Условный экстремум - вопросы!

Сообщение №33923 от МарияМ 11 февраля 2010 г. 22:46
Тема: Условный экстремум - вопросы!

Доброго вреени суток!

У меня возник вопрос по поводу условного экстремума функции (в моём случае двух аргументов).
Вопрос возник в связи с заданием :
Дана поверхность : u=4(x^2) + 4xy +3(y^2) и поверхность F(x,y)=x+y+1 , при условии, что F(x,y)=0.
Найти условный экстремум ф-ции.

Стоит отметить, что вообще данная поверхность u(x,y) имеет один единственный безусловныйэкстремум -
точка P(0,0) одновременно является минимумом данной ф-ции.

Составим функцию Лагранжа : L(x;y;l) = 4(x^2) + 4xy +3(y^2) - l(x+y+1)
Первые производные для функции Лагранжа:
L'x = 8x+4y-l
L'y = 4x+6y-l
L'l = -(x+y+1)
приравняв полученные производные нулю, получим систему, у которой нет решений.
Что по сути из этого следует?
Не выполняется необхдимое условие существования экстремума?
А что это значит геометрически? На сечении двух данных поверхностей нет экстремумов?

Я ознакомилась с одной из задач, рассматривавшихся на форуме по этой теме, однако не нашла там ответа на свой вопрос, потому, как там всё было благополучно.

с уважением,
Мария


Отклики на это сообщение:

> Доброго вреени суток!

> У меня возник вопрос по поводу условного экстремума функции (в моём случае двух аргументов).
> Вопрос возник в связи с заданием :
> Дана поверхность : u=4(x^2) + 4xy +3(y^2) и поверхность F(x,y)=x+y+1 , при условии, что F(x,y)=0.
> Найти условный экстремум ф-ции.

> Стоит отметить, что вообще данная поверхность u(x,y) имеет один единственный безусловныйэкстремум -
> точка P(0,0) одновременно является минимумом данной ф-ции.

> Составим функцию Лагранжа : L(x;y;l) = 4(x^2) + 4xy +3(y^2) - l(x+y+1)

Что у Вас стоит множителем при F?

> Первые производные для функции Лагранжа:
> L'x = 8x+4y-l
> L'y = 4x+6y-l
> L'l = -(x+y+1)
> приравняв полученные производные нулю, получим систему, у которой нет решений.

С какой стати?

> Что по сути из этого следует?
> Не выполняется необхдимое условие существования экстремума?
> А что это значит геометрически? На сечении двух данных поверхностей нет экстремумов?

> Я ознакомилась с одной из задач, рассматривавшихся на форуме по этой теме, однако не нашла там ответа на свой вопрос, потому, как там всё было благополучно.

> с уважением,
> Мария

Попробуйте также тупо выразить через из условия и подставить сие выражение в , превратив её в функцию одного переменного, после чего исследовать на экстремум эту функцию.


не понимаю, что значит "стоит множителем при F", но догадываюсь, что это вы про l, извините, неудачно выбрала обозначение лямбды (λ)
система выглядит так:

8x+4y-λ=0
4x+6y-λ=0
-(x+y+1)=0

решать всегда можно по-разному, я использовала метод множителей Лагранжа. А тупо подставить одно в другое - простите, всё равно - мне не ясен смысл этих действий, геометрический смысл. Экстремум чего (какого объекта) мы ищем - функции u(x,y) или сечения этой ф-ции c F(x,y)? И существует ли вообще данное сечение, когда F(x,y)=0?


> не понимаю, что значит "стоит множителем при F", но догадываюсь, что это вы про l, извините, неудачно выбрала обозначение лямбды (λ)
> система выглядит так:

Я спросил, потому что мне показалось, что Вы, введя множителем , затем начали её путать с единицей и потому не увидели решения Вашей системы.

> 8x+4y-λ=0
> 4x+6y-λ=0
> -(x+y+1)=0

Вы обратили внимание на то, что я написал, что у этой системы ЕСТЬ решение?

> решать всегда можно по-разному, я использовала метод множителей Лагранжа. А тупо подставить одно в другое - простите, всё равно - мне не ясен смысл этих действий, геометрический смысл. Экстремум чего (какого объекта) мы ищем - функции u(x,y) или сечения этой ф-ции c F(x,y)? И существует ли вообще данное сечение, когда F(x,y)=0?

Решать действительно можно по-разному. Но Вы же не смогли найти решения? Почему же не хотите проверить себя и решить по-другому? Странная позиция.
Вы ищете экстремум функции _при условии_ . Если хотите, принцип именно такой, как в тупом решении: ищете экстремум функции двух переменных, когда эти переменные _связаны_ друг с другом.
Если хотите геометрически, то представляет собой эллиптический параболоид, вершина которого расположена в точке (0,0,0), а условие - сечение его плоскостью. Это сечение представляет собой некую кривую - какую по-Вашему?


Со всем разобралась.
Да, согласна, простите, решения не увидела.
Кстати, метод Лагранжа интересен далее - что делать, когда разговор заходит о виде найденного экстремума : Р(-1/3;-2/3)- максимум или минимум? В данном случае наглядно ясно, что эта точка - вершина параболы (та самая кривая сечения), но как в таком случае это доказать наверняка?
Из описания самого метода становится понятно, что нужно искать вторые производные ф-ции Лагранжа. А это как? :) F''xx, F''yy, F''λλ F''xλ ?


> Со всем разобралась.
> Да, согласна, простите, решения не увидела.
> Кстати, метод Лагранжа интересен далее - что делать, когда разговор заходит о виде найденного экстремума : Р(-1/3;-2/3)- максимум или минимум? В данном случае наглядно ясно, что эта точка - вершина параболы (та самая кривая сечения), но как в таком случае это доказать наверняка?
> Из описания самого метода становится понятно, что нужно искать вторые производные ф-ции Лагранжа. А это как? :) F''xx, F''yy, F''λλ F''xλ ?

Стандартно делают так: находят приращение второго порядка функции Лагранжа в стационарной точке , т.е. , находят из связь между (в данном случае между и ), подставляют в приращение и исследуют квадратичную форму на знакоопределённость.

В данном случае в найденной точке P и , т.е. ...


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100