Математики, попробуйте решить такую задачу. (вероятность)

Сообщение №31515 от Intervent 30 сентября 2009 г. 07:32
Тема: Математики, попробуйте решить такую задачу. (вероятность)

Задача самостийно возникла на другом форуме. Далекого от математики, но грамотых людей там достаточно.
Итак.
На остров поместили N мужчин и N женщин. Через некоторое время среди мужчин провели опрос. По результатам опроса оказалось, что 73% мужчин имели связь более чем с одной женщиной. Вопрос - какой ответ, в данном случае, наиболее вероятен при опросе женщин (процент имеющих связь более чем с одним мужчиной)?
:-))


Отклики на это сообщение:

> Задача самостийно возникла на другом форуме. Далекого от математики, но грамотых людей там достаточно.
> Итак.
> На остров поместили N мужчин и N женщин. Через некоторое время среди мужчин провели опрос. По результатам опроса оказалось, что 73% мужчин имели связь более чем с одной женщиной. Вопрос - какой ответ, в данном случае, наиболее вероятен при опросе женщин (процент имеющих связь более чем с одним мужчиной)?
> :-))
Видно, что составитель этой задачи далек от математики.
1)Если в условии задачи присутствует число N, оно непременно должно присутствовать в формуле ответа (иначе - зачем оно задано?). Не указаны пределы числа N.
2)О характере распределения связей в условии не сказано (допускается произвольное толкование).


> Видно, что составитель этой задачи далек от математики.
Не надо так быстро делать выводы :-))
> 1)Если в условии задачи присутствует число N, оно непременно должно присутствовать в формуле ответа (иначе - зачем оно задано?).
Разумеется!
> Не указаны пределы числа N.
Нет причин задавать пределы числа N.
> 2)О характере распределения связей в условии не сказано (допускается произвольное толкование).
Разумеется, характер связей случайный и не ограничивается другими условиями. Мы можем дать другую формулировку задачи. Например, такую: В барабан поместили N синих шариков и N красных. После того как прокрутили барабан обнаружили, что 73% синих шариков столкнулись с красными более одного раза. Вопрос - какова вероятность столкновения красных шариков с синими?

Еще больше упростим задачу. Пусть на острове N мужчин и N женщин. Через некоторое время провели опрос среди мужчин. Каждый из них ответил, что имел связь ТОЛЬКО с одной женщиной. Вопрос - какова вероятность, что женщина имела связь с одним, двумя, ... ни с кем?
Комбинаторно эта задача решается довольно лекго:
Pi = C(i,N)*(N-1)^(N-i)/N^N - вероятность того, что женщина имела связь с i партнерами.
C(i,N) - функция сочетаний.
Как видно, в ответе присутствует N.
Можно даже легко посчитать вероятности, скажем, для N = 256.
P0 = 0.367, P1 = 0.369, P2 = 0.184, P3 = 0.061, P4 = 0.015, P5 = 0.000, ... P256 = 1/(N^N);
Но для больших N (к примеру, N=1000000) такой подсчет будет пробематичен из-за операций со слишком большими числами. Вот и стало интересно, можно ли такую задачу решить без использования больших чисел, используя только вероятности?
:-))


> > Видно, что составитель этой задачи далек от математики.
> Не надо так быстро делать выводы :-))
> > 1)Если в условии задачи присутствует число N, оно непременно должно присутствовать в формуле ответа (иначе - зачем оно задано?).
> Разумеется!
> > Не указаны пределы числа N.
> Нет причин задавать пределы числа N.

При N=1 задача развалится. Составитель задачи вынуждает нас уточнять условия, а это - произвол.

> > 2)О характере распределения связей в условии не сказано (допускается произвольное толкование).
> Разумеется, характер связей случайный и не ограничивается другими условиями. Мы можем дать другую формулировку задачи. Например, такую: В барабан поместили N синих шариков и N красных. После того как прокрутили барабан обнаружили, что 73% синих шариков столкнулись с красными более одного раза. Вопрос - какова вероятность столкновения красных шариков с синими?

Вероятность - отношение количества ожидаемых событий к количеству всех возможных. В вопросе нет указания на количества (то-ли всех со всеми, то-ли двух красных с семью синими, то-ли ... ).

> Еще больше упростим задачу. Пусть на острове N мужчин и N женщин. Через некоторое время провели опрос среди мужчин. Каждый из них ответил, что имел связь ТОЛЬКО с одной женщиной. Вопрос - какова вероятность, что женщина имела связь с одним, двумя, ... ни с кем?
> Комбинаторно эта задача решается довольно лекго:

Ответ: каждая женщина имела связь ТОЛЬКО с одним мужчиной ( никаких случайных двойных, тройных ... связей не предусматривается).

> Pi = C(i,N)*(N-1)^(N-i)/N^N - вероятность того, что женщина имела связь с i партнерами.
> C(i,N) - функция сочетаний.
> Как видно, в ответе присутствует N.
> Можно даже легко посчитать вероятности, скажем, для N = 256.
> P0 = 0.367, P1 = 0.369, P2 = 0.184, P3 = 0.061, P4 = 0.015, P5 = 0.000, ... P256 = 1/(N^N);
> Но для больших N (к примеру, N=1000000) такой подсчет будет пробематичен из-за операций со слишком большими числами. Вот и стало интересно, можно ли такую задачу решить без использования больших чисел, используя только вероятности?
> :-))

Давайте вот такую задачу решим:
"Бог раздавал 7 булок толпе, состоящей из 7 бедняков. Каждую булку бог разыгрывал по жребию (в шапке было 6 пустых бумажек и одна с надписью "булка твоя"). То есть произошло 7 розыгрышей. Вероятности выигрыша для каждого бедняка в каждом из 7 испытаний РАВНЫ, то есть р=1/7.
Какова вероятность для каждого бедняка получить 0 булок, 1 булку, ..., 7 булок?
Р(0)= (6/7)^7=0,4
P(1)=7*(6/7)^6*(1/7)=0,396
....................
P(7)=(1/7)^7=0,000008
Применяли формулу Бернулли.

Для бесконечно большого количества бедняков:
Р(0)= 1/е
Р(1)= 1/е
P(2)= P(1)/2!
P(3)= P(1)/3!
......
P(n)= P(1)/n!

е=2,718....
! - знак факториала
Пуассон такими вычислениями занимался.


> При N=1 задача развалится. Составитель задачи вынуждает нас уточнять условия, а это - произвол.
При N=1 задача не разваливается, а не имеет решения.
> Вероятность - отношение количества ожидаемых событий к количеству всех возможных. В вопросе нет указания на количества (то-ли всех со всеми, то-ли двух красных с семью синими, то-ли ... ).

В вопросе предполагаются именно все возможные варианты. К ним относятся и все со всеми и два красных с семью синими. Не вижу причин что-то уточнять.

> Ответ: каждая женщина имела связь ТОЛЬКО с одним мужчиной ( никаких случайных двойных, тройных ... связей не предусматривается).
Пусть N=2. Оба мужчины имели связь с одной женщиной. Условию задачи это удовлетворяет. Но для женщин имеем - у одной две связи, у другой ни одной.


> > При N=1 задача развалится. Составитель задачи вынуждает нас уточнять условия, а это - произвол.
> При N=1 задача не разваливается, а не имеет решения.

Не важно как это называется. "Задача, не имеющая решения" - равносильно "задание не выполнимо"

> В вопросе предполагаются именно все возможные варианты. К ним относятся и все со всеми и два красных с семью синими. Не вижу причин что-то уточнять.

> > Ответ: каждая женщина имела связь ТОЛЬКО с одним мужчиной ( никаких случайных двойных, тройных ... связей не предусматривается).
> Пусть N=2. Оба мужчины имели связь с одной женщиной. Условию задачи это удовлетворяет. Но для женщин имеем - у одной две связи, у другой ни одной.

В исходной задаче не была указана процедура выбора. Известно только то, что каждый мужчина делал единственный выбор, но не сказано - из какого количества (то-ли из всех N женщин, то ли из оставшихся). В процедуре выбора может быть два варианта (с возвращением, либо без возвращения).


> > > При N=1 задача развалится. Составитель задачи вынуждает нас уточнять условия, а это - произвол.
> > При N=1 задача не разваливается, а не имеет решения.

> Не важно как это называется. "Задача, не имеющая решения" - равносильно "задание не выполнимо"
Важно. И задача решение имеет. Если уравнение y = 1/x не имеет решения в точке x=0, то кто должен должен об этом сказать? Тот кто задачу ставит или тот кто уравнение решает?

> В исходной задаче не была указана процедура выбора. Известно только то, что каждый мужчина делал единственный выбор, но не сказано - из какого количества (то-ли из всех N женщин, то ли из оставшихся). В процедуре выбора может быть два варианта (с возвращением, либо без возвращения).
В исходной задаче была представлена конкретная модель опроса. Сама модель предполагает условия задачи. Очевидно, что по условию не может быть N < 0. Это противоречит природе задачи, хотя явно об этом не говорится. Я даже привел в качестве примера барабан с шариками, чтобы показать что выбор в задаче с повторением, хотя это было понятно и без шариков.
:-))


> >>>>На остров поместили N мужчин и N женщин. Через некоторое время среди мужчин провели опрос. По результатам опроса оказалось, что 73% мужчин имели связь более чем с одной женщиной. Вопрос - какой ответ, в данном случае, наиболее вероятен при опросе женщин (процент имеющих связь более чем с одним мужчиной)?

> В исходной задаче была представлена конкретная модель опроса. Сама модель предполагает условия задачи. Очевидно, что по условию не может быть N < 0. Это противоречит природе задачи, хотя явно об этом не говорится. Я даже привел в качестве примера барабан с шариками, чтобы показать что выбор в задаче с повторением, хотя это было понятно и без шариков.

В модели опроса нет случайных событий: опросили всех мужчин и записали их показания. Всё.
Либо нужно указывать на возможные случайности. Например: при опросе все мужчины НЕ понимали о чем их спрашивают и овечали наугад : "да" либо "нет".

А модель случайного процесса в задаче не описана. Задаю недоуменные вопросы:
1)Сколько раз каждый мужчина может связываться с разными женщинами?
2)Может ли он связываться повторно с одной и той же женщиной и сколько раз?
3)Сколько раз каждая женщина может связываться с разными мужчинами?
4)Может ли она связываться повторно с одним и тем же мужчиной и сколько раз?

Коль в задаче не указаны предпочтения, приоритеты, то мы вправе считать все возможности равновероятными. Если указана конкретная доля мужчин с определенным признаком, то точно такая же доля женщин обладает тем же признаком, так как приоритета мужчин либо женщин не видно в задаче.
Ответ к задаче: "73% женщин имели связь более чем с одним мужчиной", так как женщины ведут себя точно так же, как мужчины (иного в задаче не сказано). Чило N в ответе не присутствует.

По умолчанию, погрешность числа 73 не превышает 0,5.
Например, при N=50 количеству 36 соответствует доля 72%, количеству 37 - 74% (нет числа, доля которого округленно равна 73%). Исключать из условия задачи значение N=50 ?
Например, при N=199 количеству 145 соответствует доля 73%, количеству 146 - тоже 73%. (два числа, доля которого округленно равна 73%). Исключать из условия задачи значение N=199 ?

Получается не задача, а загадка. В задаче обычно требуется правильный ответ (неизбежно выводимый из условий по правилам), а в загадке - верный ответ (тот, который задумал автор загадки).


> В модели опроса нет случайных событий: опросили всех мужчин и записали их показания. Всё.
> Либо нужно указывать на возможные случайности. Например: при опросе все мужчины НЕ понимали о чем их спрашивают и овечали наугад : "да" либо "нет".

> А модель случайного процесса в задаче не описана. Задаю недоуменные вопросы:

в задаче под связью подразумевался факт связи конкретного мужчины и конкретной женщины. Несколько связей одного М с одной Ж считаются одной связью. Все возможные комбинации связей считаются равновероятными. Мне это казалось очевидным.
> 1)Сколько раз каждый мужчина может связываться с разными женщинами?
В реальной жизни жизни мужчина может связываться с разными женщинами? Может. Значит и в задаче может.
> 2)Может ли он связываться повторно с одной и той же женщиной и сколько раз? В реальной жизни может? Может. Значит и в задаче может.
> 3)Сколько раз каждая женщина может связываться с разными мужчинами?

Надо считать. Это зависит от N.
> 4)Может ли она связываться повторно с одним и тем же мужчиной и сколько раз?
Также как в реальной жизни. Может.
> Коль в задаче не указаны предпочтения, приоритеты, то мы вправе считать все возможности равновероятными. Если указана конкретная доля мужчин с определенным признаком, то точно такая же доля женщин обладает тем же признаком, так как приоритета мужчин либо женщин не видно в задаче.
> Ответ к задаче: "73% женщин имели связь более чем с одним мужчиной", так как женщины ведут себя точно так же, как мужчины (иного в задаче не сказано). Чило N в ответе не присутствует.
Этого не может быть. Я уже приводил пример этой задачи с другими входными данными, с которыми легче считать. Если 100% M имели только по одной связи, то это не означает, что все Ж имели также по одной связи.
> По умолчанию, погрешность числа 73 не превышает 0,5.
> Например, при N=50 количеству 36 соответствует доля 72%, количеству 37 - 74% (нет числа, доля которого округленно равна 73%). Исключать из условия задачи значение N=50 ?
> Например, при N=199 количеству 145 соответствует доля 73%, количеству 146 - тоже 73%. (два числа, доля которого округленно равна 73%). Исключать из условия задачи значение N=199 ?

Давайте пока условие 73% заменим на 100%, чтобы не заморачиваться с такими сложными цифрами, которые можно учитывать только при достаточно большом N. Возьмем самый простой пример, который легко посчитать. Итак, N=3. 100% М ответили, что имели связь более чем с одной Ж. Вопрос - какими следует ожидать ответы Ж?

Связь всех М и Ж мы можем представить в виде матрицы, например, такой:

0, 1, 1
1, 0, 0
0, 1, 0
где по вертикали список всех М, а по горизонтали список всех Ж. 1 - существование связи, 0 - отсутствие. Всего возможны 2^(N*N) различных матриц, которые считаются равновероятными. Из этого множества выделим множество матриц количеством P=(C(2,3)+C(3,3))^3=64 которые удовлетворяют условию опроса. Пусть Pi - количество вариантов когда Ж имела связь с i М. Тогда получим,
P0 = C(0,3)*C(2,2) = 1
P1 = C(1,3)*(C(1,2)+C(2,2)) = 9
P2 = C(2,3)*(C(1,2)+C(2,2))^2 = 27
P3 = C(3,3)*(C(1,2)+C(2,2))^3 = 27
Таким образом, мы в праве ожидать, что в 54/64*100 = 84 случаях из 100 Ж будут отвечать о своей связи более чем с одним М, что отличается от 100% при опросе М. Или я неправильно рассуждаю? :-)


> > А модель случайного процесса в задаче не описана. Задаю недоуменные вопросы:

> в задаче под связью подразумевался факт связи конкретного мужчины и конкретной женщины. Несколько связей одного М с одной Ж считаются одной связью. Все возможные комбинации связей считаются равновероятными. Мне это казалось очевидным.
> > 1)Сколько раз каждый мужчина может связываться с разными женщинами?
> В реальной жизни жизни мужчина может связываться с разными женщинами? Может. Значит и в задаче может.
> > 2)Может ли он связываться повторно с одной и той же женщиной и сколько раз? В реальной жизни может? Может. Значит и в задаче может.
> > 3)Сколько раз каждая женщина может связываться с разными мужчинами?
> Надо считать. Это зависит от N.
> > 4)Может ли она связываться повторно с одним и тем же мужчиной и сколько раз?
> Также как в реальной жизни. Может.

В реальной жизни может быть всё, что угодно. А в задаче процедура случайного процесса должна быть описана подробно, без секретов, однозначно. Вы не ответили на вопросы о количестве связей.
Только из демонстрации решения стала понятна процедура.
Есть 3 женщины и 3 мужчины, каждый мужчина связывается с любой женщиной (из троих,наугад) 3 раза.
Варианты:
001 210 222 - первый имел связи с 2мя (0 и 1), второй - с троими (0 и 1 и 2), третий - с одной (2).
Всего возможно 3^9 = 19683 равновероятных вариантов.


> В реальной жизни может быть всё, что угодно. А в задаче процедура случайного процесса должна быть описана подробно, без секретов, однозначно. Вы не ответили на вопросы о количестве связей.
Изначально задача стояла так. Известно количество М и Ж равное N. Известен результат опроса М. Вопрос - множем ли мы оценить результаты опроса Ж? Все! Больше нам ничего не задано и количество связей нам неизвестно.
> Только из демонстрации решения стала понятна процедура.
> Есть 3 женщины и 3 мужчины, каждый мужчина связывается с любой женщиной (из троих,наугад) 3 раза.

Почему 3 раза? Вы устанавливаете условия, которые нам неизвестны.
> Варианты:
> 001 210 222 - первый имел связи с 2мя (0 и 1), второй - с троими (0 и 1 и 2), третий - с одной (2).
> Всего возможно 3^9 = 19683 равновероятных вариантов.
Мы можем создать компьютерную модель. В матрицу N*N случайным образом вставлять связи и рассматривать только те, которые удовлетворяют условию задачи. Попробую чуть позже это сделать, но наверняка должно быть аналитическое решение :-)


> > В реальной жизни может быть всё, что угодно. А в задаче процедура случайного процесса должна быть описана подробно, без секретов, однозначно. Вы не ответили на вопросы о количестве связей.
> Изначально задача стояла так. Известно количество М и Ж равное N. Известен результат опроса М. Вопрос - множем ли мы оценить результаты опроса Ж? Все! Больше нам ничего не задано и количество связей нам неизвестно.
> Почему 3 раза? Вы устанавливаете условия, которые нам неизвестны.

Пример: 3 мужчины и 3 женщины (можно взять 3 карандаша и 3 расчески)
Все мужчины заявили: "Я поцеловался более чем с одной женщиной"
1) Я утверждаю: "все мужчины имели по 3 поцелуя, тогда и все женщины имели по 3 поцелуя" (3*3)/3=3)
2) Вы утверждаете: "все мужчины имели по 2 поцелуя, тогда ЛИБО все женщины имели по два поцелуя(3*2)=3*2), ЛИБО 2 женщины имели по три поцелуя и одна осталась нецелованной" (3*2)= 2*3+0.
Мы оба правы (в условии - более одного поцелуя (то есть 2 либо 3). А есть еще 6 вариантов утверждений. И который из них верный?


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100