помогите решить уравнение

Сообщение №34465 от Ронвилс 31 марта 2010 г. 10:54
Тема: помогите решить уравнение

Помогите решить задачу!
У меня просьба к желающим помочь в решении одной математической задачи. Нужно решить дифференциальное уравнение, то есть – найти семейство решений (или, хотя бы одно частное решение), определяющее параметр «у» через независимую переменную «х». А решение в данном случае весьма интересные последствия имеет.
Вот уравнение:

dy▪x2▪A1 + (dy)2▪x2▪A2 + dy▪dx▪2x▪A1 + (dy)2▪dx▪2x▪A2 + dy▪(dx)2▪A1 + (dy)2▪(dx)2▪A2 + dx▪A3 + (dy)2▪dx▪A4 = 0;

где dx и dу – дифференциалы х и у соответственно;
(dx)2 и (dy)2 – квадраты дифференциалов (в данном шрифте можно спутать с множителем 2);
Х2 – квадрат переменной х (не путать с множителем 2).


Отклики на это сообщение:

> Помогите решить задачу!
> У меня просьба к желающим помочь в решении одной математической задачи. Нужно решить дифференциальное уравнение, то есть – найти семейство решений (или, хотя бы одно частное решение), определяющее параметр «у» через независимую переменную «х». А решение в данном случае весьма интересные последствия имеет.
> Вот уравнение:

> dy▪x2▪A1 + (dy)2▪x2▪A2 + dy▪dx▪2x▪A1 + (dy)2▪dx▪2x▪A2 + dy▪(dx)2▪A1 + (dy)2▪(dx)2▪A2 + dx▪A3 + (dy)2▪dx▪A4 = 0;

> где dx и dу – дифференциалы х и у соответственно;
> (dx)2 и (dy)2 – квадраты дифференциалов (в данном шрифте можно спутать с множителем 2);
> Х2 – квадрат переменной х (не путать с множителем 2).

Не вижу никакого смысла в записанном уравнении, ибо в него входят дифференциалы разных порядков - от первого до четвёртого. Вы что про дифференциальные уравнения знаете?


А, собственно, откуда вы взяли порядки выше второго? Могу и с порядком не выше первого представить:

А1х2dy/dx + A2x2dy/dx + 2A1x + 2A2xdy + A1dx + A2dydx + A3/dy + A4dy = 0

Эх, надо будет воспользоваться редактором формул. Здесь у меня А1; А2; А3 и А4 - просто определенные константы; x2 - икс в квадрате; dy и dx - дифференциалы у и х соответственно.
Задача вовсе не так уж абстрактна, как может показаться. И при численном моделировании процесса все вполне сходится и имеет вполне определенное решение. Но хотелось бы получить общее решение.


Вы не ответили на вопрос, что Вы вообще знаете про дифференциальные уравнения? По посланиям видно, что крайне мало, стоит ли пытаться их решить? Может, сначала книжки почитать, образоваться?

> А, собственно, откуда вы взяли порядки выше второго? Могу и с порядком не выше первого представить:

> А1х2dy/dx + A2x2dy/dx + 2A1x + 2A2xdy + A1dx + A2dydx + A3/dy + A4dy = 0

> Эх, надо будет воспользоваться редактором формул. Здесь у меня А1; А2; А3 и А4 - просто определенные константы; x2 - икс в квадрате; dy и dx - дифференциалы у и х соответственно.
> Задача вовсе не так уж абстрактна, как может показаться. И при численном моделировании процесса все вполне сходится и имеет вполне определенное решение. Но хотелось бы получить общее решение.

Вы не поняли, в дифурах вот эти вещи: считаются бесконечно малыми первого порядка, а их степени - соответственно бесконечно малыми второго и т.п. порядков. Так вот, в уравнении ВСЕ члены должны быть одного порядка. У Вас же в новом варианте с первого по третий - нулевого поряка (либо не зависят от бесконечно малых, либо представляют собой их отношение), четвёртый, пятый и восьмой - первого порядка, шестой - второго, а седьмой вообще минус первого, т.е. наоборот бесконечно большая величина. Это компот, а не дифур.
Я не знаю, абстрактна или конкретна Ваша задача, но математика по любому требует корректности. И грамотности.



Ладно, сформулирую задачу более определенно. А то я, действительно, накуролесил тут. Имеется закон изменения для очень малых величин Ек от независимой переменной х, меняющейся в диапазоне от 0 до какого-то определенного значения х*:

dEk = П1 [ Е1Е2 (Е1Е2 + ЕК1ЕК2) / х2(Е2ЕК1 + Е1ЕК2) ] dx ;

где: П1 = const(1); Е1 = const(2); Е2 = const(3); ЕК2 значительно больше ЕК1.
ЕК1 и ЕК2 имеют определенные начальные значения (при х = 0), а далее меняются следующим образом:
ЕК1 послед. = ЕК1 предыд. – dЕк ЕК2 послед. = ЕК2 предыд. – dЕк
Мне необходимо определить изменение значения ЕК1 при изменении от какого-то начального (заданного) значения до того значения, которое образуется при изменении независимой переменной (х) от нуля до определенного положительного значения х*. При этом меня интересует интервал изменения ЕК1, не превышающий начальной величины при х = 0.
Численно то оно можно посчитать. Но если величина dx в числовом выражении составляет, скажем десять в минус восьмидесятой степени, а величина dЕк при этом меняется (грубо говоря) на десять в минус двадцатой степени, то в диапазоне приемлемого для данного условия диапазона загонишь машину и ничего не посчитаешь.


>
> Ладно, сформулирую задачу более определенно. А то я, действительно, накуролесил тут. Имеется закон изменения для очень малых величин Ек от независимой переменной х, меняющейся в диапазоне от 0 до какого-то определенного значения х*:

> dEk = П1 [ Е1Е2 (Е1Е2 + ЕК1ЕК2) / х2(Е2ЕК1 + Е1ЕК2) ] dx ;

Поделите на и сразу получите дифуравнение.

> где: П1 = const(1); Е1 = const(2); Е2 = const(3); ЕК2 значительно больше ЕК1.

Если больше - попробуйте сначала пренебречь малым.

> ЕК1 и ЕК2 имеют определенные начальные значения (при х = 0), а далее меняются следующим образом:
> ЕК1 послед. = ЕК1 предыд. – dЕк ЕК2 послед. = ЕК2 предыд. – dЕк

А вот это-то откуда? Здесь как раз разнобой с малостями, пресловутый компот.
По-видимому, все эти у Вас совсем не малы. Это, пардон, уравнения в разностях, а не дифференциальные. Или "с дискретным временем".

> Мне необходимо определить изменение значения ЕК1 при изменении от какого-то начального (заданного) значения до того значения, которое образуется при изменении независимой переменной (х) от нуля до определенного положительного значения х*. При этом меня интересует интервал изменения ЕК1, не превышающий начальной величины при х = 0.
> Численно то оно можно посчитать. Но если величина dx в числовом выражении составляет, скажем десять в минус восьмидесятой степени, а величина dЕк при этом меняется (грубо говоря) на десять в минус двадцатой степени, то в диапазоне приемлемого для данного условия диапазона загонишь машину и ничего не посчитаешь.

Ну, такое соотношение величин не слишком хорошо, ибо соответствует производным порядка десяти аж в шестидесятой степени. Тут ошибок при замене дискретного на непрерывное не оберёшься.
В общем так. Возьмите любую книжку по диффурам (ну, Федорюка там, Петровского, Арнольда, Понтрягина... - да хоть задачник Филиппова) и образуйтесь.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100