Тригонометрия

Сообщение №31603 от Pro100 07 октября 2009 г. 19:15
Тема: Тригонометрия

Треугольник ABC. Найти максимальное и минимальное значение выражения:
cosA + cosB + cosC


Отклики на это сообщение:

> Треугольник ABC. Найти максимальное и минимальное значение выражения:
> cosA + cosB + cosC

Опираясь на какие знания Вам нужно решение?
Предложу решение, опирающееся на школьные знания.
Из условия задачи С = π - А - В. Поэтому надо найти максимальное и минимальное значение выражения:
F = cosA + cosB - cos(A+B),
при условиях: 0≤A, 0≤B, A+B≤π
Фиксируем сумму A+B =T≤π
Тогда B = T - A и
F = cosA + cos(T-A) - cosT= 2cos(T/2)cos(A-T/2) - cosT,
при условиях: 0≤A≤T
Из этого представления следует, что минимальное значение F будет при A = 0 = T, т.е.
минимальное значение F равно 1.
Из этого же представления следует, что максимальное значение F будет при A=T/2, т.е
F(T) = 2cos(T/2) - cosT = -2 cos2(T/2)+2cos(T/2) + 1 =
=-2(cos(T/2)-1/2)2 + 3/2 ≤3/2
Причём равенство будет при cos(T/2)-1/2 = 0, т.е. T = 2π/3, или A=B=C=π/3
Ответ: 1)минимальное значение равно 1 (случай, когда один из углов равен 0),
2)максимальное значение равно 3/2 (случай, когда треугольник равносторонний).


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100