некоторые вопросы теории меры

Сообщение №3489 от Flax 17 мая 2002 г. 10:52
Тема: некоторые вопросы теории меры

Может кто-нибудь знает
Для любого неизмеримого множества существует лебеговское расширение, в котором это множество будет измеримым, Однако в справедливости континуум-гипотезы (С), в R никакое расширение не может быть определено одновременно для всех подмножеств R. (Естественно мера предполагается нетривиальной: нормирована m(X)=1, сигма-аддитивна, и равна 0 на одноточечных множествах—т.е естественна, особенно с точки зрения вероятностной меры)
Теперь зададимся аналогичным вопросом для пространств X отличных от R.

Вопрос: что происходит в случае X !=R

См [ Дж.Окстоби "Мера и категория","Мир",Москва, 1974,с 30]
«Кажется правдоподобным, что для множеств, мощность которых есть недостижимое кардинальное число, аксиомам теории во всяком случае не противоречим существование меры…счетно-аддитивной и определенной на всех подмножествах Е, со свойствами m(E)=1 и m(p)=0, где p-произвольная точка из E»

и о том же в [ С.Улам "Нерешенные математические задачи","Наука",Москва,1964[7]).] :

«В соответствии и теоремой Ханфа и Тарского такая мера возможна только в случае, если мощность Х равна чрезвычайно большому кардинальному числу, а именно, ему должно предшествовать равное ему число недостижимых кардинальных чисел»

2) Вопрос:
Возможно, кому-либо известны еще примеры неизмеримых множеств и подходы к их построению—расскажите, пожалуйста, о них.

В моем распоряжении их не так уж и много:
a) вне L(R) : пример Витали—Q эквивалентные классы точек на отрезке (окружности)
b) внеL(R) : множества Бернштейна
c) вне B(R) : « диагональ» Суслина--{a | aL1(a)}, где L1 –универсальная функция 1-го проективного класса
d) внеB(R) : цепные дроби
e) вне B: С(1)[0,1]  С[0,1]
f) вне L: пример Халмоша—{ (x, y): 0  x 1, y= }
g) внеB : (x) = (x)+x, -1(D)


Свойства измеримых множеств


В (Лебег «Интегрирование и отыскание примитивных функций»,приложение Лузина) упоминается о некоторых исследованиях Littlewood и Хинчина касающихся « арифметических свойств иррационалов, входящих в измеримые множества»

Вопрос: что по этой теме, можете предложить?


Отклики на это сообщение:

Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100