Численное решение иррационального уравнения

Сообщение №35154 от AL2010 15 июня 2010 г. 11:16
Тема: Численное решение иррационального уравнения

Здравствуйте, господа математики!
Имею уравнение:
,
где - многочлен степени n с вещественными коэффициентами.
Конкретно, многочлен под корнем имеет вид:

Полный квадрат здесь можно выделить, но лишь частично, так что может быть отрицательным.
При возведении уравнения в квадрат поимеем уравнение (многочлен) где-то 17 степени с громоздкими коэффициентами:
.
Стоит ли это делать, или решать как есть, иррациональное? И почему?

Вижу следующие аргументы в пользу избавления от иррациональности:
1) Получаем обычный всюду определённый и дифференцируемый многочлен.
2) Его легко вычислять (схема Горнера).
3) Дифференцируемость позволит применить, скажем, метод касательных.
4) Можно автоматически определить верхнюю и нижнюю границы корней и оптимально разбить интервал поиска на отрезки, содержащие только один корень (Штурм).
Минусы:
1) Громоздкие коэффициенты.
2) Появление посторонних корней, которые надо проверять подстановкой в исходное уравнение. Учитывая, что корни мы находим с некоторой погрешностью, есть вероятность того, что при подстановке их в исходное уравнение мы отбросим нужные корни (то есть точное значение корня принадлежит области определения, а найденное приближённое - нет).

Если решать иррациональное, то плюсов вижу только два - не будет посторонних корней и само уравнение как бы проще.
Минусы (вопросы):
1) Функция дифференцируема не везде, какой тогда итерационный метод применять?
2) Придётся наобум задаваться интервалом поиска корней.
3) Разбивая с целью отделения корней интервал на сколь угодно малые отрезки, можем (теоретически) поиметь ситуацию, когда на концах мини-отрезка функция не определена, а внутри - определена.

Может быть, кто-то что-то посоветует? С численными методами ранее серьёзно не сталкивался.


Отклики на это сообщение:

> Здравствуйте, господа математики!
> Имею уравнение:
> ,
> где - многочлен степени n с вещественными коэффициентами.
> Конкретно, многочлен под корнем имеет вид:
>

А если так представить?
,
Возвести в квадрат обе части уравнения.
Можно выделить целую часть левой дроби.


> А если так представить?
> ,
> Возвести в квадрат обе части уравнения.
> Можно выделить целую часть левой дроби.

Вы предлагаете разделить многочлен на многочлен (в общем виде)? Не совсем понимаю, что это даст. Всё равно ведь после возведения в квадрат появятся посторонние корни. Вопрос в том, стоит ли возводить в квадрат - т.е. переходить к уравнению, которое будет иметь вид многочлена (что хорошо), но которое будет иметь посторонние корни (что плохо)? Или лучше как-то решать исходное иррациональное?

Извиняюсь, если не вполне доходчиво излагаю свою мысль.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100