Сходимость рядов Демидович

Сообщение №32983 от rumtan 21 декабря 2009 г. 15:12
Тема: Сходимость рядов Демидович

Помогите пожалуйста решить задачи из Демидовича на сходимость рядов . Какой признак применять?
2628 и 2630 есть в АнтиДемидовиче. Горит зачет. Хотя бы первые 2 примера.

demidovich


Отклики на это сообщение:

> Помогите пожалуйста решить задачи из Демидовича на сходимость рядов . Какой признак применять?
> 2628 и 2630 есть в АнтиДемидовиче. Горит зачет. Хотя бы первые 2 примера.
2626
Переписав общий член ряда в виде
,
выводим, что ряд сходится если α> 1/2.
2627
Опять, переписав общий член ряда в виде
,
выводим, что ряд сходится, если а =1/2.


> Помогите пожалуйста решить задачи из Демидовича на сходимость рядов . Какой признак применять?
> 2628 и 2630 есть в АнтиДемидовиче. Горит зачет. Хотя бы первые 2 примера.

Leon! Огромное спасибо. Осталась не решенной задача № 2629. Пожалуйста,натолкните на мысль, что там нужно с логарифмом сделать?


> > Помогите пожалуйста решить задачи из Демидовича на сходимость рядов . Какой признак применять?
> > 2628 и 2630 есть в АнтиДемидовиче. Горит зачет. Хотя бы первые 2 примера.

> Leon! Огромное спасибо. Осталась не решенной задача № 2629. Пожалуйста,натолкните на мысль, что там нужно с логарифмом сделать?

Преобразуем общий член ряда , умножив и поделив его на, как говорят в школе, "сопряжённое". Получим

Теперь используем формулу Маклорена (Тейлора) для логарифма

Отсюда вытекает оценка для общего члена ряда

Но ряд с таким общим членом сходится (сравните его с рядом с общим членом n-3/2).


> > > Помогите пожалуйста решить задачи из Демидовича на сходимость рядов . Какой признак применять?
> > > 2628 и 2630 есть в АнтиДемидовиче. Горит зачет. Хотя бы первые 2 примера.

> > Leon! Огромное спасибо. Осталась не решенной задача № 2629. Пожалуйста,натолкните на мысль, что там нужно с логарифмом сделать?

> Преобразуем общий член ряда , умножив и поделив его на, как говорят в школе, "сопряжённое". Получим
> {n}} + \sqrt {\ln \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)} }}\">
> Теперь используем формулу Маклорена (Тейлора) для логарифма
>
> Отсюда вытекает оценка для общего члена ряда
> {{n^2 }}} \right)} }} = \frac{1}{4}n^{ - 3/2} + O\left( {n^{ - 5/2} } \right)\">
> Но ряд с таким общим членом сходится (сравните его с рядом с общим членом n-3/2).


Разложила ex=1+x, а также ln n=n-1. У меня получается, что ряд расходится.


> > > > Помогите пожалуйста решить задачи из Демидовича на сходимость рядов . Какой признак применять?
> > > > 2628 и 2630 есть в АнтиДемидовиче. Горит зачет. Хотя бы первые 2 примера.

> > > Leon! Огромное спасибо. Осталась не решенной задача № 2629. Пожалуйста,натолкните на мысль, что там нужно с логарифмом сделать?

> > Преобразуем общий член ряда , умножив и поделив его на, как говорят в школе, "сопряжённое". Получим
> > > {n}} + \sqrt {\ln \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)} }}\">
> > Теперь используем формулу Маклорена (Тейлора) для логарифма
> >
> > Отсюда вытекает оценка для общего члена ряда
> > > {{n^2 }}} \right)} }} = \frac{1}{4}n^{ - 3/2} + O\left( {n^{ - 5/2} } \right)\">
> > Но ряд с таким общим членом сходится (сравните его с рядом с общим членом n-3/2).

> Спасибо за метод решения, с помощью его я смогла решить еще несколько задач.
> А вот следующий пример что-то не получается, уже кручу его часа 3:
>
> Разложила ex=1+x, а также ln n=n-1. У меня получается, что ряд расходится.

не печатные символы?
Спасибо за метод решения, с помощью его я смогла решить еще несколько задач.
А вот следующий пример что-то не получается, уже кручу его часа 3:

Разложила ex=1+x, а также ln n=n-1. У меня получается, что ряд расходится.

2634


> > > > > Помогите пожалуйста решить задачи из Демидовича на сходимость рядов . Какой признак применять?
> > > > > 2628 и 2630 есть в АнтиДемидовиче. Горит зачет. Хотя бы первые 2 примера.

> > > > Leon! Огромное спасибо. Осталась не решенной задача № 2629. Пожалуйста,натолкните на мысль, что там нужно с логарифмом сделать?

> > > Преобразуем общий член ряда , умножив и поделив его на, как говорят в школе, "сопряжённое". Получим
> > > > > {n}} + \sqrt {\ln \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)} }}\">
> > > Теперь используем формулу Маклорена (Тейлора) для логарифма
> > >
> > > Отсюда вытекает оценка для общего члена ряда
> > > > > {{n^2 }}} \right)} }} = \frac{1}{4}n^{ - 3/2} + O\left( {n^{ - 5/2} } \right)\">
> > > Но ряд с таким общим членом сходится (сравните его с рядом с общим членом n-3/2).

> > Спасибо за метод решения, с помощью его я смогла решить еще несколько задач.
> > А вот следующий пример что-то не получается, уже кручу его часа 3:
> >
> > Разложила ex=1+x, а также ln n=n-1. У меня получается, что ряд расходится.

> не печатные символы?
> Спасибо за метод решения, с помощью его я смогла решить еще несколько задач.
> А вот следующий пример что-то не получается, уже кручу его часа 3:
>
> Разложила ex=1+x, а также ln n=n-1. У меня получается, что ряд расходится.

Т.к. общий член сходящегося ряда должен стремиться к нулю. Поэтому с = 0 и a/d <0.
Для сходимости нужно потребовать больше a/d <-1. Тогда общий член ряда ведёт себя, как na/d.


> > > > > > Помогите пожалуйста решить задачи из Демидовича на сходимость рядов . Какой признак применять?
> > > > > > 2628 и 2630 есть в АнтиДемидовиче. Горит зачет. Хотя бы первые 2 примера.

> > > > > Leon! Огромное спасибо. Осталась не решенной задача № 2629. Пожалуйста,натолкните на мысль, что там нужно с логарифмом сделать?

> > > > Преобразуем общий член ряда , умножив и поделив его на, как говорят в школе, "сопряжённое". Получим
> > > > > > > {n}} + \sqrt {\ln \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)} }}\">
> > > > Теперь используем формулу Маклорена (Тейлора) для логарифма
> > > >
> > > > Отсюда вытекает оценка для общего члена ряда
> > > > > > > {{n^2 }}} \right)} }} = \frac{1}{4}n^{ - 3/2} + O\left( {n^{ - 5/2} } \right)\">
> > > > Но ряд с таким общим членом сходится (сравните его с рядом с общим членом n-3/2).

> > > Спасибо за метод решения, с помощью его я смогла решить еще несколько задач.
> > > А вот следующий пример что-то не получается, уже кручу его часа 3:
> > >
> > > Разложила ex=1+x, а также ln n=n-1. У меня получается, что ряд расходится.

> > не печатные символы?
> > Спасибо за метод решения, с помощью его я смогла решить еще несколько задач.
> > А вот следующий пример что-то не получается, уже кручу его часа 3:
> >
> > Разложила ex=1+x, а также ln n=n-1. У меня получается, что ряд расходится.

> Т.к. общий член сходящегося ряда должен стремиться к нулю. Поэтому с = 0 и a/d <0.
> Для сходимости нужно потребовать больше a/d <-1. Тогда общий член ряда ведёт себя, как na/d.
Пытаюсь по подобию решить следующий пример,запуталась. Нужно раскладывать по формуле:
a^x=1+x ln a. (Формула Маклорена). Я правильно вывела?

2643


> > > > > > > Помогите пожалуйста решить задачи из Демидовича на сходимость рядов . Какой признак применять?
> > > > > > > 2628 и 2630 есть в АнтиДемидовиче. Горит зачет. Хотя бы первые 2 примера.

> > > > > > Leon! Огромное спасибо. Осталась не решенной задача № 2629. Пожалуйста,натолкните на мысль, что там нужно с логарифмом сделать?

> > > > > Преобразуем общий член ряда , умножив и поделив его на, как говорят в школе, "сопряжённое". Получим
> > > > > > > > > {n}} + \sqrt {\ln \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)} }}\">
> > > > > Теперь используем формулу Маклорена (Тейлора) для логарифма
> > > > >
> > > > > Отсюда вытекает оценка для общего члена ряда
> > > > > > > > > {{n^2 }}} \right)} }} = \frac{1}{4}n^{ - 3/2} + O\left( {n^{ - 5/2} } \right)\">
> > > > > Но ряд с таким общим членом сходится (сравните его с рядом с общим членом n-3/2).

> > > > Спасибо за метод решения, с помощью его я смогла решить еще несколько задач.
> > > > А вот следующий пример что-то не получается, уже кручу его часа 3:
> > > >
> > > > Разложила ex=1+x, а также ln n=n-1. У меня получается, что ряд расходится.

> > > не печатные символы?
> > > Спасибо за метод решения, с помощью его я смогла решить еще несколько задач.
> > > А вот следующий пример что-то не получается, уже кручу его часа 3:
> > >
> > > Разложила ex=1+x, а также ln n=n-1. У меня получается, что ряд расходится.

> > Т.к. общий член сходящегося ряда должен стремиться к нулю. Поэтому с = 0 и a/d <0.
> > Для сходимости нужно потребовать больше a/d <-1. Тогда общий член ряда ведёт себя, как na/d.
> Пытаюсь по подобию решить следующий пример,запуталась. Нужно раскладывать по формуле:
> a^x=1+x ln a. (Формула Маклорена). Я правильно вывела?

Когда занимаешся сходимостью (последовательностей,рядов, произведений, интегралов), то надо выделять "главные члены".
В вашем примере в показателе стоит b ln(n) + c ln2(n). Кто главный? Конечно, ln2(n), если с ≠ 0. Поэтому, если с ≠ 0, то переписав общий член ряда в виде

видим, что при больших значениях n он оценивается с двух сторон выражением

Следовательно, ряд сходится, если

или
ac >1
Аналогично, но проще случай с=0.


> > > > > > > > Помогите пожалуйста решить задачи из Демидовича на сходимость рядов . Какой признак применять?
> > > > > > > > 2628 и 2630 есть в АнтиДемидовиче. Горит зачет. Хотя бы первые 2 примера.

> > > > > > > Leon! Огромное спасибо. Осталась не решенной задача № 2629. Пожалуйста,натолкните на мысль, что там нужно с логарифмом сделать?

> > > > > > Преобразуем общий член ряда , умножив и поделив его на, как говорят в школе, "сопряжённое". Получим
> > > > > > > > > > > {n}} + \sqrt {\ln \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)} }}\">
> > > > > > Теперь используем формулу Маклорена (Тейлора) для логарифма
> > > > > >
> > > > > > Отсюда вытекает оценка для общего члена ряда
> > > > > > > > > > > {{n^2 }}} \right)} }} = \frac{1}{4}n^{ - 3/2} + O\left( {n^{ - 5/2} } \right)\">
> > > > > > Но ряд с таким общим членом сходится (сравните его с рядом с общим членом n-3/2).

> > > > > Спасибо за метод решения, с помощью его я смогла решить еще несколько задач.
> > > > > А вот следующий пример что-то не получается, уже кручу его часа 3:
> > > > >
> > > > > Разложила ex=1+x, а также ln n=n-1. У меня получается, что ряд расходится.

> > > > не печатные символы?
> > > > Спасибо за метод решения, с помощью его я смогла решить еще несколько задач.
> > > > А вот следующий пример что-то не получается, уже кручу его часа 3:
> > > >
> > > > Разложила ex=1+x, а также ln n=n-1. У меня получается, что ряд расходится.

> > > Т.к. общий член сходящегося ряда должен стремиться к нулю. Поэтому с = 0 и a/d <0.
> > > Для сходимости нужно потребовать больше a/d <-1. Тогда общий член ряда ведёт себя, как na/d.
> > Пытаюсь по подобию решить следующий пример,запуталась. Нужно раскладывать по формуле:
> > a^x=1+x ln a. (Формула Маклорена). Я правильно вывела?

> Когда занимаешся сходимостью (последовательностей,рядов, произведений, интегралов), то надо выделять "главные члены".
> В вашем примере в показателе стоит b ln(n) + c ln2(n). Кто главный? Конечно, ln2(n), если с ≠ 0. Поэтому, если с ≠ 0, то переписав общий член ряда в виде
> a^{ - \left( {b\ln n + c\ln ^2 n} \right)} = e^{ - c\ln a\ln ^2 n\left( {1 + b/\left( {c\ln n} \right)} \right)} = n^{ - \ln a^c \ln n\left( {1 + b/\left( {c\ln n} \right)} \right)} \">
> видим, что при больших значениях n он оценивается с двух сторон выражением
> n^{ - \ln a^c \ln n\left( {1 \pm \varepsilon } \right)} ,\varepsilon > 0\">
> Следовательно, ряд сходится, если
>
> или
> ac >1
> Аналогично, но проще случай с=0.

Что-то в голове все пермешалось, первый час ночи. Как перейти от a^x к e^x?


> > > > > > > > > Помогите пожалуйста решить задачи из Демидовича на сходимость рядов . Какой признак применять?
> > > > > > > > > 2628 и 2630 есть в АнтиДемидовиче. Горит зачет. Хотя бы первые 2 примера.

> > > > > > > > Leon! Огромное спасибо. Осталась не решенной задача № 2629. Пожалуйста,натолкните на мысль, что там нужно с логарифмом сделать?

> > > > > > > Преобразуем общий член ряда , умножив и поделив его на, как говорят в школе, "сопряжённое". Получим
> > > > > > > > > > > > > {n}} + \sqrt {\ln \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)} }}\">
> > > > > > > Теперь используем формулу Маклорена (Тейлора) для логарифма
> > > > > > >
> > > > > > > Отсюда вытекает оценка для общего члена ряда
> > > > > > > > > > > > > {{n^2 }}} \right)} }} = \frac{1}{4}n^{ - 3/2} + O\left( {n^{ - 5/2} } \right)\">
> > > > > > > Но ряд с таким общим членом сходится (сравните его с рядом с общим членом n-3/2).

> > > > > > Спасибо за метод решения, с помощью его я смогла решить еще несколько задач.
> > > > > > А вот следующий пример что-то не получается, уже кручу его часа 3:
> > > > > >
> > > > > > Разложила ex=1+x, а также ln n=n-1. У меня получается, что ряд расходится.

> > > > > не печатные символы?
> > > > > Спасибо за метод решения, с помощью его я смогла решить еще несколько задач.
> > > > > А вот следующий пример что-то не получается, уже кручу его часа 3:
> > > > >
> > > > > Разложила ex=1+x, а также ln n=n-1. У меня получается, что ряд расходится.

> > > > Т.к. общий член сходящегося ряда должен стремиться к нулю. Поэтому с = 0 и a/d <0.
> > > > Для сходимости нужно потребовать больше a/d <-1. Тогда общий член ряда ведёт себя, как na/d.
> > > Пытаюсь по подобию решить следующий пример,запуталась. Нужно раскладывать по формуле:
> > > a^x=1+x ln a. (Формула Маклорена). Я правильно вывела?

> > Когда занимаешся сходимостью (последовательностей,рядов, произведений, интегралов), то надо выделять "главные члены".
> > В вашем примере в показателе стоит b ln(n) + c ln2(n). Кто главный? Конечно, ln2(n), если с ≠ 0. Поэтому, если с ≠ 0, то переписав общий член ряда в виде
> > > a^{ - \left( {b\ln n + c\ln ^2 n} \right)} = e^{ - c\ln a\ln ^2 n\left( {1 + b/\left( {c\ln n} \right)} \right)} = n^{ - \ln a^c \ln n\left( {1 + b/\left( {c\ln n} \right)} \right)} \">
> > видим, что при больших значениях n он оценивается с двух сторон выражением
> > > n^{ - \ln a^c \ln n\left( {1 \pm \varepsilon } \right)} ,\varepsilon > 0\">
> > Следовательно, ряд сходится, если
> >
> > или
> > ac >1
> > Аналогично, но проще случай с=0.

> Что-то в голове все пермешалось, первый час ночи. Как перейти от a^x к e^x?

a^x = e^(x*ln(a))


> > > > > > > > > > Помогите пожалуйста решить задачи из Демидовича на сходимость рядов . Какой признак применять?
> > > > > > > > > > 2628 и 2630 есть в АнтиДемидовиче. Горит зачет. Хотя бы первые 2 примера.

> > > > > > > > > Leon! Огромное спасибо. Осталась не решенной задача № 2629. Пожалуйста,натолкните на мысль, что там нужно с логарифмом сделать?

> > > > > > > > Преобразуем общий член ряда , умножив и поделив его на, как говорят в школе, "сопряжённое". Получим
> > > > > > > > > > > > > > > {n}} + \sqrt {\ln \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)} }}\">
> > > > > > > > Теперь используем формулу Маклорена (Тейлора) для логарифма
> > > > > > > >
> > > > > > > > Отсюда вытекает оценка для общего члена ряда
> > > > > > > > > > > > > > > {{n^2 }}} \right)} }} = \frac{1}{4}n^{ - 3/2} + O\left( {n^{ - 5/2} } \right)\">
> > > > > > > > Но ряд с таким общим членом сходится (сравните его с рядом с общим членом n-3/2).

> > > > > > > Спасибо за метод решения, с помощью его я смогла решить еще несколько задач.
> > > > > > > А вот следующий пример что-то не получается, уже кручу его часа 3:
> > > > > > >
> > > > > > > Разложила ex=1+x, а также ln n=n-1. У меня получается, что ряд расходится.

> > > > > Т.к. общий член сходящегося ряда должен стремиться к нулю. Поэтому с = 0 и a/d <0.
> > > > > Для сходимости нужно потребовать больше a/d <-1. Тогда общий член ряда ведёт себя, как na/d.
> > > > Пытаюсь по подобию решить следующий пример,запуталась. Нужно раскладывать по формуле:
> > > > a^x=1+x ln a. (Формула Маклорена). Я правильно вывела?

> > > Когда занимаешся сходимостью (последовательностей,рядов, произведений, интегралов), то надо выделять "главные члены".
> > > В вашем примере в показателе стоит b ln(n) + c ln2(n). Кто главный? Конечно, ln2(n), если с ≠ 0. Поэтому, если с ≠ 0, то переписав общий член ряда в виде
> > > > > a^{ - \left( {b\ln n + c\ln ^2 n} \right)} = e^{ - c\ln a\ln ^2 n\left( {1 + b/\left( {c\ln n} \right)} \right)} = n^{ - \ln a^c \ln n\left( {1 + b/\left( {c\ln n} \right)} \right)} \">
> > > видим, что при больших значениях n он оценивается с двух сторон выражением
> > > > > n^{ - \ln a^c \ln n\left( {1 \pm \varepsilon } \right)} ,\varepsilon > 0\">
> > > Следовательно, ряд сходится, если
> > >
> > > или
> > > ac >1
> > > Аналогично, но проще случай с=0.

> > Что-то в голове все пермешалось, первый час ночи. Как перейти от a^x к e^x?

> a^x = e^(x*ln(a))
Leon!Хочу еще раз Вас поблагодарить за оказанную помощь. Вчера сдала зачеты и по матанализу и по диффурам. Поздравляю с наступающим Новым годом! Пусть исполняются самые заветные желания. Вы этого заслуживаете!


> > > > > > > > > > > Помогите пожалуйста решить задачи из Демидовича на сходимость рядов . Какой признак применять?
> > > > > > > > > > > 2628 и 2630 есть в АнтиДемидовиче. Горит зачет. Хотя бы первые 2 примера.

> > > > > > > > > > Leon! Огромное спасибо. Осталась не решенной задача № 2629. Пожалуйста,натолкните на мысль, что там нужно с логарифмом сделать?

> > > > > > > > > Преобразуем общий член ряда , умножив и поделив его на, как говорят в школе, "сопряжённое". Получим
> > > > > > > > > > > > > > > > > {n}} + \sqrt {\ln \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)} }}\">
> > > > > > > > > Теперь используем формулу Маклорена (Тейлора) для логарифма
> > > > > > > > >
> > > > > > > > > Отсюда вытекает оценка для общего члена ряда
> > > > > > > > > > > > > > > > > {{n^2 }}} \right)} }} = \frac{1}{4}n^{ - 3/2} + O\left( {n^{ - 5/2} } \right)\">
> > > > > > > > > Но ряд с таким общим членом сходится (сравните его с рядом с общим членом n-3/2).

> > > > > > > > Спасибо за метод решения, с помощью его я смогла решить еще несколько задач.
> > > > > > > > А вот следующий пример что-то не получается, уже кручу его часа 3:
> > > > > > > >
> > > > > > > > Разложила ex=1+x, а также ln n=n-1. У меня получается, что ряд расходится.

> > > > > > Т.к. общий член сходящегося ряда должен стремиться к нулю. Поэтому с = 0 и a/d <0.
> > > > > > Для сходимости нужно потребовать больше a/d <-1. Тогда общий член ряда ведёт себя, как na/d.
> > > > > Пытаюсь по подобию решить следующий пример,запуталась. Нужно раскладывать по формуле:
> > > > > a^x=1+x ln a. (Формула Маклорена). Я правильно вывела?

> > > > Когда занимаешся сходимостью (последовательностей,рядов, произведений, интегралов), то надо выделять "главные члены".
> > > > В вашем примере в показателе стоит b ln(n) + c ln2(n). Кто главный? Конечно, ln2(n), если с ≠ 0. Поэтому, если с ≠ 0, то переписав общий член ряда в виде
> > > > > > > a^{ - \left( {b\ln n + c\ln ^2 n} \right)} = e^{ - c\ln a\ln ^2 n\left( {1 + b/\left( {c\ln n} \right)} \right)} = n^{ - \ln a^c \ln n\left( {1 + b/\left( {c\ln n} \right)} \right)} \">
> > > > видим, что при больших значениях n он оценивается с двух сторон выражением
> > > > > > > n^{ - \ln a^c \ln n\left( {1 \pm \varepsilon } \right)} ,\varepsilon > 0\">
> > > > Следовательно, ряд сходится, если
> > > >
> > > > или
> > > > ac >1
> > > > Аналогично, но проще случай с=0.

> > > Что-то в голове все пермешалось, первый час ночи. Как перейти от a^x к e^x?

> > a^x = e^(x*ln(a))
> Leon!Хочу еще раз Вас поблагодарить за оказанную помощь. Вчера сдала зачеты и по матанализу и по диффурам. Поздравляю с наступающим Новым годом! Пусть исполняются самые заветные желания. Вы этого заслуживаете!
>
Уважаемая rumtan. Спасибо за доброе пожелание. С Новым годом! Желаю Вам и дорогим Вам людям здоровья и удачи.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100