Задача Пойя о саде

Сообщение №3396 от Б.Б. 02 мая 2002 г. 10:01
Тема: Задача Пойя о саде

На плоскости квадратная решетка с шагом 1. Круг радиуса R с центром в узле решетки. В узлах решетки, находящихся внутри круга, растут деревья радиуса r. В центре круга дерева нет, там стою я ;). Вижу ли я что-нибудь за пределами круга? То есть, существует ли радиус, не пересекающий ни одного дерева?

Пойя получил "условие прозрачночти сада" (r меньше 1/R).
Можете ли вы улучшить этот результат и получить точную оценку максимального r, при котором сад радиуса R "прозрачен"?
Я вот смог, и теперь горжусь :)
Чего и вам желаю.


Отклики на это сообщение:

> На плоскости квадратная решетка с шагом 1. Круг радиуса R с центром в узле решетки. В узлах решетки, находящихся внутри круга, растут деревья радиуса r. В центре круга дерева нет, там стою я ;). Вижу ли я что-нибудь за пределами круга? То есть, существует ли радиус, не пересекающий ни одного дерева?

> Пойя получил "условие прозрачночти сада" (r меньше 1/R).
> Можете ли вы улучшить этот результат и получить точную оценку максимального r, при котором сад радиуса R "прозрачен"?

r < 1/sqrt(1 + inf{x: x from N, x >= R})^2) < 1/R.

N - мно-во натуральных чисел.


> Пойя получил "условие прозрачночти сада" (r меньше 1/R).
> Можете ли вы улучшить этот результат и получить точную оценку максимального r, при котором сад радиуса R "прозрачен"?

Я могу доказать, что для прозрачности достаточно

r < c/R,

где c = sqrt(2)/4 ~= 0.3535534



> > На плоскости квадратная решетка с шагом 1. Круг радиуса R с центром в узле решетки. В узлах решетки, находящихся внутри круга, растут деревья радиуса r. В центре круга дерева нет, там стою я ;). Вижу ли я что-нибудь за пределами круга? То есть, существует ли радиус, не пересекающий ни одного дерева?

> > Пойя получил "условие прозрачночти сада" (r меньше 1/R).
> > Можете ли вы улучшить этот результат и получить точную оценку максимального r, при котором сад радиуса R "прозрачен"?

> r < 1/sqrt(1 + inf{x: x from N, x >= R})^2) < 1/R.

> N - мно-во натуральных чисел.

Точная оценка:
r меньше 1/sqrt(Q), где Q наименьшее натуральное, большее R^2 и представимое в виде суммы двух квадратов.
Я использовал теор. Пика, точнее частный ее случай, о том, что площадь треугольника с вершинами в узлах, не содержащего других узлов на границе и внутри равна 1/2.
Ну и построения кое-какие. В целом решение получилось громоздким.


Лень мне упрожняться..:))
Но задача мне напомнила фотометрический парадокс (ОЛьберс, 1826). Формулировка следующая:

Если бы Вселенная была бы евклидова, бесконечна, а звезды в ней расположены с равномерной плотностью, то для земного наблюдателя ночное небо было бы белым.

Вот такие вот пироги :))
Так математика связана с космологией.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100