Конгруэнтные числа

Сообщение №34136 от SAVELY 07 марта 2010 г. 13:06
Тема: Конгруэнтные числа

Про гипотенузу спрашивал, про катеты тоже.
Неужели Модераторы такие тупые, что не понимают о чем речь.
Задаю вопрос приближенный к познаниям модераторов:
Верно ли, что эллиптическая кривая y^2=X^3+4*K^2*X
Y<>0 не содержит рациональных точек кручения
Конечно К- конгруэнтное число


Отклики на это сообщение:

> Верно ли, что эллиптическая кривая y^2=X^3+4*K^2*X
> Y<>0 не содержит рациональных точек кручения
> Конечно К- конгруэнтное число

Если имеется в виду, что все точки кручения на этой кривой имеют Y=0, то ответ положительный. Цитата из википедии:

Thus a positive rational number n is congruent if and only if the equation y^2 = x^3 - n^2 x has a rational point with y not equal to 0. It can be shown (as a nice application of Dirichlet's theorem on primes in arithmetic progression) that the only torsion points on this elliptic curve are those with y equal to 0, hence the existence of a rational point with y nonzero is equivalent to saying the elliptic curve has positive rank.

См:

Congruent number


Нет, не имеется ввиду. Именно надо доказать, что для этой эллиптической кривой рациональных
точек кручения с y<>0 не существует. Или привести пример их существования.
Так что ответ не имеет отношения к исходному вопросу.


> Именно надо доказать, что для этой эллиптической кривой рациональных
> точек кручения с y<>0 не существует.

Это утверждение равносильно тому, что все точки кручения этой кривой имеют y=0.
И именно это и указывается в википедии.


В википедии утверждение касается только эллиптической кривой y^2=x^3-k^2*x.
В исходном вопросе фигурирует совершенно другая эллиптическая кривая y^2=x^3+4*k^2*x.
Про нее в указанном месте википедии ничего не говорится.
Ведь не для всякой же эллиптической кривой точки кручения лежат только на оси x.
Например, на эллиптической кривой y^2=x^3+1 точки (x=0,y=1) (x=0,y=-1) являются точками кручения
и y<>0.
Так что исходный вопрос остается открытым.


> В википедии утверждение касается только эллиптической кривой y^2=x^3-k^2*x.
> В исходном вопросе фигурирует совершенно другая эллиптическая кривая y^2=x^3+4*k^2*x.
> Про нее в указанном месте википедии ничего не говорится.

Да, не обратил внимания, что у вас другая кривая - смутило упоминание конгруэнтных чисел. Классически они связываются именно с кривой y^2=x^3-k^2*x, а у вас почему-то y^2=x^3+4*k^2*x. Поясните связь?


Неклассическая связь конгруэнтных чисел с кривой y^2=x^3+4*k^2*x состоит в следующем:
Справедливо утверждение: рациональное число k является конгруэнтным тогда и только тогда, когда
на эллиптической кривой y^2=x^3+4*k^2*x существует хотя бы одна рациональная точка (x,y), где
y конечно и не равно 0 (докажите).
Существо исходного вопроса заключалось в том, что нужно было доказать,что любая рациональная точка
(x,y) на этой кривой (k-конгруэнтно) c конечным y<>0 имеет бесконечный порядок.
В этом случае группа вращения указанной кривой с конгруэнтным k равна Z2.


k=1 исключается из рассмотрения


Предлагаю следующую задачу
Пусть r-произвольное рациональное число
Тогда существуют всегда два рациональных конгруэнтных числа r1,r2 таких, что r1*r2=r


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100