Ортопроектор

Сообщение №32487 от Татьяна Бунто 25 ноября 2009 г. 17:44
Тема: Ортопроектор

Оператор А L2[0,1] в L2[0,1] задается соотношением (Ax)(t)=f(t)x(t). Какой должна быть f, чтобы оператор А был ортопроектором?

Частные случаи функций не нужны, нужен общий вид проверки на идемпотентность и самосопряженность.


Отклики на это сообщение:

> Оператор А L2[0,1] в L2[0,1] задается соотношением (Ax)(t)=f(t)x(t). Какой должна быть f, чтобы оператор А был ортопроектором?

> Частные случаи функций не нужны, нужен общий вид проверки на идемпотентность и самосопряженность.

Ортопроектор - ограниченный оператор. Поэтому, f(t) - ограниченная измеримая функция.
Ортопроектор - самосопряжённый оператор. Поэтому, f(t) - вещественнозначная функция.
Ортопроектор удовлетворяет условию А2 = А. Поэтому, f2(t) = f(t) почти всюду.
Седовательно, f(t) - характеристическая функция измеримого подмножества отрезка[0,1].


> > Оператор А L2[0,1] в L2[0,1] задается соотношением (Ax)(t)=f(t)x(t). Какой должна быть f, чтобы оператор А был ортопроектором?

> > Частные случаи функций не нужны, нужен общий вид проверки на идемпотентность и самосопряженность.

> Ортопроектор - ограниченный оператор. Поэтому, f(t) - ограниченная измеримая функция.
> Ортопроектор - самосопряжённый оператор. Поэтому, f(t) - вещественнозначная функция.
> Ортопроектор удовлетворяет условию А2 = А. Поэтому, f2(t) = f(t) почти всюду.
> Седовательно, f(t) - характеристическая функция измеримого подмножества отрезка[0,1].

Спасибо!!!!!!!!!!! только можно пояснить почему f(t) измеримая и почему почти всюду f(t)=f^2(t)?


> > > Оператор А L2[0,1] в L2[0,1] задается соотношением (Ax)(t)=f(t)x(t). Какой должна быть f, чтобы оператор А был ортопроектором?

> > > Частные случаи функций не нужны, нужен общий вид проверки на идемпотентность и самосопряженность.

> > Ортопроектор - ограниченный оператор. Поэтому, f(t) - ограниченная измеримая функция.
> > Ортопроектор - самосопряжённый оператор. Поэтому, f(t) - вещественнозначная функция.
> > Ортопроектор удовлетворяет условию А2 = А. Поэтому, f2(t) = f(t) почти всюду.
> > Седовательно, f(t) - характеристическая функция измеримого подмножества отрезка[0,1].

> Спасибо!!!!!!!!!!! только можно пояснить почему f(t) измеримая и почему почти всюду f(t)=f^2(t)?
А у Вам рассказывали про измеримость?
Равенство f2(t) = f(t) следует из А2 = А.
Действительно, (Ax)(t)=f(t)x(t) или, короче, Ах = f*x
А2х = A(A(x)) =A(f*x) = f*f*x = f2 *x
Сравнивая, получим f2 *x = f*x , которое справедливо при всех непрерывных функций х. Отсюда f2(t) = f(t) почти всюду.


> > > > Оператор А L2[0,1] в L2[0,1] задается соотношением (Ax)(t)=f(t)x(t). Какой должна быть f, чтобы оператор А был ортопроектором?

> > > > Частные случаи функций не нужны, нужен общий вид проверки на идемпотентность и самосопряженность.

> > > Ортопроектор - ограниченный оператор. Поэтому, f(t) - ограниченная измеримая функция.
> > > Ортопроектор - самосопряжённый оператор. Поэтому, f(t) - вещественнозначная функция.
> > > Ортопроектор удовлетворяет условию А2 = А. Поэтому, f2(t) = f(t) почти всюду.
> > > Седовательно, f(t) - характеристическая функция измеримого подмножества отрезка[0,1].

> > Спасибо!!!!!!!!!!! только можно пояснить почему f(t) измеримая и почему почти всюду f(t)=f^2(t)?
> А у Вам рассказывали про измеримость?
> Равенство f2(t) = f(t) следует из А2 = А.
> Действительно, (Ax)(t)=f(t)x(t) или, короче, Ах = f*x
> А2х = A(A(x)) =A(f*x) = f*f*x = f2 *x
> Сравнивая, получим f2 *x = f*x , которое справедливо при всех непрерывных функций х. Отсюда f2(t) = f(t) почти всюду.

имеется ввиду измеримость по Лебегу???


> > > > > Оператор А L2[0,1] в L2[0,1] задается соотношением (Ax)(t)=f(t)x(t). Какой должна быть f, чтобы оператор А был ортопроектором?

> > > > > Частные случаи функций не нужны, нужен общий вид проверки на идемпотентность и самосопряженность.

> > > > Ортопроектор - ограниченный оператор. Поэтому, f(t) - ограниченная измеримая функция.
> > > > Ортопроектор - самосопряжённый оператор. Поэтому, f(t) - вещественнозначная функция.
> > > > Ортопроектор удовлетворяет условию А2 = А. Поэтому, f2(t) = f(t) почти всюду.
> > > > Седовательно, f(t) - характеристическая функция измеримого подмножества отрезка[0,1].

> > > Спасибо!!!!!!!!!!! только можно пояснить почему f(t) измеримая и почему почти всюду f(t)=f^2(t)?
> > А у Вам рассказывали про измеримость?
> > Равенство f2(t) = f(t) следует из А2 = А.
> > Действительно, (Ax)(t)=f(t)x(t) или, короче, Ах = f*x
> > А2х = A(A(x)) =A(f*x) = f*f*x = f2 *x
> > Сравнивая, получим f2 *x = f*x , которое справедливо при всех непрерывных функций х. Отсюда f2(t) = f(t) почти всюду.

> имеется ввиду измеримость по Лебегу???

Да. Если Вы это знаете, то из условия, что произведение f*x должно принадлежать L2 при всех x, следует суммируемость f , а тем более измеримость.


> > > > > > Оператор А L2[0,1] в L2[0,1] задается соотношением (Ax)(t)=f(t)x(t). Какой должна быть f, чтобы оператор А был ортопроектором?

> > > > > > Частные случаи функций не нужны, нужен общий вид проверки на идемпотентность и самосопряженность.

> > > > > Ортопроектор - ограниченный оператор. Поэтому, f(t) - ограниченная измеримая функция.
> > > > > Ортопроектор - самосопряжённый оператор. Поэтому, f(t) - вещественнозначная функция.
> > > > > Ортопроектор удовлетворяет условию А2 = А. Поэтому, f2(t) = f(t) почти всюду.
> > > > > Седовательно, f(t) - характеристическая функция измеримого подмножества отрезка[0,1].

> > > > Спасибо!!!!!!!!!!! только можно пояснить почему f(t) измеримая и почему почти всюду f(t)=f^2(t)?
> > > А у Вам рассказывали про измеримость?
> > > Равенство f2(t) = f(t) следует из А2 = А.
> > > Действительно, (Ax)(t)=f(t)x(t) или, короче, Ах = f*x
> > > А2х = A(A(x)) =A(f*x) = f*f*x = f2 *x
> > > Сравнивая, получим f2 *x = f*x , которое справедливо при всех непрерывных функций х. Отсюда f2(t) = f(t) почти всюду.

> > имеется ввиду измеримость по Лебегу???

> Да. Если Вы это знаете, то из условия, что произведение f*x должно принадлежать L2 при всех x, следует суммируемость f , а тем более измеримость.

А как доказать ограниченность???


> > > > > > > Оператор А L2[0,1] в L2[0,1] задается соотношением (Ax)(t)=f(t)x(t). Какой должна быть f, чтобы оператор А был ортопроектором?

> > > > > > > Частные случаи функций не нужны, нужен общий вид проверки на идемпотентность и самосопряженность.

> > > > > > Ортопроектор - ограниченный оператор. Поэтому, f(t) - ограниченная измеримая функция.
> > > > > > Ортопроектор - самосопряжённый оператор. Поэтому, f(t) - вещественнозначная функция.
> > > > > > Ортопроектор удовлетворяет условию А2 = А. Поэтому, f2(t) = f(t) почти всюду.
> > > > > > Седовательно, f(t) - характеристическая функция измеримого подмножества отрезка[0,1].

> > > > > Спасибо!!!!!!!!!!! только можно пояснить почему f(t) измеримая и почему почти всюду f(t)=f^2(t)?
> > > > А у Вам рассказывали про измеримость?
> > > > Равенство f2(t) = f(t) следует из А2 = А.
> > > > Действительно, (Ax)(t)=f(t)x(t) или, короче, Ах = f*x
> > > > А2х = A(A(x)) =A(f*x) = f*f*x = f2 *x
> > > > Сравнивая, получим f2 *x = f*x , которое справедливо при всех непрерывных функций х. Отсюда f2(t) = f(t) почти всюду.

> > > имеется ввиду измеримость по Лебегу???

> > Да. Если Вы это знаете, то из условия, что произведение f*x должно принадлежать L2 при всех x, следует суммируемость f , а тем более измеримость.

> А как доказать ограниченность???

В условии задачи сказано, что А - ортопроектор. Ограниченность следует из определения ортопроектора.


> > Оператор А L2[0,1] в L2[0,1] задается соотношением (Ax)(t)=f(t)x(t). Какой должна быть f, чтобы оператор А был ортопроектором?

> > Частные случаи функций не нужны, нужен общий вид проверки на идемпотентность и самосопряженность.

> Ортопроектор - ограниченный оператор. Поэтому, f(t) - ограниченная измеримая функция.
> Ортопроектор - самосопряжённый оператор. Поэтому, f(t) - вещественнозначная функция.
> Ортопроектор удовлетворяет условию А2 = А. Поэтому, f2(t) = f(t) почти всюду.
> Седовательно, f(t) - характеристическая функция измеримого подмножества отрезка[0,1].

А почему только подмножества отрезка [0,1]? И, что Вы вложили в понятие "характеристическая функция"?
Просто в книгах это понятие слишком размыто.


> > > > > > Оператор А L2[0,1] в L2[0,1] задается соотношением (Ax)(t)=f(t)x(t). Какой должна быть f, чтобы оператор А был ортопроектором?

> > > > > > Частные случаи функций не нужны, нужен общий вид проверки на идемпотентность и самосопряженность.

> > > > > Ортопроектор - ограниченный оператор. Поэтому, f(t) - ограниченная измеримая функция.
> > > > > Ортопроектор - самосопряжённый оператор. Поэтому, f(t) - вещественнозначная функция.
> > > > > Ортопроектор удовлетворяет условию А2 = А. Поэтому, f2(t) = f(t) почти всюду.
> > > > > Седовательно, f(t) - характеристическая функция измеримого подмножества отрезка[0,1].

> > > > Спасибо!!!!!!!!!!! только можно пояснить почему f(t) измеримая и почему почти всюду f(t)=f^2(t)?
> > > А у Вам рассказывали про измеримость?
> > > Равенство f2(t) = f(t) следует из А2 = А.
> > > Действительно, (Ax)(t)=f(t)x(t) или, короче, Ах = f*x
> > > А2х = A(A(x)) =A(f*x) = f*f*x = f2 *x
> > > Сравнивая, получим f2 *x = f*x , которое справедливо при всех непрерывных функций х. Отсюда f2(t) = f(t) почти всюду.

> > имеется ввиду измеримость по Лебегу???

> Да. Если Вы это знаете, то из условия, что произведение f*x должно принадлежать L2 при всех x, следует суммируемость f , а тем более измеримость.

* в даннном случае означает знак умножения, а не сопряжения??? и во всех ответах * - это "умножить"? я правильно поняла.


> > > > > > > Оператор А L2[0,1] в L2[0,1] задается соотношением (Ax)(t)=f(t)x(t). Какой должна быть f, чтобы оператор А был ортопроектором?

> > > > > > > Частные случаи функций не нужны, нужен общий вид проверки на идемпотентность и самосопряженность.

> > > > > > Ортопроектор - ограниченный оператор. Поэтому, f(t) - ограниченная измеримая функция.
> > > > > > Ортопроектор - самосопряжённый оператор. Поэтому, f(t) - вещественнозначная функция.
> > > > > > Ортопроектор удовлетворяет условию А2 = А. Поэтому, f2(t) = f(t) почти всюду.
> > > > > > Седовательно, f(t) - характеристическая функция измеримого подмножества отрезка[0,1].

> > > > > Спасибо!!!!!!!!!!! только можно пояснить почему f(t) измеримая и почему почти всюду f(t)=f^2(t)?
> > > > А у Вам рассказывали про измеримость?
> > > > Равенство f2(t) = f(t) следует из А2 = А.
> > > > Действительно, (Ax)(t)=f(t)x(t) или, короче, Ах = f*x
> > > > А2х = A(A(x)) =A(f*x) = f*f*x = f2 *x
> > > > Сравнивая, получим f2 *x = f*x , которое справедливо при всех непрерывных функций х. Отсюда f2(t) = f(t) почти всюду.

> > > имеется ввиду измеримость по Лебегу???

> > Да. Если Вы это знаете, то из условия, что произведение f*x должно принадлежать L2 при всех x, следует суммируемость f , а тем более измеримость.

> * в даннном случае означает знак умножения, а не сопряжения??? и во всех ответах * - это "умножить"? я правильно поняла.

Да, правильно. Сопряжение здесь не причём.


> > > > > > > > Оператор А L2[0,1] в L2[0,1] задается соотношением (Ax)(t)=f(t)x(t). Какой должна быть f, чтобы оператор А был ортопроектором?

> > > > > > > > Частные случаи функций не нужны, нужен общий вид проверки на идемпотентность и самосопряженность.

> > > > > > > Ортопроектор - ограниченный оператор. Поэтому, f(t) - ограниченная измеримая функция.
> > > > > > > Ортопроектор - самосопряжённый оператор. Поэтому, f(t) - вещественнозначная функция.
> > > > > > > Ортопроектор удовлетворяет условию А2 = А. Поэтому, f2(t) = f(t) почти всюду.
> > > > > > > Седовательно, f(t) - характеристическая функция измеримого подмножества отрезка[0,1].

> > > > > > Спасибо!!!!!!!!!!! только можно пояснить почему f(t) измеримая и почему почти всюду f(t)=f^2(t)?
> > > > > А у Вам рассказывали про измеримость?
> > > > > Равенство f2(t) = f(t) следует из А2 = А.
> > > > > Действительно, (Ax)(t)=f(t)x(t) или, короче, Ах = f*x
> > > > > А2х = A(A(x)) =A(f*x) = f*f*x = f2 *x
> > > > > Сравнивая, получим f2 *x = f*x , которое справедливо при всех непрерывных функций х. Отсюда f2(t) = f(t) почти всюду.

> > > > имеется ввиду измеримость по Лебегу???

> > > Да. Если Вы это знаете, то из условия, что произведение f*x должно принадлежать L2 при всех x, следует суммируемость f , а тем более измеримость.

> > * в даннном случае означает знак умножения, а не сопряжения??? и во всех ответах * - это "умножить"? я правильно поняла.

> Да, правильно. Сопряжение здесь не причём.

У меня вопросы продолжаются:
1) относительно какой меры f^2(t)=f(t) почти всюду
2) Какие точки имеют нулевую лебегову меру на [0,1]
3) Какова лебегова мера отрезка [0,1]


> > > > > > > > > Оператор А L2[0,1] в L2[0,1] задается соотношением (Ax)(t)=f(t)x(t). Какой должна быть f, чтобы оператор А был ортопроектором?

> > > > > > > > > Частные случаи функций не нужны, нужен общий вид проверки на идемпотентность и самосопряженность.

> > > > > > > > Ортопроектор - ограниченный оператор. Поэтому, f(t) - ограниченная измеримая функция.
> > > > > > > > Ортопроектор - самосопряжённый оператор. Поэтому, f(t) - вещественнозначная функция.
> > > > > > > > Ортопроектор удовлетворяет условию А2 = А. Поэтому, f2(t) = f(t) почти всюду.
> > > > > > > > Седовательно, f(t) - характеристическая функция измеримого подмножества отрезка[0,1].

> > > > > > > Спасибо!!!!!!!!!!! только можно пояснить почему f(t) измеримая и почему почти всюду f(t)=f^2(t)?
> > > > > > А у Вам рассказывали про измеримость?
> > > > > > Равенство f2(t) = f(t) следует из А2 = А.
> > > > > > Действительно, (Ax)(t)=f(t)x(t) или, короче, Ах = f*x
> > > > > > А2х = A(A(x)) =A(f*x) = f*f*x = f2 *x
> > > > > > Сравнивая, получим f2 *x = f*x , которое справедливо при всех непрерывных функций х. Отсюда f2(t) = f(t) почти всюду.

> > > > > имеется ввиду измеримость по Лебегу???

> > > > Да. Если Вы это знаете, то из условия, что произведение f*x должно принадлежать L2 при всех x, следует суммируемость f , а тем более измеримость.

> > > * в даннном случае означает знак умножения, а не сопряжения??? и во всех ответах * - это "умножить"? я правильно поняла.

> > Да, правильно. Сопряжение здесь не причём.

> У меня вопросы продолжаются:
1) относительно какой меры f^2(t)=f(t) почти всюду
Относительно меры Лебега.
2) Какие точки имеют нулевую лебегову меру на [0,1]
Любая точка имеет меру Лебега равную нулю
3) Какова лебегова мера отрезка [0,1]
Равна 1.
Вам что-нибудь рассказывали про эту меру?


> > > > > > > > > > Оператор А L2[0,1] в L2[0,1] задается соотношением (Ax)(t)=f(t)x(t). Какой должна быть f, чтобы оператор А был ортопроектором?

> > > > > > > > > > Частные случаи функций не нужны, нужен общий вид проверки на идемпотентность и самосопряженность.

> > > > > > > > > Ортопроектор - ограниченный оператор. Поэтому, f(t) - ограниченная измеримая функция.
> > > > > > > > > Ортопроектор - самосопряжённый оператор. Поэтому, f(t) - вещественнозначная функция.
> > > > > > > > > Ортопроектор удовлетворяет условию А2 = А. Поэтому, f2(t) = f(t) почти всюду.
> > > > > > > > > Седовательно, f(t) - характеристическая функция измеримого подмножества отрезка[0,1].

> > > > > > > > Спасибо!!!!!!!!!!! только можно пояснить почему f(t) измеримая и почему почти всюду f(t)=f^2(t)?
> > > > > > > А у Вам рассказывали про измеримость?
> > > > > > > Равенство f2(t) = f(t) следует из А2 = А.
> > > > > > > Действительно, (Ax)(t)=f(t)x(t) или, короче, Ах = f*x
> > > > > > > А2х = A(A(x)) =A(f*x) = f*f*x = f2 *x
> > > > > > > Сравнивая, получим f2 *x = f*x , которое справедливо при всех непрерывных функций х. Отсюда f2(t) = f(t) почти всюду.

> > > > > > имеется ввиду измеримость по Лебегу???

> > > > > Да. Если Вы это знаете, то из условия, что произведение f*x должно принадлежать L2 при всех x, следует суммируемость f , а тем более измеримость.

> > > > * в даннном случае означает знак умножения, а не сопряжения??? и во всех ответах * - это "умножить"? я правильно поняла.

> > > Да, правильно. Сопряжение здесь не причём.

> > У меня вопросы продолжаются:
> 1) относительно какой меры f^2(t)=f(t) почти всюду
> Относительно меры Лебега.
> 2) Какие точки имеют нулевую лебегову меру на [0,1]
> Любая точка имеет меру Лебега равную нулю
> 3) Какова лебегова мера отрезка [0,1]
> Равна 1.
> Вам что-нибудь рассказывали про эту меру?

Все дело в том, что я перевелась в другой ВУЗ без потери года, поэтому функциональный анали осваиваю сама с помощью книг и интернета.
А как доказать, что все точки имеют нулевую лебегову меру на [0,1]?


> > > > > > > > > > > Оператор А L2[0,1] в L2[0,1] задается соотношением (Ax)(t)=f(t)x(t). Какой должна быть f, чтобы оператор А был ортопроектором?

> > > > > > > > > > > Частные случаи функций не нужны, нужен общий вид проверки на идемпотентность и самосопряженность.

> > > > > > > > > > Ортопроектор - ограниченный оператор. Поэтому, f(t) - ограниченная измеримая функция.
> > > > > > > > > > Ортопроектор - самосопряжённый оператор. Поэтому, f(t) - вещественнозначная функция.
> > > > > > > > > > Ортопроектор удовлетворяет условию А2 = А. Поэтому, f2(t) = f(t) почти всюду.
> > > > > > > > > > Седовательно, f(t) - характеристическая функция измеримого подмножества отрезка[0,1].

> > > > > > > > > Спасибо!!!!!!!!!!! только можно пояснить почему f(t) измеримая и почему почти всюду f(t)=f^2(t)?
> > > > > > > > А у Вам рассказывали про измеримость?
> > > > > > > > Равенство f2(t) = f(t) следует из А2 = А.
> > > > > > > > Действительно, (Ax)(t)=f(t)x(t) или, короче, Ах = f*x
> > > > > > > > А2х = A(A(x)) =A(f*x) = f*f*x = f2 *x
> > > > > > > > Сравнивая, получим f2 *x = f*x , которое справедливо при всех непрерывных функций х. Отсюда f2(t) = f(t) почти всюду.

> > > > > > > имеется ввиду измеримость по Лебегу???

> > > > > > Да. Если Вы это знаете, то из условия, что произведение f*x должно принадлежать L2 при всех x, следует суммируемость f , а тем более измеримость.

> > > > > * в даннном случае означает знак умножения, а не сопряжения??? и во всех ответах * - это "умножить"? я правильно поняла.

> > > > Да, правильно. Сопряжение здесь не причём.

> > > У меня вопросы продолжаются:
> > 1) относительно какой меры f^2(t)=f(t) почти всюду
> > Относительно меры Лебега.
> > 2) Какие точки имеют нулевую лебегову меру на [0,1]
> > Любая точка имеет меру Лебега равную нулю
> > 3) Какова лебегова мера отрезка [0,1]
> > Равна 1.
> > Вам что-нибудь рассказывали про эту меру?

> Все дело в том, что я перевелась в другой ВУЗ без потери года, поэтому функциональный анали осваиваю сама с помощью книг и интернета.
> А как доказать, что все точки имеют нулевую лебегову меру на [0,1]?

Посмотрите книги:
Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной 1974
Колмогоров А.Н. Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа 1976
Эти книги по авторам найдёте с помощью сайта
http://www.poiskknig.ru/
Возьмите стягивающиеся открытые интервалы вокруг точки и вычислите предел их длин. Получите 0. Снизу оценка очевидна. Достаточно рассмотреть саму точку в качестве замкнутого промежутка. Его длина равна 0. Поэтому мера Лебега точки равна 0.


> > > > > > > > > > > > Оператор А L2[0,1] в L2[0,1] задается соотношением (Ax)(t)=f(t)x(t). Какой должна быть f, чтобы оператор А был ортопроектором?

> > > > > > > > > > > > Частные случаи функций не нужны, нужен общий вид проверки на идемпотентность и самосопряженность.

> > > > > > > > > > > Ортопроектор - ограниченный оператор. Поэтому, f(t) - ограниченная измеримая функция.
> > > > > > > > > > > Ортопроектор - самосопряжённый оператор. Поэтому, f(t) - вещественнозначная функция.
> > > > > > > > > > > Ортопроектор удовлетворяет условию А2 = А. Поэтому, f2(t) = f(t) почти всюду.
> > > > > > > > > > > Седовательно, f(t) - характеристическая функция измеримого подмножества отрезка[0,1].

> > > > > > > > > > Спасибо!!!!!!!!!!! только можно пояснить почему f(t) измеримая и почему почти всюду f(t)=f^2(t)?
> > > > > > > > > А у Вам рассказывали про измеримость?
> > > > > > > > > Равенство f2(t) = f(t) следует из А2 = А.
> > > > > > > > > Действительно, (Ax)(t)=f(t)x(t) или, короче, Ах = f*x
> > > > > > > > > А2х = A(A(x)) =A(f*x) = f*f*x = f2 *x
> > > > > > > > > Сравнивая, получим f2 *x = f*x , которое справедливо при всех непрерывных функций х. Отсюда f2(t) = f(t) почти всюду.

> > > > > > > > имеется ввиду измеримость по Лебегу???

> > > > > > > Да. Если Вы это знаете, то из условия, что произведение f*x должно принадлежать L2 при всех x, следует суммируемость f , а тем более измеримость.

> > > > > > * в даннном случае означает знак умножения, а не сопряжения??? и во всех ответах * - это "умножить"? я правильно поняла.

> > > > > Да, правильно. Сопряжение здесь не причём.

> > > > У меня вопросы продолжаются:
> > > 1) относительно какой меры f^2(t)=f(t) почти всюду
> > > Относительно меры Лебега.
> > > 2) Какие точки имеют нулевую лебегову меру на [0,1]
> > > Любая точка имеет меру Лебега равную нулю
> > > 3) Какова лебегова мера отрезка [0,1]
> > > Равна 1.
> > > Вам что-нибудь рассказывали про эту меру?

> > Все дело в том, что я перевелась в другой ВУЗ без потери года, поэтому функциональный анали осваиваю сама с помощью книг и интернета.
> > А как доказать, что все точки имеют нулевую лебегову меру на [0,1]?

> Посмотрите книги:
> Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной 1974
> Колмогоров А.Н. Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа 1976
> Эти книги по авторам найдёте с помощью сайта
> http://www.poiskknig.ru/
> Возьмите стягивающиеся открытые интервалы вокруг точки и вычислите предел их длин. Получите 0. Снизу оценка очевидна. Достаточно рассмотреть саму точку в качестве замкнутого промежутка. Его длина равна 0. Поэтому мера Лебега точки равна 0.

Я не знаю почему, но преподаватель категорически не согласен с фразой "почти всюду". Он считает, что всюду.....хотя доказательства и не привел....
Можно как-нибудь записать это математически, чтобы доказать данное тождество относительно лебеговой меры [0,1], что почти всюду равно. Или указать тчки, в которых это равенство не верно.


> > > > > > > > > > > > > Оператор А L2[0,1] в L2[0,1] задается соотношением (Ax)(t)=f(t)x(t). Какой должна быть f, чтобы оператор А был ортопроектором?

> > > > > > > > > > > > > Частные случаи функций не нужны, нужен общий вид проверки на идемпотентность и самосопряженность.

> > > > > > > > > > > > Ортопроектор - ограниченный оператор. Поэтому, f(t) - ограниченная измеримая функция.
> > > > > > > > > > > > Ортопроектор - самосопряжённый оператор. Поэтому, f(t) - вещественнозначная функция.
> > > > > > > > > > > > Ортопроектор удовлетворяет условию А2 = А. Поэтому, f2(t) = f(t) почти всюду.
> > > > > > > > > > > > Седовательно, f(t) - характеристическая функция измеримого подмножества отрезка[0,1].

> > > > > > > > > > > Спасибо!!!!!!!!!!! только можно пояснить почему f(t) измеримая и почему почти всюду f(t)=f^2(t)?
> > > > > > > > > > А у Вам рассказывали про измеримость?
> > > > > > > > > > Равенство f2(t) = f(t) следует из А2 = А.
> > > > > > > > > > Действительно, (Ax)(t)=f(t)x(t) или, короче, Ах = f*x
> > > > > > > > > > А2х = A(A(x)) =A(f*x) = f*f*x = f2 *x
> > > > > > > > > > Сравнивая, получим f2 *x = f*x , которое справедливо при всех непрерывных функций х. Отсюда f2(t) = f(t) почти всюду.

> > > > > > > > > имеется ввиду измеримость по Лебегу???

> > > > > > > > Да. Если Вы это знаете, то из условия, что произведение f*x должно принадлежать L2 при всех x, следует суммируемость f , а тем более измеримость.

> > > > > > > * в даннном случае означает знак умножения, а не сопряжения??? и во всех ответах * - это "умножить"? я правильно поняла.

> > > > > > Да, правильно. Сопряжение здесь не причём.

> > > > > У меня вопросы продолжаются:
> > > > 1) относительно какой меры f^2(t)=f(t) почти всюду
> > > > Относительно меры Лебега.
> > > > 2) Какие точки имеют нулевую лебегову меру на [0,1]
> > > > Любая точка имеет меру Лебега равную нулю
> > > > 3) Какова лебегова мера отрезка [0,1]
> > > > Равна 1.
> > > > Вам что-нибудь рассказывали про эту меру?

> > > Все дело в том, что я перевелась в другой ВУЗ без потери года, поэтому функциональный анали осваиваю сама с помощью книг и интернета.
> > > А как доказать, что все точки имеют нулевую лебегову меру на [0,1]?

> > Посмотрите книги:
> > Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной 1974
> > Колмогоров А.Н. Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа 1976
> > Эти книги по авторам найдёте с помощью сайта
> > http://www.poiskknig.ru/
> > Возьмите стягивающиеся открытые интервалы вокруг точки и вычислите предел их длин. Получите 0. Снизу оценка очевидна. Достаточно рассмотреть саму точку в качестве замкнутого промежутка. Его длина равна 0. Поэтому мера Лебега точки равна 0.

> Я не знаю почему, но преподаватель категорически не согласен с фразой "почти всюду". Он считает, что всюду.....хотя доказательства и не привел....
> Можно как-нибудь записать это математически, чтобы доказать данное тождество относительно лебеговой меры [0,1], что почти всюду равно. Или указать тчки, в которых это равенство не верно.

Где Вы учитесь? Мы говорим о пространстве квадратично суммируемых функций на промежутке. Что такое элемент пространства L2? Элемент этого пространства есть класс эквивалентных по мере Лебега функций (они могут отличатся на множестве меры 0). По традиции эти элементы называют функциями. Поэтому равенство элементов в L2 означает равенство представителей - функций почти всюду.
Например, элемент 0. Его можно представить как функцию равную нулю везде, так и как функцию равную нулю в иррациональных точках и единице в рациональных. Множество рациональных чисел на промежутке [0,1] имеет меру 0.
Другое дело, мы хотим выбрать "хорошего" представителя. Тогда можно сказать, что равенство выполнено везде. Но формально правы мы.


> > > > > > > > > > > > > > Оператор А L2[0,1] в L2[0,1] задается соотношением (Ax)(t)=f(t)x(t). Какой должна быть f, чтобы оператор А был ортопроектором?

> > > > > > > > > > > > > > Частные случаи функций не нужны, нужен общий вид проверки на идемпотентность и самосопряженность.

> > > > > > > > > > > > > Ортопроектор - ограниченный оператор. Поэтому, f(t) - ограниченная измеримая функция.
> > > > > > > > > > > > > Ортопроектор - самосопряжённый оператор. Поэтому, f(t) - вещественнозначная функция.
> > > > > > > > > > > > > Ортопроектор удовлетворяет условию А2 = А. Поэтому, f2(t) = f(t) почти всюду.
> > > > > > > > > > > > > Седовательно, f(t) - характеристическая функция измеримого подмножества отрезка[0,1].

> > > > > > > > > > > > Спасибо!!!!!!!!!!! только можно пояснить почему f(t) измеримая и почему почти всюду f(t)=f^2(t)?
> > > > > > > > > > > А у Вам рассказывали про измеримость?
> > > > > > > > > > > Равенство f2(t) = f(t) следует из А2 = А.
> > > > > > > > > > > Действительно, (Ax)(t)=f(t)x(t) или, короче, Ах = f*x
> > > > > > > > > > > А2х = A(A(x)) =A(f*x) = f*f*x = f2 *x
> > > > > > > > > > > Сравнивая, получим f2 *x = f*x , которое справедливо при всех непрерывных функций х. Отсюда f2(t) = f(t) почти всюду.

> > > > > > > > > > имеется ввиду измеримость по Лебегу???

> > > > > > > > > Да. Если Вы это знаете, то из условия, что произведение f*x должно принадлежать L2 при всех x, следует суммируемость f , а тем более измеримость.

> > > > > > > > * в даннном случае означает знак умножения, а не сопряжения??? и во всех ответах * - это "умножить"? я правильно поняла.

> > > > > > > Да, правильно. Сопряжение здесь не причём.

> > > > > > У меня вопросы продолжаются:
> > > > > 1) относительно какой меры f^2(t)=f(t) почти всюду
> > > > > Относительно меры Лебега.
> > > > > 2) Какие точки имеют нулевую лебегову меру на [0,1]
> > > > > Любая точка имеет меру Лебега равную нулю
> > > > > 3) Какова лебегова мера отрезка [0,1]
> > > > > Равна 1.
> > > > > Вам что-нибудь рассказывали про эту меру?

> > > > Все дело в том, что я перевелась в другой ВУЗ без потери года, поэтому функциональный анали осваиваю сама с помощью книг и интернета.
> > > > А как доказать, что все точки имеют нулевую лебегову меру на [0,1]?

> > > Посмотрите книги:
> > > Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной 1974
> > > Колмогоров А.Н. Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа 1976
> > > Эти книги по авторам найдёте с помощью сайта
> > > http://www.poiskknig.ru/
> > > Возьмите стягивающиеся открытые интервалы вокруг точки и вычислите предел их длин. Получите 0. Снизу оценка очевидна. Достаточно рассмотреть саму точку в качестве замкнутого промежутка. Его длина равна 0. Поэтому мера Лебега точки равна 0.

> > Я не знаю почему, но преподаватель категорически не согласен с фразой "почти всюду". Он считает, что всюду.....хотя доказательства и не привел....
> > Можно как-нибудь записать это математически, чтобы доказать данное тождество относительно лебеговой меры [0,1], что почти всюду равно. Или указать тчки, в которых это равенство не верно.

> Где Вы учитесь? Мы говорим о пространстве квадратично суммируемых функций на промежутке. Что такое элемент пространства L2? Элемент этого пространства есть класс эквивалентных по мере Лебега функций (они могут отличатся на множестве меры 0). По традиции эти элементы называют функциями. Поэтому равенство элементов в L2 означает равенство представителей - функций почти всюду.
> Например, элемент 0. Его можно представить как функцию равную нулю везде, так и как функцию равную нулю в иррациональных точках и единице в рациональных. Множество рациональных чисел на промежутке [0,1] имеет меру 0.
> Другое дело, мы хотим выбрать "хорошего" представителя. Тогда можно сказать, что равенство выполнено везде. Но формально правы мы.

Спасибо! Вы очень грамотно помогаете! Я не думала, что такой непонятный предмет можно так доходчиво объяснить.
Изначально я пыталась разобраться по книге Канторовича, но там очень сложный язык, не для начинающих....
В московском ВУЗе. К чему излишняя огласка ВУЗа и преподавателя. Функциональный анализ преподают многие, но у каждого свои взгляд на этот предмет.


> > > > > > > > > > > > > > Оператор А L2[0,1] в L2[0,1] задается соотношением (Ax)(t)=f(t)x(t). Какой должна быть f, чтобы оператор А был ортопроектором?

> > > > > > > > > > > > > > Частные случаи функций не нужны, нужен общий вид проверки на идемпотентность и самосопряженность.

> > > > > > > > > > > > > Ортопроектор - ограниченный оператор. Поэтому, f(t) - ограниченная измеримая функция.
> > > > > > > > > > > > > Ортопроектор - самосопряжённый оператор. Поэтому, f(t) - вещественнозначная функция.
> > > > > > > > > > > > > Ортопроектор удовлетворяет условию А2 = А. Поэтому, f2(t) = f(t) почти всюду.
> > > > > > > > > > > > > Седовательно, f(t) - характеристическая функция измеримого подмножества отрезка[0,1].

> > > > > > > > > > > > Спасибо!!!!!!!!!!! только можно пояснить почему f(t) измеримая и почему почти всюду f(t)=f^2(t)?
> > > > > > > > > > > А у Вам рассказывали про измеримость?
> > > > > > > > > > > Равенство f2(t) = f(t) следует из А2 = А.
> > > > > > > > > > > Действительно, (Ax)(t)=f(t)x(t) или, короче, Ах = f*x
> > > > > > > > > > > А2х = A(A(x)) =A(f*x) = f*f*x = f2 *x
> > > > > > > > > > > Сравнивая, получим f2 *x = f*x , которое справедливо при всех непрерывных функций х. Отсюда f2(t) = f(t) почти всюду.

> > > > > > > > > > имеется ввиду измеримость по Лебегу???

> > > > > > > > > Да. Если Вы это знаете, то из условия, что произведение f*x должно принадлежать L2 при всех x, следует суммируемость f , а тем более измеримость.

> > > > > > > > * в даннном случае означает знак умножения, а не сопряжения??? и во всех ответах * - это "умножить"? я правильно поняла.

> > > > > > > Да, правильно. Сопряжение здесь не причём.

> > > > > > У меня вопросы продолжаются:
> > > > > 1) относительно какой меры f^2(t)=f(t) почти всюду
> > > > > Относительно меры Лебега.
> > > > > 2) Какие точки имеют нулевую лебегову меру на [0,1]
> > > > > Любая точка имеет меру Лебега равную нулю
> > > > > 3) Какова лебегова мера отрезка [0,1]
> > > > > Равна 1.
> > > > > Вам что-нибудь рассказывали про эту меру?

> > > > Все дело в том, что я перевелась в другой ВУЗ без потери года, поэтому функциональный анали осваиваю сама с помощью книг и интернета.
> > > > А как доказать, что все точки имеют нулевую лебегову меру на [0,1]?

> > > Посмотрите книги:
> > > Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной 1974
> > > Колмогоров А.Н. Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа 1976
> > > Эти книги по авторам найдёте с помощью сайта
> > > http://www.poiskknig.ru/
> > > Возьмите стягивающиеся открытые интервалы вокруг точки и вычислите предел их длин. Получите 0. Снизу оценка очевидна. Достаточно рассмотреть саму точку в качестве замкнутого промежутка. Его длина равна 0. Поэтому мера Лебега точки равна 0.

> > Я не знаю почему, но преподаватель категорически не согласен с фразой "почти всюду". Он считает, что всюду.....хотя доказательства и не привел....
> > Можно как-нибудь записать это математически, чтобы доказать данное тождество относительно лебеговой меры [0,1], что почти всюду равно. Или указать тчки, в которых это равенство не верно.

> Где Вы учитесь? Мы говорим о пространстве квадратично суммируемых функций на промежутке. Что такое элемент пространства L2? Элемент этого пространства есть класс эквивалентных по мере Лебега функций (они могут отличатся на множестве меры 0). По традиции эти элементы называют функциями. Поэтому равенство элементов в L2 означает равенство представителей - функций почти всюду.
> Например, элемент 0. Его можно представить как функцию равную нулю везде, так и как функцию равную нулю в иррациональных точках и единице в рациональных. Множество рациональных чисел на промежутке [0,1] имеет меру 0.
> Другое дело, мы хотим выбрать "хорошего" представителя. Тогда можно сказать, что равенство выполнено везде. Но формально правы

Я павильно рассуждаю: по определению L2[0,1] есть Лебегово пространство, которое в общем виде записывается так Lp(X,μ). Проводя сообтветствие получим, что лебегова мера отрезка [0,1] μ=1???


> > > > > > > > > > > > > > > Оператор А L2[0,1] в L2[0,1] задается соотношением (Ax)(t)=f(t)x(t). Какой должна быть f, чтобы оператор А был ортопроектором?

> > > > > > > > > > > > > > > Частные случаи функций не нужны, нужен общий вид проверки на идемпотентность и самосопряженность.

> > > > > > > > > > > > > > Ортопроектор - ограниченный оператор. Поэтому, f(t) - ограниченная измеримая функция.
> > > > > > > > > > > > > > Ортопроектор - самосопряжённый оператор. Поэтому, f(t) - вещественнозначная функция.
> > > > > > > > > > > > > > Ортопроектор удовлетворяет условию А2 = А. Поэтому, f2(t) = f(t) почти всюду.
> > > > > > > > > > > > > > Седовательно, f(t) - характеристическая функция измеримого подмножества отрезка[0,1].

> > > > > > > > > > > > > Спасибо!!!!!!!!!!! только можно пояснить почему f(t) измеримая и почему почти всюду f(t)=f^2(t)?
> > > > > > > > > > > > А у Вам рассказывали про измеримость?
> > > > > > > > > > > > Равенство f2(t) = f(t) следует из А2 = А.
> > > > > > > > > > > > Действительно, (Ax)(t)=f(t)x(t) или, короче, Ах = f*x
> > > > > > > > > > > > А2х = A(A(x)) =A(f*x) = f*f*x = f2 *x
> > > > > > > > > > > > Сравнивая, получим f2 *x = f*x , которое справедливо при всех непрерывных функций х. Отсюда f2(t) = f(t) почти всюду.

> > > > > > > > > > > имеется ввиду измеримость по Лебегу???

> > > > > > > > > > Да. Если Вы это знаете, то из условия, что произведение f*x должно принадлежать L2 при всех x, следует суммируемость f , а тем более измеримость.

> > > > > > > > > * в даннном случае означает знак умножения, а не сопряжения??? и во всех ответах * - это "умножить"? я правильно поняла.

> > > > > > > > Да, правильно. Сопряжение здесь не причём.

> > > > > > > У меня вопросы продолжаются:
> > > > > > 1) относительно какой меры f^2(t)=f(t) почти всюду
> > > > > > Относительно меры Лебега.
> > > > > > 2) Какие точки имеют нулевую лебегову меру на [0,1]
> > > > > > Любая точка имеет меру Лебега равную нулю
> > > > > > 3) Какова лебегова мера отрезка [0,1]
> > > > > > Равна 1.
> > > > > > Вам что-нибудь рассказывали про эту меру?

> > > > > Все дело в том, что я перевелась в другой ВУЗ без потери года, поэтому функциональный анали осваиваю сама с помощью книг и интернета.
> > > > > А как доказать, что все точки имеют нулевую лебегову меру на [0,1]?

> > > > Посмотрите книги:
> > > > Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной 1974
> > > > Колмогоров А.Н. Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа 1976
> > > > Эти книги по авторам найдёте с помощью сайта
> > > > http://www.poiskknig.ru/
> > > > Возьмите стягивающиеся открытые интервалы вокруг точки и вычислите предел их длин. Получите 0. Снизу оценка очевидна. Достаточно рассмотреть саму точку в качестве замкнутого промежутка. Его длина равна 0. Поэтому мера Лебега точки равна 0.

> > > Я не знаю почему, но преподаватель категорически не согласен с фразой "почти всюду". Он считает, что всюду.....хотя доказательства и не привел....
> > > Можно как-нибудь записать это математически, чтобы доказать данное тождество относительно лебеговой меры [0,1], что почти всюду равно. Или указать тчки, в которых это равенство не верно.

> > Где Вы учитесь? Мы говорим о пространстве квадратично суммируемых функций на промежутке. Что такое элемент пространства L2? Элемент этого пространства есть класс эквивалентных по мере Лебега функций (они могут отличатся на множестве меры 0). По традиции эти элементы называют функциями. Поэтому равенство элементов в L2 означает равенство представителей - функций почти всюду.
> > Например, элемент 0. Его можно представить как функцию равную нулю везде, так и как функцию равную нулю в иррациональных точках и единице в рациональных. Множество рациональных чисел на промежутке [0,1] имеет меру 0.
> > Другое дело, мы хотим выбрать "хорошего" представителя. Тогда можно сказать, что равенство выполнено везде. Но формально правы

> Я павильно рассуждаю: по определению L2[0,1] есть Лебегово пространство, которое в общем виде записывается так Lp(X,μ). Проводя сообтветствие получим, что лебегова мера отрезка [0,1] μ=1???

Нет такого понятия: "Лебегово пространство".
Видимо, Вам рассказывали про нормированные (банаховы) пространства. В качестве примера приводили Lp(X,μ) - пространство суммируемых со степенью р функций по мере μ. В частности, выделили важный случай L2[0,1], когда μ - мера Лебега. Иногда пишут так L2([0,1],dx). Но чаще обозначение меры Лебега dx опускают.


> > > > > > > > > > > > > > > > Оператор А L2[0,1] в L2[0,1] задается соотношением (Ax)(t)=f(t)x(t). Какой должна быть f, чтобы оператор А был ортопроектором?

> > > > > > > > > > > > > > > > Частные случаи функций не нужны, нужен общий вид проверки на идемпотентность и самосопряженность.

> > > > > > > > > > > > > > > Ортопроектор - ограниченный оператор. Поэтому, f(t) - ограниченная измеримая функция.
> > > > > > > > > > > > > > > Ортопроектор - самосопряжённый оператор. Поэтому, f(t) - вещественнозначная функция.
> > > > > > > > > > > > > > > Ортопроектор удовлетворяет условию А2 = А. Поэтому, f2(t) = f(t) почти всюду.
> > > > > > > > > > > > > > > Седовательно, f(t) - характеристическая функция измеримого подмножества отрезка[0,1].

> > > > > > > > > > > > > > Спасибо!!!!!!!!!!! только можно пояснить почему f(t) измеримая и почему почти всюду f(t)=f^2(t)?
> > > > > > > > > > > > > А у Вам рассказывали про измеримость?
> > > > > > > > > > > > > Равенство f2(t) = f(t) следует из А2 = А.
> > > > > > > > > > > > > Действительно, (Ax)(t)=f(t)x(t) или, короче, Ах = f*x
> > > > > > > > > > > > > А2х = A(A(x)) =A(f*x) = f*f*x = f2 *x
> > > > > > > > > > > > > Сравнивая, получим f2 *x = f*x , которое справедливо при всех непрерывных функций х. Отсюда f2(t) = f(t) почти всюду.

> > > > > > > > > > > > имеется ввиду измеримость по Лебегу???

> > > > > > > > > > > Да. Если Вы это знаете, то из условия, что произведение f*x должно принадлежать L2 при всех x, следует суммируемость f , а тем более измеримость.

> > > > > > > > > > * в даннном случае означает знак умножения, а не сопряжения??? и во всех ответах * - это "умножить"? я правильно поняла.

> > > > > > > > > Да, правильно. Сопряжение здесь не причём.

> > > > > > > > У меня вопросы продолжаются:
> > > > > > > 1) относительно какой меры f^2(t)=f(t) почти всюду
> > > > > > > Относительно меры Лебега.
> > > > > > > 2) Какие точки имеют нулевую лебегову меру на [0,1]
> > > > > > > Любая точка имеет меру Лебега равную нулю
> > > > > > > 3) Какова лебегова мера отрезка [0,1]
> > > > > > > Равна 1.
> > > > > > > Вам что-нибудь рассказывали про эту меру?

> > > > > > Все дело в том, что я перевелась в другой ВУЗ без потери года, поэтому функциональный анали осваиваю сама с помощью книг и интернета.
> > > > > > А как доказать, что все точки имеют нулевую лебегову меру на [0,1]?

> > > > > Посмотрите книги:
> > > > > Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной 1974
> > > > > Колмогоров А.Н. Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа 1976
> > > > > Эти книги по авторам найдёте с помощью сайта
> > > > > http://www.poiskknig.ru/
> > > > > Возьмите стягивающиеся открытые интервалы вокруг точки и вычислите предел их длин. Получите 0. Снизу оценка очевидна. Достаточно рассмотреть саму точку в качестве замкнутого промежутка. Его длина равна 0. Поэтому мера Лебега точки равна 0.

> > > > Я не знаю почему, но преподаватель категорически не согласен с фразой "почти всюду". Он считает, что всюду.....хотя доказательства и не привел....
> > > > Можно как-нибудь записать это математически, чтобы доказать данное тождество относительно лебеговой меры [0,1], что почти всюду равно. Или указать тчки, в которых это равенство не верно.

> > > Где Вы учитесь? Мы говорим о пространстве квадратично суммируемых функций на промежутке. Что такое элемент пространства L2? Элемент этого пространства есть класс эквивалентных по мере Лебега функций (они могут отличатся на множестве меры 0). По традиции эти элементы называют функциями. Поэтому равенство элементов в L2 означает равенство представителей - функций почти всюду.
> > > Например, элемент 0. Его можно представить как функцию равную нулю везде, так и как функцию равную нулю в иррациональных точках и единице в рациональных. Множество рациональных чисел на промежутке [0,1] имеет меру 0.
> > > Другое дело, мы хотим выбрать "хорошего" представителя. Тогда можно сказать, что равенство выполнено везде. Но формально правы

> > Я павильно рассуждаю: по определению L2[0,1] есть Лебегово пространство, которое в общем виде записывается так Lp(X,μ). Проводя сообтветствие получим, что лебегова мера отрезка [0,1] μ=1???

> Нет такого понятия: "Лебегово пространство".
> Видимо, Вам рассказывали про нормированные (банаховы) пространства. В качестве примера приводили Lp(X,μ) - пространство суммируемых со степенью р функций по мере μ. В частности, выделили важный случай L2[0,1], когда μ - мера Лебега. Иногда пишут так L2([0,1],dx). Но чаще обозначение меры Лебега dx опускают.

То есть при ответе, что мера Лебега на отрезке [0,1] равна единице, сказать, что это по определению L2[0,1]. ???


> > > > > > > > > > > > > > > > > Оператор А L2[0,1] в L2[0,1] задается соотношением (Ax)(t)=f(t)x(t). Какой должна быть f, чтобы оператор А был ортопроектором?

> > > > > > > > > > > > > > > > > Частные случаи функций не нужны, нужен общий вид проверки на идемпотентность и самосопряженность.

> > > > > > > > > > > > > > > > Ортопроектор - ограниченный оператор. Поэтому, f(t) - ограниченная измеримая функция.
> > > > > > > > > > > > > > > > Ортопроектор - самосопряжённый оператор. Поэтому, f(t) - вещественнозначная функция.
> > > > > > > > > > > > > > > > Ортопроектор удовлетворяет условию А2 = А. Поэтому, f2(t) = f(t) почти всюду.
> > > > > > > > > > > > > > > > Седовательно, f(t) - характеристическая функция измеримого подмножества отрезка[0,1].

> > > > > > > > > > > > > > > Спасибо!!!!!!!!!!! только можно пояснить почему f(t) измеримая и почему почти всюду f(t)=f^2(t)?
> > > > > > > > > > > > > > А у Вам рассказывали про измеримость?
> > > > > > > > > > > > > > Равенство f2(t) = f(t) следует из А2 = А.
> > > > > > > > > > > > > > Действительно, (Ax)(t)=f(t)x(t) или, короче, Ах = f*x
> > > > > > > > > > > > > > А2х = A(A(x)) =A(f*x) = f*f*x = f2 *x
> > > > > > > > > > > > > > Сравнивая, получим f2 *x = f*x , которое справедливо при всех непрерывных функций х. Отсюда f2(t) = f(t) почти всюду.

> > > > > > > > > > > > > имеется ввиду измеримость по Лебегу???

> > > > > > > > > > > > Да. Если Вы это знаете, то из условия, что произведение f*x должно принадлежать L2 при всех x, следует суммируемость f , а тем более измеримость.

> > > > > > > > > > > * в даннном случае означает знак умножения, а не сопряжения??? и во всех ответах * - это "умножить"? я правильно поняла.

> > > > > > > > > > Да, правильно. Сопряжение здесь не причём.

> > > > > > > > > У меня вопросы продолжаются:
> > > > > > > > 1) относительно какой меры f^2(t)=f(t) почти всюду
> > > > > > > > Относительно меры Лебега.
> > > > > > > > 2) Какие точки имеют нулевую лебегову меру на [0,1]
> > > > > > > > Любая точка имеет меру Лебега равную нулю
> > > > > > > > 3) Какова лебегова мера отрезка [0,1]
> > > > > > > > Равна 1.
> > > > > > > > Вам что-нибудь рассказывали про эту меру?

> > > > > > > Все дело в том, что я перевелась в другой ВУЗ без потери года, поэтому функциональный анали осваиваю сама с помощью книг и интернета.
> > > > > > > А как доказать, что все точки имеют нулевую лебегову меру на [0,1]?

> > > > > > Посмотрите книги:
> > > > > > Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной 1974
> > > > > > Колмогоров А.Н. Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа 1976
> > > > > > Эти книги по авторам найдёте с помощью сайта
> > > > > > http://www.poiskknig.ru/
> > > > > > Возьмите стягивающиеся открытые интервалы вокруг точки и вычислите предел их длин. Получите 0. Снизу оценка очевидна. Достаточно рассмотреть саму точку в качестве замкнутого промежутка. Его длина равна 0. Поэтому мера Лебега точки равна 0.

> > > > > Я не знаю почему, но преподаватель категорически не согласен с фразой "почти всюду". Он считает, что всюду.....хотя доказательства и не привел....
> > > > > Можно как-нибудь записать это математически, чтобы доказать данное тождество относительно лебеговой меры [0,1], что почти всюду равно. Или указать тчки, в которых это равенство не верно.

> > > > Где Вы учитесь? Мы говорим о пространстве квадратично суммируемых функций на промежутке. Что такое элемент пространства L2? Элемент этого пространства есть класс эквивалентных по мере Лебега функций (они могут отличатся на множестве меры 0). По традиции эти элементы называют функциями. Поэтому равенство элементов в L2 означает равенство представителей - функций почти всюду.
> > > > Например, элемент 0. Его можно представить как функцию равную нулю везде, так и как функцию равную нулю в иррациональных точках и единице в рациональных. Множество рациональных чисел на промежутке [0,1] имеет меру 0.
> > > > Другое дело, мы хотим выбрать "хорошего" представителя. Тогда можно сказать, что равенство выполнено везде. Но формально правы

> > > Я павильно рассуждаю: по определению L2[0,1] есть Лебегово пространство, которое в общем виде записывается так Lp(X,μ). Проводя сообтветствие получим, что лебегова мера отрезка [0,1] μ=1???

> > Нет такого понятия: "Лебегово пространство".
> > Видимо, Вам рассказывали про нормированные (банаховы) пространства. В качестве примера приводили Lp(X,μ) - пространство суммируемых со степенью р функций по мере μ. В частности, выделили важный случай L2[0,1], когда μ - мера Лебега. Иногда пишут так L2([0,1],dx). Но чаще обозначение меры Лебега dx опускают.

> То есть при ответе, что мера Лебега на отрезке [0,1] равна единице, сказать, что это по определению L2[0,1]. ???

Мера Лебега не равна единице. Поймите, мера Лебега это продолжение понятия длины на множества.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100