дифференциальные уравнения

Сообщение №33228 от dyxy 05 января 2010 г. 17:48
Тема: дифференциальные уравнения

Пожалуйста, помогите решить задачи по ДУ!
1. Найти собственные значения и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля. Проверить собственные функции в задании 1 на ортогональность.

X''2X=0, X'(0)=0, X'(π)=0

2.Найти решение смешанной задачи для однородных одномерных волнового уравнения и уравнения теплопроводности
a) {Utt=4Uxx, U|x=0=0, Ux|x=L=0, U|t=0=x, Ut|t=0=4cos(6π/2L)sin(π/2l)x

b) {Ut=Uxx-8U, Ux|x=0=0, Ux|x=π=0, U|t=0=x-1+10cos(5x)cos(2x)


Отклики на это сообщение:

> Пожалуйста, помогите решить задачи по ДУ!
> 1. Найти собственные значения и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля. Проверить собственные функции в задании 1 на ортогональность.

> X''2X=0, X'(0)=0, X'(π)=0
Решение.
Если λ=0, то общее решение уравнения имеет вид X(t) = C1 +C2t. Тогда X'(t)= C2. Из граничных условий вытекает C2=0. Следовательно, для собственного числа λ=0 в качестве собственной функции можно взять X0 = 1
Если λ≠0, то общее решение уравнения имеет вид X(t) = C1 cos(λt) +C2 sin(λt). Тогда X'(t) = -λC1 sin(λt) +λC2 cos(λt). Из граничных условий вытекает
X'(0) = λC2 = 0. Отюда, C2 = 0. Далее
X'(π) = -λC1 sin(λπ) = 0. Отсюда λπ =πk,где k= ±1, ±2,.... Собственные функции для k и -k совпадают. Поэтому, достаточно брать только натуральные значения k. Получим собственные числа λk = k, k = 1,2,.... Соответствующие собственные функции Xk = cos(kt). Отметим, что нулевое собственное число и собственная функция тоже описываются этими формулами при k = 0.
Поэтому, окончательный ответ: собственные числа λk = k, k = 0,1,2,... и собственные функции Xk = cos(kt).
Осталось проверить ортогональность в пространстве L2(0,π). Пусть k ≠ n. Тогда


Второе задание громоздкое. Кроме того, в задаче а) в начальном условии, вероятно, произошла опечатка.

> 2.Найти решение смешанной задачи для однородных одномерных волнового уравнения и уравнения теплопроводности
> a) {Utt=4Uxx, U|x=0=0, Ux|x=L=0, U|t=0=x, Ut|t=0=4cos(6π/2L)sin(π/2l)x

> b) {Ut=Uxx-8U, Ux|x=0=0, Ux|x=π=0, U|t=0=x-1+10cos(5x)cos(2x)


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100