Три задачи о треугольных числах

Сообщение №32516 от edward 26 ноября 2009 г. 19:34
Тема: Три задачи о треугольных числах

Задача 1.
Известно, что некоторые треугольные числа являются квадратами, т.е. Tn =X^2. Описать все числа такого свойства, или проще, найти Tn=f1(k).
Задача 2.
Известно, что суммы некоторых троек последовательных треугольных чисел являются квадратами, т.е. T(n-1) + Tn + T(n+1)=Y^2.
Найти Tn=f2(k).
Задача 3.
Известно, что суммы некоторых четверок последовательных треугольных чисел являются квадратами, т.е. Tn +T(n+1) + T(n+2) ) + T(n+3)= Z^2
Найти Tn=f3(k).

Примечания:
* Формула треугольного числа: Tn = n(n+1)/2
** Зависимость Tn=f1(k) впервые получил Л.Эйлер. В 18-м веке такие задачи решали только корифеи. Сегодня это может сделать, наверное, любой студент. Хотелось бы узнать, как решает подобные задачи современная математика. Я нашел свой собственный метод, готов показать, если это кого-то заинтересует.


Отклики на это сообщение:

Все три задачи сводятся к квадратным диофантовым уравнениям от двух переменных, про решение которых порактически все известно. Можно, например, воспользоваться солвером:

Quadratic two integer variable equation solver


Задачи никого не заинтересовали, тем не менее, вот решения:
Задача 1.
32*T=[(17+12*sqrt(2))^k]-2
Решение Эйлера:
32*T=[((3+2*sqrt(2))^k)-((3-2*sqrt(2))^k)]^2
Задача 2.
Для нечетных номеров n:
96*T=[(59+24*sqrt(6))*(49+20*sqrt(6))^k]-22
Для четных номеров n:
96*T=[(11+4*sqrt(6))*(49+20*sqrt(6))^k]-22
Задача 3
8*T=[(3+2*sqrt(2))^(2k+1)]-[(6+6*sqrt(2))*(3+2sqrt(2))^k]+8
Особенность формул в том, что результаты округляются до ближайшего целого.
Поздравляю всех с Новым 2010 годом! А самым мужественным предлагаю еще одну задачу на тему треугольных чисел.
Задача 4
Описать формулой все суммы-квадраты для одиннадцати последовательных треугольных чисел.


Г-н RElf!
Попробуйте все-таки решить задачу 4, несмотря на то, что об этом практически все известно.
Готов спорить на коньяк, что у Вас не получится.


> Г-н RElf!
> Попробуйте все-таки решить задачу 4, несмотря на то, что об этом практически все известно.
> Готов спорить на коньяк, что у Вас не получится.

> Задача 4
> Описать формулой все суммы-квадраты для одиннадцати последовательных треугольных чисел.

Это чисто техническая задачка (как впрочем и все остальные), в идейном плане ничего интересного.

Пусть T(n) = n*(n+1)/2. Решения уравнения T(n) + T(n+1) + ... + T(n+10) = m^2 относительно натурального n даются четырмя рекуррентными последовательностями:
N(k+1) = 394*N(k) - N(k-1) + 2156
с начальными условиями:
[N(0), N(1)] = [13, 7335], [46, 20304], [229, 92391], [1608, 635710]

Явные формулы этих последовательностей:
1)
N(k) = [ (37 + 8*sqrt(22)) * (197 + 42*sqrt(22))^k + (37 - 8*sqrt(22)) * (197 - 42*sqrt(22))^k - 22 ] / 4

2)
N(k) = [ (103 + 22*sqrt(22)) * (197 + 42*sqrt(22))^k + (103 - 22*sqrt(22)) * (197 - 42*sqrt(22))^k - 22 ] / 4

3)
N(k) = [ (469 + 100*sqrt(22)) * (197 + 42*sqrt(22))^k + (469 - 100*sqrt(22)) * (197 - 42*sqrt(22))^k - 22 ] / 4

4)
N(k) = [ (3227 + 688*sqrt(22)) * (197 + 42*sqrt(22))^k + (3227 - 688*sqrt(22)) * (197 - 42*sqrt(22))^k - 22 ] / 4

Объединение этих четырых последовательностей можно также представить единой рекуррентной формулой 8-го порядка:
N'(k+8) = 394*N'(k+4) - N'(k),
первые восемь членов которой: 13, 46, 229, 1608, 7335, 20304, 92391, 635710.



> Объединение этих четырых последовательностей можно также представить единой рекуррентной формулой 8-го порядка:
> N'(k+8) = 394*N'(k+4) - N'(k),

Потерял тут свободный член.
Должно быть:
N'(k+8) = 394*N'(k+4) - N'(k) + 2156,

> первые восемь членов которой: 13, 46, 229, 1608, 7335, 20304, 92391, 635710.


Вы правильно решили задачу и главное - очень быстро. Мой ход решения был другим, более длинным и задача показалась мне довольно трудной. Формулы у меня получились более компактными, но это уже не имеет значения.


> Задача 3.
> Известно, что суммы некоторых четверок последовательных треугольных чисел являются квадратами, т.е. Tn +T(n+1) + T(n+2) ) + T(n+3)= Z^2
> Найти Tn=f3(k).

Tn +T(n+1) + T(n+2) ) + T(n+3)= (n+1)^2+(n+3)^2 = Z^2.

Рассмотрев остатки полученного выражения по основанию 8, получаем, что все числа (n+1),(n+3), z - четные.

Сократив на 4, получим уравнение, которое уже многократно решали:

x^2+(x+1)^2=z^2,

n=2x-1


Поправка:

> x^2+(x+1)^2=(z/2)^2,


Сегодня утром "сыскалась" такая формула: Тn^2 = 1 + 8 + 27... + n^3


Для n = 4:

T4 = 10
T4^2 = 100
1 + 8 + 27 + 64 = 100


Для n = 10:

Т10 = 55
T10^2 = 3025
1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 + 343 + 512 + 729 + 1000 = 3025


Для n = 11:

Т11 = 66
T11^2 = 4356
1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 + 343 + 512 + 729 + 1000 + 1331 = 4356


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100