Задачка по теории вероятностей. Помогите решить!

Сообщение №3453 от Шамиль 11 мая 2002 г. 22:00
Тема: Задачка по теории вероятностей. Помогите решить!

Я уж всё забыл, хотя когда-то Боровкову сдавал. А сыну срочно надо. Я вроде её решил, но сомневаюсь.
Дано: население страны n=20000000(20млн.)
в год проводится k=1млн. конкурсов с премиями.
(одному человеку может повести сколько угодно раз)
И так аж r=30 лет.
Найти p=вероятность того, что конкретный человек за 30 лет получит хотя бы одну премию.
Ответ - в виде формулы. Ответы 2/3 и 1/20 отклоняются.


Отклики на это сообщение:

> Дано: население страны n=20000000(20млн.)
> в год проводится k=1млн. конкурсов с премиями.
> (одному человеку может повести сколько угодно раз)
> И так аж r=30 лет.
> Найти p=вероятность того, что конкретный человек за 30 лет получит хотя бы одну премию.

вероятность выиграть n раз:
p(n)=C(30-n,30)*(19/20)^(30-n)*(1/20)^n

выиграть хотябы один раз:
summa(p(n) от 1 до 30), сорри что в цифрах
примерно 0.8, кстати, оценка 2/3 ничего


> Я уж всё забыл, хотя когда-то Боровкову сдавал. А сыну срочно надо. Я вроде её решил, но сомневаюсь.
> Дано: население страны n=20000000(20млн.)
> в год проводится k=1млн. конкурсов с премиями.
> (одному человеку может повести сколько угодно раз)
> И так аж r=30 лет.
> Найти p=вероятность того, что конкретный человек за 30 лет получит хотя бы одну премию.
> Ответ - в виде формулы. Ответы 2/3 и 1/20 отклоняются.

Хитрость (если я правильно понял условие), что человеку может может повезти несколько раз каждый год. Каждый конкурс из миллиона- это испытание Бернулли: либо побеждаешь, либо нет, причем можешь победить несколько раз. Вероятность победить хотя бф раз = 1 - вероятность не победить ни разу, причем вероятность n побед дается Биномиальным распределением, с количеством повторений = 1 миллион. Таким образом, получаем вероятность победить в 1 году.

Победы в каждом из годов независимы и ФАКТ победы в году - это тоже ипытание Бернулли, но уже с вероятностью полученной на предыдущем шаге и общим количеством испытаний = 30.

В формулах:

Рассмотрим 1 год. Вероятность победить в 1 конкурсе -
p_1_1yr = 1/20,000,000.

Вероятность победить в i из n=1млн конкурсов =
p_1yr(i) = C(n, i) * p_1_1yr^i * (1 - p_1_1yr)^(n-i) =
= C(n, i) * (1/20,000,000)^i * (1-1/20,000,000)^(n-i).

Вероянтость победить хотя бы 1 раз =
= 1 - Вероянтость не победить ни разу =
= 1 - p_1yr(0) = 1 - (1-1/20,000,000)^1,000,000 =
= p_1yr

Повторяем те же рассуждения для r=30 лет: вероятность победить в заданном году = p_1yr. Тогда, вероятность

Вероятность побелдить в j годах =
p(j) = C(r, j) * p_1yr^j * (1 - p_1yr)^(r-j)

Вероянтость победить хотя бы 1 раз =
1 - Вероянтость не победить ни в одном году =
= 1 - С(r, 0) * (1 - p_1yr)^r =
= 1 - ( 1 - (1 - (1-1/20,000,000)^1,000,000))^30 =
= 1 - ( 1 - 1 + (1-1/20,000,000)^1,000,000)^30 =
= 1 - (1-1/20,000,000)^30,000,000 =
= .77687

Решение Laborant'a аппроксимирует вероятность p_1yr = 1/20 = .05, что предполагает, что в 1млн конкурсов побеждает 1млн различных людей, что противоречит условию. На самом деле, p_1yr = .048771 < .05. Интуитивно: я иду на лотерею, если я знаю, что кто-то из других участников может получить два приза, то вероятность моего выйгрыша падает.


> (одному человеку может повести сколько угодно раз)
я думал что за тридцать лет сколько угодно раз

кстати, там расходение всего то ~2%
вывод интуиция с хорошой точность работает:)


> > (одному человеку может повести сколько угодно раз)
> я думал что за тридцать лет сколько угодно раз

> кстати, там расходение всего то ~2%
> вывод интуиция с хорошой точность работает:)

:) Это потому, что 1/20000000 - очень маленькое число.



> > Дано: население страны n=20000000(20млн.)
> > в год проводится k=1млн. конкурсов с премиями.
> > (одному человеку может повести сколько угодно раз)
> > И так аж r=30 лет.
> > Найти p=вероятность того, что конкретный человек за 30 лет получит хотя бы одну премию.

> Хитрость (если я правильно понял условие), что человеку может может повезти несколько раз каждый год. Каждый конкурс из миллиона- это испытание Бернулли: либо побеждаешь, либо нет, причем можешь победить несколько раз. Вероятность победить хотя бф раз = 1 - вероятность не победить ни разу, причем вероятность n побед дается Биномиальным распределением, с количеством повторений = 1 миллион. Таким образом, получаем вероятность победить в 1 году.

> Победы в каждом из годов независимы и ФАКТ победы в году - это тоже ипытание Бернулли, но уже с вероятностью полученной на предыдущем шаге и общим количеством испытаний = 30.

> В формулах:

> Рассмотрим 1 год. Вероятность победить в 1 конкурсе -
> p_1_1yr = 1/20,000,000.

> Вероятность победить в i из n=1млн конкурсов =
> p_1yr(i) = C(n, i) * p_1_1yr^i * (1 - p_1_1yr)^(n-i) =
> = C(n, i) * (1/20,000,000)^i * (1-1/20,000,000)^(n-i).

> Вероянтость победить хотя бы 1 раз =
> = 1 - Вероянтость не победить ни разу =
> = 1 - p_1yr(0) = 1 - (1-1/20,000,000)^1,000,000 =
> = p_1yr

> Повторяем те же рассуждения для r=30 лет: вероятность победить в заданном году = p_1yr. Тогда, вероятность

> Вероятность побелдить в j годах =
> p(j) = C(r, j) * p_1yr^j * (1 - p_1yr)^(r-j)

> Вероянтость победить хотя бы 1 раз =
> 1 - Вероянтость не победить ни в одном году =
> = 1 - С(r, 0) * (1 - p_1yr)^r =
> = 1 - ( 1 - (1 - (1-1/20,000,000)^1,000,000))^30 =
> = 1 - ( 1 - 1 + (1-1/20,000,000)^1,000,000)^30 =
> = 1 - (1-1/20,000,000)^30,000,000 =
> = .77687

Все здОрово, только зачем же так сложно, с биномиальными распределениями, отдельно для одного года и для нескольких лет? Задачка-то школьная, на две строчки:

Верояность неполучения человеком конкретной премии:
1-1/20,000,000
Вероятность неполучения ни одной из 30,000,000 премий в течении 30 лет:
(1-1/20,000,000)30,000,000
Вероятность обратного события (что будет получена хоть одна премия):
1-(1-1/20,000,000)30,000,000

Любите Вы все усложнять :-)


> Все здОрово, только зачем же так сложно, с биномиальными распределениями, отдельно для одного года и для нескольких лет?

Чтобы показать общий метод решения таких задач. Я его знаю, а вы?

>Задачка-то школьная, на две строчки:

В моем решении реально те же две строчки:

> Вероянтость победить хотя бы 1 раз =
> = 1 - Вероянтость не победить ни разу =
> = 1 - p_1yr(0) = 1 - (1-1/20,000,000)^1,000,000
[]
> Вероянтость победить хотя бы 1 раз =
[]
> = 1 - ( 1 - (1 - (1-1/20,000,000)^1,000,000))^30 =
[]
> = 1 - (1-1/20,000,000)^30,000,000 =
> = .77687


> Чтобы показать общий метод решения таких задач. Я его знаю, а вы?

Ладно, ладно. Я вовсе никаких серьезных обвинений не выдвигаю. Общий метод решения - это хорошо, ничего против этого не имею.

Что касается меня, я конечно многого в этой жизни не знаю, но с некоторыми методами решения вероятностных задач знаком, и, если подумать, мог бы наверное предложить какие-нибудь способы решения еще более общей задачи. Только вряд ли от такого "соревнования в общности" будет польза.

Давайте не будем ссориться: мое указание на сложность Вашего решения - это вовсе не обвинение и даже не критика. Это просто шутливое замечание, которое применимо к большинству настоящих ученых. Возьмите специалиста в любой области, задайте ему любой вопрос и наверняка получите ответ на специальном жаргоне, рассчитанный не на понимание собеседника, а на то, чтобы коллеге-специалисту не к чему было придраться.


> Я уж всё забыл, хотя когда-то Боровкову сдавал. А сыну срочно надо. Я вроде её решил, но сомневаюсь.
> Дано: население страны n=20000000(20млн.)
> в год проводится k=1млн. конкурсов с премиями.
> (одному человеку может повести сколько угодно раз)
> И так аж r=30 лет.
> Найти p=вероятность того, что конкретный человек за 30 лет получит хотя бы одну премию.
> Ответ - в виде формулы. Ответы 2/3 и 1/20 отклоняются.

Мда..Тут можно запутаться в трех соснах.
Попробуем рассудить за автора задачи.
Пусть P- искомая веротность, (1-P)- вероятность не победить ни разу. Ну естественно принимаем схему испытаний Бернулли, независимых. Пусть p- вероятность победы в каком-то одном конкурсе, она согласно закону больших чисел равна 1/20 (по конкурсу на человека :)). Всего значить 30 попыток и все неудачные.

1-P=(1-p)^r

Если числа подставить, то ответ слишком большой.
Но я рассуждал за автора задачи.
Реально мы не знаем, чему равно p.
Можно подставить p=1/n, в степени писать r*k.
Но число попыток может быть гораздо меньше (вы, например, участвуете в каждой лотерее Липтон?)

Стандартная ситуация, неполнота данных :)))))


> > Я уж всё забыл, хотя когда-то Боровкову сдавал. А сыну срочно надо. Я вроде её решил, но сомневаюсь.
> > Дано: население страны n=20000000(20млн.)
> > в год проводится k=1млн. конкурсов с премиями.
> > (одному человеку может повести сколько угодно раз)
> > И так аж r=30 лет.
> > Найти p=вероятность того, что конкретный человек за 30 лет получит хотя бы одну премию.
> > Ответ - в виде формулы. Ответы 2/3 и 1/20 отклоняются.

> Мда..Тут можно запутаться в трех соснах.
> Попробуем рассудить за автора задачи.
> Пусть P- искомая веротность, (1-P)- вероятность не победить ни разу. Ну естественно принимаем схему испытаний Бернулли, независимых. Пусть p- вероятность победы в каком-то одном конкурсе, она согласно закону больших чисел равна 1/20 (по конкурсу на человека :)). Всего значить 30 попыток и все неудачные.

> 1-P=(1-p)^r

> Если числа подставить, то ответ слишком большой.
> Но я рассуждал за автора задачи.
> Реально мы не знаем, чему равно p.
> Можно подставить p=1/n, в степени писать r*k.
> Но число попыток может быть гораздо меньше (вы, например, участвуете в каждой лотерее Липтон?)

> Стандартная ситуация, неполнота данных :)))))

бред это, а нерассуждение


> бред это, а нерассуждение

а я с точки зрения автора задачи :))

На самом деле некорректна задача. Например, а сколько номеров билетов в лотерее? БЕз этого не опредить вероятность победы в отдельно взято лотерее. И потом мы должны перейти к условным вероятностям :)), т.е. все события полагаеть при условии "если человек участвует в каждой лотерее".


> > бред это, а нерассуждение

> а я с точки зрения автора задачи :))

> На самом деле некорректна задача.
Частично согласен. Мой ответ не совпал ни с одним из перечисленных. К Боровкову обращаться поздновато. Постановка задачи подозрительна, но у них, у экономистов, все матзадачи примерно так ставятся


> > > бред это, а нерассуждение

> > а я с точки зрения автора задачи :))

> > На самом деле некорректна задача.
> Частично согласен. Мой ответ не совпал ни с одним из перечисленных. К Боровкову обращаться поздновато. Постановка задачи подозрительна, но у них, у экономистов, все матзадачи примерно так ставятся

Ответ был один - в соощениях epros'a и моем. Это точный и правильный ответ. Ответ Laborant'a - приблизительный, что он сам и признал.

Если есть вопросы - задавай, растолкуем.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100