поступают задачи ,
оформленные в виде СЛУ с произвольной ненулевой матрицей коэффициентов А(m,n), а на выходе векторы-решения.
Выч.Системе априори ничего не известно о параметрах СЛУ (совместности,единственности решения,обусловленности).
Возможны два варианта :
1.На первом этапе выясняются (вычисляются) те самые вышеназванные параметры СЛУ .
По результатам первого этапа принимается решение о применениии того или иного метода, или о прекращении
процесса : СЛУ не совместна.Предполагаю, что тут уместен метод Крамера.

2.На первом этапе ничего не выясняется.Вычислительная система после проверки на нуль всей матрицы приступает
к вычислению вектора-решения.

Вариант 1 в общем случае он ведет к непредсказуемым результатам особенно для больших СЛУ, участие человека в
принятии решения практически обязательно.

Если мы иначе определим вектор-решение (см.Что считать решением СЛУ?) , то возможен вариант 2.
Дейсвительно, если для СЛУ с произвольной ненулевой матрицей А(m,n) всегда найдется единственный вектор-решение,
то почему сразу не приступить к его поиску.
Далее, этот вектор-решение совпадет с вектором- решением , полученным в результате
классичекого метода, если матрица квадратная и определитель матрицы не равен нулю.

Для того и задавался вопрос: " Что считать решением СЛУ? ", чтобы стал возможен вариант 2
и описанная вычислительная система обошлась без участия человека.
Разумеется,вариант 2, не панацея от больших погрешностей. Вызывает вопросы и интерпретация вектора -решения.
Ничего не говорится о методе получения такого решения, т.е. туча неясностей.
Тем не менее буду рад любым комментариям по поводу построения таких вычислительных систем .


> > Если матрица коэффициентов для системы линейных уравнений имеет размерность 1 000 Х 1 000 и более , а значения коэффициентов лежат в диапазоне [-1 000 000, 1 000 000], то можно утверждать, что такие задачи в настоящее время не решить ни одним из известных методов , ни на одной из известных вычислительных машин. Или в общем случае точность любого полученного решения будет оцениваться в " лаптях". Буду рад любым, особенно противоположным, мнениям.

>
> Я очень признателен всем ответившим на тему " Матрицы 1000Х1000 и более ."
> И как прямое продолжение хочу предложить вопрос для обсуждения " Что считать решением СЛУ ?"
> Определив иначе цель(решение СЛУ),возможно, иначе определятся средства (методы решения).
>
> Для квадратных матриц что такое решение СЛУ известно.

> 1.Рассмотрим случай для матриц, в которых число строк больше числа столбцов А(3,2).
> В трехмерном базисе даны три некомпланарных ненулевых вектора A,В,С.
> Рассмотрим тождество

> х1*А+х2*В=С в векторной форме

> ,или СЛУ

> х1*А1+х2*В1=С1
> х1*А2+х2*В2=С2
> х1*А3+х2*В3=С3

> В силу некомпланарности векторов А,В,С СЛУ не имеет решения.
> Или вектор С не является линейной комбинацией векторов А и В.

> Подробнее. Вектор С не лежит в плоскости проходящей через вектора А и В, поэтому и не может быть выражен
> через вектора А и В.

> Не может быть выражен - и не надо. Зато через вектора А и В может быть выражена проекция Вектора С на плоскость,
> проходящую через вектора А и В.

> Тогда решением СЛУ (с матрицей 3х2 ) , будем считать такую пару чисел Х1 и Х2, при которой
> х1*А+х2*В=С', где С' -проекция ветора С на плоскость ,проходящую через А и В . В результате решения
> получаем не сам вектор С ,а "ближайший" к нему вектор С'.

> Итак, для СЛУ
> X*A =B
> с матрицей A(mxn), где в общем случае m>n,
> решением будем считать такой вектор Х ,при котором длина вектора В - Х*А будет минимальной.
> Примечание.Если матрица А - квадратная и определитель матрицы не равен 0,
> то длина вектора В - Х*А будет равна 0.

> 2.Рассмотрим случай для матриц, в которых число строк меньше числа столбцов А(1,2).
> х1*А1+х2*В1=С1 (1)
> Все решения этой СЛУ с одним уравнением лежат на прямой.
> Мы же определим РЕШЕНИЕ ,как единственное ,как точку ,лежащую на пресечении прямой (1) и перпендикуляра опущенного
> из начала координат на прямую (1).
> Другими словами, РЕШЕНИЕМ СЛУ будет такой вектор Х(х1,Х2) длина которого будет наименьшей из всех векторов-решений
> для уравнения 1.

>
> Итак, решением СЛУ А*Х=В,где А-ненулевая матрица с произвольным количеством строк и столбцов,
> является наименьший по длине вектор Х из множества векторов ХХ,для каждого из которых длина вектора
> В-А*х будет минимальной.
> Следствие 1. Для СЛУ А*Х=В ,при ненулевой матрице А всегда существует ненулевой и единственный вектор-решение Х.
> Следствие 2. В случае квадратной матрицы (классический случай) Множество ХХ состоит из одного вектора, а длина вектора
> В-А*Х равна 0.
> Если вышесказанное корректно,то можно приступить к обсуждению методов решения СЛУ.
> Буду искренне рад, если участники дискуссиии сочтут такой поворот темы любопытным.

Не надо изобретать велосипед. Тем более с квадратными колесами. Решением систем считают такой вектор что
||В-А*X||_{L}<\epsilon где {L} какая-либо норма \epsilon точность. Обычно используется скалярное произведение двух векторов. Лучше взять книжку например Бахвалова и прочитать.



> > > Если матрица коэффициентов для системы линейных уравнений имеет размерность 1 000 Х 1 000 и более , а значения коэффициентов лежат в диапазоне [-1 000 000, 1 000 000], то можно утверждать, что такие задачи в настоящее время не решить ни одним из известных методов , ни на одной из известных вычислительных машин. Или в общем случае точность любого полученного решения будет оцениваться в " лаптях". Буду рад любым, особенно противоположным, мнениям.

> >
> > Я очень признателен всем ответившим на тему " Матрицы 1000Х1000 и более ."
> > И как прямое продолжение хочу предложить вопрос для обсуждения " Что считать решением СЛУ ?"
> > Определив иначе цель(решение СЛУ),возможно, иначе определятся средства (методы решения).
> >
> > Для квадратных матриц что такое решение СЛУ известно.

> > 1.Рассмотрим случай для матриц, в которых число строк больше числа столбцов А(3,2).
> > В трехмерном базисе даны три некомпланарных ненулевых вектора A,В,С.
> > Рассмотрим тождество

> > х1*А+х2*В=С в векторной форме

> > ,или СЛУ

> > х1*А1+х2*В1=С1
> > х1*А2+х2*В2=С2
> > х1*А3+х2*В3=С3

> > В силу некомпланарности векторов А,В,С СЛУ не имеет решения.
> > Или вектор С не является линейной комбинацией векторов А и В.

> > Подробнее. Вектор С не лежит в плоскости проходящей через вектора А и В, поэтому и не может быть выражен
> > через вектора А и В.

> > Не может быть выражен - и не надо. Зато через вектора А и В может быть выражена проекция Вектора С на плоскость,
> > проходящую через вектора А и В.

> > Тогда решением СЛУ (с матрицей 3х2 ) , будем считать такую пару чисел Х1 и Х2, при которой
> > х1*А+х2*В=С', где С' -проекция ветора С на плоскость ,проходящую через А и В . В результате решения
> > получаем не сам вектор С ,а "ближайший" к нему вектор С'.

> > Итак, для СЛУ
> > X*A =B
> > с матрицей A(mxn), где в общем случае m>n,
> > решением будем считать такой вектор Х ,при котором длина вектора В - Х*А будет минимальной.
> > Примечание.Если матрица А - квадратная и определитель матрицы не равен 0,
> > то длина вектора В - Х*А будет равна 0.

> > 2.Рассмотрим случай для матриц, в которых число строк меньше числа столбцов А(1,2).
> > х1*А1+х2*В1=С1 (1)
> > Все решения этой СЛУ с одним уравнением лежат на прямой.
> > Мы же определим РЕШЕНИЕ ,как единственное ,как точку ,лежащую на пресечении прямой (1) и перпендикуляра опущенного
> > из начала координат на прямую (1).
> > Другими словами, РЕШЕНИЕМ СЛУ будет такой вектор Х(х1,Х2) длина которого будет наименьшей из всех векторов-решений
> > для уравнения 1.

> >
> > Итак, решением СЛУ А*Х=В,где А-ненулевая матрица с произвольным количеством строк и столбцов,
> > является наименьший по длине вектор Х из множества векторов ХХ,для каждого из которых длина вектора
> > В-А*х будет минимальной.
> > Следствие 1. Для СЛУ А*Х=В ,при ненулевой матрице А всегда существует ненулевой и единственный вектор-решение Х.
> > Следствие 2. В случае квадратной матрицы (классический случай) Множество ХХ состоит из одного вектора, а длина вектора
> > В-А*Х равна 0.
> > Если вышесказанное корректно,то можно приступить к обсуждению методов решения СЛУ.
> > Буду искренне рад, если участники дискуссиии сочтут такой поворот темы любопытным.

> Не надо изобретать велосипед. Тем более с квадратными колесами. Решением систем считают такой вектор что
> ||В-А*X||_{L}<\epsilon где {L} какая-либо норма \epsilon точность. Обычно используется скалярное произведение двух векторов. Лучше взять книжку например Бахвалова и прочитать.


Имеютя в виду ,в том числе и несовместные системы см п1., и пока считается ,что вопрос о ее решении не имеет смысла.
Смысл появляется ,если принять п1.
Говорить же о точности решения имеет смысл только тогда ,
когда система совместна.
Смысл "этих квадратных колес" в том ,чтобы одинаковым образом определить решение СЛУ для совместных и несовместных систем. Что в свою очередь необходимо для того, чтобы решать совместные и несовместные системы одним методом.Предполагается ,что возможны такие вычислительные системы которые получают на входе СЛУ и имеют на выходе
вектор-решение. Выч.Ситема не анализирует характеристики СЛУ (обусловленность,симметричность и т.д), а сразу приступает к вычислению вектора- решения , потому что
СЛУ с любой ненулевой матрицей имеет ТАКОЕ единственное ненулевое решение.


> Если матрица коэффициентов для системы линейных уравнений имеет размерность 1 000 Х 1 000 и более , а значения коэффициентов лежат в диапазоне [-1 000 000, 1 000 000], то можно утверждать, что такие задачи в настоящее время не решить ни одним из известных методов , ни на одной из известных вычислительных машин. Или в общем случае точность любого полученного решения будет оцениваться в " лаптях". Буду рад любым, особенно противоположным, мнениям.

!



> Если матрица коэффициентов для системы линейных уравнений имеет размерность 1 000 Х 1 000 и более , а значения коэффициентов лежат в диапазоне [-1 000 000, 1 000 000], то можно утверждать, что такие задачи в настоящее время не решить ни одним из известных методов , ни на одной из известных вычислительных машин. Или в общем случае точность любого полученного решения будет оцениваться в " лаптях". Буду рад любым, особенно противоположным, мнениям.

Если о свойствах матрицы /откуда она взялась/ a priori ничего не известно --- чуть ли не единственный разумный метод --- неполная факторизация + итерационная метод
/GMRES, etc.../. Можешь поискать в сети /или библиотеке/ что-нибудь типа "incomplete LU factorization".


> Если матрица коэффициентов для системы линейных уравнений имеет размерность 1 000 Х 1 000 и более , а значения коэффициентов лежат в диапазоне [-1 000 000, 1 000 000], то можно утверждать, что такие задачи в настоящее время не решить ни одним из известных методов , ни на одной из известных вычислительных машин. Или в общем случае точность любого полученного решения будет оцениваться в " лаптях". Буду рад любым, особенно противоположным, мнениям.

Это так ,ну и что ?


Методы решения таких систем есть. Однако их решение требует больших вычислительных затрат.
Я мог бы поделиться своими наработками при наличии должной заинтенресованности.


>
> > 2. В каких областях стоят задачи решения таких больших СЛУ ?

> Сам давно сталкивался с этой проблемой у "прочнистов" - расчеты на прочность с использованием метода конечного элемента.
> Не сталкивался по работе, но "из общих соображений" предполагаю, что с подобными проблемами сталкиваются и криптографы (вернее, криптоаналитики) - быстрое и с 100% точностью (!) обращение матриц.

Неделю назад узнал от приятеля о проблеме.
Так называемая "финансовая математика". Проблема оптимизации "инвестиционных портфелей". Куда и в каком размере вкладываться.
Матрицы огромны. Деньги тоже...


>
> > 2. В каких областях стоят задачи решения таких больших СЛУ ?

Реактор ВВЭР-1000: 163 кассеты * 397 ТВЭЛОВ в каждой *50 участков по высоте*4 энергетических группы.~13 000 000 неизвестных. Матрица 36 диагональная. Люди как-то решают. :)


Mne pomnit'sia chto ja kak-to na Pentium 100 reshal sistemu 1000x1000 prostym metodom Gaussa. Zanimalo eto gde-to 20 minut (ili mozhet bol'she - ne ochen' pomniu).

Esli ne ochen' poluchit'sia poprobuju vybirat' naibol'shij element po vsej matrice a ne po stolbcu.

Esli sovsem eto ne pomogaet voz'mi biblioteku s povyshennoj tochnost'ju (tipa doubledouble).

Voobsche metody reshenija matric inogda obladajut kakoj-to interesnoj ustojchivost'ju. Naprimer tot zhe Gauss inogda mozhet najti ne sovsem pravil'noe reshenie, no ono budet davat' ochen' malen'kij ostatok pri podstanovke, a vo mnogih prilozhenijah eto kak raz to chto i nuzhno.

A voobsche ty podnial temu pro kotoruju napisano prosto tonny materiala.

Mirovoj rekord reshenija sistem linejnyh uravnenij nahodit'sia gde-to v oblasi million na million tak chto tvoi matricy eto prosto cvetochki (matricy pravda dostatochno pustye tam byli no vse" ravno chislo nenulivyh elementov namnogo bol'she milliona).

Vmesto togo chtob obsuzhdat' etot tupoi vopros na forume voz'mi knizhku i sam pogoniaj s desiatok metodov. Pojme"sh chto tvoja matrica ne takaja uzh i bol'shaja.

Ja tak i ne ponial nafiga ty napisal diapazon znachenij elementov. Etot ni na chto ne vlijaet. Vlijaet obychno tol'ko obuslovlennost' matricy.


Vot svezhie dannye dlia samogo moschnogo na segodnia kompa.

Polnuju matricu million na million komp reshaet za 6 chasov.

Matrica zanimaet 9 Terabajt (dlia sparavki ob'e"m interneta 150-200 Terabajt - vsego v 20 raz bol'she).

http://www1.top500.org/top5/1/

ssylka


> Mne pomnit'sia chto ja kak-to na Pentium 100 reshal sistemu 1000x1000 prostym metodom Gaussa. Zanimalo eto gde-to 20 minut (ili mozhet bol'she - ne ochen' pomniu).

> Esli ne ochen' poluchit'sia poprobuju vybirat' naibol'shij element po vsej matrice a ne po stolbcu.

> Esli sovsem eto ne pomogaet voz'mi biblioteku s povyshennoj tochnost'ju (tipa doubledouble).

> Voobsche metody reshenija matric inogda obladajut kakoj-to interesnoj ustojchivost'ju. Naprimer tot zhe Gauss inogda mozhet najti ne sovsem pravil'noe reshenie, no ono budet davat' ochen' malen'kij ostatok pri podstanovke, a vo mnogih prilozhenijah eto kak raz to chto i nuzhno.

> A voobsche ty podnial temu pro kotoruju napisano prosto tonny materiala.

> Mirovoj rekord reshenija sistem linejnyh uravnenij nahodit'sia gde-to v oblasi million na million tak chto tvoi matricy eto prosto cvetochki (matricy pravda dostatochno pustye tam byli no vse" ravno chislo nenulivyh elementov namnogo bol'she milliona).

> Vmesto togo chtob obsuzhdat' etot tupoi vopros na forume voz'mi knizhku i sam pogoniaj s desiatok metodov. Pojme"sh chto tvoja matrica ne takaja uzh i bol'shaja.

> Ja tak i ne ponial nafiga ty napisal diapazon znachenij elementov. Etot ni na chto ne vlijaet. Vlijaet obychno tol'ko obuslovlennost' matricy.

Приятно отвечать эрудированному человеку.
Кряхтел ,чесал в затылке, обижался за метод Гаусса ,но прочитал.
Матрицы 1000х1000(конечно ,плохо обусловленные) методом Гаусса( и его модификациями) не решаются.
Про тонны макулатуры верю.
Про миллион на миллион первый раз слышу (не дай Бог еще матрица плохо обусловленная).
На точность ветора-решения - влияет величина дипазона ( разброса по значению) коэффициентов матрицы,величина диапазона (разброса по значению ) координат самого вектора -решения.
О главном.
Все дело, конечно, в погрешностях.И речь ,конечно, идет об общем случае ,о произвольных матрицах (читай о плохо обусловленных матрицах). И речь идет о таких методах
которые позволяют решать произвольные большие СЛУ без априорной информации ,без предварительного анализа человеком.Еще подробнее: есть ли такие вычислительные системы без участия человека ,на входе у которых произвольные большие СЛУ, заданные,допустим, генератором , случайных чисел, а на выходе векторы- решения , погрешность которых не превышает "лапоть" ,т.е не может быть произвольно большой ?
Я скромно предполагаю , что таких нет.
С уважением ISHAK.


> >
> > > 2. В каких областях стоят задачи решения таких больших СЛУ ?

> Реактор ВВЭР-1000: 163 кассеты * 397 ТВЭЛОВ в каждой *50 участков по высоте*4 энергетических группы.~13 000 000 неизвестных. Матрица 36 диагональная. Люди как-то решают. :)

Господи ,как ?
Если люди ,которые "как-то решают ", обладают априорной информацией о матрице коэффициентов ,используют на основаниии этой информации какие-либо предварительные преобразования матрицы , то такие частные решения мало волнуют. А волнуют прежде всего такие методы ,которые надежно позволяют найти вектор решение для произвольных СЛУ с допустимой погрешностью без предварительного анализа человеком .


> >
> > > 2. В каких областях стоят задачи решения таких больших СЛУ ?

> > Сам давно сталкивался с этой проблемой у "прочнистов" - расчеты на прочность с использованием метода конечного элемента.
> > Не сталкивался по работе, но "из общих соображений" предполагаю, что с подобными проблемами сталкиваются и криптографы (вернее, криптоаналитики) - быстрое и с 100% точностью (!) обращение матриц.

> Неделю назад узнал от приятеля о проблеме.
> Так называемая "финансовая математика". Проблема оптимизации "инвестиционных портфелей". Куда и в каком размере вкладываться.
> Матрицы огромны. Деньги тоже...

Уважаемый Михалыч ! Термин "финансовая матеметика" слышу впервые. Про деньги читать приятно.
Предполагаю, задача с красивым названием "оптимизация инвестиционных портфелей" ближе к скучной задаче линейного программирования(ЗЛП). Вопрос Вбок . Я до сих пор не знаю, неужели кто-то всерьез решает достаточно большие произволные ЗЛП на ЭВМ симплекс- методом( и его модификациями).На мой робкий взгляд, огромное количество методов оптимизации есть следствие отсутствия надежного вычислительного метода решения ЗЛП для произвольных больших матриц.Как Вы думаете ?


Gauss konechno plohovat pri plohoj obuslovlennosti, hotia eto kak popade"t. Vse metody plohovaty v etom sluchae krome SVD. SVD medlennyj metod ot 20-100 raz medlennej Gausa, i ne ochen' nade"zhnyj tak kak on iteracionnyj.

V Gausse ty mozhes' otsekat' linejno zavisimye stroki, no nade"zhnogo kriterija otsechenija net. To est' nado gadat' i igrat' s nastrojkami.

Pro diapazon chisel ty polnost'ju ne prav. S tochki zrenija chisle s plavajuschej tochkoy matricy s elementami ot minus milliona do plius milionna tak zhe slozhno/legko reshat' kak matricy ot s chislami ot minus odnoj millionnoj do plius odnoj millionnoj. Eto sviazano s tem chto mantissa v vychislenijah ispol'zuet'sia kak by nezavisimo. Zhal' chto mnogim eto ne poniatno.

A voobsche bol'shiem matricy nado reshat' naverno istinno iteracionnymi metodami kotoryh tozhe mnogo.

I voobsche pochemu ty ne proche"l moj post pro matricy 1000000 na 1000000?


> Gauss konechno plohovat pri plohoj obuslovlennosti, hotia eto kak popade"t. Vse metody plohovaty v etom sluchae krome SVD. SVD medlennyj metod ot 20-100 raz medlennej Gausa, i ne ochen' nade"zhnyj tak kak on iteracionnyj.

> V Gausse ty mozhes' otsekat' linejno zavisimye stroki, no nade"zhnogo kriterija otsechenija net. To est' nado gadat' i igrat' s nastrojkami.

> Pro diapazon chisel ty polnost'ju ne prav. S tochki zrenija chisle s plavajuschej tochkoy matricy s elementami ot minus milliona do plius milionna tak zhe slozhno/legko reshat' kak matricy ot s chislami ot minus odnoj millionnoj do plius odnoj millionnoj. Eto sviazano s tem chto mantissa v vychislenijah ispol'zuet'sia kak by nezavisimo. Zhal' chto mnogim eto ne poniatno.

> A voobsche bol'shiem matricy nado reshat' naverno istinno iteracionnymi metodami kotoryh tozhe mnogo.

> I voobsche pochemu ty ne proche"l moj post pro matricy 1000000 na 1000000?

Про миллион на миллион я прочел, увидел ссылку,
но ведь там все не по-нашему.Верю и так.Вероятно, это тест на производительность процессора.Если это так,то цели этого теста далеки от выяснения точности метода Гаусса.

Допустим имеется СЛУ всего лишь 100х100 с рац.коэффициентами
В первом случае требуется найти вектор -решение, у которого все координаты равны 1 000 000 000 (одному миллиарду).Запомним полученное значение погрешности.
Во втором случае для этой же матрицы коэффициентов требуется найти вектор- решение ,координаты которого составляют ряд N**5(в пятой степени),т.е первая координата равна 1, а последняя равна 100 в пятой степени.
Все станет ясно-"грубо,зримо".Если есть возможность -попробуйте.


> Vot svezhie dannye dlia samogo moschnogo na segodnia kompa.

> Polnuju matricu million na million komp reshaet za 6 chasov.

> Matrica zanimaet 9 Terabajt (dlia sparavki ob'e"m interneta 150-200 Terabajt - vsego v 20 raz bol'she).

> http://www1.top500.org/top5/1/

Верю.


> Про миллион на миллион я прочел, увидел ссылку,
> но ведь там все не по-нашему.Верю и так.Вероятно, это тест на производительность процессора.Если это так,то цели этого теста далеки от выяснения точности метода Гаусса.

Eto dejstvitel'no interesnyj rezul'tat pro plotnuju matricu takogo razmera (kstati nash mozg vse" zh bystree togo sumaschedshego kompa). Ja chital chto uzhe davno millionye mstricy schitali, no oni byli pustye. Takie matricy chasto vstrachjut'sia pri rasche"te konstrukcij. No vot pro nepustuju matricu dejstvitel'no kruto.

Est' gde-to web-sajt nazyvaet'sia "biblioteka razrezhennyh matric". Tak zhe est' gde-to web-sajt s rekordami dlia reshenija SLU.

> Допустим имеется СЛУ всего лишь 100х100 с рац.коэффициентами
> В первом случае требуется найти вектор -решение, у которого все координаты равны 1 000 000 000 (одному
миллиарду).Запомним полученное значение погрешности.

> Во втором случае для этой же матрицы коэффициентов требуется найти вектор- решение ,координаты которого составляют ряд N**5(в пятой степени),т.е первая координата равна 1, а последняя равна 100 в пятой степени.
> Все станет ясно-"грубо,зримо".Если есть возможность -попробуйте.

Tyt ty operiruesh' absoliutnoj tochnost'ju. Eto otdel'nyj vopros i redko v praktike nuzhno. Zdes' nado prosto ispol'zovat' vychislenija s bol'shej tochnost'ju, naverno.

Mozhno provodit' ocenku poluchennoj tochnosti reshenija - v knigah eto est' i neslozhno. Kak raz legko mozhno dat' sootvetstvujuschij i ischerpyvajuschij otvert na tvoj pervonachal'nyj vopros.

Da esche". Esli generirovat' matricu so sluchajnymi chislami to ona skorej vsego budet horosho obuslovlena. Eto kstati interesnja zadachka: najti raspredelenie chisel obuslovlennosti esli elementy matricy sluchajno vybirajut'sia.

Na russkom naverno tozhe mnogo knig po (vychislitel'noj) linejnoj algebre. Ja pomniu tol'ko odnu bolee menee ser'ej"znuju - Fadeev s zhenoj. Na naglijskom prosto ujma. Priche"m mnogo v internet. Iskat' LAPAK, LINALG, NAG... (ne pomniu chto esche"). Samyj obshirnyj sajt po etoj teme www.netlib.org


> Методы решения таких систем есть. Однако их решение требует больших вычислительных затрат.
> Я мог бы поделиться своими наработками при наличии должной заинтенресованности.

"Должную заинтересованность" ,к сожалению , не могу обеспечить. Если Вы считаете возможным, то сообщите самые общие сведения о Ваших наработках (методах): какого размера СЛУ использовались, какой обусловленности, разреженности ,
какой добились точности .
В первую очередь интересуют универсальные методы (т.е.применимость которых, не зависит от вида матрицы)


> А волнуют прежде всего такие методы ,которые надежно позволяют найти вектор решение для произвольных СЛУ с допустимой погрешностью без предварительного анализа человеком .

1) Vzial proizvol'nuju matricu.
2) Zapustil algoritm ocenki chisla obuslovlennosti.
3) Iz chisla obuslovlennosti nahodish kakuju pogreshnost' v reshenii dast kakoj metod, pri kakoj tochnosti chisel (prostaja sviaz').
4) Vybiraesh' samyj bystryj metod.


> > Про миллион на миллион я прочел, увидел ссылку,
> > но ведь там все не по-нашему.Верю и так.Вероятно, это тест на производительность процессора.Если это так,то цели этого теста далеки от выяснения точности метода Гаусса.

> Eto dejstvitel'no interesnyj rezul'tat pro plotnuju matricu takogo razmera (kstati nash mozg vse" zh bystree togo sumaschedshego kompa). Ja chital chto uzhe davno millionye mstricy schitali, no oni byli pustye. Takie matricy chasto vstrachjut'sia pri rasche"te konstrukcij. No vot pro nepustuju matricu dejstvitel'no kruto.

> Est' gde-to web-sajt nazyvaet'sia "biblioteka razrezhennyh matric". Tak zhe est' gde-to web-sajt s rekordami dlia reshenija SLU.

> > Допустим имеется СЛУ всего лишь 100х100 с рац.коэффициентами
> > В первом случае требуется найти вектор -решение, у которого все координаты равны 1 000 000 000 (одному
> миллиарду).Запомним полученное значение погрешности.

> > Во втором случае для этой же матрицы коэффициентов требуется найти вектор- решение ,координаты которого составляют ряд N**5(в пятой степени),т.е первая координата равна 1, а последняя равна 100 в пятой степени.
> > Все станет ясно-"грубо,зримо".Если есть возможность -попробуйте.

> Tyt ty operiruesh' absoliutnoj tochnost'ju. Eto otdel'nyj vopros i redko v praktike nuzhno. Zdes' nado prosto ispol'zovat' vychislenija s bol'shej tochnost'ju, naverno.

> Mozhno provodit' ocenku poluchennoj tochnosti reshenija - v knigah eto est' i neslozhno. Kak raz legko mozhno dat' sootvetstvujuschij i ischerpyvajuschij otvert na tvoj pervonachal'nyj vopros.

> Da esche". Esli generirovat' matricu so sluchajnymi chislami to ona skorej vsego budet horosho obuslovlena. Eto kstati interesnja zadachka: najti raspredelenie chisel obuslovlennosti esli elementy matricy sluchajno vybirajut'sia.

> Na russkom naverno tozhe mnogo knig po (vychislitel'noj) linejnoj algebre. Ja pomniu tol'ko odnu bolee menee ser'ej"znuju - Fadeev s zhenoj. Na naglijskom prosto ujma. Priche"m mnogo v internet. Iskat' LAPAK, LINALG, NAG... (ne pomniu chto esche"). Samyj obshirnyj sajt po etoj teme www.netlib.org

Нет , речь не об абсолютной погрешности.
Два различных вектора-решения для одной матрицы коэффициентов имеют одинаковую длину,при этом у одного вектора -решения все координаты равны, у другого разброс в величинах координат очень велик.
Утверждается , что погрешность(длина вектора разности истинного вектора-решения и полученного ) в первом случае
многократно меньше.


Кроме точных решений уравнений линейной алгебры, в вычислительной математике давно уже обнаружены почти точные решения, почти точные собственные числа, и собственные векторы. У Бахвалова прочитать можно, они с этим в 60-х столкнулись. При больших матрицах и конечном точности машинных вычислений они вылезают, даже если обусловленность вполне приличная. Принцип неопределённости это, так что не стоит зря стараться решать такие большие задачи.


> Кроме точных решений уравнений линейной алгебры, в вычислительной математике давно уже обнаружены почти точные решения, почти точные собственные числа, и собственные векторы. У Бахвалова прочитать можно, они с этим в 60-х столкнулись. При больших матрицах и конечном точности машинных вычислений они вылезают, даже если обусловленность вполне приличная. Принцип неопределённости это, так что не стоит зря стараться решать такие большие задачи.

Уточнение : "Принцип неоределенности это =для известных методов=, так что =с их помощью= не стоит зря стараться решать такие большие задачи ".
С уважением Ishak.


> > Кроме точных решений уравнений линейной алгебры, в вычислительной математике давно уже обнаружены почти точные решения, почти точные собственные числа, и собственные векторы. У Бахвалова прочитать можно, они с этим в 60-х столкнулись. При больших матрицах и конечном точности машинных вычислений они вылезают, даже если обусловленность вполне приличная. Принцип неопределённости это, так что не стоит зря стараться решать такие большие задачи.

> Уточнение : "Принцип неоределенности это =для известных методов=, так что =с их помощью= не стоит зря стараться решать такие большие задачи ".
> С уважением Ishak.

Это общее свойство любых решений. Просто произведение матрицы на вектор можно определить с точностью = машинная точность на число обусловленности.


> > > Допустим имеется СЛУ всего лишь 100х100 с рац.коэффициентами
> > > В первом случае требуется найти вектор -решение, у которого все координаты равны 1 000 000 000 (одному
> > миллиарду).Запомним полученное значение погрешности.

> > > Во втором случае для этой же матрицы коэффициентов требуется найти вектор- решение ,координаты которого составляют ряд N**5(в пятой степени),т.е первая координата равна 1, а последняя равна 100 в пятой степени.
> > > Все станет ясно-"грубо,зримо".Если есть возможность -попробуйте.

Primer ne sovsem poniaten. Matrica odna a reshenija raznye. Eto znachit pravaja chast' raznaja?

> Нет , речь не об абсолютной погрешности.
> Два различных вектора-решения для одной матрицы коэффициентов имеют одинаковую длину,при этом у одного вектора -решения все координаты равны, у другого разброс в величинах координат очень велик.
> Утверждается , что погрешность(длина вектора разности истинного вектора-решения и полученного ) в первом случае
> многократно меньше.

Da skorej vsego ja ne prav byl skazav pro absoliutnuju tochnost'.

Vo vtorom sluchae v reshenii budut chisla skoraj vsego s tochnost'ju men'she edinicy (zavisit ot togo na kakih chislah provodit'sia vychislenie - dlina mantissy).

Esli nado imet' 1 v reshenii nariadu s 100^5 to nado brat' sootvetstvujuschie chisla s dlinnoj mantisoj.

Ja ne pomniu na kakoj norme opredeliaet'sia chislo obuslovlennosti, naverno na vtoroj.

Vopros ne ochen' slozhnyj v celom. Tak zhe polezno poniamat' kak teriaet'sia tochnost' v takih algoritmah. Pochti iskliuchitel'no pri vychitanii pochti ravnyh chisel. Ne pri delenii i umnozhenii.

Mogu v zaklichenie privesti ochn' interesnyj fakt kotoryj ja obnaruzhil igrajas' s inkrementnym resheniem sistemy (rank 1 update). Kazhdyh raz matrica izmeniaet'sia naprimer tol'ko v odnom kakom-to stolbce ili stroke. Est' metody bystrogo peresche"ta novogo reshenija.

Mne bylo interesno skol'ko takih inkremental'nyh izmenenij nado delat' so sluchajnumi stolbcami ili strokami chtob reshenee polnost'ju ushlo ot istinnogo. Bylo ochen' sil'noe chuvstvo chto oshibka dolzhna nakaplivat'sia. Odnako okazalos' mozhno bylo inkremental'no meniat' matricu skol'ko ugodno a reshenie vsegda bylo blizko k istinnomu. Eto privelo menia k vyvodu chto inogda s chislennymi metodami mogud proishodit' daleko ne ochevidnye veschi i s nimi nado mnogo igrat'.


> > > > Допустим имеется СЛУ всего лишь 100х100 с рац.коэффициентами
> > > > В первом случае требуется найти вектор -решение, у которого все координаты равны 1 000 000 000 (одному
> > > миллиарду).Запомним полученное значение погрешности.

> > > > Во втором случае для этой же матрицы коэффициентов требуется найти вектор- решение ,координаты которого составляют ряд N**5(в пятой степени),т.е первая координата равна 1, а последняя равна 100 в пятой степени.
> > > > Все станет ясно-"грубо,зримо".Если есть возможность -попробуйте.

> Primer ne sovsem poniaten. Matrica odna a reshenija raznye. Eto znachit pravaja chast' raznaja?

> > Нет , речь не об абсолютной погрешности.
> > Два различных вектора-решения для одной матрицы коэффициентов имеют одинаковую длину,при этом у одного вектора -решения все координаты равны, у другого разброс в величинах координат очень велик.
> > Утверждается , что погрешность(длина вектора разности истинного вектора-решения и полученного ) в первом случае
> > многократно меньше.

> Da skorej vsego ja ne prav byl skazav pro absoliutnuju tochnost'.

> Vo vtorom sluchae v reshenii budut chisla skoraj vsego s tochnost'ju men'she edinicy (zavisit ot togo na kakih chislah provodit'sia vychislenie - dlina mantissy).

> Esli nado imet' 1 v reshenii nariadu s 100^5 to nado brat' sootvetstvujuschie chisla s dlinnoj mantisoj.

> Ja ne pomniu na kakoj norme opredeliaet'sia chislo obuslovlennosti, naverno na vtoroj.

> Vopros ne ochen' slozhnyj v celom. Tak zhe polezno poniamat' kak teriaet'sia tochnost' v takih algoritmah. Pochti iskliuchitel'no pri vychitanii pochti ravnyh chisel. Ne pri delenii i umnozhenii.

> Mogu v zaklichenie privesti ochn' interesnyj fakt kotoryj ja obnaruzhil igrajas' s inkrementnym resheniem sistemy (rank 1 update). Kazhdyh raz matrica izmeniaet'sia naprimer tol'ko v odnom kakom-to stolbce ili stroke. Est' metody bystrogo peresche"ta novogo reshenija.

> Mne bylo interesno skol'ko takih inkremental'nyh izmenenij nado delat' so sluchajnumi stolbcami ili strokami chtob reshenee polnost'ju ushlo ot istinnogo. Bylo ochen' sil'noe chuvstvo chto oshibka dolzhna nakaplivat'sia. Odnako okazalos' mozhno bylo inkremental'no meniat' matricu skol'ko ugodno a reshenie vsegda bylo blizko k istinnomu. Eto privelo menia k vyvodu chto inogda s chislennymi metodami mogud proishodit' daleko ne ochevidnye veschi i s nimi nado mnogo igrat'.

Таких экспериментов не проводил.Как-либо комментировать трудно.В том-то и дело, что "с ними надо много играть".
Представить вычислительную систему решающую произвольные СЛУ
без участия человека,являющуюся надежным звеном в некоем вычислительном процессе принятия решений , пока невозможно.
Говорить о надежности существующих методов не приходится ... пока .


> > > Кроме точных решений уравнений линейной алгебры, в вычислительной математике давно уже обнаружены почти точные решения, почти точные собственные числа, и собственные векторы. У Бахвалова прочитать можно, они с этим в 60-х столкнулись. При больших матрицах и конечном точности машинных вычислений они вылезают, даже если обусловленность вполне приличная. Принцип неопределённости это, так что не стоит зря стараться решать такие большие задачи.

> > Уточнение : "Принцип неоределенности это =для известных методов=, так что =с их помощью= не стоит зря стараться решать такие большие задачи ".
> > С уважением Ishak.

> Это общее свойство любых решений. Просто произведение матрицы на вектор можно определить с точностью = машинная точность на число обусловленности.

Вне всякого сомнения точность любого метода решения СЛУ зависит от точности нахождения "произведения матрицы на вектор".С этим придется смириться.Но также бесспорно, что точность существующих методов неудовлетворительна не только поэтому. С этим придется бороться.


> Таких экспериментов не проводил.Как-либо комментировать трудно.В том-то и дело, что "с ними надо много играть".
> Представить вычислительную систему решающую произвольные СЛУ
> без участия человека,являющуюся надежным звеном в некоем вычислительном процессе принятия решений , пока невозможно.
> Говорить о надежности существующих методов не приходится ... пока .

Ne sovsem tak. Ja kak raz rabotal v oblasti gde nado bylo reshat' matricy samye raznye i chasto ploho obuslovlennye i vyrozhdennye. Pravda ne bol'shie - razmerom do 100-300.

S pomosch'ju algoritma ocenki obuslovlennosti ja perekliuchal na raznye metody, v hudshem sluchae na SVD.

To est' mozhno napisat' programmy kotoraja reshaet proizvol'nye matricy. Esli b programa esche" mogla perekliuchat' tochnost' predstavlenija chisel, to ona b mogla reshat' i proizol'no bol'shie matricy tozhe.

I konechno vsegda mozhno v etoj programme proveriat' reshenie podstanovkoj i brat' drugie metody ili uvelichivat' tochnost' chisel esli reshenie ne tochnoe.


> > Таких экспериментов не проводил.Как-либо комментировать трудно.В том-то и дело, что "с ними надо много играть".
> > Представить вычислительную систему решающую произвольные СЛУ
> > без участия человека,являющуюся надежным звеном в некоем вычислительном процессе принятия решений , пока невозможно.
> > Говорить о надежности существующих методов не приходится ... пока .

> Ne sovsem tak. Ja kak raz rabotal v oblasti gde nado bylo reshat' matricy samye raznye i chasto ploho obuslovlennye i vyrozhdennye. Pravda ne bol'shie - razmerom do 100-300.

> S pomosch'ju algoritma ocenki obuslovlennosti ja perekliuchal na raznye metody, v hudshem sluchae na SVD.

> To est' mozhno napisat' programmy kotoraja reshaet proizvol'nye matricy. Esli b programa esche" mogla perekliuchat' tochnost' predstavlenija chisel, to ona b mogla reshat' i proizol'no bol'shie matricy tozhe.

> I konechno vsegda mozhno v etoj programme proveriat' reshenie podstanovkoj i brat' drugie metody ili uvelichivat' tochnost' chisel esli reshenie ne tochnoe.

Идея по поводу оценки обусловленности, дальнейшего выбора метода и проверки полученного решения неплоха и очевидна.
Дьявол ,как всегда, в деталях ... Кто-то реализовал эту идею ? Если реализовал - то пусть расскажет на что он налетел и что из этого вышло ? Насколько надежна такая система ?
У меня , к сожалению, нет информации о таких эффективных решениях.


> Идея по поводу оценки обусловленности, дальнейшего выбора метода и проверки полученного решения неплоха и очевидна.
> Дьявол ,как всегда, в деталях ... Кто-то реализовал эту идею ? Если реализовал - то пусть расскажет на что он налетел и что из этого вышло ? Насколько надежна такая система ?
> У меня , к сожалению, нет информации о таких эффективных решениях.

Voobsche ja ne videl takih paketov. To chto ja delal uzhe davno uteriano.

Kogda liudi bojat'sia ploho obuslovlennyh matric oni prosto berut SVD (singular value decomposition) i vse". (opiat zhe ja ne znaju naskol'ko on horosh dlia bol'shih matric). SVD najti ne slozhno v inete .


> > >
> > > > 2. В каких областях стоят задачи решения таких больших СЛУ ?

> > Реактор ВВЭР-1000: 163 кассеты * 397 ТВЭЛОВ в каждой *50 участков по высоте*4 энергетических группы.~13 000 000 неизвестных. Матрица 36 диагональная. Люди как-то решают. :)

> Господи ,как ?
> Если люди ,которые "как-то решают ", обладают априорной информацией о матрице коэффициентов ,используют на основаниии этой информации какие-либо предварительные преобразования матрицы , то такие частные решения мало волнуют. А волнуют прежде всего такие методы ,которые надежно позволяют найти вектор решение для произвольных СЛУ с допустимой погрешностью без предварительного анализа человеком.

Интересная постановка.:)
По идее должно волновать как быстрее. Поэтому и методов тьма, и свойства матриц используются, и не априори, а полученные при обработке этой же матрицы.(Что трудно что ли найти max/min Сз?) А так можно одну задачу много лет решать, кому оно надо? Либо найти все СВ и СЗ, либо привести к виду диагонального преобладания и метод Гаусса. Доказано, что в этом случае если нет 0 в собств. знач. алгоритм обладает счетной устойчивостью, т.е. погрешность от размерности не зависит. Есть хорошие книжки по ЧмаМ Марчук Г.И. "Методы выч. математики" например. Посмотри.


> > > >
> > > > > 2. В каких областях стоят задачи решения таких больших СЛУ ?

> > > Реактор ВВЭР-1000: 163 кассеты * 397 ТВЭЛОВ в каждой *50 участков по высоте*4 энергетических группы.~13 000 000 неизвестных. Матрица 36 диагональная. Люди как-то решают. :)

> > Господи ,как ?
> > Если люди ,которые "как-то решают ", обладают априорной информацией о матрице коэффициентов ,используют на основаниии этой информации какие-либо предварительные преобразования матрицы , то такие частные решения мало волнуют. А волнуют прежде всего такие методы ,которые надежно позволяют найти вектор решение для произвольных СЛУ с допустимой погрешностью без предварительного анализа человеком.

> Интересная постановка.:)
> По идее должно волновать как быстрее. Поэтому и методов тьма, и свойства матриц используются, и не априори, а полученные при обработке этой же матрицы.(Что трудно что ли найти max/min Сз?) А так можно одну задачу много лет решать, кому оно надо? Либо найти все СВ и СЗ, либо привести к виду диагонального преобладания и метод Гаусса. Доказано, что в этом случае если нет 0 в собств. знач. алгоритм обладает счетной устойчивостью, т.е. погрешность от размерности не зависит. Есть хорошие книжки по ЧмаМ Марчук Г.И. "Методы выч. математики" например. Посмотри.

Можно было отослать и к Бахвалову.
Вопрос не в том ,каков должен быть формальный подход к решению СЛУ.
Вопрос в технологичности такого подхода .Вопрос в том , что при построении некоей вычислительной системы без участия человека, на входе у которой произвольные СЛУ, а на выходе векторы-решения , этот подход, предполагаю, не пригоден. Известны ли Вам реальные примеры функционирования таких систем ?


> > Идея по поводу оценки обусловленности, дальнейшего выбора метода и проверки полученного решения неплоха и очевидна.
> > Дьявол ,как всегда, в деталях ... Кто-то реализовал эту идею ? Если реализовал - то пусть расскажет на что он налетел и что из этого вышло ? Насколько надежна такая система ?
> > У меня , к сожалению, нет информации о таких эффективных решениях.

> Voobsche ja ne videl takih paketov. To chto ja delal uzhe davno uteriano.

> Kogda liudi bojat'sia ploho obuslovlennyh matric oni prosto berut SVD (singular value decomposition) i vse". (opiat zhe ja ne znaju naskol'ko on horosh dlia bol'shih matric). SVD najti ne slozhno v inete .

Если Вам будет интересно, ответьте на Rе.Что считать решением СЛУ? и Re.Зачем нужно другое решение СЛУ? внутри темы " Матрицы 1000х1000 и более" .


Pochital. Mnogo vody. A na chto konkretno tam nado otvechat'?


> Pochital. Mnogo vody. A na chto konkretno tam nado otvechat'?
"Много воды" - уже ответ.


Господа, я не математик, но занят созданием программы, которая расчитывает потокораспределение в гидравлических цепях произвольной конфигурации. И моя программа уже берёт легко 6000х6000 (это сеть теплоснабжения среднего города). Решаю по Гаусу, никаких новшеств. Может, я чего не рублю?


> Господа, я не математик, но занят созданием программы, которая расчитывает потокораспределение в гидравлических цепях произвольной конфигурации. И моя программа уже берёт легко 6000х6000 (это сеть теплоснабжения среднего города). Решаю по Гаусу, никаких новшеств. Может, я чего не рублю?

ЭЭ... Лучше все же другими методами они и быстрее и надежнее. Например через QR
разложение. Если у тебя невязка нормальная то значит тебе повезло.


> Господа, я не математик, но занят созданием программы, которая расчитывает потокораспределение в гидравлических цепях произвольной конфигурации. И моя программа уже берёт легко 6000х6000 (это сеть теплоснабжения среднего города). Решаю по Гаусу, никаких новшеств. Может, я чего не рублю?

Заполните матрицу 6000х6000 с помощью генератора случайных чисел (таковой должен присутствовать в Вашем пакете).Умножьте эту матрицу на вектор-решение
с координатами N**3(т.е. 1,8,27,64..6000**3)и получите вектор свободных членов.
Подайте на вход Вашей программы полученную матрицу и вектор свободных членов.
Получите вектор решение и сравните его с истинным.После этого приглашаю Вас продолжить дискуссию.


Вопрос непростой, просто так говорить о нём тяжело, поэтому ограничусь лишь ссылками.

Гляньте-ка на пакет

LAPACK Linear Algebra Package
http://www.netlib.org/lapack/

Он как раз лежит в основе MathLabовских функций по решению систем линейных уравнений.

Не забудьте почитать там LAPACK Users' Guide
http://www.netlib.org/lapack/lug/index.html
Там методы и алгоритмы вроде описаны.

Оригинально он писался на Fortran77.
Но сейчас есть и версии на c++ :

LAPACK++
http://math.nist.gov/lapack++/

а также
CLAPACK
http://www.netlib.org/clapack/

Исходники там везде есть.

Ещё есть
IML++ Iterative Methods Library
http://math.nist.gov/iml++

и

SuperLU Sparse Gaussian Elimination on High Performance Computers
http://www.nersc.gov/~xiaoye/SuperLU/

Ну и наконец полазьте по
http://www.netlib.org/
http://www.mathtools.net/
может ещё что интересное найдёте.

Удачи,
Шура


Приветствую Вас уважаемые коллеги !
Меня интерисует такой вопрос: я нахожу полный спектр трехдиагональных матриц по модифицированному LR-алгоритму размерностью до 5000, более находить мне мешает не метод, а память. Я пишу на C++ и создаю для работы стандартные динамические массивы и матрицы. Мне известно, что продвинутые программеры могут без проблем обращаться с матрицами размерностью до 100000(не сильно разреженными), но я математик, и очень Вас попрошу помочь разрешить мне этот вопрос. С благодарностью приму советы и примеры в форуме и по e-mail:summ17@mail.ru


Странно, что никто не привел такое возражение ishak'у:
зачем нужно точно решать СЛАУ, если зачастую сама модель, приведшая к ней, не точна? Кстати в книжке Марчука об этом написано.


> Приветствую Вас уважаемые коллеги !
> Меня интерисует такой вопрос: я нахожу полный спектр трехдиагональных матриц по модифицированному LR-алгоритму размерностью до 5000, более находить мне мешает не метод, а память. Я пишу на C++ и создаю для работы стандартные динамические массивы и матрицы. Мне известно, что продвинутые программеры могут без проблем обращаться с матрицами размерностью до 100000(не сильно разреженными), но я математик, и очень Вас попрошу помочь разрешить мне этот вопрос. С благодарностью приму советы и примеры в форуме и по e-mail:summ17@mail.ru

К сожалению, я совсем не математик и почти не программер .
Буду признателен , если Вы ответите на следующее предложение.
Если с помощью генератора случайных чисел заполнить матрицу 1000х1000 рациональ-
ными ненулевыми числами от 0 до 1.Умножить эту матрицу на вектор-решение ,имеющий
координаты 1,8,27,..N**3..1,000,000,000 и получить вектор свободных членов.
Подать матрицу и вектор свободных членов на вход Вашей программы.
Можно ли утверждать ,что результат при использовании Вашей программы будет
в общем случае непредсказуем ? Если резульатат предсказуем ,то какова точность
полученного вектора -решения ?



Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100