Задачи студенческих Олимпиад по математике

Сообщение №31783 от Xunya 20 октября 2009 г. 20:44
Тема: Задачи студенческих Олимпиад по математике

Помогите,пожалуйста,найти решения задач из сборника Садовничий "Задачи студенческих Олимпиад по математике" по теме "Дифференцирование" со 118 номера.


Отклики на это сообщение:

> Помогите,пожалуйста,найти решения задач из сборника Садовничий "Задачи студенческих Олимпиад по математике" по теме "Дифференцирование" со 118 номера.

Где задача? Не у всякого есть эта замечательная книга.


> Помогите,пожалуйста,найти решения задач из сборника Садовничий "Задачи студенческих Олимпиад по математике" по теме "Дифференцирование" со 118 номера.
Например,начиная с простого:
118. Оценить абсолютную погрешность приближенной формулы tg x = x + x^3/3 при |x|<либо= 0,1

120. Посторить функцию, дифференцируемую в точках X1=0, X2=1, X3=4 и разрывную в остальных точках


> > Помогите,пожалуйста,найти решения задач из сборника Садовничий "Задачи студенческих Олимпиад по математике" по теме "Дифференцирование" со 118 номера.
> Например,начиная с простого:
> 118. Оценить абсолютную погрешность приближенной формулы tg x = x + x^3/3 при |x|<либо= 0,1

> 120. Посторить функцию, дифференцируемую в точках X1=0, X2=1, X3=4 и разрывную в остальных точках

Сейчас у меня нет времени на подробные объяснения.
118. Напишите формулу Маклорена с остатком и оцените остаток. Этот остаток можно записать в различных формах.
120. Навскидку. Возьмите любую разрывную ограниченную функцию. Умножьте её на многочлен
x2 *(x-1)2 *(x-4)2
Получится то, что надо.


> Сейчас у меня нет времени на подробные объяснения.
> 118. Напишите формулу Маклорена с остатком и оцените остаток. Этот остаток можно записать в различных формах.
> 120. Навскидку. Возьмите любую разрывную ограниченную функцию. Умножьте её на многочлен
> x2 *(x-1)2 *(x-4)2
> Получится то, что надо.

118. Именно в выборе формы остаточного члена и возникла проблема. Как найти (n+1)-ую производную от
tg(x)??
120. Идея понятна,но смутно. Значит,получается,что функция, на которую нужно домножить,будет недифференцируема на всей обласи определения...какая,например?


> Сейчас у меня нет времени на подробные объяснения.
> 118. Напишите формулу Маклорена с остатком и оцените остаток. Этот остаток можно записать в различных формах.
> 120. Навскидку. Возьмите любую разрывную ограниченную функцию. Умножьте её на многочлен
> x2 *(x-1)2 *(x-4)2
> Получится то, что надо.

118. Именно в выборе формы остаточного члена и возникла проблема. Как найти (n+1)-ую производную от
tg(x)??
120. Идея понятна,но смутно. Значит,получается,что функция, на которую нужно домножить,будет недифференцируема на всей обласи определения...какая,например?


Еще задача
124. Пусть f(x)-четнаяфункция,определенная на отрезке [-a,a] и имеющая в точке x=0 все производные. Доказать, что все производные нечетного порядка этой функции при x=0 равны 0


> > Сейчас у меня нет времени на подробные объяснения.
> > 118. Напишите формулу Маклорена с остатком и оцените остаток. Этот остаток можно записать в различных формах.
> > 120. Навскидку. Возьмите любую разрывную ограниченную функцию. Умножьте её на многочлен
> > x2 *(x-1)2 *(x-4)2
> > Получится то, что надо.

> 118. Именно в выборе формы остаточного члена и возникла проблема. Как найти (n+1)-ую производную от
> tg(x)??
> 120. Идея понятна,но смутно. Значит,получается,что функция, на которую нужно домножить,будет недифференцируема на всей обласи определения...какая,например?

118. Вам не надо находить (n+1)-ую. Надо найти четвёртую производную, которая равна

120. Определим разрывную функцию
f(x) = 0 , если х - иррациональное число,
f(x) = 1 , если х - рациональное число.
Рассмотрим функцию
F(x) = x2 *(x-1)2 *(x-4)2 *f(x)
Эта функция разрывна во всех точках, кроме точек 0,1 и 4, в которых есть производная равная нулю.


> Еще задача
> 124. Пусть f(x)-четнаяфункция,определенная на отрезке [-a,a] и имеющая в точке x=0 все производные. Доказать, что все производные нечетного порядка этой функции при x=0 равны 0

Первое, что приходит в голову, это попробовать написать формулы для производных. Например, для первой производной
f'(0) = lim(f(x)-f(-x))/2x =0
Здесь предел при x стремящемся к нулю.
Для старших можно попробовать использовать формулу Маклорена для f(kx) и f(-kx). Тогда получим
0=A(k)=(f(kx)-f(-kx))/2 = f'(0)*kx/1! + f'''(0)*k3*x3/3! + o(x3)
Тогда
f'''(0) = lim(A(2)-2A(1))/x3 = 0
Аналогично пятая и т. д. производные можно представить в виде линейных комбинаций A(k), которые равны нулю.


Спасибо! Интересное решение!


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100